Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
Рассмотренные примеры подтверждают возможность строгого и
точного вычисления коэффициентов уравнения Кобба-Дугласа на
основе результатов синергетической оптимизации производства.
Разработанный метод вычисления коэффициентов модели
Кобба-Дугласа не является формальным, т. е. когда величины
факторов производства из уравнения (17.2) подставлялись в уравнение Кобба-Дугласа (17.1) с получением уравнения (17.3), из которого следовали условия нормировки. Рассмотрим иной способ
обоснования полученных результатов.
Уравнение эффективности (17.2) для сырьевого фактора производства
X
Y
(17.10)
=
r
x
r
представляет собой закон сохранения массы, который рассматривался ранее (9.2). Для безотходных производств
xr=1
, и закон
сохранения массы принимает простой вид:
XY
(17.11)
= .
r
В таком случае иные факторы производства оказываются связанными с количеством сырьевого фактора:
Y
r
Y
(17.12)
=⋅
i
x
i
Подставим все факторы производства в уравнение Кобба-Дугласа:
a
a
∑
XY k
i
=
⋅
∏
r
i
n
=
i
⎛
⎞
1
⋅
⎜
⎟
x
⎝
⎠
i
1
Это уравнение будет соответствовать закону сохранения массы (17.11), если выполнены два условия, выраженные следующими уравнениями:
a
n
ak
=
∑∏
i
==
11
i
1
n
;,
i
i
⎛
⎞
1
=
⎜
x
⎝
1
⎟
⎠
i
которые представляют собой первое (17.4) и второе (17.5) условие нормировки модели Кобба-Дугласа.
Таким образом, условия нормировки модели Кобба-Дугла-
са выражают закон сохранения массы в материальном производстве, для описания которого используется такая модель.
Поэтому любые оценки коэффициентов модели Кобба-Дугласа
должны соответствовать установленным условиям нормиров-
191
ки. Любые иные оценки коэффициентов модели Кобба-Дугласа
будут противоречить закону сохранения массы в материальном
производстве и не смогут моделировать реальное материальное
производство.
Примером функции Кобба-Дугласа, которая не соответствует
закону сохранения массы, является ее логарифмическая форма
1
которую получают логарифмированием правой части уравнения
Кобба-Дугласа:
Xk Y kaY
n
==
ln ln .
i
n
a
i
∑∏
i
==
11
i
ii
Подставим в правую часть этого уравнения значения факторов
производства из уравнения (17.12):
XYkakx
=
ln .
()
n
⋅−
∑∏
ri
==
11
i
n
a
i
i
i
Закон сохранения массы (17.11) требует выполнения равенств:
YYka x
=⋅ =
ln ; .
rri
n
∑∏
==
11
i
n
a
i
0
i
i
В действительности же ни одно из этих равенств не выполняется по следующим причинам.
1) Первое равенство означает, что коэффициенты k и a
зависят
i
от объема производства, тогда как в любой форме модели КоббаДугласа эти величины считаются постоянными, если не изменяются экзогенные и эндогенные условия деятельности предприятия. Таким образом, первое условие не соответствует существу
модели Кобба-Дугласа.
2) Второе условие требует, чтобы произведение эффективностей было равно нулю. Данное условие не выполняется для реального материального производства, на котором все эффективности
положительны.
Таким образом, необходимо признать, что логарифмическая
форма уравнения Кобба-Дугласа противоречит существу модели
и не может даже приближенно описывать реальное производство.
Существуют и иные виды производственных функций, которые никогда не проверялись на их соответствие закону сохранения массы, поэтому использование иных производственных функций нуждается в особой осторожности.
1
Bressler B. A Unified Introduction to Mathematical Economics. N. Y. Harper&Row.
1975. P. 401.
192
,
Как следует из существа синергетического метода оптимизации, он не нуждается в каких-либо производственных функциях,
поэтому все вышесказанное важно для экономического метода
оптимизации, который рассматривается в следующей главе. Нормировка уравнения Кобба-Дугласа сделана для того, чтобы выполнить строгое сравнение методов синергетической и экономической оптимизации производства.
193
Глава 4
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
ПРОИЗВОДСТВА
4.1. Общие положения
В предыдущий главе рассмотрен синергетический метод оптимизации производства, основанный на фундаментальных законах
природы, прежде всего законе сохранения массы, энергии, законе
энтропии. Эти законы позволяют установить основной закон материального производства, в соответствии с которым соотношения факторов производства находятся в определенном отношении
для неизменной технологии производства. Закон производства
позволил установить основное уравнение синергетической оптимизации, которое позволяет решать оптимизационные задачи реального производства.
Результаты, полученные синергетическим методом оптимизации, позволяют установить параметры некоторых моделей производственных функций, хотя сам метод не нуждается ни в каких
моделях производственных функций.
Синергетический метод оптимизации принципиально отличается от экономического метода оптимизации, признаваемой экономической теорией производства. Как будет показано в этой главе, сущность экономической оптимизации, выполняемой методом
Лагранжа или аналитическим методом, заключается в установлении величин факторов производства при заданном объеме производства или при заданных переменных издержках производства.
Считается, что при постоянном объеме производства определенная таким образом совокупность факторов производства обеспечивает минимальные издержки, а при заданных издержках – максимальный объем производства.
Такой подход к оптимизации господствует в экономической
теории, однако он противоречит основному закону производства.
Другими словами, экономическая оптимизация противоречит законам природы и не может оптимизировать производство. Более
того, следование такой оптимизации в рамках рыночной экономики – это путь к банкротству. К счастью, такую оптимизацию фактически невозможно выполнить, поскольку она требует знания
194
производственных функций, которые неизвестны для конкретных предприятий. Именно эта особенность позволяет существовать современной теории производства.
4.2. Метод оптимизации Лагранжа
В современной экономической теории производства объем производства (производственная функция) X и бюджетное ограничение C рассматриваются как функции факторов производства:
XXYY Y
= ( , ,..., );
12
CCYY Y
= ( , ,..., ).
12
(2.1)
n
(2.2)
n
Сущность экономической оптимизации – установление величин факторов производства, которые обеспечивают максимальный объем производства при заданном бюджетном ограничении
или минимальное бюджетное ограничение при заданном объеме
производства. Другими словами, считается, что изменением ве-
личин и соотношений факторов производства можно оптимизировать производство.
Такой подход к оптимизации общепризнан в экономике, однако в применении к производственным системам он противоречит
основному закону производства, в соответствии с которым для
любой действующей технологии существуют совершенно определенные соотношения факторов производства. Изменение соотношений факторов производства нарушает этот закон, т. е. не может
оптимизировать производство.
Основной порок экономической оптимизации заключается в
том, что она игнорирует самое главное – производство может
быть эффективным, если повышается эффективность факторов производства. Простым изменением соотношений факто-
ров производства оптимизировать производство невозможно.
Несмотря на противоречие экономической оптимизации реальному производству, необходимо подробнее рассмотреть экономическую оптимизацию, чтобы убедиться в ее непригодности для
реального материального производства.
Экономическая оптимизация производства выполняется с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа, который
широко используется в физике, химии, биологии, технических
науках, в математическом программировании и т. д. Этот метод
рассмотрен в главе 1, но целесообразно изложить традиционный
подход к оптимизации этим методом. Метод оптимизации, разработанный Жозефом Лагранжем, был назван им методом множи-
195
телей или методом неопределенных коэффициентов. Существо
метода изложено в 1788 г. в разделе 4 (Cтатика) основного произ-
1
ведения Лагранжа
. Первоначальный вариант метода модифици-
рован многими учеными.
В соответствии с методом Лагранжа бюджетное ограничение
представляется в виде:
CCYY Y
−=( , ,..., )
12
0
n
и умножается на неопределенный множитель λ:
CCYY Y
−
[]
12
n
⋅=( , ,..., ) .
0λ
Это выражение подставляют в уравнение производственной
функции (2.1). Введение дополнительной переменной λ изменяет
форму и мерность исходной производственной функции, делая ее
функцией
переменных. Такую измененную целевую функ-
n +1
цию называют лагранжианом L:
LYYY FYYY CCYYY
( , ,..., , ) ( , ,..., ) [ ( , ,..., )].
12 12 12
Дифференцирование лагранжиана при условии
λλ=+−
nn n
Cconst=
дает:
n
dL
⎛
X
∂
=
∑
i
=
−
⎜
Y
∂
⎝
ii
1
⎞
C
∂
dY C C Y Y Y d
λλ
Y
∂
−−
[ ( , ,..., )] .
⎟
i
⎠
12
n
Допускается, что при подстановке ограничения в производственную функцию переменные становятся независимыми, что
позволяет использовать классический критерий экстремума для
лагранжиана:
∂
L
0.
=
∂
Y
i
В предыдущем уравнении выражение в скобках под знаком
суммирования представляет собой частную производную лагранжиана по любому фактору производства, поэтому критерий экстремума позволяет получить n уравнений с
∂
∂
∂
X
Y
C
λ 0,
−
ii
=
∂
Y
(2.3)
переменными:
n +1
которые совместно с бюджетным ограничением образуют систему
n +1
YY Y
, ,...,
уравнений с
этой системы уравнений в уравнение для производс-
n12
неизвестными. Подстановка решений
n +1
твенной функции дает ее экстремальное значение.
1
Лагранж Ж. Аналитическая механика. – М.: ГИТТЛ, 1950. – Т. 1. – С. 106–109.
196
Как уже отмечалось ранее, частные производные в экономике
часто называют маржинальными величинами:
X
∂
X
=
i
Y
∂
i
C
∂
C
i
(2.4)
=
⋅;
Y
∂
i
C введением маржинальных величин уравнение экстремума
(2.3) принимает эквивалентный вид:
XC
−=λ 0
ii
(2.5)
для каждой из маржинальных величин. Для любых двух из них
имеем
XCX
i
n
==λ.
C
i
(2.6)
n
Равенства выражают основной результат экономической оптимизации: отношение маржинальных продуктов к маржинальным
ограничениям одинаково для всех переменных и равно множителю Лагранжа.
4.3. Аналитический метод оптимизации
Для экономической оптимизации производства можно использовать и аналитический метод. Сущность аналитического метода
проста. Если отсутствуют ограничения, то в выражении для оптимизируемой функции все переменные
YY Y
, ,...,
для установления экстремума функции и его вида можно использовать классические критерии, рассмотренные в главе 1, и один из
которых использован в методе Лагранжа.
При наличии ограничения эти критерии неприменимы, пос-
кольку переменные
YY Y
, ,...,
зависимы. Оптимизируемую фун-
n12
кцию можно сделать функцией независимых переменных, если
одну из переменных из ограничения подставить в оптимизируемую функцию. В таком случае оптимизируемая функция становится функцией независимых переменных, что позволяет использовать классические критерии экстремума и его вида. Как показано
в главе 1, аналитический метод имеет две разновидности – метод
алгебраической подстановки и метод дифференциальной подстановки. Метод алгебраической подстановки прост и нагляден, но
применим, в частности, если функция или ограничение линейны.
Метод дифференциальной подстановки применим для оптимизации любых нелинейных функций с любыми нелинейными ограничениями, в том числе и в общем виде.
независимы и
n12
197
Дифференциальные формы производственной функции и
бюджетного ограничения, выраженные через маржинальные продукты X
и маржинальные ограничения Ci, таковы:
i
n
dX X dY
=
∑
=
i
n
dC C dY
=
∑
=
i
1
1
;
ii
.
ii
Выделим в правых частях этих уравнений слагаемые, соответствующие дифференциалу любой зависимой переменной величине, например Y
:
n
−
1
n
dX X dY X dY
=+
∑
ii
=
1
i
−
1
n
dC C dY C dY
=+
∑
ii
=
1
i
(3.1)
;
nn
(3.2)
.
nn
Рассмотрим два вида оптимизации:
1) производственной функции при постоянном бюджетном ог-
раничении;
2) бюджетного ограничения при постоянной производствен-
ной функции.
Оптимизация производственной функции при
.
dC = 0
Cconst= ;
В таком случае из уравнения (3.2) получаем:
n
−
1
C
dY
n
=−
i
∑
i
dY
.
i
C
n
=
1
Подстановка этой величины в уравнение (3.1) дает:
n
−
1
dR X X
⎛
=−
∑
⎜
⎝
i
=
1
C
in
C
n
⎞
i
(3.3)
dY
.
⎟
i
⎠
После такой подстановки свободная производственная функция X превращается в связанную производственную функцию R
меньшего числа переменных. В последнем уравнении величина в
скобках представляет собой частную производную связанной производственной функции по одной из независимых переменных:
C
i
RXX
=− ⋅
iin
(3.4)
C
n
Подстановка дифференциала одной из переменных из дифференциальной формы бюджетного уравнения
в дифференциальную
198
форму производственной функции делает дифференциал связанной производственной функции зависимым только от дифференциалов независимых переменных. Следовательно, дифференциал
связанной производственной функции является полным и можно использовать классические критерии экстремума и его вида, в
частности, связанная производственная функция имеет экстремум, если ее частные производные равны нулю:
(3.5)
Ri= 0.
Тогда из предыдущего уравнения получаем:
XCX
i
n
(3.6)
=⋅
C
i
n
Оптимизация бюджетного ограничения при
dX = 0
.
Xconst= ;
В таком случае из уравнения (3.1) имеем:
−
1
n
n
=−
1
XdY
1
.
ii
∑
X
n
=
i
dY
Подстановка этой величины в уравнение (3.2) дает:
n
−
1
dM C C
⎛
=−
∑
⎜
⎝
i
=
1
X
in
X
⎞
i
(3.7)
dY
.
⎟
i
⎠
n
После такой подстановки свободное бюджетное ограничение
C превращается в связанное бюджетное ограничение
M меньше-
го числа переменных. В последнем уравнении величина в скобках
представляет собой частную производную бюджетного ограниче-
по одной из независимых переменных:
ния
X
i
MCC
=− ⋅
iin
(3.8)
X
n
Подстановка дифференциала одной из переменных из дифференциальной формы производственной функции в дифференциальную форму бюджетного ограничения
делает его дифференциал
зависимым только от дифференциалов независимых переменных.
Следовательно, дифференциал связанного бюджетного ограничения является полным, что позволяет использовать классические
критерии экстремума и его вида, в частности, при экстремуме частные производные связанного бюджетного ограничения равны
нулю:
Mi= 0
. (3.9)
199
Тогда из предыдущего уравнения получаем:
XCX
i
n
=⋅
C
i
n
Это уравнение совпадает с уравнением (3.6), т. е. оптимизация
бюджетного ограничения при заданном объеме производства эквивалентна оптимизации производственной функции при заданном бюджетном ограничении. Эта особенность оптимизации выражает дуализм оптимизации.
Сравнивая полученные результаты с уравнением (2.6), полученным методом Лагранжа, устанавливаем, что они одинаковы.
Другими словами, аналитический метод и метод Лагранжа дают
одинаковые результаты. По смыслу вывода конечные уравнения
справедливы для всех переменных, следовательно:
XCX
1
2
= =⋅⋅⋅ = ⋅
C
1
2
X
n
(3.10)
C
n
Равенства выражают основной результат экономической оптимизации: отношение маржинальных продуктов к маржи-
нальным ограничениям одинаково для всех факторов производства.
4.4. Экономическая оптимизация производства
Основной результат оптимизации производственной функции
или бюджетного ограничения выражен через отношения маржинальных продуктов и издержек (3.10). Для использования этих
уравнений необходимо знать явный вид производственной функции и бюджетного ограничения. В качестве одной из моделей
производственной функции можно воспользоваться эмпирически установленным уравнением Кобба-Дугласа для американской
промышленности.
С точки зрения ряда экономистов-теоретиков, в своих исследованиях Кобб и Дуглас должны были начать с изучения производственных функций отдельных предприятий, а не промышленности
в целом. Пол Дуглас приводит обоснование проведенных исследований, проливающее свет на истинные механизмы функционирования предприятий: «Я действительно был бы очень рад начать с
изучения отдельных фирм, если бы в моем распоряжении были
необходимые данные. Но статистические данные об изменении
количества труда и капитала, используемые за какой-либо
период отдельными фирмами, и об объеме выпускаемой ими
200
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]