Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
Решая это уравнение совместно с (5.9), находим:
YY
11 62 464 76==,; ,.
13
Подстановка этих значений в бюджетное уравнение дает:
C = 1929 52,.
Ответ 2:
YY C
11 62 464 76 1929 52== =,; ,; ,.
13
Решение последнего оптимизационного примера с помощью
компьютерной программы Maple подтверждает полученное решение, если установлены ограничения
Y
1
и
15<
600< , поскольку
Y
3
при увеличении количества второго фактора производства количества первого и третьего факторов должны быть меньше исходных значений.
Пример 6.
Дано: объем производства X = 960, бюджетное ограничение C =
2400, цены факторов производства P
циенты формулы Кобба–Дугласа k = 8 и a
третий фактор производства замещается до величины
= 16, P2 = 32, P3 = 1 и коэффи-
1
= 1/5; a2 = 2/5; a3 = 2/5;
1
Y
243=
3
.
Найти:
1) количества факторов производства и объем производства
при неизменном бюджетном ограничении;
2) количества факторов производства и бюджетное ограниче-
ние при постоянном объеме производства.
Решение 1. Вычислим начальные значения факторов производства из уравнения спроса на факторы производства:
2400
YY Y
12 3
516
30
==
⋅
2 2400
⋅
532
⋅
30
==⋅=;; .
2 2400
5
960=
Выпишем производственную функцию и бюджетное уравнение, используя исходные данные:
XYY=⋅72
YY+=.
16 32 2157
12
1152
25//
(5.10)
;
(5.11)
Решение этой оптимизационной задачи (3.10) уже получено.
Вычисляем маржинальные продукты и ограничения:
25
/
Y
72
X
1
2
45
/
5
Y
1
272
X
;;;.
2
15
/
Y
1
CC
16 32=⋅ =⋅⋅==
13
33
/
5
Y
2
Подставим эти величины в результат оптимизации (3.10) и
после преобразований получим:
YY
= .
12
211
Решая это уравнение совместно с (5.11), имеем:
YY
44 93 44 93==,; ,.
12
Подставляя полученные значения в уравнение (5.10) находим:
X = 706 16,.
Ответ 1:
YY X
12
44 93 706 16== =,; ,.
Решение 2. Выпишем бюджетное уравнение и постоянной производственной функции, используя исходные данные:
!YY=++16 32 243
12
25
//
YY
1152
960
=⋅
(5.12)
;
(5.13)
72
Вычисляем маржинальные ограничения и продукты:
25
/
Y
1
CC X
16 32
= = =⋅ =⋅ ⋅;; ;
12 1
2
45
/
5
Y
1
X
2
15
/
Y
2
1
35
/
5
Y
2
Подставим эти величины в результат оптимизации (3.10) и
после преобразований получим уравнение экстремума:
YY
= .
12
Решая это уравнение совместно с (5.13), имеем:
53
YY
12
(
960
72
=/,.
74 972==
)
Подставляя полученные значения в уравнение (5.12), находим:
C =⋅ + =48 74 972 243 3841 65,,.
Ответ 2:
YY C
12
74 97 384165== =,; ,.
Проанализируем полученные результаты.
В примере 5 увеличение количества второго фактора потребовало замещения остальных факторов производства для сохранения неизменного бюджетного ограничения, что привело к
уменьшению объема производства с 600 до 542,88. Сохранение
неизменного объема производства потребовало иного замещения
факторов производства, что привело к увеличению бюджетного
ограничения с 1800 до 1929,52. Оба варианта подтверждают принцип замещения факторов производства.
В примере 6 уменьшение количества третьего фактора потребовало замещения остальных факторов производства для со-
212
хранения неизменным бюджетного ограничения, что привело к
уменьшению объема производства с 960 до 706,16. Сохранение
неизменного объема производства потребовало иного замещения
факторов производства, что привело к увеличению бюджетного
ограничения с 2400 до
3841 65,
. В этом случае принцип замеще-
ния факторов производства также выполняется.
Полученные результаты подтверждают принцип замещения
факторов производства, поскольку в результате замещения факторов производства в одном случае объем производства уменьшился
при неизменном бюджетном ограничении, а в другом – замещение
факторов производства привело к увеличению бюджетного ограничения при неизменном объеме производства.
Не следует придавать особого значения этим и другим результатам, поскольку рассматривается экономическое замещение
факторов производства. С экономической точки зрения, замещение факторов производства соответствует принципу замещения факторов производства. Однако на реальном производстве
факторы производства не являются независимыми при неизменной технологии и поэтому замещение факторов производства может оказаться недопустимым в полном соответствии с основным
законом производства.
4.6. Замещение факторов производства по Хиксу
В предыдущем разделе обоснован, доказан, подтвержден и
проиллюстрирован принцип замещения факторов производства.
Этот принцип аналогичен принципу замещения товаров, рассмотренному в главе 2. Принцип замещения является новым для экономической теории потребления и производства.
С другой стороны, на современную экономическую теорию
потребления и производства наложили отпечаток работы Хикса
и его последователей. В главе 2 была показана ошибочность представлений Хикса о маржинальной степени замещения товаров.
Представления о замещении товаров Хикс распространил и на замещение факторов производства. Рассмотрим эти представления
и выполним их анализ.
При традиционном подходе к замещению факторов производства рассматривается полный дифференциал производственной
функции
n
dX X dY
=
=∑1
i
где Xi – маржинальный продукт фактора производства.
,
ii
213
Для простоты ограничиваются двухфакторным производством:
dX X dY X dY=+
11 2 2
.
Далее рассматривается постоянная производственная функция:
XdX==const; ,0
и из предыдущего уравнения устанавливают, что
dY
dY
2
=− ⋅
1
X
1
(6.1)
X
2
Производную называют маржинальной степенью техни-
ческого замещения факторов производства (marginal rate of
technical substitution:)
dY
2
MRTS
≡⋅
(6.2)
dY
1
В таком случае из двух последних уравнений устанавливают:
X
1
MRTS
=− ⋅
(6.3)
X
2
Уравнение устанавливает, что маржинальная степень технического замещения факторов производства обратно пропорциональна отношению маржинальных продуктов факторов производства.
Уравнение (6.3) представляют в ином виде, используя основной результат оптимизации, полученный методом Лагранжа и
аналитическим методом (3.10), т. е. в данном случае:
PXP
1
122
(6.4)
=⋅
X
Тогда из двух последних уравнений имеем:
P
1
MRTS
=− ⋅
(6.5)
P
2
В соответствии с этим уравнением маржинальная степень
технического замещения факторов производства равна отношению цен этих факторов. Поскольку эта величина зависит
от экономических показателей (цен) и никакие технические параметры не используются, применение термина «маржинальная
степень технического замещения факторов производства» не выглядит обоснованным.
214
Обратим внимание на то, что без введения понятия «маржинальная степень технического замещения факторов производства» из уравнений (6.1) и (6.4) можно установить:
dY
dY
2
=− ⋅
1
P
1
(6.6)
P
2
На первый взгляд, данное уравнение позволяет установить, что
при изменении цен на факторы производства их можно заместить так, чтобы объем производства не изменился. Считает-
ся, что замещение факторов производства позволяет сохранить
неизменным объем производства, даже если цены факторов производства изменяются.
Несмотря на то, что эти результаты признаются современной
экономической теорией, именно эти представления оказываются
ошибочными. Для того чтобы убедиться в этом, можно вначале
рассмотреть бюджетное уравнение для тех же факторов производства:
CPYPY=+
11 2 2
.
При постоянстве цен и бюджетного ограничения имеем:
PdY PdY
11 22
0+=,
откуда следует основной результат теории Хикса (6.6).
Обратим внимание на то, что этот результат получен при постоянстве объема производства и бюджетного ограничения. Однако в действительности это не так, поскольку в соответствии с
принципом замещения факторов производства для сохранения
объема производства замещение факторов производства требует
увеличения бюджетного ограничения. Другими словами, заме-
щение факторов производства при постоянном объеме производства и неизменном бюджетном ограничении невозможно.
Этот вывод вытекает из самого существа экономической оптимизации производства. Основной результат оптимизации производственной функции или бюджетного ограничения заключается
в том, что в таком оптимизированном состоянии существует единственная совокупность факторов производства, соответствующая:
• максимальному значению производственной функции при
заданном бюджетном ограничении;
• минимальному бюджетному ограничению при заданной ве-
личине производственной функции.
Замещение факторов производства ведет к смещению от точки
оптимума, и этой смещенной точке соответствует большее бюд-
215
жетное ограничение. Доказательство необходимости увеличения
бюджетного ограничения при смещении от оптимальной совокупности факторов производства установлено в разделе 4.5 в виде
принципа замещения факторов производства, в соответствии с
которым любое изменение факторов производства по сравнению
с их оптимальным соотношением ведет к увеличению бюджетного ограничения:
dC > 0
для сохранения неизменной величины производственной функции.
Если же бюджетное ограничение задано, то замещение факто-
ров производства ведет к уменьшению объема производства:
dX < 0.
Таким образом, любое замещение факторов производства возможно только с увеличением бюджетного ограничения для сохранения неизменного объема производства или с уменьшением
объема производства для сохранения неизменным бюджетного
ограничения производства. Обе альтернативы ведут к понижению прибыли производителя и поэтому являются для него нежелательными. Следовательно, производитель должен избегать
замещения факторов производства, если производство уже оптимизировано.
В заключение можно рассмотреть еще одну проблему замещения факторов производства, имеющую аналог в теории потребления. Хикс, вводя маржинальную степень замещения товаров,
заявлял, что закон Госсена (принцип убывающей маржинальной
полезности товаров) должен быть заменен принципом убываю-
щей маржинальной степени замещения товаров. Этот «принцип» Хикс и его последователи рассматривали как выдающийся
вклад в экономическую науку, впоследствии увенчавшийся Нобелевской премией в области экономики за 1972 г. Аналогом этого
принципа в теории производства является принцип убывающей
маржинальной степени технического замещения факторов
производства. В соответствии с уравнением (6.5) маржинальная
степень технического замещения факторов производства зависит
от цен на факторы производства. Цены на факторы производства
определяются рынком, поэтому говорить о принципе убывающей
маржинальной степени технического замещения факторов производства бессмысленно.
Попытки Хикса убедить экономическую общественность в
существовании фундаментальных принципов убывающих мар-
216
жинальных степеней технического замещения товаров, а также
факторов производства оказались экономической бессмыслицей,
которая продолжает признаваться современной экономической
теорией.
4.7. Стратегии производителей при изменении цен
Для рыночной экономики типично изменение цен товаров, в
том числе на факторы производства. В таких условиях перед каждым производителем стоит выбор наиболее эффективной стратегии при изменении цен на факторы производства.
Возможны четыре основные стратегии при изменении цен на
факторы производства.
1) Максимизировать объем производства при постоянном
бюджетном ограничении (
XC==max; const
Объем производства может иметь максимальное значение,
если выполняются равенства (3.10), т. е.
XCX
112
= =⋅⋅⋅ = ,
C
2
X
C
которые сводятся к уравнениям спроса Маршалла:
C
Ya
=⋅
ii
(7.1)
P
i
Связь объема производства и бюджетного ограничения устанавливается уравнением непрямой производственной функции (4.5):
a
i
a
⎛
⎞
XkC
=
∏
i
⎜
⎟
P
⎝
⎠
i
Таким образом, зная цены на факторы производства, в том
числе и изменившиеся, можно найти максимальный объем производства.
2) Минимизировать бюджетное ограничение при постоян-
ном объеме производства (
CX==min; const
Минимальное бюджетное ограничение находят из уравнения
непрямой производственной функции. При изменении цены фактора производства для сохранения объема производства бюджет-
ное ограничение должно быть изменено до
Выделим в уравнении (7.2) один из сомножителей:
a
k
⎛
XC
=
⎜
⎝
a
P
n
⎞
k
⎟
⎠
k
a
⎛
⎜
P
⎝
=∏1
i
).
n
n
(7.2)
⋅
).
.
C
a
i
⎞
i
.
⎟
⎠
i
217
При изменении цены одного из факторов производства, например до величины
, это уравнение принимает вид:
P
k
⎛
XC
=
⎜
⎝
a
k
⎞
a
k
∏
⎟
P
i
⎠
k
a
n
=
i
a
⎛
⎞
i
⎜
⎝
1
.
⎟
P
⎠
i
Разделив одно уравнение на другое, получим
a
k
⎛
⎞
P
CC
k
=
⎜
⎝
. (7.3)
⎟
P
k
⎠
Уравнение позволяет найти минимальное бюджетное ограничение при изменении цен по величине бюджетного ограничения
до изменения цен.
Оптимизированные количества товаров определяются по соответствующему уравнению спроса Маршалла:
C
Ya
=⋅
ii
(7.4)
P
i
Таким образом, любому оптимизированному состоянию при
постоянной производственной функции соответствует обычное
уравнение спроса Маршалла. Дополнительные символы в послед-
нем уравнении отражают соответствие величин
PYC
,,
ii
оптимизированному состоянию неизменного объема производства и минимальному бюджетному ограничению при измененных ценах.
3) Сохранить отношения количеств факторов производс-
тва при неизменном бюджетном ограничении (
C;==const const
).
YY YY
i
//==
i
k
k
Используя уравнение спроса (7.1) до изменения цен, можно
получить:
p
kki
Y
=⋅ .
i
aap
(7.5)
Y
k
i
Подставим это значение в бюджетное уравнение
n
CPY
=
∑
i
.
i
i
=
1
Выполняя простые преобразования, получаем:
218
=
Y
k
C
−
=
1
1
aaP
iki
⋅+
P
n
P
∑
k
i
(7.6)
⋅
P
k
i
Вычислив величину одного из факторов производства, по
уравнению (7.5) находим количества остальных факторов производства. В разделе 12 главы 2 использованы частные формы этого
уравнения для количеств товаров.
Данная стратегия соответствует основному закону производства, однако конечные уравнения основаны на модели Кобба-Дугласа и они отличаются от уравнений, основанных на прямом вычислении количеств факторов производства при изменении цен
(см. раздел 13 главы 3),
4) Сохранить отношения количеств факторов производс-
тва при неизменном объеме производства (
X = const
Подставим величину
).
из уравнения (7.5) в уравнение Кобба-
Y
k
YY YY
i
// ;==
i
k
k
const
Дугласа и выполним простые преобразования:
a
aP
k
aP
i
i
⎞
i
(7.7)
⋅
⎟
⎠
k
−
1
n
⎛
X
Y
=
∏
k
⎜
k
⎝
=
1
i
Вычислив величину одного из факторов производства, по
уравнению (7.5) находим количества остальных факторов производства.
Рассмотрим иллюстрацию полученных результатов.
Пример 7.
Дано: объем производства X = 800, бюджетное ограничение
C = 2400, цены факторов производства
PP P
40 200 1== =,,
12 3
изводство соответствует модели Кобба-Дугласа с
a==13
/ ; цена первого фактора производства изменилась до
3
P
.
60=
1
kaa===20
, про-
,
12
Найти:
1) исходные количества факторов производства;
2) факторы и наибольший объем производства при C = 2400;
3) факторы и наименьшее бюджетное ограничение при X = 800;
4) факторы и объем производства при постоянстве отношений
факторов производства и C = 2400;
5) факторы производства и бюджетное ограничение при посто-
янстве отношений факторов производства и X=800.
Решение 1. Исходные количества факторов производства определяются по уравнению спроса (7.1):
2400
YYY
123
340
20
==⋅== =;; .
⋅
2400
3 200
2400
4
800=
3
219
Решение 2. Оптимизируемая система уравнений такова:
XYYY=
20
()
60 200 2400
YYY++=.
123
123
13/
;
(7.8)
Вычисляем маржинальные продукты и ограничения:
13
/
YY
()
23
20
X
=⋅
1
3
60 200
==
CC
12
23
/
Y
1
;; C
20
X
=⋅
;;
2
3
13
/
YY
()
13
Y
2
23
/
X
=⋅
3
3
20
3
Y
3
23
/
YYY
()
12
1= .
13
/
;
Результат оптимизации позволяет получить уравнения экстремума:
YY YY==;,
60 200
13 13
которые совместно с уравнением издержек (7.8) дают искомое решение.
Ответ 2:
YYYX
13 33 4 800====, ; ; ; 698,86.
123
Решение 3. Оптимизируемая система уравнений такова:
CY YY=+ +60 200
123
13
YYY
()
123
;
(7.9)
40
=/.
В силу дуализма оптимизации имеем те же уравнения экстремума:
YY YY==;,
60 200
13 13
которые совместно с производственной функцией (7.9) дают искомое решение.
Ответ 3:
YYY C
15 26 4 58 915 77 2747 31=== =,; ,; ,; ,.
123
Решение 4. Количество третьего фактора производства находим из уравнения (7.6):
2400
Y
3
60
++
40
4800
==,.
11
7
685 71=
Уравнение (7.5) позволяет найти остальные факторы производства:
4800
YY
12
740
120
== =⋅==,; , .
⋅
17 14
7
4800
7 200247
343=
220
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]