Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
водитель омертвляет часть своих средств производства, а для их
поддержания в рабочем состоянии необходимы дополнительные
издержки.
Во втором случае производитель может столкнуться с конкуренцией производителя того же товара с уже рассмотренными
последствиями.
В третьем случае производитель продукции с высокой единичной себестоимостью может оказаться некокурнтоспособным и
обанкротиться. Рассмотрим стратегию снижения цен обоих производителей подробнее.
Поскольку информация о единичной себестоимости является конфиденциальной, при неполной реализации товара каждый
производитель может пойти на снижение цен, предполагая, что
второй конкурент не смог продать такое же количество продукции. Такое снижение цен может оказаться рискованной операцией, поскольку каждый производитель знает только свою единичную себестоимость.
Вычислим прибыль производителей при линейной функции
спроса:
πε πε
=−− =−−();( ).a bXX a bXX
11 12 2 2
Поскольку общее количество товара равно сумме количеств
товаров каждого производителя , прибыль производителей оказывается:
πε πε
=−− − =−− −();( ) .a bX X bX X a bX X bX X
1 1 1 1 12 2 2 2 2 12
Величины в скобках – это максимальные прибыли производителей, если бы они находились в монопольном положении.
В разделе 3.15 установлено, что эти прибыли соответствуют уравнению
2
−
a
()
πε=
(6.16)
⋅
4
b
С учетом уравнений для количеств товара получаем для прибыли:
−
a
()
π
=
1
εεε
−
()
121
44
b
;
π
2
εεε
−
a
()
=
()
212
b
−
(6.17)
⋅
Поскольку единичная себестоимость продукции одного производителя меньше единичной себестоимости продукции второго
производителя, например
εε
ππ
то:
< ,
12
00><;.
11
291
Другими словами, для производителя продукции с большей
единичной себестоимостью снижение цен оказывается разорительным. Не является выгодным такое снижение цен и для производителя продукции с меньшей единичной себестоимостью, поскольку полученная прибыль может не покрыть постоянные издержки. Более того, даже для производителей продукции с одинаковой себестоимостью из уравнений (6.17) следует, что
ππ
12
0==.
Этот результат показывает, что величина единичной себестоимости является действительно конфиденциальной величиной.
Зная эту величину для конкурирующей продукции, производитель продукции с большей единичной себестоимостью никогда не
пошел бы на снижение цен, которое приведет его к банкротству.
С другой стороны, производитель товара с меньшей единичной себестоимостью по-существу вытесняет с рынка своего конкурента.
В результате он сможет вернуться к ценам, которые он установил
до начала конкуренции.
Как это ни выглядит странно, но до вытеснения конкурента
производитель продукции с меньшей единичной себестоимостью
получит существенно меньшую прибыль, чем ту, которую он мог
бы иметь, вступив в сговор со своим конкурентом. Для того, чтобы
в этом убедиться, предположим, что оба производителя решили
производить количества товаров, которые безубыточны для производителя с наибольшей единичной себестоимостью. Тогда:
πεπε
=− =−();().PX P X
1112 22
Для линейной функции спроса получаем:
πε πε
=−− − =−− −();( ) .a bX X bX X a bX X bX X
1 1 1 1 12 2 2 2 2 12
Безубыточность второго производителя означает
πε ε
111122212
2=−− −−− −()( ) .abXXabXXbXX
π20= ,
тогда:
Первые две величины в правой части – это прибыль каждого
производителя, если бы он был монополистом. Это означает, что
можно использовать уравнение (6.16), а для количества товара
первого производителя – уравнение (6.9) и аналогичное уравнение для количества товара второго производителя:
2
εε εε
−
()()()()a
π
=
1
1
+
4424
b
2
−
a
2
b
−−
aa
−
12
b
⋅
Преобразование этого уравнения дает простой результат
2
−
()
εε
21
=
π
1
4
(6.18)
⋅
b
292
Уравнение показывает, что прибыль производителя товара с
меньшей единичной себестоимостью тем больше, чем больше разность единичных себестоимостей у разных производителей.
Пример 8.
Дано: коэффициенты линейной функции спроса: a = 25, b = 0,1;
единичные себестоимости товаров двух производителей: ε
= 5.
ε1
= 3,
1
Найти: цену товара и прибыль производителя товара с наименьшей единичной себестоимостью.
Решение. Находим количество товара, поставляемого на рынок
обоими производителями, используя уравнение (6.9) для товара
первого производителя и аналогичное уравнение для товара второго производителя:
aa
−+−
εε
X
12
=
b
2
−
50 8
=
⋅
2014202
,,
==
210
.
Цену товара находим из уравнения спроса:
P =−⋅ =25 0 1 210 4,.
Прибыль находим из уравнения :
2
53
−
()
π
1
401
⋅
10=
=
,
.
Ответ:
P ==410
;.π
1
Сравнивая полученные результаты с решениями примеров
6 и 7, легко убедиться, что ценовая война оказывается невыгодной
обоим производителям, поскольку ведет к уменьшению их прибыли, а для второго производителя – к потере прибыли. Поэтому
производители вынуждены вступать в сговор и выполнять условия соглашения о разделении рынков сбыта своей продукции.
Несоблюдение соглашения может привести к банкротству предприятий с высокой единичной себестоимостью продукции.
Аналогичным образом можно рассмотреть случай олигополии
и получить аналогичные результаты. Главный вывод, который
следует из рассмотрения олигопольной конкуренции, заключается в том, что величина единичной себестоимости является
главным конкурентным преимуществом производителя, который смог добиться ее минимизации.
293
5.7. Межотраслевой баланс
Взаимосвязь отдельных предприятий и секторов промышленного производства принято анализировать в рамках межотраслевого баланса, предложенного Василием Леонтьевым
отчётного баланса народного хозяйства СССР за 1923–1924. Хотя
высшее руководство СССР считало, что это «не баланс, а игра в
2
цифири…»
, однако почти полувековая деятельность В. Леонтьева по признанию и внедрению своей модели была вознаграждена нобелевской премией в 1973 г. Модель Леонтьева признана в
рыночной экономике, хотя в ее основе лежит плановый подход.
Эта особенность считается недостатком модели Леонтьева, однако никакой адаптации модели к рыночной экономике В. Леонтьев
и его последователи не произвели. Многие экономисты считают
модель межотраслевого баланса «чудо-машиной Леонтьева».
В простой модели Леонтьева рассматриваются отрасли про-
мышленности, производящие по одному виду продукции массой
. Эта продукция потребляется иными производственными от-
X
i
раслями
и идет на общественное потребление
X
ik
твии с уравнением потребления продукции i-й отрасли:
1
на основе
0
в соответс-
X
i
3
n
XXX
=+
i
=∑1
k
Количество продукции i-й отрасли
раслью, составляет в объеме производства этой отрасли
, называемую технологическим коэффициентом:
b
ik
b
=⋅
ik
0
(7.1)
.
i
ik
, полученное k-й от-
X
ik
X
ik
(7.2)
X
k
X
долю
k
В таком случае уравнение (7.1) принимает такой вид:
n
XbXX
=+
∑
i
ik k
k
=
1
0
(7.3)
.
i
В модели Леонтьева считается, что совокупность уравнений
потребления для всех отраслей образует межотраслевой баланс:
1
Leontief W. W. Quantitative input and output relations in the economic system of
the United States, Review of Economics and Statistics. 1936. 18. 105–125.
2
Сталин И. В. Полное собрание сочинений. – М.: ОГИЗ, 1949. – Т. 12. – С. 171.
3
Wassily Leontief and Input-Output Economics. Cambridge University Press.
N.Y. 2004. P.11.
294
0
⎡
⎤
X
⎡
⎢
X
⎢
⎢
X
⎣
bb b
⎡
⎤
11 12 1
1
⎢
⎥
bb b
2
21 22 2
=
⎢
⎥
...
... ... ... ...
⎢
⎥
b
⎦
⎣
n
112
n
...
...
bb
...
nnn
⎤
⎡
n
⎥
⎢
X
n
⋅
⎥
⎢
⎥
⎢
X
⎣
⎦
X
X
⎤
1
2
...
n
1
⎢
⎥
0
⎥
X
2
+
⎥
⎥
⎦
(7.4)
⋅
⎢
⎥
...
⎢⎢
⎥
0
⎢
⎥
X
⎣
⎦
n
В этом уравнении технологическая матрица сформирована
на основе уравнения потребления продукции (7.1).
Уравнения (7.4) содержат два набора неизвестных величин:
объем производства каждой отрасли (X
дукции для общественного потребления
, X2,…, Xn) и объем про-
1
00
XX X
, ,..., .
n102
Другими
словами, из уравнений (7.4) можно найти:
1) количества продукции для общественного потребления, если
известны объемы производства каждой отрасли промышленности;
2) объемы производства каждой отрасли, если заданы количес-
тва продукции, необходимые для общественного потребления.
Первый вид расчетов самый простой: зная величины X
ответствующему уравнению находят величины
0
X
i
.
, по со-
i
Второй вид расчетов по уравнениям (7.4) сложнее, поскольку
требует нахождения матрицы, обратной матрице технологических коэффициентов. Эти методы иллюстрируются во множестве
учебников, но мы не станем на них останавливаться, поскольку
такие расчеты можно существенно упростить.
Действительно, в уравнениях (7.3) все слагаемые, за исключением
0
, можно перенести из правой части в левую и получить:
X
i
() .1
−− =
bX bX X
ii i
k
∑
n
ik k
2
=
0
i
Совокупность таких уравнений для отраслей промышленности образует систему уравнений межотраслевого баланса:
0
⎡
⎤
1
bb b
( ) ...
−− −
⎡
11 12 1
⎢
bb b
−− −
⎢
... ... ... ...
⎢
bbb
−−−
⎣
1
( ) ...
21 22 2
1
()
12
nn
−
nnk
b
X
⎤
⎡
n
⎥
⎢
X
n
⋅
⎥
⎢
...
⎥
⎢
X
⎣
⎦
nn
X
⎤
1
2
n
1
⎢
⎥
0
⎥
X
2
⎢
...
⎢
0
⎢⎢
X
⎣
n
(7.5)
.
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎥
⎥
⎦
Решение системы не требует вычисления обратных матриц и
может быть получено хорошо известными методами. Квадратная
матрица в этом уравнении может быть названа приведенной мат-
рицей
′
.
B
295
Пример 9.
Дано: технологические коэффициенты и общественные потребности
1
,,
BX=
01 05
⎡
⎢
,,
03 02
⎣
⎤
;.
⎥
⎦
250
0
⎡
⎤
=
⎢
⎥
170
⎣
⎦
Найти: объемы производства отраслей.
Решение. Формируем приведенную матрицу:
B
⎡
′
=
⎢
⎣
−
03 08
,,
⎤
⎥
⎦
−
09 05
,,
и решаем простую систему уравнений:
09 05 250
,, ;
XX
−=
12
03 08 170
,, .
XX
−+ =
12
Умножим второе уравнение на 3 и сложим результат с первым
уравнением:
(, , ) .2 4 0 5 250 3 170
−=+⋅X
2
Таким образом X2 = 400. Подставляя это значение в первое или
второе уравнение, получаем значение X
Ответ: X
= 500;X2 = 400.
1
= 500.
1
Пример 10.
Дано: технологические коэффициенты и общественные потребности
2
:
,,,
015 0 50 025
⎡
,,,
BX=
030 010 040
⎢
⎢
,,,
015 0 30 020
⎣
⎤
;
⎥
⎥
⎦
20
⎡
0
⎤
.
=
20
⎢
⎥
⎢
⎥
110
⎣
⎦
Найти: объемы производства отраслей.
Решение. Формируем приведенную матрицу и уравнение
085 050 025
,,,
⎡
−−
⎢
⎢
−−
⎣
−−
030 090 040
,, ,
015 0 30 080
,,,
X
⎡
⎤
⎤
⎢
⋅
⎥
⎢
⎥
⎦
⎣⎣
⎡
1
⎥
X
2
⎥
X
⎦
3
⎤
=
⋅2020
⎢
⎥
⎢
⎥
10
⎣
⎦
Система уравнений может быть решена любым известным
методом – подстановкой, методом Крамера и т.д. Еще проще вос-
1
Jacques I. Mathematics for Economics and Business. N.Y. Prentice Hall. 5th. ed.
2006. P. 444–447.
2
Simon C. P., Blume L. Mathematics for Economists. N.Y. Norton&Company. 1994.
P. 175–176.
296
пользоваться специализированными компьютерными программами, например Derive, Maple Microsoft Mathematics и т.д. Например,
с помощью программы Derive легко получить искомый результат.
Ответ: X
= 84,77; X2 = 75,72; X3 = 56,79.
1
Пример 11.
Дано: технологические коэффициенты и общественные потребности (в стоимостном выражении, млн. долларов) для экономики США
1
:
0 170 0 004 0 000 0 029 0 000 0 008
,,,,,,
⎡
⎢
0 003 0 295 0 018 0 002 0 004 0
,,,,,,,
⎢
,,,,,,
0 025 0 173 0 460 0 007 0 011 0 007
B =
⎢
,,,,,
0 348 0 037 0 021 0 403 0 0111 0 048
⎢
0 007 0 001 0 039 0 025 0 358 0 025
,,,,,,
⎢
0 120 0 074 0 104 0 123
,,,,00 173 0 234
⎣
99640
⎡
⎢
75548
⎢
14444
0
=X
⎢
33501
⎢
23527
⎢
2639
885
⎣
,,
⎤
⎥
⎥
.
⎥
⎥
⎥
⎦
016
,
⎤
⎥
⎥
;
⎥
⎥
⎥
⎦
Найти: объемы производства отраслей.
Решение. Формируем приведенную матрицу и уравнения (7.5):
0 830 0 004 0 0 029 0 0 008
,, , ,
⎡
⎢
0 003 0 705 0 018 0 002 0 004 0 0
−−−−−116
⎢
0 025 0 173 0 540 0 007 0 011 0 007
−− −−−
⎢
0 348 0 037 0 021 0
−−−
⎢
0 007 0 001 0 039 0 025 0 642 0 025
−−−− −
⎢
0 120
−−
⎣
−−−
,, , , , ,
,,, ,,,
,,,,5597 0 011 0 048
−−
,,
,,,,, ,
,00 074 0 104 0 123 0 173 0 766
,,,,,−−−
X
⎡
⎤
99640
1
⎢
⎡
⎥
X
⎢
75548
2
⎢
⎥
⎢
X
×
⎢
X
⎢
X
⎢
X
⎢
⎣⎣
3
4
5
6
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
14444
⎢
33501
⎢
23527
⎢
263985
⎣
⎤
⎥
⎥⎥
.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
×
⎥
⎥
⎥
⎦
С помощью программы Derive решаем эту систему уравнений.
Ответ:X
= 66929; X
1
Simon C. P., Blume L. Mathematics for Economists. N.Y. Norton & Company.
1994. P. 176–178.
= 131033; X2 = 120459; X3 = 80681; X4 = 178732; X5 =
1
= 431562.
6
297
В последнее время интерес к межотраслевому балансу снизился, однако он продолжает считаться важным методом анализа и
прогнозирования национальной экономики. В Российской Федерации и Республике Беларусь после 16-летнего перерыва приняты решения по формированию межотраслевых балансов за 2011
год, на что понадобится не менее четырех лет.
5.8. Парадокс Леонтьева
Модели Леонтьева свойственно немало известных недостатков, однако наложено табу на принципиальный недостаток модели: баланса в «межотраслевом балансе» нет.
Убедимся в дисбалансе на нескольких примерах.
Пример 12.
Дано: потребление продукции отраслями
1
:
Отрасли X
1 500 50 200 250
2 400 150 80 170
i
X
i1
X
i2
0
X
i
Найти:
1) матрицу технологических коэффициентов;
2) объемы производства отраслей при общественных потреб-
ностях
0
XX
1
0
140 460==;.
2
Решение 1. Коэффициенты bik вычисляются по уравнению (7.2):
X
50
11
b
=== ===
11
X
1
X
21
==
b
21
X
1
500
150
5500
01
,; ,;
03
====,; ,. b
X
200
b
12
12
X
2
X
22
22
X
2
400
80
400
05
02
Ответ 1: Матрица технологических коэффициентов имеет вид:
01 05
,,
B =
⎡
⎢
03 02
,,
⎣
⎤
.
⎥
⎦
Решение 2. Выпишем уравнение (7.5):
09 05
,,
⎡
⎢
⎣
−
03 08
,,
−
X
⎡
⎤
⋅
⎥
⎢
X
⎦
⎣
140
⎤
⎡
1
⎥
⎦
2
⎤
⎢
640
⎣
.
⎥
⎦
=
Используя любой метод решения, получаем искомый результат.
Ответ 2:
1
Jacques I. Mathematics for Economics and Business. N.Y. Prentice Hall. 5th. ed.
2006. P. 444–447.
XX
600 800==;.
12
298
Пример 13.
Дано: потребление продукции отраслями
1
:
Отрасли X
1 1000 200 300 500
2 500 100 100 300
i
X
i1
X
i2
0
X
i
Найти:
1) матрицу технологических коэффициентов;
2) объемы производства отраслей при общественных потреб-
ностях
0
XX
1
0
700 1000==;.
2
Решение 1. Коэффициенты bik вычисляются по уравнению (7.2):
X
200
b
b
11
== = ===
11
X
1000
1
X
21
==
21
1000
X
1
000
1
02
,; ,;
====,; , . b
01
X
300
b
12
12
X
2
X
22
22
X
2
500
100
500
06
02
Ответ 1: Матрица технологических коэффициентов имеет вид:
02 06
,,
B =
⎡
⎢
01 02
,,
⎣
⎤
⋅
⎥
⎦
Решение 2. Выпишем уравнение (7.7):
08 06
,,
⎡
⎢
⎣
−
01 08
,,
−
X
⎡
⎤
⋅
⎥
⎢
X
⎦
⎣
700
⎤
⎡
⎢
1000
⎣
⎤
.
⎥
⎦
1
=
⎥
⎦
2
Используя любой метод решения, получаем искомый результат.
Ответ 2:
0
XX
2000 1500==;.
1
0
2
Аналогично вычисляются технологические коэффициенты
для любого числа отраслей экономики и находятся либо объемы
производства отраслей по заданным общественным потребностям, либо объемы общественного потребления по объемам производства отраслей.
Однако ценность таких расчетов нельзя преувеличивать, поскольку межотраслевой баланс не соответствуют закону сохранения массы.
Для доказательства этого утверждения, прежде всего, обратим
внимание на уравнение потребления (7.1), где величина
X
– это
ik
масса продукции отрасли i, используемая в отрасли k. В таком
1
Jacques I. Mathematics for Economics and Business. N.Y. Prentice Hall. 5th. ed.
2006. P. 509–511.
299
случае, например, первая отрасль для производства продукции
массой
второй отрасли –
использует свою продукцию массой
X
1
, продукцию третьей отрасли –
X
21
, продукцию
X
11
X
31
и т. д.
Закон сохранения массы означает, что масса произведенной продукции должна быть равна сумме масс продукции, полученной из
всех отраслей:
XX X X
=+++⋅⋅⋅
1112131
Следовательно, для любой отрасли закон сохранения массы
выражается следующим производственным уравнением:
n
XX
=
i
k
(8.1)
.
ki
=∑1
Проверим, выполняется ли этот закон в рассмотренных «ба-
лансах».
В примере 12 первая отрасль использует свою продукцию мас-
сой
X1150=
и продукцию второй отрасли массой
X21150=
. В
соответствии с законом сохранения массы (8.1) объем производства первой отрасли должен быть равен сумме масс продукции, использованной для производства, т. е.
XX X
11121
50 150 200=+=+=.
В действительности же объем производства первой отрасли равен 500. Другими словами, производственное уравнение первой
отрасли не соответствует закону сохранения массы.
Нарушен закон сохранения массы и в производственном уравнении второй отрасли:
XX X
21222
200 80 280=+=+=.
В действительности же объем производства второй отрасли равен 400, а не 280 .
В примере 13 положение аналогичное. Первая отрасль использует свою продукцию массой
расли массой
X21100=
. Закон сохранения массы означает:
XX X
11121
X11200=
200 100 300=+=+=.
и продукцию второй от-
В действительности же объем производства первой отрасли равен 1000, а не 300. Следовательно, производственное уравнение
первой отрасли не соответствует закону сохранения массы.
Для второй отрасли производственное уравнение оказывается
XX X
21222
300 100 400=+=+=.
300
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]