Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
продукции являются наиболее тщательно охраняемыми секретами бизнеса».
1
Конфиденциальность данных о конкретных производствах позволяет заключить, что производители тщательно скрывают действительную прибыль предприятий и формы ее использования.
В таких условиях модель Кобба-Дугласа оказывается весьма ценной для изучения производственных функций отдельных предприятий, поскольку такой подход позволяет оценить действительное поведение производителей товаров и услуг. Представляется,
что такой подход может оказаться продуктивным, поскольку даже
для теории потребления, которая описывает поведение потребителя с его субъективными предпочтениями, удается установить
важные результаты. Тем более такой подход может объективно
оценить поведение производителей.
Несмотря на то, что модель Кобба-Дугласа установлена для
макроэкономических функций, нет оснований считать, что ее нельзя использовать для описания микроэкономических функций,
в частности производственных. Поэтому вполне обоснованно
модель Кобба-Дугласа можно использовать для описания производственных функций отдельных производств:
n
a
i
XkY
=
(4.1)
.
i
=∏1
i
В главе 3 разработан метод вычисления коэффициентов этого
уравнения на основе трех условий нормировки, что делает модель
Кобба-Дугласа практичной.
Уравнение бюджетного ограничения имеет такой же вид, как и
бюджетное уравнение потребителя, для особых видов товаров –
факторов производства:
n
CPY
где P
– это цена фактора производства.
i
=
(4.2)
,
i
i
=∑1
i
Вычислим маржинальные величины дифференцированием
производственной функции и бюджетного уравнения по фактору
производства.
Вначале вычисляем маржинальные продукты:
X
∂
X
=
i
Y
∂
1
Douglas P. H. Are there Laws of Production? // Amer. Econom. Rev. 1948. Vol. 38.
№ 1. March. P. 1–41; Дуглас П. Существуют ли законы производства? // Теория пот-
ребительского поведения и спроса. Экономическая школа. – СПб. – Т. 3. – 1999.
a
i
(4.3)
X
=⋅
Y
i
i
201
Теперь находим маржинальные ограничения:
C
=
i
C
∂
∂
=
YY
∂
∂
ii
⎛
⎜
⎝
PY P
ii
=∑1
i
⎞
=
.
⎟
i
⎠
n
Подставим маржинальные величины в результат оптимизации
(3.10):
a
i
=⋅
PYaPY
iinnn
Перепишем это уравнение следующим образом:
a
= .
ii
a
i
n
PY
nn
PY
Суммируем такие уравнения по всем факторам производства:
n
PY
=
∑∑
ii
==
11
i
PY
nn
a
n
a
.
i
n
i
Сумма в левой части – это бюджетное ограничение, следова-
тельно:
a
i
Y
=⋅⋅
i
∑
(4.4)
aCP
ii
В соответствии с этим уравнением величина любого фактора
производства прямо пропорциональна показателю степени
фактора производства, бюджетному ограничению и обратно
пропорциональна цене фактора производства и сумме показателей степени для всех факторов производства. По анало-
гии с функцией спроса на товары полученное уравнение может
считаться функцией спроса Маршалла на факторы производс-
тва. Уравнение позволяет найти значения факторов производства
при оптимизации производственной функции или бюджетного
ограничения.
Подставив значение фактора производства из уравнения спроса (4.4) в уравнение Кобба-Дугласа (4.1), после простых преобразований получим:
a
XkC
∑
=
⎛
a
1
i
∏
⎜
Paa
⎝
i
⋅
i
⎞
i
(4.5)
⋅
⎟
∑
⎠
i
Уравнение устанавливает связь производственной функции и
заданного бюджетного ограничения. В соответствии с этим уравнением по известным ценам на факторы производства и заданному бюджетному ограничению можно найти объем производства.
202
Это же уравнение по заданному объему производственной функции позволяет найти бюджетное ограничение.
Полученное уравнение (4.5) называется уравнением непря-
мой производственной функции, выраженной через цены факторов производства, а не их количества (4.1). Особо отметим, что
уравнение для непрямой производственной функции справедливо только для оптимизированных производственной функции и
бюджетного ограничения, т. е. для связанных производственной
функции и бюджетного ограничения.
В соответствии с результатами, полученными в главе 3, реальное материальное производство не может быть адекватно описано
производственными функциями с произвольными коэффициентами a
. На любом материальном производстве выполняется закон
i
сохранения массы, который требует, чтобы сумма показателей
степени в уравнении Кобба-Дугласа была равна единице:
n
∑
=
i
(4.6)
a
=
11.
i
Это уравнение представляет собой первое условие нормировки уравнения Кобба-Дугласа и является следствием закона сохранения массы.
С учетом этого условия уравнение спроса (4.4) принимает форму
C
Ya
=⋅
ii
(4.7)
P
i
В соответствии с этим уравнением величина фактора производства прямо пропорциональна бюджетному ограничению и обратно пропорциональна цене фактора производства.
Первое условие нормировки (4.6) формулы Кобба-Дугласа
позволяет представить уравнение непрямой производственной
функции (4.5) так:
a
i
a
⎛
⎞
i
XkC
=
∏
⎜
⎝
(4.8)
⋅
⎟
P
⎠
i
Это же уравнение можно представить в другом виде:
a
i
P
⎛
∏
⎞
i
(4.9)
⎜
⎟
a
⎝
⎠
i
X
C
=
k
Рассмотрим несколько примеров в качестве иллюстрации полученных результатов экономической оптимизации.
203
Пример 1.
Дано: бюджетное ограничение С = 1800, цены факторов про-
изводства P
ба–Дугласа k = 20 и a
= 20, P2 = 40, P3 = 10 и коэффициенты формулы Коб-
1
= a2 = a3 = 1/3.
1
Найти: значения факторов производства и производственной
функции.
Решение 1. Значения факторов производства находим из уравнения спроса:
1800
YYY
123
320
30
==⋅==⋅=,,.
⋅
1800
340
15
1800
310
60=
Ответ 1: Y1 = 30; Y2 = 15; Y3 = 60.
Решение 2. Объем производства вычисляем подстановкой зна-
чений факторов производства в уравнение Кобба-Дугласа (4.1):
X =⋅⋅
()
13 13//
=
()
=⋅=20 30 15 60 20 27000 20 30 600
,
или исходных данных в уравнение непрямой производственной
функции (4.5):
X =⋅ ⋅
1800
(
3120 40 10
⋅⋅
13/
12000
==20
)
20
600
.
Ответ 2: X = 600.
Пример 2.
Дано: объем производства X = 600, цены факторов производс-
тва P
= 20, P2 = 40, P3 = 10 и коэффициенты формулы Кобба–Дуг-
1
ласа k = 20 и a
= a2 = a3 = 1/3.
1
Найти: бюджетное ограничение и величины факторов производства.
Решение 1. Бюджетное ограничение находим из уравнения
(4.8):
600
C =⋅ ⋅⋅
3 20 40 10 90 8000 90 20 1800
()
20
1
3
==⋅=
1
3
() .
Ответ 1: C = 1800.
Решение 2. Значения факторов производства находим из урав-
нения спроса (4.7):
1800
YYY
123
320
30
==⋅===,, .
⋅
1800
340
15
1800
3
60=
Ответ 2: Y1 = 30; Y2 = 15; Y3 = 60.
204
Пример 3.
Дано: бюджетное ограничение C = 34992, цены факторов про-
изводства P
ба–Дугласа k = 18 и a
Найти: факторы производства и объем производства.
Решение 1. Значения факторов производства находим из урав-
нения спроса (4.7):
= 243, P2 = 144, P3 = 1 и коэффициенты формулы Коб-
1
= 1/6, a2 = 1/3; a3 = 1/2.
1
34992 34992
YYY
123
6 243
⋅
Ответ:
Решение 2. Объем производства вычисляем подстановкой зна-
чений факторов производства в уравнение Кобба-Дугласа (4.1):
или исходных данных в уравнение непрямой производственной
функции (4.5):
Ответ 2: X = 17496.
Пример 4.
Дано: производственная функция X = 960, цены факторов про-
изводства P
ба–Дугласа k = 8 и a
Найти: бюджетное ограничение и факторы производства.
Решение 1. Бюджетное ограничение находим из уравнения
(4.8):
YYY
123
X =⋅
= 16, P2 = 32, P3 = 1 и коэффициенты формулы Коб-
1
C =⋅⋅
24
==⋅==⋅=
;.
3 144
24 81 17396===;.;
X =⋅ ⋅ ⋅ =18 24 81 17396 17396
34992
960
8
16 13 12// /
16 13 12
///
1
(
1
()
)
⋅
6 243
= 1/5; a2 = 2/5; a3 = 2/5.
15
/
516
⋅
⋅
(
⋅
532
(
81
1
⋅
3 144
25 25
)
2
34992
;
//
21
1
⋅
)
⋅
(
)
(
⋅
21
5
=
2400
)
2
17396=
,
=18
17496
.
.
Ответ 1: C = 2400.
Решение 2. Значения факторов производства находим из урав-
нения спроса (14.7):
2400
YY Y
12 3
516
Ответ 2:
30
==
⋅
YYY
30 30 960===,, .
123
2 2400
⋅
532
⋅
30
==⋅=,, .
2 2400
5
960=
205
Аналогично можно решить и иные задачи с более сложными
производственными функциями.
4.5. Принцип замещения факторов производства
В разделе 2.8 главы 2 обоснован и доказан принцип замещения
товаров в рамках простой модели Кобба-Дугласа. Факторы производства также являются товарами, поэтому для них тоже должен
существовать принцип замещения. Однако из-за различия полезности как ординалистской функции и объема производства как
кардиналистской функции существуют различия в доказательстве принципа замещения факторов производства. Это касается и
модели производственной функции, которая является нормированной, в отличие от полезности.
Для доказательства принципа замещения факторов производства можно ограничиться простейшей моделью Кобба-Дугласа с
учетом первого условия нормировки (4.6):
12
XYY
=
CPYPY
=+
Рассмотрим два варианта замещения товаров.
1) Замещение при постоянных издержках (
Дифференцируем функцию Кобба-Дугласа и бюджетное уравнение:
/
12
Y
1
dX
Подставим величину
2
=⋅ +⋅
/
12
2
Y
1
dY
2
из второго уравнения в первое, т. е.
dY
2
формируем дифференциал связанной производственной функции:
/
()
12
11 2 2
dY
=−
;
.
Y
1
1
2
Y
P
1
dY
.
1
P
2
/
12
1
/
12
2
dY
Cconst=
;
2
).
P
dR
1
//
2
YY
1122
12
⎛
YY
⎜
21
⎝
1
P
2
⎞
(5.1)
dY=−
.
⎟
1
⎠
В соответствии с критерием экстремума частная производная
связанной производственной функции (выражение перед
равна нулю, тогда:
DD
PY PY
= ,
11 2 2
DD
где
– оптимальные количества факторов производства.
YY
;
12
206
dY
)
1
Постоянство бюджетного ограничения означает:
PY PY PY PY
+=+
11 2 2 11 22
DD
.
Два последних уравнения позволяют получить:
P
1
YYY
P
2
D
2=−
122
и представить уравнение (5.1) в таком виде:
dR
1
12
//
YY
1122
Если первый фактор производства замещает второй, то его количество возрастает
dY10>
, а второго – уменьшается
D
YYdY=−
().
22 1
(5.2)
D
YY
22
0−<
,
поэтому правая часть уравнения (5.2) – это отрицательная величина:
dR < 0.
Если второй фактор производства замещает первый, то его
количество увеличивается
dY10<
. Следовательно, правая часть уравнения (5.2) – это отри-
D
YY
22
, а первого – уменьшается
0−>
цательная величина.
Таким образом, оба вида замещения факторов производства
дают один результат: замещение факторов производства ведет
к уменьшению связанной производственной функции при заданном бюджетном ограничении.
Результат очевиден, поскольку связанная производственная
функция имеет максимум при некоторых значениях переменных,
а при любых иных значениях переменных, т. е. при замещении
факторов производства, связанная производственная функция
будет меньше.
Ранее показано, что максимальное значение связанной производственной функции равно наибольшему значению свободной
производственной функции при тех же значениях переменных,
поэтому при любых иных значениях переменных, т. е. при замещении факторов производства, свободная производственная функция также будет меньше:
dX < 0.
(5.3)
Итак, замещение факторов производства ведет к уменьше-
нию объема производства при постоянном бюджетном ограничении.
207
2) Замещение при постоянном объеме производства (
⎝
⎠
X =
const= ).
Дифференцируем формулу Кобба-Дугласа и бюджетное уравнение:
Y
2
dY
=−
2
11 2 2
1
Y
1
из первого уравнения во второе, т. е.
Подставим величину
dY
dC P dY P dX
=+;.
dY
2
формируем дифференциал связанного бюджетного ограничения:
Y
⎛
dM P P
⎜
12
⎞
2
(5.4)
dY=−
.
⎟
1
Y
1
В соответствии с критерием экстремума частная производная
связанного бюджетного ограничения (выражение в скобках) равна нулю, тогда
DD
PY PY
= .
11 2 2
Постоянство производственной функции означает:
DD
YY YY
= .
12 12
Два последних уравнения позволяют получить:
2
⎛
Y
2
P
=
2
Y
1
⎞
Y
2
P
⎜
⎟
1
D
Y
⎝
⎠
2
и представить уравнение (5.4) в таком виде:
D
()
()
Y
⎤
+
2
D
2
D
YYdY=
()
22 1
⎥
⎦
−
(5.5)
dM
⎡
PY Y
12 2
⎢
⎣
с положительной величиной в квадратных скобках.
Если второй фактор производства замещает первый, то его количество возрастает
D
YY
−<
22
, а первого – уменьшается
0
dY10< .
Следовательно, правая часть уравнения (5.5) величина положительная:
dM > 0.
Если первый фактор производства замещает второй, то его
количество увеличивается
D
YY
−>
22
. Произведение двух отрицательных величин дает вели-
0
dY10>
, а второго – уменьшается
чину положительную, т. е. и в этом случае справедливо установленное неравенство.
208
Таким образом, независимо от вида замещения результат оди-
наков: замещение факторов производства требует увеличе-
ния бюджетного ограничения для сохранения постоянного
объема производства.
Этот результат также очевиден, поскольку связанное бюджетное
ограничение имеет минимум при определенных значениях переменных, поэтому при любых иных значениях факторов производства, т. е. при их замещении, бюджетное ограничение будет больше.
Ранее установлено, что минимальное связанное бюджетное ограничение равно наименьшему значению свободного бюджетного
ограничения при тех же значениях факторов производства, поэтому при любых иных значениях факторов производства, т. е. при
их замещении, свободное бюджетное ограничение должно быть
больше:
dC > 0.
(5.6)
Итак, замещение факторов производства требует увели-
чения бюджетного ограничения для сохранения постоянным
объема производства.
Объединив полученные результаты, выраженные неравенствами (5.3) и (5.6), сформулируем принцип замещения факторов
производства: любое замещение факторов производства ведет
к уменьшению объема производства при неизменном бюджетном ограничении либо требует увеличения бюджетного ограничения для сохранения неизменным объема производства.
Принцип замещения факторов производства установлен на основе простой двухфакторной модели производства. Этот принцип
можно доказать для производства любой факторности, однако в
этом нет смысла, поскольку уже полученного результата достаточно, чтобы подойти к проблеме замещения факторов производства
иначе, чем это принято в современной экономической теории.
Для иллюстрации принципа замещения факторов производства
рассмотрим несколько примеров. Сразу отметим, что решение подобных задач для случаев, когда количество факторов превышает
2, оказывается непростым. Это иллюстрация известного парадокса: решение интуитивно очевидное, а получить решение нелегко.
С другой стороны, разработанный аналитический метод оптимизации позволяет находить решения относительно простым образом.
Пример 5.
Д
ано: объем производства X = 600, бюджетное ограничение С =
= 1800, цены на факторы производства P
= 40, P2 = 200, P3 = 1 и
1
209
коэффициенты формулы Кобба-Дугласа k = 20, a
второй фактор производства замещается до величины
= a2 = a3 = 1/3;
1
Y
5=
2
Найти:
1) количества факторов производства и объем производства
при неизменном бюджетном ограничении;
2) количества факторов производства и бюджетное ограниче-
ние при постоянном объеме производства.
Решение 1. Выпишем производственную функцию и бюджетное уравнение, используя исходные данные:
13
XYY=⋅20 5
();
YY+= .
40 800
13
/
13
(5.7)
(5.8)
Решение (3.10) оптимизационной задачи уже получено методом Лагранжа и аналитическим методом.
Вычисляем маржинальные продукты и ограничения:
13
/
Y
20
13
X
/
5
1
3
;;;
23
/
3
Y
1
13
X
/
5
2
20
3
13
/
Y
1
CC
13
23
/
Y
3
40 1=⋅ =⋅ ==
..
Подставим эти величины в результат оптимизации (3.10) и
после преобразований получим уравнение экстремума:
YY
40= .
31
Решая это уравнение совместно с (5.8), имеем:
YY
10 400==;.
13
Подставляя полученные значения в уравнение (5.7) находим:
13
X =⋅⋅⋅ =20 5 10 500 542 88
(),.
/
.
Ответ 1:
YY X
10 400 542 88== =;;,.
13
Решение 2. Выпишем бюджетное уравнение и уравнение постоянной производственной функции, используя исходные данные:
CY Y=+⋅+40 200 5
13
YY
5400= .
13
;
(5.9)
Вычисляем маржинальные ограничения и продукты:
CCXYXY
40 1====;;;.
131331
Подставим эти величины в результат оптимизации (3.10) и
после преобразований получим уравнение экстремума:
40
YY
= .
13
210
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]