Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
С. А. Судариков, Н. Г. Грек, К. А. Бахренькова
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ
ОПТИМИЗАЦИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Минск
«ТетраСистемс»
УДК 519.86(075.8)
ББК 65.050я73
С89
А в т о р ы: кандидат химических наук, доцент, профессор кафедры менеджмента экономического факультета Белорусского государственного университета С. А. Судариков; кандидат экономических наук, доцент кафедры
менеджмента экономического факультета Белорусского государственного
университета Н. Г. Грек; доктор философии в логистике К. А. Бахренькова
Судариков, С. А.
С89
Экономическая оптимизация: теория и практика / С. А. Су-
дариков, Н. Г. Грек, К. А. Бахренькова. – Минск : ТетраСистемс,
2012. – 320 с.
ISBN 978-985-536-333-1.
Издание посвящено теории и практике экономической оптимизации и
может быть использовано для решения конкретных экономических задач
производства и потребления, а так же при изучении оптимизационного, производственного, инновационного, стратегического менеджмента, линейного и
нелинейного математического программирования.
Адресуется студентам и преподавателям экономических и смежных специальностей вузов, сотрудникам научно-исследовательских и прикладных институтов, руководителям, менеджерам, экономистам предприятий и организаций
производственной и непроизводственной сферы, всем лицам, интересующимся
современными оптимизационными подходами в экономике.
УДК 519.86(075.8)
ББК 65.050я73
Учебное издание
Судариков Станислав Анатольевич, Гр е к Наталья Георгиевна,
Бахренькова Кристина Александровна
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Ответственный за выпуск А. Д. Титов
Подписано в печать с готовых диапозитивов 28.06.2012. Формат 60×84
Бумага для офсетной печати. Печать офсетная. Усл. печ. л. 18,6. Уч.-изд. л. 15,1.
Тираж 1500 экз. Заказ
Научно-техническое общество с ограниченной ответственностью «ТетраСистемс».
ЛИ № 02330/0494056 от 03.02.2009. Ул. Железнодорожная, д. 9, 220014, г. Минск.
Тел. 219-74-01, e-mail: rtsminsk@mail.ru, http://www.ts.by.
Республиканское унитарное предприятие «Издательство “Белорусский Дом печати”».
ЛП № 02330/0494179 от 03.04.2009. Пр-т Независимости, 79, 220013, г. Минск.
ISBN 978-985-536-333-1 © Судариков С. А., Грек Н. Г.,
Бахренькова К. А., 2012
© Оформление. НТООО «ТетраСистемс», 2012
1
/16.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Издание основано на содержании нескольких курсов лекций,
прочитанных студентам различных экономических специальностей на экономическом факультете Белорусского государственного
университета и факультете экономики и информатики Университета Мольде (Норвегия), и может быть использовано при изучении основных вопросов оптимизационного, производственного,
инновационного, стратегического менеджмента, исследования
операций, а также для решения конкретных экономических задач
производства и потребления.
Основным инструментом экономической оптимизации служит
аналитический метод, разработанный и обнародованный авторами в 2005 г. Этот метод позволил упростить решение множества
экономических задач по сравнению с методом Лагранжа. Кроме
того, аналитический метод оптимизации применим к любым нелинейным и линейным функциям в рамках любого количества
ограничений в виде неравенств и (или) равенств.
В главе 1 кратко изложено существо аналитического метода
оптимизации. Метод иллюстрируется решением учебных задач,
которые сопоставляются с решениями, полученными численными методами и традиционными методами оптимизации. Читатель, проявивший интерес к существу и реализации аналитического метода, получит мощный инструмент решения множества
прикладных экономических задач.
В главе 2 рассматривается применение аналитического мето-
да для решения ряда задач теории потребления. Аналитический
метод позволил просто и наглядно установить, что свободная полезность не имеет экстремумов, а связанная полезность может их
иметь. Обоснован принцип замещения товаров, в соответствии с
которым любое замещение товаров ведет либо к уменьшению полезности, либо требует увеличения бюджета потребителя. Принцип замещения товаров позволил установить ряд новых результатов, не известных экономической теории.
В главе 3 изложен синергетический метод оптимизации про-
изводства, основанный на законе определенных отношений факторов производства, являющемся следствием фундаментальных
законов сохранения массы и энергии. Синергетический метод
обеспечивает более высокую степень эффективности реального
производства в сравнении с экономическим методом и не нуждается в знании явного вида производственной функции.
3
В главе 4 рассматривается экономическая оптимизация произ-
водства при оптимальных соотношениях факторов производства.
Принцип замещения товаров распространен на замещение факторов производства. В соответствии с этим принципом замещение
факторов производства ведет к снижению объема производства
или к увеличению переменных издержек производства.
Глава 5 посвящена анализу ряда теоретических и прикладных
оптимизационных задач. Внимание уделено теории экономического равновесия Вальраса, господствующей в экономической теории производства. С теорией экономического равновесия оказалась тесно связана «оптимальность по Парето». Синергетический метод оптимизации производства позволил установить, что
в рамках модельных функций спроса оптимальность по Парето,
понимаемая как равенство благ потребителя и производителя,
достигается при максимизации прибыли. Рассмотрены причины
устойчивости экономического равновесия. Установлен ряд новых
результатов и разработаны методы вычисления максимальной
или наибольшей прибыли при различных рыночных условиях.
Внимание уделено проблемам монополизма и конкуренции, в том
числе олигопольной. В заключение главы рассмотрен межотраслевой баланс, его проблемы и недостатки. Предложен новый межотраслевой баланс, соответствующий закону сохранения массы
на материальном производстве, который применим в рыночных
условиях. Установлено, что объем общественного потребления
равен объему использованных природных сырьевых ресурсов
в рамках безотходных производств. В остальных случаях объем
общественного потребления равен разности объема использованных природных сырьевых ресурсов и объема образующихся в отраслях отходов.
Издание может быть использовано для решения конкретных
экономических задач производства и потребления, а также при
изучении основных вопросов оптимизационного, производственного, инновационного, стратегического менеджмента, элементов
исследования операций и т. д.
Авторы надеются, что полученные и изложенные в издании
результаты окажутся полезными руководителям, менеджерам,
экономистам предприятий и организаций производственной и
непроизводственной сферы, студентам и преподавателям экономических и смежных специальностей вузов, сотрудникам научно-исследовательских и прикладных институтов, всем лицам,
интересующимся современными оптимизационными подходами
в экономике.
4
Глава 1
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
1.1. Общие положения
Оптимизация систем, процессов, операций, функций является одной из основных задач естественных, технических и общественных наук. Долгое время специфические методы оптимизации были характерны для каждой из наук, особенно в прикладных
областях. Начиная с середины прошлого века, стала складываться
научная дисциплина «исследование операций», в которой разрабатывались общие и частные методы оптимизации для решения
множества разнообразных прикладных задач.
При становлении дисциплины «исследование операций» разрабатывались подходы, расширяющие возможности метода неопределенных множителей Лагранжа на нелинейные функции с
произвольными ограничениями. В предвоенные и последующие
годы разрабатывались методы линейного программирования, которые имели и имеют широкое применение, в том числе и в экономике. Помимо нелинейного и линейного программирования, во
второй половине XX в. были разработаны и иные оптимизационные методы, которые позволили решать еще более широкий класс
оптимизационных задач.
Оптимизационные методы особенно важны для экономики,
поскольку на большинство реальных экономических систем и
процессов налагаются разнообразные ограничения, прежде всего
ресурсные. Кроме того, на реальные производственные системы
налагаются ограничения фундаментальными законами природы,
прежде всего законом сохранения энергии, законом сохранения
массы, законом энтропии.
Многие экономические задачи могут быть решены известными
методами нелинейного и линейного программирования. Однако
в некоторых случаях общепринятые методы оптимизации оказываются весьма сложными и не достаточно точными даже при использовании специализированных компьютерных программ.
Вычислительная сложность методов нелинейного и линейного
программирования стимулировала разработку новых оптимизационных методов.
5
В 2005 г. авторами обнародован аналитический метод нели-
1
нейной оптимизации
, отличающийся исключительной вычислительной простотой. Впоследствии метод расширен на
любое количество ограничений в виде неравенств и (или) равенств.
Некоторые результаты нелинейной оптимизации позволили разработать аналитический метод линейной оптимизации, который позволяет решать обычные задачи линейного
программирования гораздо проще, чем стандартные методы, в
частности симплекс-метод.
В этой главе относительно подробно излагаются алгоритмы
аналитической оптимизации нелинейных и линейных систем. Алгоритмы иллюстрируются решениями примеров и их сравнением
с решениями, полученными иными методами. Правильность решений проверялась численными методами с помощью компьютерной программы Maple фирмы Waterloo Maple Inc. Следует под-
черкнуть, что все решения, полученные аналитическим методом,
во всех случаях подтверждены численными решениями, тогда как
традиционные методы во многих случаях дают ошибочные результаты.
Несомненно, ошибки в решениях учебных задач ставят под
сомнение существо признанных методов оптимизации, тогда как
ошибки в решениях реальных задач влекут тяжелейшие последствия, поскольку традиционные методы часто не оптимизируют, а
дисбалансируют процессы и системы.
1.2. Критерии экстремумов функций
Оптимизация процессов, функций является одной из важнейших задач ряда прикладных дисциплин. Методы оптимизации
могут существенно различаться, но большинство из них основано
на нахождении экстремумов функций, на которые налагаются те
или иные ограничения. Методы нахождения экстремумов и их видов для функций без ограничений разработаны в XVII–XVIII вв.
и нашли отражение в большинстве курсов высшей математики.
Классические методы установления экстремумов функций
и их видов в той или иной мере используются при оптимизации
функций с ограничениями, поэтому целесообразно кратко рассмотреть критерии экстремумов и их видов.
Дифференциал функции F независимых переменных x
вид
1
Судариков С. А., Грек Н. Г., Бахренькова К. А. Экономика и интеллектуальная
собственность. – М.: Издательство деловой и учебной литературы, 2005. – 512 c.
6
имеет
i
n
dF F dx
=
∑
ii
=
1
i
(2.1)
,
где Fi – первые частные производные функции, которые в экономике обычно называются маржинальными величинами
F
∂
F
i
(2.2)
=
⋅
x
∂
i
Классические критерии экстремума функции выражаются
совокупностью уравнений экстремума вида
(2.3)
Fi= 0
для каждой независимой переменной.
Решение системы уравнений экстремума позволяет получить
значения переменных x
, при которых функция имеет экстремум,
i
а подстановка этих значений в явную форму функции позволяет
найти численное значение экстремума.
Критерий вида экстремума функции формально прост:
1) функция имеет максимальное значение, если ее дифферен-
циал второго порядка меньше или равен нулю:
dF20≤ ;
(2.4)
2) функция имеет минимальное значение, если ее дифферен-
циал второго порядка больше нуля:
dF20> .
(2.5)
Критериям вида экстремума можно придать более практичный
вид, если вычислить дифференциал второго порядка
2
dF ddF
= (),
используя уравнение (2.1):
n
dF
∂
2
dF
()
=
∑∑ ∑∑
x
∂
k
== ==
11 11
k
n
dx dx
=
kk
∂
k
∂
() xx
x
k
n
dF dx
=
k
⎛
∂
⎜
k
x
∂
⎝
i
k
n
Fd
i
⎞
⋅
⎟
i
⎠
Перепишем последнюю сумму так:
n
2
dF dx
∂
=
1
Fdx dx
∑∑ ∑
x
∂
1
== =
i
+
i
ii
1
Дифференцируем каждую сумму по переменной
n
∂
Fdx dx
+⋅⋅⋅+
2
x
∂
2
inni
i
11
n
∂
x
∂
i
x
i
F
ddx
i
при посто-
.
янстве иных переменных с учетом правила Юнга для смешанных
частных производных второго порядка:
FF
= ,
ik ki
т. е. независимости результата дифференцирования от его порядка:
7
⎞
⎛
∂∂∂
F
=
ik
⎜
xFxxFx
∂
⎝
i
⎟
⎠
kk
=
⎛
∂∂∂
⎜
⎝
⎞
= .
F
⎟
∂
ki
⎠
i
Таким образом, можно получить:
2
d F dx F dx F dx F dx dx F dx F dx F dx
= + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅()( ))
1 11 1 12 2 1 2 12 1 22 2 2
().
+ + ⋅⋅⋅ dx F dx F dx F dx
nn n nnn1122
nn nn
+⋅⋅⋅
Для простоты ограничимся функциями трех переменных
2
d F dx F dx F dx F dx dx F dx F dx F dx
=++
()
+dx F dx F dx F dx
1111 122 13 3 2 211 22 2 233
()
2211 222 233
++
+++
()
+
.
Представим это уравнение в таком виде:
F
2
dF F dx
⎛
=++
⎜
11 1
⎝
12
dx
F
11
FFF FFF
11 22 33 12 13 23
+
F
13
2
F
11
2
+
2
FF F
⎞
dx
FF F
11 22 12
+
⎟
3
⎠
−−−−
FF FF F F
11 23222 13233 12
−
11 22 12
2
⎛
−
F
11
2
F
FFF
−
1
dx
⎜
⎝
3312 1123
−
2
FF F
11 22 12
2
−
().
dx
3
2
⎞
⎟
2
⎠
2
Вводя обозначения
dx
F
2
F
13
;
dx A dx
32 2
11
F
Adx
=+ + =−
11
12
F
11
FF FF
−
13 12 11 23
FF F
11 22 1
2
−
22
;, Adx=
33
предыдущее уравнение можно представить так:
2
=+
dF FA
2
FFF FFF FF
11 22 33 12 13 23 11 23
+
+−−−−
FF F
2
11 1
FF F
11 22 12
11 22 12
F
11
2
2
−
Множители перед положительными величинами
2
+
A
2
FF FF
22 13233 12
A
2
2
.
A
3
2
называются
i
2
−
определителями Хессе или хессианами первого, второго и третьего порядка:
HF
=
;
111
FFF
11 12 13
H
FFF
=
3
12 22 23
F
332333
1
H
FF
FF
11 12
==−
2
FF
12 22
FFF FFF FF F F FF=+ −−−.
11 22 33 12 13 23 11 23222 13233 12
FF F
11 22 12
2
2
;
2
С введением хессианов получаем уравнение
2
dF HA
=+ + ⋅
2
11
H
H
H
H
2
3
A
3
2
2
2
A
2
1
+
8
Поскольку величины
AAA
12223
,,
2
положительны, то знак дифференциала второго порядка определяется знаками определителей
Хессе.
В случае максимума функции дифференциал второго порядка равен или меньше нуля (2.4), поэтому хессианы должны иметь
разные знаки:
HHH
000≤≥≤;;.
123
(2.6)
Аналогичный результат справедлив для функций любого числа переменных: функция имеет максимум, если хессианы не-
четного порядка отрицательны, а четного – положительны.
В случае минимума функции дифференциал второго порядка
больше нуля (2.5), поэтому все хессианы положительны:
HHH
000>>>;;.
123
(2.7)
Этот результат справедлив для функций любого числа переменных: функция имеет минимум, если хессианы положительны.
В качестве иллюстрации использования классических критериев экстремума и их видов рассмотрим несколько простых примеров.
Пример 1.
Дано: функция
2
Fx xx x=− + − +
46.
1
1222
Найти: величину и вид экстремума функции.
Решение. Находим первые частные производные функции и
уравнения экстремума:
Fx Fx
42 0 62=− = =−; =0.
11 2 2
Решение системы уравнений экстремума дает значения величин
и величины экстремума функции F:
xx
,
12
xxF
2313===;; .
12
Вторые частные производные функции имеют значения
FFFF
200 2=− = = =−;;;
11 12 21 22
и позволяют найти значения хессианов:
20
−
HF H
111 2
20
0
40==−< =
=>;.
2
−
В соответствии с критерием вида экстремума функция имеет
максимум.
Ответ: F = 13 (максимум).
9
Пример 2.
Дано: функция
132
3
3.
12
Fx x xx=+−
Найти: величину и вид экстремума функции
Решение. Находим первые частные производные функции и
уравнения экстремума:
Fxx Fxx
330 33=−= =−; =0.
11222221
Решение системы уравнений экстремума дает значения величин
и величины экстремума функции F:
xx
,
12
xxF
11 1===−;; .
12
Вторые частные производные функции имеют значения
FF F F
6336==−=−=;;;
11 12 21 22
и позволяют найти значение хессиана:
3
−
HF H
111 2
60
6
−
3
6
27 0==> =
=>;.
В соответствии с критерием вида экстремума функция имеет
минимум.
Ответ:
F =−1
(минимум).
1.3. Мир ограничений
Ограничения свойственны природе, обществу и человеку.
Много говорят о свободе и независимости, но редко понимают,
что нет ни свободы, ни независимости: все зависимы от обстоятельств, случайностей, законов природы, общества и юриспруденции. Известное утверждение, что «свобода – это осознанная необходимость», подтверждает, что жизнь человека полна ограничений. Философское определение свободы подчеркивает основную
мысль: человек может быть свободным для тех или иных дел, если
он следует ограничениям, налагаемым объективными законами
природы, общества и субъективными юридическими законами.
Только в этом случае он оказывается относительно свободным, а
не уходит в иной мир или в мир с еще более жесткими и жестокими ограничениями. Ни богатство, ни власть, ни ум не могут оградить человека от ограничений реального мира.
Существование ограничений признается в экономике. В соответствии с одним из определений экономика – это наука, иссле-
дующая поведение людей в процессе производства, распределения
и потребления материальных благ и услуг в мире ограниченных
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]