Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
Решение. Из системы ограничений следует
12
x
2
Ответ:
100 61//,=
поэтому
xx
F = 563 044,.
5 877 2 687==,; ,
12
и
12
x
148 61//;=
1
F = 563 044,.
Пример 18.
Дано: функция с ограничениями
Fx x
=−+−
()( );
1
xx
−+ =
12
xx
+≤
12
1
2
12
;
1
.
2
2
2
Найти: оптимизированные значения функции.
Решение. Целевая функция имеет экстремум, который легко
установить:
dF x dx x dx=− +−()().22 24
112 2
Привлекая условия экстремума, получаем два уравнения экстремума:
220240
xx−= −=;,
12
откуда имеем
xx
12==;
12
, что не соответствуют второму ограни-
чению.
Для соответствия ограничениям можно поступить так.
Сложив ограничения, имеем
ничения получаем
x112= /
x232= /
. В таком случае
, тогда из первого огра-
F =12/.
Последовательно исключаем из ограничений переменные.
x
да
При
1
При
F = 2.
.
1=−
не выполняется условие неотрицательности для
x20=
x10=
имеем
, что соответствует ограничениям, тог-
x21=
Полученные результаты позволяют установить, что целевая функция имеет наименьшее значение
xx
12 32==/; /
12
Ответ:
F = 2
и наибольшее значение
и
F =12/
.
F = 2
F =12/
при
xx
01==;
12
при
.
Пример 19.
Дано: функция с ограничениями
Fx xxx
=+ +≤
34 25
12122
xx
1 Winston W. L. Operations Research: Applications and Algorithms. Belmont.
Duxbury Press. 2003. P. 679.
2 Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. –
СПб.: Лань, 2011. – С. 281–282.
2
;;
12
2
≥
4
.
51
Найти: оптимизированные значения функции.
Решение. Находим уравнения экстремума при оптимизации це-
левой функции с каждым из ограничений:
3 4
22
xx xx
xx
340
21
==
12 21
−=
3 4
;;
00
; 3 4 0
xx−=.
12
Решим первое уравнение экстремума с первым ограничением,
тогда
тому
xx
34==;,
12
F = 25.
нения экстремума с учетом величины минора
что соответствует второму ограничению, поэ-
Найдем хессиан дифференцированием первого урав-
:
2
H
1
1
∂
xx
2
∂
2
Mx= 2
xx
34
−
()
21
1
=− < .
2
0=⋅
Следовательно, связанная функция имеет максимум, а целевая функция наибольшее значение
F = 25
при
xx
34==;.
12
Решим второе уравнение экстремума со вторым ограничением,
в таком случае
xx
43231 3173== ==/,; ,,
12
поэтому
F =13 86,.
Найдем хессиан дифференцированием второго уравнения экстремума с учетом величины минора
1
H
1
∂
xx
()
∂
11
xx
34
Mx=
−
12
:
1
3
=>.
30=⋅
4
Следовательно, связанная функция имеет минимум, а целевая
функция наименьшее значение.
Ответ:
FR==25
и
FR==13 86,
.
Пример 20.
Дано: функция с ограничениями
Fxx xxx xx
=++ +≤ +≤
12223212 13
xx x
≥≥≥
120
;;.
12 3
1
25 2
;;;
Найти: оптимизированные значения функции.
Решение. Ограничения задают значения переменных x
и x2, по-
1
этому определитель и уравнение экстремума имеет такой вид:
222
xxx
123
2 1
00
=
1 0 1
20
xxx
−−=;.
123
1
Таха Х. А. Введение в исследование операций. – 7-е изд. – М.: Вильямс,
2005. – С. 794–795.
52
Решая уравнение экстремума с первым и вторым ограничениями-равенствами, получаем
xxx
210===;;
123
. Значение второй
переменной не соответствует четвертому ограничению.
Воспользуемся третьим ограничением-равенством, т. е.
тогда из первого и второго ограничения имеем
xx
23
соответствует четвертому ограничению, в таком случае
31==;
x11= ,
, что
F =11.
Воспользуемся четвертым ограничением-равенством, т. е.
, тогда из первого и второго ограничения имеем
x22=
x115= ,;
x305= , что соответствует третьему ограничению, в таком случае
F = 725,.
Наконец, воспользуемся третьим и четвертым ограничениямиравенствами, т. е.
венства имеем
x30=
xx
12==;
12
, в таком случае
, тогда из второго ограничения-ра-
.
F = 5
Таким образом, целевая функция имеет наибольшее значение
при
F =11
xx x
120== =;;.
12 3
xx x
12 3
131== =;;
и наименьшее значение
F = 5
при
Ответ:
F =11
и
F = 5
.
Пример 21.
Дано: функция с ограничениями
Fx x xx x x
=+− −−
634 23
1212122
xx
xx
23 4
12
1
+≤
1
12
;
+≤
2
;
.
Найти: оптимизированные значения функции.
Решение. Функция имеет экстремум, который легко устано-
вить:
dF x x dx x x dx=− − +− −()().64 4 34 6
211 122
Привлекая условия экстремума, получаем два уравнения экстремума:
64 4 034 6 0
−−= −−=xx xx;,
21 12
откуда
ности x
xx
315==−;,
12
.
2
Решение системы ограничений-равенств дает
что не соответствует условию неотрицательности x
При
.
F = 4
Ответ:
1
Таха Х. А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2005. – С. 819.
x10=
имеем
F = 4
, что противоречит условию неотрицатель-
xx
12
.
1
имеем
и
x21=
F = 0
и
F = 0.
При
x20=
.
392=− =;/
x11=
,
и
53
Пример 22.
Дано: функция с ограничениями
1
Fx x x
=−+
2121
xx
23 24
+≤
12
xx
+≤
12
xx
3224
+≤
12
x
6
;
;
215
;
;
4
≤
.
2
Найти: оптимизированное значение функции.
Решение. Оптимизируем целевую функцию с четвертым огра-
ничением-равенством, т. е. найдем определитель и уравнение экстремума:
−+
26
xx 1
откуда
му
F =13.
1
0 1
−+=
260
1
что соответствует остальным ограничениям, поэто-
x13= ,
=
0
;
,
Найдем хессиан дифференцированием уравнения экстремума
с учетом величины минора определителя
1
H
∂
x
1
=− < .
26 20=⋅
−+
1
()
x
1
∂
1
M = 1
:
Следовательно, связанная функция имеет максимум, а целевая функция наибольшее значение
FR==13
при
xx
34==;.
12
Оптимизация целевой функции с любым из первых трех ограничений дает
xxx
62 89 86===,; ,; ,,
222
что не соответствует чет-
вертому ограничению.
Решение каждой из трех систем с двумя ограничениями дает
что также не соответствует четвертому ограничению.
x24> ,
Ответ:
FR==13
.
Пример 23.
Дано: функция с ограничениями
Fx x x x
=− +≤
12142
xx
+≤
12
xx
≥≥
12
1
Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. –
СПб.: Лань, 2011. – С. 278–279.
2
Таха Х. А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2005. – С. 812–
813.
2
3 243
;;
2
232
21 3 5
,; , .
;
54
Найти: оптимизированные значения функции.
Решение. Целевая функция не имеет экстремума, поэтому ре-
шение необходимо искать из решения системы ограничений.
Численное решение системы из первых двух ограничений дает
x
1
, что не соответствует третьему ограничению.
299=− ,
Исключаем переменные, используя их минимальные значения.
При
x121= ,
из первого ограничения имеем
x2184 66= ,
, которое не соответствует второму ограничению. Из второго ограничения имеем
тогда
F =−177,.
При
x235= ,
x2387= ,
из первого ограничения имеем
ответствует второму и третьему ограничению, поэтому
Из второго ограничения имеем
, что соответствует третьему ограничению,
x12 989= ,
, что со-
F =−0 511,.
x175= ,
, что не соответствует пер-
вому ограничению.
Ответ:
F =−0 511,
и
F =−177,
.
Пример 24.
Дано: функция с ограничениями
Fx xx x
=+−−
24 2
12122
xx
12
xx
212
12
1
+≤
28
−≤
;
.
2
;
Найти: оптимизированное значение функции.
Решение. Исходная функция имеет экстремум, который легко
установить:
dF x dx x dx=− +−()( ).22 44
11 22
Привлекая условия экстремума, получаем два уравнения экс-
тремума:
1010
−= −=xx;,
12
откуда
xx
12
1==
.
Вычисляем хессианы дифференцированием уравнений экстре-
мума:
1
−
HF H
111 2
10
Следовательно, целевая функция имеет максимум
0
−
0
10==−< =
=>;.
1
По-
F = 3.
лученные значения переменных соответствуют ограничениям.
Ответ:
1
Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. –
СПб.: Лань, 2011. – С. 295–297.
F = 3
.
55
Пример 25.
Дано: функция с ограничениями
Fxxxx
=− + − −
28
12122
xx
12
xx
12
1
+≤
212
−≤
8
.
2
;
;
Найти: оптимизированные значения функции.
Решение. Исходная функция имеет экстремум, который легко
установить:
dF x dx x dx=−− + −()().22 84
11 22
Привлекая условия экстремума, получаем два уравнения экс-
тремума:
−− = − =102 0
xx;,
12
т. е.
xx
12=− =;,
12
Решение системы ограничений дает
что противоречит условию неотрицательности x1.
xx
28 3 4 3==/; /
12
и
F =−96 89,.
Оптимизация целевой функции с первым ограничением дает
определитель и уравнение экстремума:
−− −
22 2
xx
8
1 2
−+=
26
xx
12
тогда из первого ограничения
12
xx
12
=
0
;
,
и
06==;
F =12.
Оптимизация целевой функции со вторым ограничением дает
следующий определитель и уравнение экстремума:
−− −
xx
8
22 2
12
1
xx
−+ =
12
тогда из второго ограничения
ет условию неотрицательности.
При
целевая функция приобретает вид
x10=
,
5
xx
12
=
;
−
0
1
55 25==−,; ,,
что не соответству-
Fxx=−8
2
22
.
Дифференцирование функции и привлечение условия экстремума дает уравнение экстремума
40
−=x ,
дифференцирование
2
которого позволяет установить, что функция имеет максимум
при
F =16
При
x20=
1
Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. –
СПб.: Лань, 2011. – С. 298.
, что соответствует всем ограничениям.
x24=
из второго ограничения
x18=
и
F =−80.
56
Таким образом, наибольшее значение
имеет при
xx
28 3 4 3==/; /
12
xx
04==;,
12
а наименьшее значение
.
целевая функция
F =16
F =−96 89,
при
Ответ:
F =16
и
F =−96 89,
.
1.11. Аналитический метод линейной оптимизации
Линейное программирование представляет собой развитый
раздел исследования операций и имеет ряд методов решения задач линейной оптимизации. Однако возможен совершенно иной
подход к проблемам линейного программирования, основанный
на аналитическом методе нелинейной оптимизации, который будет кратко очерчен в данном разделе. Описание компьютерной реализации аналитического метода линейной оптимизации остается
вне содержания данного издания.
На первый взгляд, аналитический метод, как и метод Лагранжа, не может быть использован для оптимизации линейных функций и ограничений, имеющих следующий вид:
n
FaxCbx
==
;.
∑∑
ii
==
11
i
В этих уравнениях переменные зависимы и одну из них можно
исключить из целевой функции подстановкой из ограничения:
−
1
n
FaxaxCbxbx
=+ =+
∑∑
ii nn
=
1
i
Оптимизация выполняется при постоянном ограничении, поэтому после дифференцирования обеих функций получаем:
−
1
n
dF a dx a dx dx
=+ =−
∑∑
ii nn
=
1
i
Подстановка дифференциала
чения в дифференциал целевой функции позволяет получить:
n
i
;.
;.
dx
n
(11.1)
ii
−
1
n
ii nn
=
1
i
−
1
n
b
i
dx
n
=
i
i
b
n
1
из дифференциала ограни-
1
dF a a
⎛
=−
∑
⎜
⎝
i
=
1
b
in
b
⎞
i
(11.2)
dx
.
⎟
i
⎠
n
n
−
Данное уравнение по форме напоминает уравнение для полного дифференциала связанной функции, которое использовалось в
аналитическом методе оптимизации.
57
Напомним, что экстремум нелинейной целевой функции находится приравниваем нулю первых частных производных связанной функции. Поскольку эти частные производные содержали переменные величины, то из условий экстремума получались уравнения, которые совместно с ограничением образовывали систему
уравнений, решение которой давало значения переменных, определяющих величину экстремума. При таком исключении изменялась мерность и форма новой связанной функции, т. е. создавался
на ней экстремум.
В случае линейных уравнений положение иное.
1) Выражение в скобках содержит не производные функций,
а числа, поэтому какие-либо уравнения из условия экстремума
получить невозможно. Именно по этой причине классический
критерий экстремума не используется в линейном программировании, поскольку для линейных функций экстремумы в строгом
понимании отсутствуют.
2) Подстановка дифференциала переменной или самой переменной из ограничения изменяет мерность целевой функции, но
не создает экстремумы на связанной функции. Поэтому уравнение (11.2) не позволяет найти экстремальные значения линейной
целевой функции. Именно по этой причине подстановка ограничений в целевую функцию в линейном программировании не используются.
Другими словами, классические методы определения экс-
тремумов нелинейных функций не применимы для нахождения экстремальных значений линейных функций.
Тем не менее, ряд результатов, полученных при нелинейной
оптимизации аналитическим методом, можно использовать для
линейной оптимизации. Эти результаты позволяют сформулировать несколько теорем, которые составляют существо аналити-
ческого метода линейной оптимизации. Новый метод линейной
оптимизации отличается от общепринятых методов простотой и
практичностью и основан на единственной теореме, являющейся
модификацией Теорем 4, 5 и 6 аналитического метода нелинейной
оптимизации.
Теорема 7. Оптимальное значение линейной целевой функции находится из решения систем уравнений ограничений-равенств. Неравенства
Cx x x C
( , ,..., )
12
указывают
<
n
на наибольшее значение целевой функции, а неравенства
Cx x x C
( , ,..., )
12
– на наименьшее значение целевой функции.
>
n
При нелинейной оптимизации ограничения изменяли мерность и форму целевой функции, поэтому решение оптимизационной задачи зависело не только от ограничений, но и от вида
58
целевой функции. Совместное решение целевой функции и ограничений вело к формированию связанной целевой функции, имеющей экстремум. Величина и вид этого экстремума определялись
ограничениями и исходной целевой функцией.
При линейной оптимизации ограничения не создают связанной функции, поэтому оптимизационные решения определя-
ются только ограничениями-равенствами.
Для нахождения решения системы ограничений знание целевой функции не является необходимым, другими словами, для
различных целевых функций системы ограничений могут иметь
одинаковые решения.
Поскольку линейные ограничения не создают экстремумов
целевой функции, максимизация или минимизация линейной целевой функции – это нахождение наибольшего или наименьшего
значения целевой функции на основе решений систем уравнений,
образованных ограничениями-равенствами. Эти значения могут
находиться как на концах интервалов значений переменных, так
и внутри этих интервалов. Если решение систем, образованных
ограничениями, относится к значению целевой функции внутри
интервала значений переменных, то оно одновременно является
ее «максимумом» и «минимумом» («минимаксом»), поскольку на
одном конце целевой функции ее значение будет больше, а на другом – меньше значения функции, определенной внутри интервала
значений аргументов.
Содержание Теоремы 7 очевидно, поскольку найти решение
можно только из системы уравнений, образованной ограничениями-равенствами. Именно эта идея составляет существо ана-
литического метода линейной оптимизации.
В некоторых традиционных методах линейного программирования неравенства превращают в равенства добавлением к левым
или правым частям неравенств вспомогательные переменные.
Затем применяются методы решения таких усложненных систем
равенств. Такой подход аналогичен методу Лагранжа, увеличивающий количество переменных.
Следует подчеркнуть, что, как и в случае нелинейной оптимизации, вид ограничений-неравенств устанавливает наибольшее
или наименьшее значение линейной целевой функции, а именно:
1) ограничения
Cx x x C
( , ,..., )
12
указывают, что целевая фун-
≤
n
кция может иметь наибольшее значение – «максимум»;
2) ограничения
Cx x x C
( , ,..., )
12
указывают, что целевая фун-
≥
n
кция может иметь наименьшее значение целевой функции – «минимум».
59
Аналитический метод линейной оптимизации позволяет относительно легко решать задачи линейного программирования в
отличие от исключительно громоздких методов, разработанных
теорией и практикой линейного программирования.
Для иллюстрации аналитического метода линейной оптимизации рассмотрим несколько примеров, большинство из которых
уже решены классическими методами линейного программирования. Все решения проверялись с помощью компьютерной программы Maple и во всех случаях подтверждали результаты,
полученные аналитическим методом линейной оптимизации.
В то же время оказалось, что некоторые решения, полученные
стандартными методами, в частности методом симплекса, дают
результаты, не соответствующие решениям Maple, т. е. являются
ошибочными. Программа Maple стала объективным судьей, поскольку позволяет решать оптимизационные задачи численным
методом независимо от алгоритмов, используемых в том или ином
методе линейной оптимизации. Во всех случаях предполагается
неотрицательность переменных
xi≥ 0.
Рассмотрим три варианта соотношений числа переменных n и
числа ограничений m.
1) Число ограничений меньше числа переменных.
Решение может быть получено последовательным исключением
переменных для образования систем m ограничений-
nm−
равенств с m переменными. Другими словами, необходимо решить несколько систем уравнений, одна из которых может дать
наибольшее или наименьшее значение целевой функции. С формальной стороны алгоритм решения естественен и прост.
Пример 26.
Дано: функция с ограничением
Fxx
xx
3412;.
1
=− +
12
+≤
12
Найти: максимальное значение функции.
Решение. Поскольку задано одно ограничение с двумя перемен-
ными, необходимо последовательно приравнивать каждую переменную нулю и вычислять значение целевой функции.
При
тельно
из ограничения-равенства имеем
x10=
F = 3
. При
x20=
, тогда
x14=
, поэтому
x23=
F =−4.
, следова-
Таким образом, первое значение целевой функции является наибольшим, а
второе – наименьшим.
Ответ:
1
Jacques I. Mathematics for Economics and Business. N.Y. Prentice Hall. 5th. ed.
2006. P. 526–527.
F = 3
и
F =−4
.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]