Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
ресурсов, и проблемы эффективного использования ограниченных
производственных ресурсов для достижения максимального удов-
1
летворения материальных потребностей человека
. Другими сло-
вами, экономика изучает, как добиться максимального материального благосостояния общества и каждого его члена, используя
ограниченные ресурсы природы, общества и человека.
Несмотря на признание ограничений, экономисты долгое время старались понять многие экономические явления, игнорируя
ограничения, налагаемые на изучаемые явления. Вильфредо Паре-
то был одним из первых экономистов, которые пытались понять
существо экономических явлений в рамках ограничений, хотя задача оптимизации функций в рамках ограничений была решена
французским математиком и механиком Жозефом Луи Лагран-
жем еще в XVIII веке.
В большинстве случаев оптимизационные задачи представляют собой нахождение экстремальных значений целевых функций
при заданных ограничениях.
При наличии ограничений оптимизируемые функции оказываются функциями зависимых переменных. Для оптимизации
таких функций необходимо либо сделать переменные независимыми и использовать классические критерии экстремумов, либо
изменить критерии экстремумов. В настоящее время предпочитают использовать вторую возможность, например в рамках метода
неопределенных множителей Лагранжа.
Первая возможность реализуется в аналитическом методе оптимизации, которому будет уделено основное внимание в данном
издании.
В общем случае существуют три вида ограничений С (con-
straint):
1) равенства:
CCxx x
= ( , ,..., );
12
n
2) равенства и неравенства:
CCxx x
≤ ( , ,..., );
12
n
3) равенства и неравенства:
CCxx x
≥ ( , ,..., ).
12
n
Число ограничений может отличаться от числа переменных.
1
Макконелл К. Р., Борю С. Л. Экономикс: Принципы, проблемы и политика. –
М.: Политика, 1992. – Т. 1. – С. 18.
11
1.4. Метод Лагранжа
В методе Лагранжа формируется лагранжиан L добавлением
нулевой величины, образованной ограничением, умноженным на
множитель Лагранжа λ:
Lxxx Fxxx CCxxx
( , ,..., , ) ( , ,..., ) [ ( , ,..., )].
12 12 12
Дифференциал лагранжиана при постоянном ограничении
имеет вид:
dL F C dx C C x x x d
где C
– это первая частная производная ограничения по перемен-
i
ной x
:
i
Величина в скобках под знаком суммы в уравнении (4.1) – это
первая частная производная лагранжиана:
Допускается без обоснований и доказательств, что при форми-
ровании лагранжиана переменные становятся независимыми и
поэтому правомерно использование классического условия экстремума (2.3), т. е.
λλ=+−
nn n
n
=−
∑
i
λλ
()
iii
=
1
C
∂
L
∂
x
i
−−
[ ( , ,..., )] ,
C
∂
=
i
x
∂
==−
LF C
ii i
12
(4.2)
⋅
i
(4.3)
λ .
n
(4.1)
В результате получают n уравнений с
FC
−=λ 0,
ii
которые совместно с ограничением образуют систему
нений с
неизвестными.
n +1
(4.4)
Li= 0.
переменными
n +1
(4.5)
n +1
урав-
Условия экстремума (4.5) можно представить в ином виде:
FCF
112
= = ⋅⋅⋅ = =⋅⋅⋅ = =λ
C
2
F
i
C
i
F
n
C
. (4.6)
n
Совокупность этих уравнений выражает основной результат
оптимизации целевой функции при одном ограничении. По
смыслу вывода ясно, что этот результат справедлив для функций
и ограничений любого числа переменных.
В качестве иллюстрации рассмотрим простой пример.
12
Пример 3.
)
Дано: функция с ограничением
Fxx
Cx x
=
=+=
12
2 3 120;.
12
Найти: величину и вид экстремума функции.
Решение. Вычисляем маржинальные величины
FxFxC C
12211 2
23====;;;.
Основной результат оптимизации (4.6) позволяет установить
23
xx=
12
, тогда из ограничения можно вычислить значения пере-
менных, при которых функция имеет экстремум:
xxF
30 20 600===;; .
12
Для нахождения вида экстремума вычисляются элементы хессиана:
LLLL
0110====;;; .
11 12 21 22
В таком случае можно получить
HH
020==−<;.
12
Эти значения не соответствуют ни критерию максимума (2.6),
ни критерию минимума (2.7). Другими словами, классические
критерии экстремума не позволяют установить, является ли экстремум лагранжиана максимумом или минимумом: величина H
соответствует условию минимума, а величина H
не соответствует
2
1
ни условию максимума, ни условию минимума.
Ответ:
F = 600
(вид экстремума не установлен).
Рассмотренный пример показывает, что в методе множителей
Лагранжа невозможно установить вид экстремума лагран-
жиана на основе классических критериев.
Для установления вида экстремума лагранжиана разработаны
специальные и весьма сложные критерии, основанные на окайм-
ленных матрицах Хессе.
Метод Лагранжа имеет и иные недостатки, в частности:
1) использование классического критерия экстремума лагранжиана происходит без доказательств того, что увеличение числа
переменных делает переменные независимыми;
2) невозможны графические иллюстрации вида экстремума
лагранжиана, поскольку даже для функций двух переменных
FFxx= (, )
LLxx= (, ,
лагранжиан является функцией трех переменных
12
, которую нельзя изобразить в трехмерном про-
λ
12
странстве;
13
3) полученные результаты для лагранжиана используются для
вычисления исходной целевой функции без доказательств и обоснований.
Несмотря на недостатки метода Лагранжа, он не только широко используется для нелинейной оптимизации, но и лежит в основе иных, еще более сложных методов оптимизации.
Метод Лагранжа легко обобщается на случай нескольких ограничений, если каждое из них умножить на множитель Лагранжа
λ
и добавить к целевой функции с формированием лагранжиана:
k
Lxxx Fxxx CCxx
( , ,..., , ,..., ) ( , ,..., ) [ ( , ,.
12 1 12 12
λλ λ=+−..., )].x
nm n
∑
kk k
1
km=
n
Дифференцирование лагранжиана по любой переменной при
постоянстве остальных переменных дает:
LF C
=−λ ,
ii
kik
где Cik – частная производная ограничения k-го вида по переменной x
.
i
Допуская, что критерий экстремума справедлив для лагранжиана, получают n уравнений с
которые совместно с ограничениями образуют систему
нений с
неизвестными. Решения
nm+
переменными:
nm+
F
i
=λ ,
C
k
ik
xx x
, ,...,
урав-
nm+
системы таких
n12
уравнений, будучи подставленными в целевую функцию, дают ее
экстремальное значение.
Несомненно, такие обобщения не элиминируют указанные
выше недостатки. Наоборот, они еще более усложняют метод неопределенных множителей Лагранжа, делая его во многих случаях недееспособным.
1.5. Законы природы как ограничения
Метод Лагранжа основан на введении дополнительных переменных (множителей Лагранжа) и дополнительной функции
(лагранжиана). Введение дополнительных величин существенно
осложняет оптимизацию, однако в некоторых случаях этот недостаток метода оказывается его достоинством. Именно по этой
причине метод множителей Лагранжа широко используется в теоретической физике.
В качестве иллюстрации, которая важна для оптимизации реального материального производства, можно обосновать законы
14
термодинамики на основе теории информации, созданной Клодом Шенноном в 1948 г.
Оптимизируемой функцией является энтропия Шеннона,
выраженная суммой Слэтера:
где p
– вероятность состояния системы из Ni частиц с энергией Еi.
i
n
Spp
=−
∑
=
1
i
(5.1)
ln ,
ii
Ограничениями являются количество частиц N, энергия системы E и вероятности состояния системы:
n
NpN
=
∑
=
i
n
EpE
=
∑
=
i
n
p
∑
i
=
i
(5.2)
;
ii
1
;
ii
1
(5.4)
=
11.
Умножим разности левых и правых частей этих ограничений
на неопределенные множители Лагранжа и добавим их к энтропии для формирования соответствующего лагранжиана:
n
Lpp NpN EpE
=− + −
ln λλλ
iiN ii
i
n
⎛
∑∑∑
⎜
⎝
i
⎞
+−
⎟
Eii
⎠
===
111
n
⎛
⎜
⎝
i
⎞
⎛
+
1−−
⎟
⎜
3
⎠
⎝
∑
in1
⎞
p
.
⎟
i
⎠
=
Находим частные производные лагранжиана:
∂
L
ln .13λλλ
=− − − − −
pNE
∂
p
i
iNiEi
Допуская применимость критерия экстремума к лагранжиану,
имеем
−−− − −=ln .pNE
10
λλλ
iNiEi
3
Множители Лагранжа обозначаются особо:
λλ αλ βλ=+31; ; . = =
Множитель Лагранжа λ называется функцией Массье, а экспонента этой функции (
λ
) – статистической суммой.
e
NE
Множитель Лагранжа α пропорционален химическому потенциалу вещества, а множитель Лагранжа β обратно пропорционален абсолютной температуре системы.
Преобразуя последнее уравнение, получаем:
ln .pNE
=− −− −λα β
iii
(5.5)
15
Итак, установлены n уравнений для вероятностей состояний
системы:
pNE
=−−−
exp ,λα β
()
iii
(5.6)
которые совместно с тремя ограничениями образуют систему
уравнений с
n +3
неизвестными.
n +3
Прямое решение этой системы невозможно для макроскопических систем из-за огромного числа частиц и возможных состояний системы. Однако решение можно получить, логарифмируя
уравнение и подставляя
S p pN pE
=+ +
λα β
в уравнение (5.1):
ln p
i
n
∑∑ ∑
== =
11 1
i
n
i
i
ii
n
ii
i
.
Привлекая ограничения (5.2), (5.3), (5.4), окончательно получаем:
SNE=+ +λα β.
(5.7)
В соответствии с этим уравнением энтропия системы зависит
от величины функции Массье, энергии и массы (количества частиц) системы.
Полученное уравнение позволяет построить все здание термо-
1
динамики, как это впервые сделал Е. Джейнс
2
В 1970 г. М. Трайбус
популярно изложил его результаты. Еще
более простой подход был предложен одним из авторов в 1981 г.
в 1957 г.
3
1.6. Метод алгебраической подстановки
При наличии ограничений оптимизируемые функции оказываются функциями зависимых переменных. Как уже отмечалось,
для оптимизации таких функций необходимо либо сделать переменные независимыми и использовать классические критерии
экстремумов, либо изменить эти критерии. Второй подход используется в методе Лагранжа. Переход от зависимых переменных к независимым переменным реализован в аналитическом
методе оптимизации.
Вначале рассмотрим аналитический метод оптимизации функций при ограничениях, заданных равенствами. Такая оптимизация
1
Jaynes E.T. Information Theory and Statistical Mechanics // The Physical Re-
view. Vol. 106. No. 4. P. 620–630. May 15, 1957; Jaynes E.T. Information Theory and
Statistical Mechanics II // The Physical Review. Vol. 108. No. 2. P. 172–190. October 15, 1957.
2
Трайбус М. Термостатика и термодинамика. – М.: Энергия, 1970.
3
Судариков С. А., Капуцкий Ф. Н. Физическая химия. – Минск: Вышейшая
школа, 1981. – С. 5–32.
16
называется базовой оптимизацией, а полученные решения – ба-
зовыми решениями. Затем аналитический метод будет обобщен
на оптимизацию целевых функций при ограничениях, заданных
неравенствами и равенствами. Как окажется, решения при ограничениях, заданных неравенствами, определяются базовыми решениями.
Рассмотрим целевую функцию F и ограничение-равенство C:
FFxx x
==( , ,..., );
CCxx x
12
( , ,..., ).
12
n
n
В отсутствие ограничения переменные xi независимы, и экстремум функции и его вид соответствуют классическим критериям,
рассмотренными ранее. При наличии ограничений переменные
зависимы и такие критерии неприменимы.
Оптимизируемую функцию можно сделать функцией независимых переменных, если одну из переменных подставить из
ограничения в целевую функцию. После такой подстановки формируется связанная функция R меньшего числа независимых
переменных. Другими словами, исходная функция F и связанная
функция R – это разные функции. Именно по этой причине преобразованная функция отмечается символом R (Restricted) – ог-
раниченная или связанная ограничением функция. Основным
достоинством связанной функции является то, что величину её
экстремума и его вид можно установить на основе классических
критериев, используемых для свободных функций.
Формирование связанной функции в некотором отношении
аналогично формированию лагранжиана. Однако в методе Лагранжа независимость переменных не установлена, а в аналитическом – она очевидна, поскольку связанная функция образована
только независимыми переменными, а остальные исходные переменные исключены.
В методе Лагранжа преобразованная функция (лагранжиан)
зависит от большего числа переменных (
), чем исходная
nm+
функция n. В методе алгебраической подстановки преобразованная (связанная) функция зависит от меньшего числа переменных
(
), чем исходная функция n. Уменьшение числа независи-
nm−
мых переменных ведет не только к упрощению оптимизации, но
и к возможности установления величин и видов экстремумов на
основе классических критериев.
Проиллюстрируем метод алгебраической подстановки на нескольких примерах.
Прежде всего, вернемся к примеру 3, в котором методом Лагранжа не удалось установить вид экстремума функции.
17
Пример 4.
Дано: функция с ограничением
Fxx
=
12
xx
+=
2 3 120;.
12
Найти: величину и вид экстремума функции.
Решение. Находим связанную функцию подстановкой x
из ог-
2
раничения в функцию F:
2
Rxx=−40
2
11
.
3
Дифференцируем это уравнение:
(
40
4
11
)
3
.
dR x dx=−
Величина в скобках – это частная производная связанной функции по x
, которая в соответствии с критерием экстремума равна
1
нулю:
40
4
0=− =.
3
x130= ,
x220= .
а под-
Найденные
Rx
11
Это уравнение экстремума позволяет найти
становка этой величины в ограничение дает
значения переменных позволяют вычислить величину исходной
(свободной) и связанной (ограниченной) функций:
FR==600.
Вид экстремума связанной функции устанавливают вычислением второй частной производной дифференцированием уравнения экстремума:
R
4
11
0=− < .
3
В соответствии с критерием вида экстремума функция имеет
максимум.
Ответ:
FR==600
(максимум).
Сравним результаты, полученные методом Лагранжа (пример 3) и методом алгебраической подстановки (пример 4).
Метод алгебраической подстановки позволил не только вычислить значение экстремума функции, но и установить вид экстремума на основе классического критерия. Метод Лагранжа не
позволяет установить вид экстремума на основе классического
критерия.
В методе Лагранжа оптимизируемая функция (лагранжиан L)
оказалась функцией трех переменных, а в методе алгебраической
подстановки оптимизируемая функция (связанная функция R) является функцией одной независимой переменной.
18
Теперь рассмотрим оптимизацию методом алгебраической
подстановки функций, которые:
1) не имеют экстремума (пример 5);
2) имеют экстремум (пример 6).
Пример 5.
Дано: функция с ограничением
Fxxx
=
123
xxx
++=
123
120;.
Найти: величину и вид экстремума функции.
Решение. Связанную функцию R находим подстановкой x
ограничения в функцию F:
из
3
Rxx x x=−−
120().
12 1 2
Дифференцируем уравнение связанной функции:
dR x x x x dx x x x x dx=−−+−−()().120 2 120 2
212221112122
Величины в скобках – это первые частные производные связанной функции, которые для экстремума равны нулю, что позволяет установить уравнения экстремума:
RxxxxR xxxx
120 2 0 120 2 0= − −= = − −=;.
12122221121
Совместное решение уравнений экстремума дает
Подставляя эти значения в ограничение, находим
2
xx
12
x340= .
40==.
Вычисленные значения переменных позволяют найти значения исходной и связанной функций, которые оказываются равными:
FR==64000.
Вид экстремума устанавливается дифференцированием уравнений экстремума с последующей подстановкой значений переменных:
Rx R xx
2 80 0 120 2 2 40
=− =− < = − − =−
11 2 12 1 2
Rx
120 2
=−
21
;;
240 2800−=− =−=−<xRx;.
221 22 1
На основе этих величин находят значения хессианов:
80 40
−−
HR H
111 2
0
40 80
−−
6400 1600 4800 0=< =
=−=>;.
В соответствии с классическим критерием вида экстремума
связанная функция имеет максимум.
Ответ:
FR==64000
(максимум).
Пример 6.
Дано: функция с ограничением
2
Fx xx x=− + − +
46;
1
1222
26
xx−=.
12
19
Найти: величину и вид экстремума функции.
Решение. Связанную функцию R находим подстановкой x
из
2
ограничения в функцию F:
Rxx=−−40 5 72
2
11
.
Дифференцируем уравнение связанной функции:
dR x dx=−
40 10
()
.
11
Величина в скобках (первая частная производная связанной
функции) равна нулю, что позволяют установить уравнение экстремума
Rx
40 10 0=− =.
11
Откуда получаем
ничение дает
Полученные значения позволяют найти ис-
x22= .
а подстановка этой величины в огра-
x14= ,
ходную и связанную функции, которые оказываются равными:
FR==8.
Вид экстремума устанавливается дифференцированием уравнения экстремума:
R
11
, т. е. связанная функция имеет
10 0=− <
максимум.
Ответ:
FR==8
(максимум).
Установление экстремумов связанных функций методом алгебраической подстановки оказывается проще нахождения экстремумов свободных, несвязанных функций.
Несмотря на явные достоинства, метод алгебраической подстановки мало неизвестен, поскольку применим только в простых
случаях, в частности, когда функция или ограничения линейны.
Сошлемся на несколько работ, в которых этот метод использован
в самой простой форме.
Джеймс Гендерсон и Ричард Куанд использовали метод алгебраической подстановки для доказательства максимизации полезности совокупности двух товаров
1
. Некоторые авторы пытались
решить оптимизационную задачу с двумя ограничениям подстановкой одной из переменных из второго ограничения в первое
ограничение и целевую функцию. Затем одна из переменных подставлялась из оставшегося ограничения в целевую функцию, которая становилась функцией только одной переменной
2
. Однако
численное решение авторы не получили. Впоследствии этот пример будет решен аналитическим методом.
1
Henderson J. M., Quandt R. E. Microeconomic Theory. McGraw-Hill. N. Y. 1971.
р. 16–17.
2
Antoniou A., Lu W-S. Practical Optimization. Algorithms and Engineering Ap-
plications. Springer. N.Y. 2007. pp. 280–281.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]