Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
симальному значению с ростом количества товаров. Этот закон
Джевонс, Менгер, Вальрас (70-е годы XIX века) выражали через
маржинальную полезность, под которой понималась частная
производная полезности по количеству одного из товаров:
U
∂
U
i
(7.1)
≡
⋅
x
∂
i
Значение термина «маржинальный» близко по смыслу к значению слова «предельный». Как известно, производная представляет собой предел отношения изменения одной величины к изменению другой:
U
lim
Δ→
x
i
Δ
⋅
x
Δ
0
i
u
=
i
Такой предел отношения изменения двух величин, когда оба
изменения стремятся к нулю, и дал название предельным или
маржинальным функциям. Поэтому не следует придавать маржинальным функциям какой-либо особый смысл кроме производных. Поскольку в экономике интересуются изменением одних
величин в зависимости от изменения других величин, маржинальные функции встречаются весьма часто.
С математической точки зрения представление о маржинальной полезности казалось лишь заменой терминологии. Однако
в действительности представление о маржинальной полезности
включало в себя и закон убывающей предельной или маржинальной полезности Госсена. Другими словами, термин «маржиналь-
ная полезность» изначально понимался и как характеристика
поведения полезности. Считалось, что закон убывающей маржинальной полезности существует, хотя он не был доказан. Поскольку условием максимума полезности могло быть равенство нулю ее
частных производных по количеству товаров, закон убывающей
маржинальной полезности формулировался в простом виде:
. (7.2)
Ui= 0
Таким образом, считалось, что полезность увеличивается до
тех пор, пока маржинальные полезности не станут равными нулю.
Представление об убывающей полезности товаров вело к заключению, что существует некоторый оптимальный набор товаров,
когда дальнейшее увеличение количества товаров не ведет к увеличению полезности.
Несмотря на все усилия, доказать существование закона убывающей полезности никто не смог. Это не удивительно, поскольку
101
такое доказательство невозможно, если неизвестен вид функции
полезности. Однако, даже привлекая модельные представления
о полезности, никакого заключения об экстремальном поведении
полезности с ростом количества товаров сделать нельзя. Это иллюстрирует рис. 2.1, показывающий, что полезность, например соответствующая модели Кобба-Дугласа, неограниченно возрастает с
увеличением количества товаров и не имеет никаких экстремумов.
Принципиальное изменение в понимании полезности произошло, когда полезность стали рассматривать в рамках ограничений бюджета потребителя, когда потребление товаров происходит
при некоторых естественных и очевидных ограничениях. Поэтому
полезность должна рассматриваться в рамках реальных бюджет-
ных ограничений потребителя.
Совместное рассмотрение полезности и бюджета потребителя
было впервые выполнено методом неопределенных множителей
Лагранжа, который позволил установить, что отношение маржинальной полезности товара к его цене одинаково для всех товаров:
U
iik
=⋅
pUp
(7.3)
k
Результаты, полученные методом Лагранжа, позволил сделать
несколько важных выводов. В частности, уравнения (7.3) показывают, что маржинальные полезности не равны нулю:
. (7.4)
Ui≠ 0
Это означает, что закон убывающей маржинальной полез-
ности (7.2) не выполняется. Используя этот результат, Джон
Хикс посчитал, что принцип предельной полезности должен быть
заменен на принцип убывающей маржинальной степени заме-
щения товаров (см. раздел 2.9).
Таким образом, метод Лагранжа нанес удар по представлениям
экономистов о законе убывающей предельной или маржинальной
полезности. Однако этот метод не дал прямого ответа на вопрос,
эквивалентен ли максимум лагранжиана максимуму полезности.
Поэтому в такую эквивалентность экономисты призывали только верить.
Аналитический метод оптимизации позволил решить многие
проблемы совместного рассмотрения полезности и бюджета потребителя. В частности, закон убывающей связанной полезности
может выполняться в условиях бюджетных ограничений, поскольку условия экстремума связанной полезности и представляют
собой предельное значение маржинальной связанной полезности:
. (7.5)
Ri= 0
102
Однако для свободной полезности закон убывающей предельной полезности может не выполняться. Это можно установить не
только в общем случае, но и в рамках модели Кобба-Дугласа.
Одним из важнейших свойств полезности является ее монотонность. Монотонность полезности означает, что установить
оптимизированные количества товаров можно различными функциями полезности.
Представление о полезности как монотонной функции нанесло удар по кардиналистским взглядам на полезность. Поскольку
оптимизированному бюджету потребителя могли соответствовать
разные функции полезности, последняя лишилась своего уникального положения. Другими словами, полезность могла иметь
различные значения, но описывать одно и то же оптимизированное потребительское состояние.
Отрицание кардиналистской полезности не означает, что не
существует однозначного соответствия между полезностью и
иными экономическими величинами. Например, если полезность
соответствует некоторой модели с заданными параметрами, то полезность оказывается однозначно определенной величиной. Ранее были рассмотрены примеры такого использования однозначно определенной полезности. Выбрав для описания полезности
уравнение Кобба-Дугласа со всеми заданными коэффициентами,
можно вычислить ее значение на основании бюджета потребителя
и оптимизированных количеств товаров.
2.8. Принцип замещения товаров
В современной теории потребления считается, что потребитель
стремится к достижению и поддержанию максимальной полезности совокупности товаров. В силу тех или иных причин предпочтения потребителя могут измениться, и потребитель может
пожелать иметь больше одного вида товара и меньше другого в
рамках своего неизменного бюджета, причем новая совокупность
товаров должна в большей мере обеспечивать его «потребительское счастье», т. е. иметь большую полезность.
Другими словами, потребитель считает, что заместив один товар другим он получит не меньшую полезность предпочитаемой
совокупности товаров. Именно такое представление о замещении товаров разрабатывал нобелевский лауреат по экономике
Джон Хикс. Для обоснования замещения товаров он обращается
к кривым безразличия, считая, что любая точка на ней соответствует одному и тому же значению полезности и поэтому любая
103
совокупность товаров доступна потребителю в рамках неизменного бюджета.
В действительности же такое заключение неверно, поскольку
каждая совокупность товаров, соответствующая точке на кривой
безразличия, требует разного бюджета потребителя. Причем, как
показывают результаты аналитической оптимизации, минимальным бюджет потребителя будет только для единственной совокупности товаров, когда связанная полезность максимальна. Для
приобретения любых иных совокупностей товаров потребителю
придется затратить больше средств.
Ошибочность представлений Хикса можно иллюстрировать
множеством примеров. Например, если задан бюджет потребителя
C = 120
спроса дают оптимальные количества товаров
и цены двух видов товаров
pp
23==;
12
xx
12
, то уравнения
30 20==;
, которые позволяют вычислить наибольшую свободную полезность
и максимальную связанную полезность
UR==600.
Предположим, что потребитель решил заменить некоторое количество одного товара другим. Если потребитель не может изменить свой доход, то он вынужден проводить замену товаров в
рамках имеющегося бюджета:
Cpx px=+
11 22
.
Рассмотрим два варианта потребительских предпочтений.
1) Потребитель приобретает большее количество первого то-
вара, например
x142= ,
нужден приобрести меньшее количество второго товара
а на оставшуюся часть бюджета он вы-
x212=
Полезность такой предпочитаемой совокупности товаров оказывается
U =⋅=42 12 504.
Сравнивая это значение с оптимизированным значением U =
600, видим, что замещение товаров привело к уменьшению по-
лезности.
2) Потребитель приобретает большее количество второго това-
ра, например
x230=
меньшее количество первого товара
вокупности товаров оказывается
, а на оставшуюся часть бюджета приобретает
x115= .
U =⋅ =15 30 450.
Полезность такой со-
Таким образом,
и в данном случае замещение товаров ведет к уменьшению по-
лезности.
Данный простой пример показывает, что существует принцип
замещения товаров, в соответствии с которым замещение това-
ров уменьшает полезность, а не оставляет ее неизменной, как
считал Хикс и считают его последователи.
104
.
В существовании принципа замещения можно убедиться не
⎝
⎠
только на отдельных примерах, но и в общем случае. Ограничимся для простоты двумя видами товаров и простой моделью КоббаДугласа:
Uxx
=
;
12
Cpx px
=+
11 22
.
Рассмотрим два варианта замещения товаров.
Замещение при постоянном бюджете
().C = const
Дифференцируем функцию Кобба-Дугласа и бюджетное уравнение:
dU x dx x dx
Подставим величину
=+
21 12
p
dx
dx
1
dx
=−
2
p
2
из второго уравнения в первое с фор-
2
;
.
1
мированием дифференциала связанной полезности:
p
⎛
dR x
⎜
2
1
xdx=−
p
2
⎞
(8.1)
.
⎟
11
Такое уравнение использовалось для нахождения экстремума
связанной полезности, когда ее частная производная (выражение
в скобках) равна нулю, в таком случае имеем:
DD
px px
= ,
11 2 2
DD
где
– оптимальные количества товаров.
xx
;
12
Постоянство бюджетного ограничения означает
px p x px px
+=+
11 22 11 22
DD
.
Два последних уравнения позволяют получить
p
1
xxx
p
2
D
2=−
122
и представить уравнение в таком виде:
dR x x dx=−2
D
().
221
Если первый товар замещает второй, то количество первого
товара возрастает:
dx10>
, а второго – уменьшается:
следовательно, правая часть последнего уравнения – это отрицательная величина:
dR < 0.
D
xx
22
0−<
105
,
Если второй товар замещает первый, то количество второго то-
⎝
⎠
вара увеличивается
D
xx
22
, а первого – уменьшается
0−>
dx10< ,
следовательно, правая часть рассматриваемого уравнения – это
отрицательная величина и при таком замещении.
Таким образом, независимо от вида замещения товаров результат одинаков: замещение товаров ведет к уменьшению связан-
ной полезности при постоянном бюджете потребителя.
Результат не удивителен, поскольку связанная полезность
имеет максимум при вполне определенных значениях переменных
DD
, поэтому при любых иных значениях переменных, т. е.
xx
,
12
при замещении товаров, полезность всегда меньше.
Ранее было показано, что максимальное значение связанной
полезности равно наибольшему значению свободной полезности
при тех же значениях переменных
DD
, поэтому при любых иных
xx
,
12
значениях переменных, т. е. при замещении товаров, свободная
полезность также будет меньше:
dU < 0.
Замещение при постоянной полезности
(8.2)
().Uconst=
Дифференцируем формулу Кобба-Дугласа и бюджетное уравнение
x
2
dx
=−
2
=+;.
из первого уравнения во второе с фор-
2
1
x
1
11 2 2
Подставим величину
dx
dC p dx p dx
dx
мированием дифференциала связанного бюджета потребителя:
x
⎛
dM p p
⎜
12
⎞
2
(8.3)
dx=−
.
⎟
1
x
1
В соответствии с критерием экстремума частная производная
связанного бюджета потребителя (выражение в скобках), равна
нулю, тогда
DD
px px
= .
11 2 2
Постоянство полезности означает
DD
xx xx
= .
12 12
Два последних уравнения позволяют получить
2
⎛
x
2
p
=
2
x
1
⎞
x
2
p
⎜
⎟
1
D
x
⎝
⎠
2
106
и представить уравнение в таком виде:
dM
⎡
p
1
()
⎢
2
D
()
x
⎣
2
xx xxdx=+
⎤
DD
−
22 22 1
()
⎥
⎦
с положительной величиной в квадратных скобках.
Если первый товар замещает второй, то количество первого
товара возрастает
dx10>
, а второго – уменьшается
D
xx
−>
22
0
следовательно, правая часть последнего уравнения – это положительная величина:
Если второй товар замещает первый, то количество второго то-
вара увеличивается
xx
22
D
−<
dM > 0.
0
(8.4)
, а первого – уменьшается
dx10<
Произведение двух отрицательных величин дает величину положительную, т. е. и в этом случае справедливо неравенство .
Таким образом, независимо от вида замещения товаров резуль-
тат одинаков: замещение товаров требует увеличения бюдже-
та потребителя для сохранения постоянной величины полезности.
Этот результат очевиден, поскольку связанный бюджет потребителя имеет минимум при вполне определенных значениях
переменных
DD
, поэтому при любых иных значениях перемен-
xx
,
12
ных, т. е. при замещении товаров, связанный бюджет потребителя
должен быть больше.
Ранее установлено, что минимальное значение связанного
бюджета потребителя равно наименьшему значению свободного
бюджета потребителя при тех же значениях переменных
DD
xx
,
12
поэтому при любых иных значениях переменных, т. е. при замещении товаров, свободное бюджетное ограничение потребителя
оказывается больше:
,
.
,
dC > 0.
(8.5)
Объединив полученные результаты, можно сформулировать
принцип замещения товаров: любое замещение товаров ведет
к уменьшению полезности при постоянном бюджете потребителя либо требует увеличения бюджета потребителя для
сохранения неизменной полезности совокупности товаров.
Данный принцип замещения товаров установлен на основе
рассмотрения двух видов товаров. Несмотря на то, что принцип
замещения можно доказать для любой совокупности видов товаров, однако это не имеет особого смысла, поскольку уже полученного результата достаточно, чтобы подойти к проблеме
107
замещения товаров иначе, чем это принято в современной экономической теории.
Сформулированный и доказанный нами принцип замещения товаров справедлив вне зависимости от причины замещения
товаров, например при изменении предпочтений потребителя
(см. раздел 2.9) или при изменении цен на товары (см. раздел 2.12).
Джон Хикс и Ричард Аллен насаждали представление о замеще-
нии товаров как о своем выдающемся вкладе в теорию потребления. Однако в действительности никакой уникальности в замещении товаров нет. Более того, никакого замещения не происходит
до тех пор, пока потребитель сам не станет замещать товары по тем или иным причинам. Другими словами, замещение то-
варов оказывается не объективным экономическим явлением,
а субъективным действием потребителя.
2.9. Полезность и замещение товаров
Долгое время не уделялось внимание двум особенностям полезности.
1) Бездоказательное признание закона убывающей полезности
Госсена вело к заключению, что полезность может иметь максимальное значение, соответствующее наибольшему удовлетворению потребителя определенной совокупностью товаров.
2) Попытки рассмотрения полезности качественными методами (графическими, псевдологическими, лексикографическими и
т. д.) оказались бесплодными и затруднили анализ и понимание
существа полезности.
В результате экономисты не смогли установить, что полезность
относится к монотонным функциям. При наличии ограничения
связанная полезность действительно может иметь максимум, однако это максимальное значение может иметь и вполне определенные численные значения в зависимости от выбранной функции
полезности, описывая одну и ту же экономическую ситуацию.
Все это означает, что полезность является ординалистской
функцией, т. е. полезность не имеет уникального, кардинального
значения. Любая монотонно преобразованная полезность будет
давать одну и ту же оптимизированную совокупность товаров.
При таком подходе полезность оказывается вспомогательной функцией, которая может иметь различные экстремальные значения
и давать результаты, которые инвариантны величине этой полезности. Понимание ординалистского характера полезности позволяет рационально ее использовать для описания конкретных эко-
108
номических ситуаций. Таким образом, переход к ординалистской
полезности не разрушил теорию потребления, а уточнил ее.
Ординалистской характер имеют не только экономические
функции, но и такая фундаментальная физическая функция, как
энтропия. В отличие от полезности, абсолютное значение энтропии вообще не может быть определено. Вычислению поддаются только изменения этой величины и только в самых простых
случаях.
Традиционный переход к ординалистской полезности сопровождался введением новых представлений, которые продолжают
существовать в теории потребления в настоящее время. Например, правомерно критикуя и отрицая закон убывающей предельной полезности, Хикс предложил заменить его законом убываю-
щей маржинальной степени замещения товаров.
Представление о степени замещения товаров основано на том,
что потребительская полезность товаров в принципе может быть
удовлетворена разными наборами товаров. Причем, чем больше
существует видов товаров, тем больше имеется и наборов таких
товаров. Можно рассмотреть случай, когда полезность равна некоторой величине. Тогда, например для двух товаров, количество
одного товара зависит от количества другого. В координатах x
1–x2
эта зависимость будет изображаться кривой постоянной полезности или кривой безразличия, а совокупность таких кривых для
различных значений полезности – картами кривых безразличия
(см. рис. 2.2).
Представление о кривых безразличия показывает, что одной и
той же полезности
может соответствовать любое количество наборов
товаров. Несмотря на то, что закон убывающей полезности может
выполняться только при наличии ограничений и только для связанной полезности, его используют для следующих обоснований.
Хикс считал, что если потребитель обладает большим количеством товара одного вида и малым количеством товара другого
вида, то для достижения некоторого уровня полезности он, скорее
всего, приобретет дополнительное количество второго, а не первого товара. Количественно это предпочтение выражается мар-
жинальной степенью замещения товаров (MRCS – marginal
rate of commodity substitution), под которой понимается отношение
изменения количества товара одного вида к изменению количества товара другого вида. Для двух товаров маржинальная степень
замещения товаров выражается уравнением
dx
MRCS
2
=⋅
(9.1)
dx
1
109
Полный дифференциал полезности для двух видов товаров
имеет вид:
dU U dx U dx=+
11 2 2
(9.2)
.
Полезность считают постоянной, т. е. соответствующей любой
точке некоторой кривой безразличия:
Uconst= .
(9.3)
Тогда из уравнения (9.2) следует:
dx
dx
2
=− ⋅
1
U
1
(9.4)
U
2
Привлекая определение (9.1), получаем:
U
1
MRCS
=−
(9.5)
,
U
2
т. е. маржинальная степень замещения товаров обратно пропорциональна отношению маржинальных полезностей товаров. Этот
результат представляют в ином виде, используя основной результат оптимизации :
112
(9.6)
=⋅
p
2
UpU
Тогда из двух последних уравнений следует:
p
1
MRCS
=− ⋅
(9.7)
p
2
Если не вводить маржинальную степень замещения товаров, то
dx
dx
2
=− ⋅
1
p
1
(9.8)
p
2
В соответствии с вышеприведенными уравнениями маржинальная степень замещения товаров равна отношению цен этих
товаров. Уравнение (9.8) означает, что один товар может быть замещен другим при сохранении постоянной величины полезности.
Этот результат позволил Хиксу и Аллену сделать вывод, что замещение товаров позволяет сохранить полезность совокупности
товаров постоянной. Однако они проигнорировали то важнейшее
обстоятельство, что поддержание постоянной полезности при замещении товаров неминуемо требует увеличения бюджета потребителя.
Для дополнительного обоснования своих выводов Хикс и Ал-
лен ссылались на статью Евгения Слуцкого «К теории сбалансиро-
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]