Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
Связанная полезность имеет экстремум, если
Ri= 0.
Тогда при
из предыдущего уравнения получаем:
pn≠ 0
UpU
iin
(5.4)
=
p
n
для любой пары видов товара.
Полученные уравнения выражают результат оптимизации полезности при постоянном бюджете потребителя.
Оптимизация при постоянной полезности (
В таком случае
dU = 0
, и из уравнения (5.1) имеем
n
−
1
U
dx
n
=−
∑
i
i
dx
.
i
U
n
=
1
Uconst=
).
Подстановка этого дифференциала в уравнение (5.2) дает дифференциал связанного бюджета потребителя:
n
−
1
dM p p
⎛
=−
∑
⎜
⎝
i
=
1
U
in
U
⎞
i
.
dx
⎟
i
⎠
n
Дифференциал связанного бюджета потребителя является
функцией n – 1 независимых дифференциалов количеств товаров,
поэтому полученное уравнение представляет собой полный дифференциал с маржинальными связанными бюджетами вида
U
Mpp
=− ⋅
iin
i
U
n
Уравнение можно выразить через определитель:
pp
1
in
M
=⋅
i
UU
U
n
. (5.5)
in
Связанный бюджет потребителя имеет экстремум, если
Mi= 0.
Тогда при
Un≠ 0
из предыдущего уравнения имеем:
UpU
iin
(5.6)
=
p
n
для любой пары видов товара.
Полученные уравнения выражают результат оптимизации
бюджета потребителя при постоянной полезности.
Сравнивая уравнения (5.6) с уравнениями оптимизации полезности (5.4), убеждаемся, что они одинаковы. Таким образом,
91
оптимизация полезности при постоянном бюджете потребителя
дает такой же результат, как и оптимизация бюджета потребителя
при постоянной полезности. Эта особенность оптимизации выражает дуализм оптимизации.
Рассматривая полученные уравнения для всех товаров, получаем:
UpU
112
= =⋅⋅⋅= =⋅⋅⋅= ⋅
p
2
U
i
p
i
U
n
(5.7)
p
n
Равенства выражают основной результат оптимизации: отношение маржинальной полезности к цене товара одинаково
для всех товаров.
Аналитический метод позволил установить основной результат оптимизации для экстремума полезности и бюджета потребителя. Вид экстремума можно установить, если найти вторые частные производные полезности дифференцированием маржинальной связанной полезности (5.3) или маржинального связанного
бюджета потребителя (5.5). Формируя хессианы и вычисляя их
значения, можно установить вид экстремума.
Важный результат можно получить, если сравнить уравнение
маржинальной связанной полезности (5.3) и маржинального связанного бюджета потребителя (5.5), тогда
p
M
n
=− ,
i
U
n
(5.8)
R
i
поскольку замена строк определителя в уравнении (5.5) дает определитель уравнения (5.3) с противоположным знаком. Полученное уравнение означает, что вид экстремума полезности, установленный на основе хессианов, образованных дифференцированием R
при очевидном условии
, будет обратным виду экстремума бюджета потребителя
i
Un> 0.
Результаты оптимизации, полученные для полезности, заданной в общем виде, можно конкретизировать для выбранной модели полезности, например для модели Кобба-Дугласа:
n
a
Ukx
=
i
(5.9)
.
i
=∏1
i
Дифференцирование этого уравнения дает маржинальные полезности:
−
1
n
⎛
U
∂
==
i
kx x kxax
⎜
x
∂
⎝
i
⎞
a
a
ii i i
=
1
⋅=
⎟
i
⎠
i
∏∏
i
−
1
n
⎛
⎜
⎝
⎞
a
i
=
1
i
−
a
⎟
ii
⎠
1
==
n
⎛
kx
∏
⎜
⎝
=
1
i
a
⎞
a
i
⎟
i
x
⎠
a
i
i
=⋅
U
x
i
i
92
Подставим величины U
ции (5.7):
и Un в основной результат оптимиза-
i
a
i
=
pxapx
iinnn
и перепишем это уравнение в таком виде:
a
= .
ii
a
i
n
px
nn
px
Суммируем такие уравнения по всем видам товаров:
n
px
=
∑∑
ii
11
i
==
px
nn
a
n
n
a
.
i
i
Сумма в левой части – это бюджет потребителя C. Следовательно, для количества любого товара справедливо уравнение:
i
x
=⋅⋅
i
aCp
∑
(5.10)
ii
a
Таким образом, в состоянии экстремума количество товара
прямо пропорционально мере его предпочтения а
потребителя и обратно пропорционально цене товара p
Полученное уравнение выражает функцию спроса на товар.
, бюджету
i
.
i
Уравнение позволяет найти количества товаров для оптимизации
полезности или бюджета потребителя. Функции спроса обычно
называются функциями спроса Маршалла, хотя он не получал
таких уравнений.
Функция спроса, установленная в рамках модели Кобба-Дугласа, позволяет установить несколько важных результатов.
Дифференцирование функции спроса по бюджету потребителя дает:
dx
a
ii
=⋅⋅
dC
ap
∑
ii
1
Величины в правой части положительны, поэтому
dx
i
dC
(5.11)
> 0.
Следовательно, спрос на товар прямо пропорционален бюджету, используемому на приобретение товара: чем больший бюджет имеет потребитель, тем большее количество товара он может
приобрести. Зависимость между количеством товара и бюджетом
потребителя называется функцией Энгеля. Для полезности (в
рамках модели Кобба-Дугласа) функция Энгеля представляет собой прямую линию:
93
a
1
x
=
i
i
pa
ii
Наклон этой прямой зависит от величин a
товара. На рис. 2.7 изображены функции Энгеля при
. (5.12)
C
∑
, их суммы и цены
i
aa
11==,
12
и
значениях цен товаров, равных 1, 2, 3, 4 и 5.
Дифференцирование функции спроса по цене этого товара
дает
−
dxdpaMadp
iii
=⋅ =− ⋅
∑
i
1
()
i
dp
i
aM
i
2
pa
∑
ii
Все величины в правой части положительны, поэтому:
dx
dp
i
(5.13)
< 0.
i
Следовательно, спрос уменьшается с увеличением цены товара.
Дифференцирование функции спроса по цене другого товара
дает:
dx
dp
i
(5.14)
= 0.
k
Следовательно, спрос на один товар не зависит от цены другого
товара. Этот результат соответствует простой модели Кобба-Дугласа, но может не выполняться в рамках иных моделей.
94
Рис. 2.7. Семейство кривых Энгеля
Полученные уравнения спроса представляют собой индивиду-
альные функции спроса, т. е. они описывают спрос на товар одного потребителя. Для совокупности потребителей сумма уравнений спроса позволяет установить агрегированные или рыночные
функции спроса.
Уравнение спроса позволяет связать оптимизированные значения полезности и бюджета потребителя. Для этого достаточно подставить значения количеств каждого товара из уравнения
спроса в общую форму уравнения Кобба-Дугласа и после простых
преобразований получить
a
∑
UC
=
a
⎛
1
i
∏
⎜
paa
⎝
i
⋅
∑
i
⎞
i
(5.15)
⋅
⎟
⎠
i
Это уравнение устанавливает связь между максимальным значением связанной полезности и заданной величиной бюджета
потребителя или между минимальным значением бюджета потребителя и заданной величиной полезности. Поэтому, зная цены
товаров, по бюджету потребителя можно найти максимальное или
наибольшее значение связанной полезности.
Это же уравнение по заданному значению полезности позволяет найти минимальное значение бюджета потребителя. Соотношение (5.15) оказывается полезным при рассмотрении многих
задач теории потребления.
Уравнение (5.15) называют уравнением непрямой полезнос-
ти, поскольку оно выражает полезность не через количества товаров, а через их цены. Подчеркнем особо, что уравнение для не-
прямой полезности справедливо только для оптимизированной полезности или бюджета потребителя.
В некоторых простых случаях метод алгебраической подстановки имеет наглядные иллюстрации. Рассмотрим случай трех
видов товаров в рамках модели Кобба-Дугласа:
Cpx px px=++
Uxxx=
11 22 3 3
(5.16)
;
123
(5.17)
.
Подстановка количества третьего товара из бюджетного уравнения в уравнение полезности превращает свободную полезность
в связанную полезность R, которая становится функцией коли-
U
честв двух видов товаров, например
xx
12
R
Cpx px=−−
()
p
3
11 22
xx
:
8
12
. (5.18)
95
Уравнение показывает, что для трех видов товаров связанная
полезность является функцией количеств любых двух видов товаров.
Пример 1.
Дано: бюджет потребителя
p
4= .
3
C = 180
и цены товаров
pp
23==,,
12
Установить:
1) оптимальные количества приобретаемых товаров;
2) максимальное значение связанной полезности;
3) поверхность связанной полезности.
Решение 1. Количества товаров находят из уравнения спроса:
Ответ 1:
180
xxx
123
xxx
123
30
==⋅==⋅=,,.
32
⋅
30 20 15===;;.
180
33
20
180
34
15=
Решение 2. Максимальное значение связанной полезности находят подстановкой количеств товаров в уравнение полезности:
U =⋅⋅=30 20 15 9000.
Это же значение полезности следует и из уравнения (5.18):
⋅
30 20
Ответ 2:
R =
U = 9000.
4
−⋅ −⋅
180 2 30 3 20 9000.
()
=
Решение 3. Графическое отображение уравнения дано на рис. 2.8,
полученном с помощью компьютерной программы Maple.
U
x2
x1
Рис. 2.8. Максимум связанной полезности для трех видов товаров
96
Рис. 2.8. подтверждает, что связанная полезность имеет мак-
симум при количествах товаров, соответствующих уравнению спроса.
Аналогичным образом можно подставить количество товара
третьего вида из уравнения для полезности
в уравнение для
U
бюджета потребителя C и получить выражение для связанного
бюджета потребителя M:
p
Mpxpx
11 22
xx
12
3
. (5.19)
U=++
Это уравнение показывает, что для трех товаров связанный
бюджет потребителя является функцией количеств любых двух
товаров.
Пример 2.
Дано: полезность
U = 9000
и цены товаров
ppp
234===,,
123
.
Установить:
1) минимальный связанный бюджет потребителя;
2) оптимальные количества приобретаемых товаров;
3) поверхность связанного бюджета потребителя.
Решение 1. Минимальный бюджет потребителя устанавливается из уравнения (5.15) непрямой полезности для трех товаров:
9000
CCC
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
32 33 34
(5.20)
Выполнив простые преобразования, получим:
Ответ 1:
33 333 3
C
3 9000 3 2 4 3 30 2 180=⋅⋅==()()
C = 180.
.
Решение 2. Количества товаров находятся из уравнения спроса
Ответ 2:
180
xxx
123
xxx
123
30
==⋅==⋅=,,.
32
⋅
30 20 15===;;.
180
33
20
180
34
15=
Решение 3. Графическое отображение уравнения дано на рис. 2.9,
полученном с помощью компьютерной программы Maple.
Рис. 2.9 подтверждает, что связанный бюджет потребителя
действительно имеет минимум при значениях количеств товаров,
соответствующих уравнению спроса.
97
М
х2
Рис. 2.9. Минимум бюджета потребителя для трех видов товаров
х1
2.6. Монотонность полезности
Под монотонным преобразованием понимают преобразование
одной функции, например полезности, U в другую функцию
Дифференцируя это уравнение по количеству любого товара
по правилу дифференцирования сложных функций, получаем
Это уравнение можно переписать через маржинальную полезность:
Подстановка U
в основной результат оптимизации дает:
i
UpU
112
= =⋅⋅⋅= =⋅⋅⋅=
Таким образом, результат оптимизации не зависит от того, какая используется монотонная функция полезности.
UFU= ()
∂
∂∂∂
UxFUU
=
∂
ii
F
∂
UU
=
ii
U
∂
U
i
p
2
p
i
. (6.1)
(6.2)
⋅
∂
x
(6.3)
⋅
U
n
, (6.4)
p
n
:
U
98
Примерами монотонных преобразований полезности
явля-
U
ются:
=
a
=
ln ,
()
;
;
UkU
UU
=
UkU
где k и a – некоторые постоянные величины.
Если рассматривать модель Кобба-Дугласа, то монотонность
полезности означает, что уравнение Кобба-Дугласа в общей форме
a
Ukx
=
i
(6.5)
∏
i
может содержать любые положительные коэффициенты k и a
ко-
i
торые могут быть целыми или дробными, однако результат оптимизации оказывается неизменным. Важны не величины показателей, а их соотношение, остающееся неизменным для произвольного значения
.
a
Таким образом, основной результат, следующий из монотонности экономических функций, заключается в том, что резуль-
тат оптимизации не зависит от вида монотонной функции
В качестве иллюстрации рассмотрим уравнения Кобба-Дугласа, которые различаются только показателями степени:
a
12
.
Uxx
=
()
Предположим, что на эту полезность налагается бюджет потребителя:
2 3 120
xx+=.
12
Подстановка количества второго товара из бюджетного уравнения в уравнение полезности дает уравнение связанной полезности:
a
x
−
⎞
1
(6.6)
⋅
⎟
3
⎠
120 2
⎛
Rx
=
⎜
1
⎝
На рис. 2.10 с помощью компьютерной программы Maple изображены связанные полезности для
aaa===1051095,; ; ,
.
Рис. 2.10 показывает, что связанные полезности имеют различные максимальные значения, но им соответствуют одинаковые
количества товаров разного вида.
99
Рис. 2.10. Связанные полезности при одном бюджетном ограничении
2.7. Предельная полезность
Понимание полезности как монотонной функции позволяет
разграничить кардиналистский и ординалистский подход к пониманию полезности. В этой связи часто говорят о кардиналист-
ской полезности и об ординалистской полезности.
В XIX в. экономисты были убеждены, что полезность является
измеримой величиной. Кроме того, считалось, что чем больше величина полезности, тем большую ценность представляют товары
для потребителя. Именно поэтому полезность считалась кардина-
листской функцией, определяющей действительную полезность
или ценность совокупности товаров для потребителя. Полезность,
понимаемая как измеряемая и однозначно определенная величина, характеризующая степень удовлетворения предпочтений и
потребностей потребителя, стали называть кардиналистской по-
лезностью.
Полезность в XIX в. считалась едва ли не важнейшей экономической функцией и почти все известные экономисты в той или
иной мере пытались понять ее сущность и свойства. Эти представления выразились в законе убывающей предельной полезности,
который утверждал, что полезность стремится к некоторому мак-
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]