Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
и ограничимся простой линейной функцией спроса:
PabX=− .
Дифференцируем уравнение Кобба-Дугласа и уравнение спроса:
a
==−;.
i
YdPdX
i
i
b
XX
Подставляя эти величины в уравнение (12.9), получаем:
PY
2bX a
ii
=− ⋅
aX
i
Воспользуемся функцией спроса на факторы производства
(4.4), тогда:
2bX a
C
=− ⋅
∑
X a
i
Привлечем уравнение (4.5) для исключения C из этого уравнения:
a
∑
i
a
=− ⋅
⎢
XXk
⎢
⎣
21bX a
⎡
P
⎛
i
⎜
a
⎝
i
i
⎤
⎞
a
∑∏
⎟
i
⎠
(12.12)
⋅
⎥
⎥
⎦
Уравнение позволяет найти количество товара, если известны
цены на факторы производства, коэффициенты формулы КоббаДугласа и коэффициенты формулы спроса.
В общем случае уравнение (12.12) не имеет аналитического решения, но его можно решить численными методами. Однако находить решения полученного уравнения (12.12) нет необходимости,
поскольку оно не соответствует реальному материальному производству, так как игнорирует закон сохранения массы. Как показано в разделе 17 главы 3, закону сохранения массы соответствует
нормированное уравнение Кобба-Дугласа, тогда как в уравнении
(12.2) нормировка уравнения Кобба-Дугласа не выполнена.
Преобразуем уравнение (12.12) с использованием условий
нормировки формулы Кобба-Дугласа.
Вначале воспользуемся первым условием нормировки:
∑
i
n
=
(12.13)
a
=
1
i
1
для преобразования уравнения (12.12), тогда:
a
i
⎛
⎞
i
21bX a
=−
∏
⎜
kPa
⎝
(12.14)
⋅
⎟
⎠
i
241
Третье условие нормировки уравнения Кобба-Дугласа с учетом основного уравнения для единичной себестоимости:
P
i
(12.15)
=ε
x
i
a
i
позволяет переписать уравнение (12.14) следующим образом:
ε
a
2bX a
=−
i
x
.
∏
i
k
Привлечем второе условие нормировки уравнения Кобба-Дугласа:
a
i
kx
=
(12.16)
∏
i
и окончательно получим результат, который установлен синергетическим методом определения прибыли в разделе 15 главы 3:
a
−⋅ε
X
=
b
2
Этот результат совершенно очевиден, поскольку основное
уравнение экономической оптимизации прибыли (12.9) было
преобразовано с использованием результатов, полученных синергетическим методом для нормированной функции Кобба-Дугласа. Если же использовать любые иные функции Кобба-Дугласа, то
решения окажутся противоречащими закону сохранения массы и
поэтому не могут соответствовать реальному материальному производству.
Уравнение (12.9) удалось решить при использовании нормированной функции Кобба и одной из функций спроса. В отличие от
экономического метода определения прибыли, синергетический
метод не нуждается в знании производственных функций и его
основное уравнение для прибыли в монотоварном производстве
πε=−()PX
(12.17)
выражено через единичную себестоимость продукции, определяемую ценами факторов производства и их эффективностями:
P
i
ε= ⋅
(12.18)
∑
x
i
in1
=
С использованием условий нормировки модели Кобба-Дугласа, которые устанавливаются синергетическим методом, можно
получить уравнение для прибыли (12.17). Действительно, под-
242
ставив величину C из уравнения (4.5) в уравнение (12.1), можно
получить:
PX
X
⎢
k
i
⎢
⎣
π= − ⋅
n
⎡
n
P
⎛
i
∑∏
⎜
a
⎝
i
i
⎤
⎞
a
i
==
11
⋅
⎥
⎟
⎠
⎥
⎦
a
∑
i
a
i
Привлекая первое (12.13), второе (12.16) и третье (12.15) условия нормировки формулы Кобба-Дугласа, преобразуем полученное уравнение в основное уравнение для прибыли (12.17) синергетической оптимизации.
Таким образом, установление цены и количества товара, а на
их основе – прибыли, возможно, если известна производственная
функция. Однако из-за модельного характера производственных функций такие расчеты не могут дать точных значений ни
одной из величин. Совпадение величины прибыли, полученной
методом экономической оптимизации, с величиной прибыли, установленной методом синергетической оптимизации, оказалось
возможным только потому, что синергетический метод позволяет вычислить коэффициенты формулы Кобба-Дугласа и только в
этом случае удается получить решение уравнения (12.9). Если же
использовать уравнения Кобба-Дугласа с коэффициентами, установленными иными методами, то совпадения результатов может
и не быть.
Однако главное заключается в ином: синергетический метод,
в отличие от экономического, не нуждается в знании производственных функций, и поэтому имеет несомненные преимущества
перед экономическим методом определения прибыли.
Отметим еще два подхода к определению прибыли.
1) Метод средней себестоимости продукции основан на ис-
пользовании определения средней себестоимости
(average cost)
α
как отношения бюджетного ограничения к объему произведенной
продукции:
C
α= ⋅
(12.19)
X
Подстановка величины переменных издержек из этого уравнения в уравнение для прибыли (12.1) дает уравнение:
πα=−(),PX
(12.20)
которое по форме идентично уравнению синергетической оптимизации прибыли (12.7). Однако эти два уравнения принципиально отличаются друг от друга.
243
Дело в том, что единичная себестоимость может быть вычислена до начала производства, поскольку эта величина зависит от
эффективностей всех факторов производства и их цен известным
образом:
P
i
ε= ⋅
(12.21)
∑
x
i
in1
=
Другими словами, синергетическое определение прибыли является средством прогнозирования рентабельности производс-
тва. Используя этот метод, производитель может не только оценить величину максимальной прибыли предполагаемого производства, но то количество товара, которое должно быть произведено, и цену, которую необходимо установить для максимизации
прибыли.
Метод средней себестоимости нельзя использовать для прогнозирования, поскольку средняя себестоимость вычисляется на
основе произведенного объема производства и использованного
бюджетного ограничения действующего предприятия, когда уже
известны количества произведенной продукции, ее цены и полученная прибыль. Другими словами, метод средней себестоимости
применим для действующего производства, поэтому метод средней себестоимости не позволяет прогнозировать производство.
2) Графический метод определения прибыли разработан
Д. Робинсон
1
, который она считала набором инструментов экономического анализа, в частности максимизации прибыли. В действительности же эти инструменты оказались попыткой найти
большее количество переменных, чем количество связывающих
их уравнений. Другими словами, предлагалось усложненное
средство подгонки, которое в принципе не может дать правильного результата. Именно по этой причине здесь не рассматривается «графический стриптиз», который прекрасно иллюстрируется
отрывком из работы Дугласа: «Я несколько дней наблюдал, как
опытный преподаватель чертил резко отличающиеся друг от друга кривые предельной производительности труда; одна функция
опускалась очень постепенно, другая под углом 45
0
, а третья резко
падала вниз. Более того, было совершенно очевидно, что преподаватель не понимал, была ли существенная разница между этими
кривыми, он также не указывал, чертил ли он график в арифметическом или двойном логарифмическом масштабе. Действительно,
1
Robinson J. Economics of Imperfect Competition. London. MacMillan. 2nd Ed.
1969. 352 p.; Робинсон Д. Экономика несовершенной конкуренции. – М.: Прогресс,
1986. – 472 с.
244
казалось, что наклон кривой определялся частично случайностью,
частично прихотью преподавателя, частично зависел от наклона
его руки».
1
Такой же характер имеют и кривые маржинальных продуктов,
средних себестоимостей и т.д., лежащие в основе графического
метода. В большинстве учебников графический метод продолжают считать едва ли не единственным экономическим методом определения прибыли.
Несомненно, графические иллюстрации могут быть полезными для понимания существа некоторых экономических явлений,
описываемых математическими уравнениями. Однако графические иллюстрации, не основанные на математических уравнениях,
могут искажать смысл экономических явлений.
Противником графических методов был французский математик и механик Жозеф Лагранж, который в своем основном труде
отмечал, что «методы, которые здесь излагаются, не требуют ни
построений, ни геометрических или механических рассуждений,
но нуждаются исключительно в алгебраических операциях, подчиненных правильному и образному течению»
2
. Такой же подход
Лагранж использовал и при создании метода неопределенных коэффициентов, который в принципе не допускает геометрических
иллюстраций, поскольку даже простейший лагранжиан является
функций трех переменных.
Рассмотренные методы максимизации прибыли относятся в
основном к монопольному производству, когда производитель
может сам устанавливать цену на свою продукцию и выбирать
объем производства для максимизации прибыли. Однако монопольное производство не является ни единственным, ни доминирующим видом производства. Весьма часто производители могут
находиться в иных рыночных условиях и рассмотренные методы
максимизации прибыли оказываются неприменимыми. В главе 5
рассматривается максимизация прибыли в рыночных условиях,
отличающихся от монопольных.
1
Douglas P. H. Are there Laws of Production? Amer. Econom. Rev. 1948. Vol. 38.
№ 1. March. P. 1–41; Теория потребительского поведения и спроса. – СПб.: Экономическая школа. – Т. 3. – 1999.
2
Лагранж Ж. Л. Аналитическая механика. – М.: ГИТТЛ, 1950. – С. 3.
245
Глава 5
ИЗБРАННЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
5.1. Общие положения
Разработанный в главе 3 синергетический метод оптимизации
производства имеет множество применений, некоторые из которых уже рассмотрены. В этой главе возможности синергетического метода иллюстрируются на нескольких примерах, представляющих особый интерес.
Теория экономического равновесия Леона Вальраса продолжает оставаться краеугольным камнем экономической теории.
Однако никто не желает обращать внимания на то очевидное обстоятельство, что эта теория не может описать реальные экономические равновесия. В разделе 5.2 критически анализируется простейшая форма теории экономического равновесия Вальраса и
устанавливается ее непрактичность из-за отсутствия какой-либо
информации о функциях предложения. В некоторых простых случаях синергетический метод позволяет оценить функции предложения и установить равновесные значения цены и количества товара. Однако синергетический метод в принципе не нуждается в
знании функций предложений и поэтому является независимым
от теории экономического равновесия Вальраса.
Экономическая теория часто использует понятия «эффективность по Парето», «оптимальность по Парето». В разделе 5.3 приведены иллюстрации принципа эффективности рыночного равновесия спроса и предложения, приписываемого Вильфредо Парето.
Обоснование принципа Парето обычно носит общий, математически-демагогический характер, поскольку нет количественных
оценок, которые могли бы подтвердить или опровергнуть справедливость этого принципа. Синергетический метод оптимизации позволяет установить, что при некоторых условиях принцип
Парето может выполняться.
В разделе 5.4 анализируется проблема устойчивости экономического равновесия. Реальная рыночная экономика подтверждает,
что в некоторых случаях экономическое равновесие может быть
устойчивым. Дело в том, что при достижении экономического равновесия внешние факторы могут нарушать равновесие и это в некоторых случаях приводит к банкротству предприятий, например
246
при значительном увеличении цен на ресурсы. С другой стороны,
на многих предприятиях экономическое равновесие оказывается
устойчивым. Синергетический метод позволяет установить, что
экономическое равновесие может быть устойчивым при увеличении цен на факторы производства за счет компенсирующего увеличения цен на производимую продукцию.
В разделах 5.5, 5.6 подробно рассмотрены монополия, олигополия и конкуренция.
Разделы 5.7, 5.8, 5.9, 5.10 посвящены анализу межотраслевого
баланса. Рассмотрен парадокс Леонтьева, в соответствии с которым отрасли экономики не могут обеспечить производство продукции для общественного производства только за счет взаимного обмена ресурсами для производства. Предложена новая модель межотраслевого баланса, соответствующая закону сохранения массы и характеризующаяся значительной вычислительной
простотой. Показано, что объем продукции для общественного
потребления равен объему сырьевых природных ресурсов, используемых, по крайней мере, одной отраслью промышленности.
Полученные результаты расширены на рыночные условия и производства с отходами.
5.2. Равновесие спроса и потребления
В главе 3 рассмотрен синергетический метод установления
уравнений ценообразования, т. е. нахождения цены и количества
производимого товара, обеспечивающих максимальную прибыль
предприятию. Другими словами, синергетический метод позволяет получить ответы на три важнейших для любого предприятия
вопроса, а именно:
1) сколько произвести товара;
2) какую цену установить на товар;
3) какой может быть прибыль от реализации товара.
В главе 4 установлено, что экономический метод определения
прибыли требует знания не только функции спроса на производимую продукцию, но и явного вида производственной функции.
Исторически первые попытки нахождения равновесной цены
и количества товара основывались на представлениях о функциях
спроса и функциях предложения. В соответствии с разработанной
Леоном Вальрасом (представителем лозаннской школы экономики) теорией экономического равновесия точка пересечения
функции спроса на товар и функции предложения товара соответствует экономическому равновесию спроса и предложения,
а ее координаты – равновесной цене товара и равновесному ко-
247
личеству товара. Графики пересекающихся функций представлены во всех учебниках по экономической теории.
Для использования теории Вальраса необходимо знать:
1) функцию спроса на произведенный товар;
2) функцию предложения производимого товара.
Функции спроса на товар выражают закон спроса, в соответствии с которым количество товара обратно пропорционально цене
товара. Математически это означает, что цена товара является убывающей функцией количества товара. Теоретически установить вид
функции спроса удается только для некоторых из них. Например,
гиперболическая функция спроса следует из оптимизации полезности совокупности товаров, соответствующей модели Кобба-Дугласа (см. раздел 2.5). Помимо гиперболической функции спроса, в
экономике рассматривают линейные, логарифмические, полиноминальные, экспоненциальные функции спроса (см. раздел 3.15).
Параметры функций спроса на некоторые товары на некоторых
рынках можно установить методами эконометрики.
Для функций предложения зависимость между ценой товара и
его количеством иная: чем выше рыночная цена товара, тем большее количество товара готовы произвести предприятия. Другими
словами, функция предложения представляет собой зависимость
количества товара, которое предприятие предполагает произвести для рынка, от рыночной цены этого товара. Математически это
означает, что цена товара является возрастающей функцией количества товара. При таком подходе считается, что повышение цены
товара на рынке поощряет производителей увеличивать объем
производства и привлекает иных производителей к выпуску аналогичных товаров. В отличии от функций спроса, отсутствуют какие-либо методы установления функций предложений.
Подход Вальраса, несомненно, лишь иллюстрирует экономическое равновесие, но не позволяет его оценить, поскольку функции предложения не только не известны, но и отсутствуют даже
методы их оценки. Другими словами, вычислить равновесную
цену и количество товара на основе теории экономического равновесия Вальраса невозможно.
Несмотря на непрактичность, теория экономического равновесия Вальраса считается выдающимся достижением экономической науки. Значительный вклад в развитие этой теории внес
представитель кембриджской школы экономики Альфред Мар-
1
и другие экономисты, но это не сделало теорию практич-
шалл
1
Marshall A. Principles of Economics. London. Macmillan. 9th ed. 1961. 858 p;
Маршалл А. Принципы экономической науки. – Т. 2. – М.: Прогресс. – С. 20–34.
248
ной. Следует отметить проблему недостаточного понимания работ
Вальраса, поскольку они были опубликованы на французском и
итальянском языках, и поэтому большинство экономистов с эти-
1
ми работами знакомо понаслышке. Основной труд Вальраса
был
переведен на английский язык лишь в 1954 г., а на русский – в
2000 г. ограниченным тиражом.
Классической теории экономического равновесия свойствен-
ны следующие редко упоминаемые недостатки.
1) Необходимость знания функции предложения. Не существует убедительных методов нахождения функций предложения.
В результате большинство иллюстраций, приводимых в учебной
литературе, обосновываются интуитивно и «взяты с потолка».
2) Экономическое равновесие обеспечивается множеством
функций предложения для любой функции спроса. Любая точка
экономического равновесия может соответствовать пересечению
любой функции предложения с заданной функцией спроса. Другими словами, экономическое равновесие не является однозначно
определенным.
3) Равновесные значения цены и количества товара не свя-
заны с максимальной прибылью от реализации равновесного количества товара по равновесной цене. Никто не доказал, что выбор
функции спроса и функции предложения обеспечивает экономическое равновесие с максимальной прибылью.
Обсуждение этих и иных недостатков теории экономического равновесия Вальраса-Маршалла остается табу экономической
теории. Жонглирование равновесием спроса и предложения продолжается на всех уровнях как микроэкономики, так и макроэкономики из-за непререкаемого авторитета Вальраса, Маршалла и
других экономистов.
Впоследствии задачу установления равновесной цены и количества товара, обеспечивающих максимальную прибыль, стали
решать методом Лагранжа (см. раздел 4.12). При таком подходе
необходимо знать в явном виде:
1) функцию спроса на произведенную продукцию;
2) производственную функцию конкретного производства.
Другими словами, вместо функции предложения по теории
Вальраса потребовалось знание производственной функции. Следовательно, классическое равновесие спроса и предложения Валь-
раса оказалось излишним, поскольку из производственной функции никто не смог установить функцию предложения.
1
Wa l r as L . Elements of Pure Economics or the Theory of Social Wealth. London.
1954. 620 p.; Вальрас Л. Элементы чистой политической экономии или теория общественного богатства. – М.: Экономика, 2000. – 443 с.
249
Метод Лагранжа позволил установить равновесную цену и количество товара, обеспечивающих максимальную прибыль, если
известна функция спроса и производственная функция. В разделе 4.12 показано, что задача максимизации прибыли может быть
решена, т. е. установлено экономическое равновесие, если параметры модели Кобба-Дугласа оценены синергетическим методом.
При этом удается получить уравнения, которые совпадают с уравнениями синергетической оптимизации, не требующей знания
производственной функции.
Таким образом, экономическое равновесие оказывается установленным синергетическим методом оптимизации, который не
требует знания ни функции предложения, ни производственной
функции. Более того, в некоторых случаях результаты синергетической оптимизации позволяют оценить функции предложения
подобно тому, как они позволили установить все параметры производственной модели Кобба-Дугласа.
Проиллюстрируем установление одной из функций предложения на основе полученных результатов синергетической оптимизации.
Как показано в разделе 3.15, для линейных функций спроса
PabX=−
т. е. прибыль максимальна, если цена товара и его количество соответствуют следующим уравнениям:
a
+
P
где a и b – параметры функции спроса, ε – единичная себестоимость продукции. Исключив параметр a из этих уравнений, можно получить
Это уравнение показывает, что цена продукции прямо пропорциональна его количеству, т. е. полученное уравнение фактически
выражает функцию предложения. Поскольку уравнения (2.2) соответствуют максимизации прибыли, то уравнение (2.3) является функцией предложения, оптимизированной по максимальной
прибыли. Понятно, что совместное решение уравнения спроса
(2.1) и уравнения предложения (2.3) дает значения цены и количества товара, соответствующих уравнениям (2.2).
Аналогично можно установить и иные функции предложения синергетическим методом на основе иных функций спроса,
250
εε
=
22
PbX=+ε .
, (2.1)
a
−
;
X
=
(2.2)
⋅
b
(2.3)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]