Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
Пример 50.
Дано: функция с ограничениями
Fx x
=+
03 09
xx
12
xx
710 0
12
xx
30
1
,,;
12
+≥
800
;
−≤
−≥
12
;
.
Найти: оптимизированные значения функции.
Решение. Система из первого и второго ограничения имеет ре-
шение
xx
470 59 329 41==,; ,
12
и дает
F = 437 65,
.
Из системы из первого и третьего ограничения имеем
xx
200 600==;
12
и целевую функцию
Система из второго и третьего ограничения дают
F = 600.
xx
00==;
12
нулевую целевую функцию.
Ответ:
F = 437 65,
и F = 0.
и
Пример 51.
Дано: функция с ограничениями
Fx xx
=+−
10 12 2
xxx
+−≤
2 320
123
xx x
+≤ ≤
3 350 10
12 3
2
123
;
;
;.
Найти: максимальное значение функции.
Решение. Если сложить первое и третье ограничение для исклю-
чения x
F = 2256.
, то решение полученной системы дает
3
Ответ:
F = 2256.
xx
74 128==;
12
Пример 52.
Дано: функция с ограничениями
Fx x x x
=+++
35 56 45 66
123 4
xx
2 150
12
xx
3 6 400
12
xx
13
x
2
3
+≤
+≤
+=
100
120= .
xx
+
4
;
;
;
;
Найти: оптимизированные значения функции.
Решение. Третье и четвертое ограничение позволяют исклю-
чить величины
1
Таха Х. А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2005. – С. 40–42.
2
Таха Х. А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2005. – С. 165–166.
3
Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике: моде-
ли, задачи, решения. – М.: Инфра-М, 2000. – С. 6–8.
из первых двух ограничений и получить
xx
;
12
и
71
систему уравнений, решение которой дает
xx
400 9 730 9==/; /,
34
что позволяет из третьего и четвертого ограничений получить
xx
500 9 350 9==/; /,
12
ется равным
При х
F =11475 56,
= 0 решение системы: х2 = 200/3; х3 = 100; х4 = 160/3, в
1
таком случае F = 1,175 · 10
При х
= 0 решение системы: х1 = 75; х3 = 25; х4 = 120, в таком
2
случае F = 1,167 · 10
При х
При х
= 0 получим х2 < 0.
3
= х2 = 0 решение системы: х3 = 100; х4 = 120, тогда
1
тогда значение целевой функции оказыва-
.
4
.
4
.
F = 12420.
Условие х
= х3 = 0 не соответствует третьему ограничению.
1
При х2 = х3 = 0 значение х1 не соответствует первому ограничению.
Сравнивая полученные решения, устанавливаем наибольшее
значение целевой функции F = 12420 и наименьшее значение –
F = 11475,56.
Ответ: F = 11475,56; F = 12420.
4) Особые задачи линейного программирования.
В предыдущих разделах изложен аналитический метод решения типичных задач линейного программирования. Аналитический метод может быть применен и к особым задачам линейного
программирования.
Пример 53.
Дано:
1) производительности экскаваторов:
Таблица 11.1
Производительности экскаваторов (м3/час)
Виды работ
1 105 107 64
256 66 38
356 83 53
123
Экскаваторы
2) объем каждого вида землеройных работ равен 20 тыс. м3;
3) время работы экскаваторов одинаково.
Найти: общее время работы экскаваторов на различных видах
работ.
Решение 1. Данный пример иллюстрирует «задачу об экскаваторах», рассмотренную Л. В. Канторовичем в первой работе
1
,
1
Kantorovich L. V. Mathematical Methods of Organizing and Planning Production
// Management Science. July 1960. P. 366–422.
72
посвященной линейному программированию, которую избегают
авторы учебников по линейному программированию. Причина
«забвения» работы нобелевского лауреата заключается в том, что
метод разрешающих коэффициентов Канторовича не является ни
простым, ни убедительным.
Как альтернатива аналитический метод линейной оптимизации позволяет легко и строго решить эту задачу.
В своей работе Л. В. Канторович не привел ни явный вид целевой функции, ни явный вид ограничений, хотя их легко найти,
используя условия задачи.
Обозначим
как время работы на i-м виде работ k-го экс-
x
ik
каватора. В качестве целевой функции выберем время работы
любого экскаватора или общее время работы всех экскаваторов.
Используя таблицу производительностей экскаваторов и объем
работы каждого экскаватора, получаем следующую задачу линейной оптимизации.
;
220000
;
;
(11.3)
;
;
.
Fx x x
=++
105 107 64 20000
xxx
11 12 13
56 66 38
xxx
21 22 23
xxx
56 83 53 20000
31 32 33
xxx xx x
++=++
11 21 31 12 22 32
x
+++=++xxxxx
11
11 21 31
++=
++=
++=
21 31 13 23 33
Первые три ограничения – это условия выполнения заданного
объема работ, а два последних ограничения – условие одинакового времени работы экскаваторов.
Система ограничений имеет 9 переменных и образована 5 уравнениями. В соответствии с аналитическим методом линейной оптимизации для получения решения необходимо последовательно
исключать четыре переменных.
Исключения могут иметь экономическое содержание. Например, едва ли будет использован экскаватор на работах с наименьшей производительностью:
x230= .
Условие равного времени
работы может не потребовать использования экскаватора с наибольшей производительностью:
дополнительно допускается
xx
13 31
x120= .
00==;
В работе Канторовича
.
В таком случае система ограничений сводится к:
105 20000 56 66 20000
xxx
=+=
83 53 20000
11 21 22
xx xxx
+= +=
32 33 11 21
;;
+
;
+=
xxx;.
11 21 33
x
222 32
73
Из первого уравнения получаем
x1120000 105 190 4762==/,
,
тогда:
56 66 20000
xx
+=
21 22
83 53 20000
xx
+=
20000 105
32 33
/;
220000 105
xxx
+=+
21 22 32
/.+=xx
21 33
;
;
Систему уравнений можно решить любым способом. Компью-
терная программа Derive дает такие результаты:
xxx
190 4762 93 2388 223 9186
==
11 21 22
,; ,; ,;
xx
==
32 33
=
59 7964
,;
2283 7150,.
Эти результаты с точностью до 8 десятичных знаков совпадают с решениями задачи линейного программирования (11.3), полученными с помощью компьютерной программы Maple. Важно
подчеркнуть, что при решениях с помощью программы Maple нулевые значения времени работы некоторых экскаваторов на некоторых видах работ получены численным методом, не требующим
правдоподобных (экономических) допущений, основанных на
производительности экскаваторов.
Помимо проверки решения с помощью программы Maple, данная задача решалась с помощью специализированной компьютерной программы линейного программирования CPLEX в среде
AMPL. Результаты расчетов полностью совпали с решениями,
полученными аналитическим методом и с помощью программы
Maple.
Сопоставим решения, полученные аналитическим методом
(АМ), с решениями Канторовича (ЛК).
Таблица 11.2
Сопоставление решений Канторовичем и аналитическим методом
Время работы экскаваторов, час.
Виды работ
1 190 190,4762 0 0 0 0
2 92 93,2388 222 223,9186 0 0
3 0 0 60 59,7964 282 283,7150
Полное 282 283,7150 282 283,7150 282 283,7150
123
ЛК АМ ЛК АМ ЛК АМ
Поскольку решения, полученные аналитическим методом,
полностью совпадают с решениями, полученными с помощью
программ Maple и CPLEX, то решения Канторовича оказываются
74
приблизительными, а решения, полученные аналитическим методом, – точными. Несмотря на то, что Канторович представил округленное значение в 282 часа для каждого экскаватора, неокругленное решение равно 282,4859 часа.
Ответ 1: 847 часов (квазиоптимальное решение).
Решение 2. Помимо оптимального решения в работе Канто-
ровича приведено неоптимальное решение, когда время работы
экскаваторов увеличивается с 282 до 320 часов, соответствующее
условиям
xxxx
11 12 21 23
. Данное решение представлено
0====
как подтверждение оптимальности основного решения. Однако
в действительности метод разрешающих коэффициентов, с помощью которого было получено решение, не позволил получить
действительно оптимальное решение.
Ответ 2: 960 часов (неоптимальное решение).
Решение 3. Задача об экскаваторах формировалась на основе
социалистической модели хозяйствования, которая требовала
использовать как хорошую, так и плохую технику. В данном примере третий экскаватор на всех видах работ имеет самую низкую
производительность. Поэтому можно найти решение, когда всю
работу можно более эффективно выполнить двумя более производительными экскаваторами.
1) Исключение третьего экскаватора означает:
xxx
000===;;.
13 23 33
2) Учитывая производительности экскаваторов на различных
видах работ, рационально допустить, что первый экскаватор будет
выполнять первые два вида работ, а второй – два последних вида
работ, т. е.:
xx
00==;.
12 31
В таком случае исходная система ограничений сводится к
105 20000 56 66 20000
xxx
=+=
11 21 22
83 20000
xxxxx
=+=+
32 11 21 22 32
;;
;..
Первое и второе ограничение дают такую систему уравнений:
56 66 20000
xx
+=
21 22
xx
=+;,,
21 22
50 4877
которая имеет следующее решение:
xx
191 2474 140 7598==,; ,.
21 22
75
Находим время работы экскаваторов:
xx
+=
11 21
xx
+=
22 32
381 7236
,;
381 7236
,.
Ответ: 763 часа (оптимальное решение).
Таким образом, решение «задачи об экскаваторах» Канторовича оптимальным не является, поскольку существует более
экономное решение, когда исключен третий экскаватор. В последнем случае время работы двух наиболее производительных
экскаваторов оказывается на 10 % меньше, чем время работы трех
экскаваторов. Кроме того, экономятся топливные ресурсы из-за
исключения третьего экскаватора и расходов на оплату труда экскаваторщика.
Итак, решения, которые дает аналитический метод линей-
ной оптимизации, оказываются экономически более эффективными, чем метод разрешающих коэффициентов Канторови-
ча. Следовательно, аналитический метод линейной оптимизации
позволяет решить «задачу об экскаваторах» простым и естественным образом и предложить решения, которые экономически более эффективны и которые не были установлены Канторовичем.
Пример 54.
Дано:
1) расстояния от заводов, производящих автомобили одного
вида, в трех городах до торговых центров в двух других городах:
SSSSSS
1000 2690 1250 1350 1275 850======;;;;;;
11 12 21 22 31 32
2) объем производства автомобилей каждого завода:
NNN
1000 1500 1200===;;;
123
3) потребность каждого торгового центра в автомобилях:
MM
2300 1400==;;
12
4) издержки перевозки автомобиля на милю: 0,08 долларов.
Найти: наименьшую стоимость перевозок автомобилей.
Решение. Целевая функция равна сумме произведений рассто-
яния и количества перевозимых автомобилей (
) по каждому
x
11
маршруту:
SxSxSxSxSxSxS=+++++
11 11 12 12 21 21 22 22 31 31 32 32
1
Таха Х. А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2005. –
С. 194–197.
.
76
1
На целевую функцию налагаются ограничения двух видов,
связанные с объемами производства завода и общей емкостью
центров:
xx xx
+= +=
11 12 21 22
xx xxx
+= ++=
31 32 11 21 31
1000 1500
;;
1200 2300
;.
В цитированной работе добавлено пятое ограничение для емкости второго центра, однако в действительности оно является
излишним, поскольку может быть получено сложением первых
трех ограничений и вычитанием из результата четвертого ограничения.
Итак, в транспортной задаче имеется 6 переменных и 4 ограничения, поэтому задача может иметь решение, если исключить
две переменные. Такое исключение можно сделать любым из двух
способов.
1) Формальный. Последовательно исключаются две переменные, т. е. рассматриваются системы уравнений, число которых
равно числу перестановок всех переменных
6262 15!/ ( !( )!) .−=
Решая каждую систему и сравнивая полученные результаты, можно установить оптимальное решение. Такой подход удобен, если
алгоритм реализован в компьютерной программе.
2) Аналитический. Исключают наибольшие участки маршрута и оставляют наименьшие при учете ограничений. В данном
случае можно исключить участок S
S
(все автомобили с третьего завода могут быть доставлены по
31
(как наибольший) и участок
12
самому кратчайшему маршруту во второй центр). Таким образом,
задача решается при
xx
00==;.
12 31
В таком случае из ограничений следует:
xxxx
1000 1300 200 1200====;;;.
11 21 22 32
Это позволяет найти оптимальный вариант перевозок:
S =+⋅+⋅+⋅ =⋅().1000 125 13 135 2 85 12 10 3915 10
Вычислим стоимость перевозок:
0 08 3915 10 313 2 10
,,⋅⋅= ⋅
33
33
дол-
ларов.
Ответ:
313 2 10
, ⋅
3
долларов.
В данном разделе рассмотрено существо аналитического метода линейной оптимизации и его использование для решения задач, взятых из литературных источников. Причем представлена
лишь небольшая часть апробированных решений, т. е. количество
77
решений задач аналитическим методом можно безгранично расширять.
Однако уже приведенных решений вполне достаточно, чтобы
сделать основной вывод: простота решений аналитическим
методом линейной оптимизации не сопоставима со сложностью любого иного известного метода.
Например, решение задачи, представленной в примере 34, мето-
дом симплекса оказалось не только очень сложным и потребовало
для иллюстрации 3 стр. текста, но и ошибочным по знаку целевой
функции. Решение модифицированным симплекс-методом оказалось еще более сложным и потребовало только для иллюстрации
более 3 стр. текста и также дало неверный знак целевой функции. Хотя в условии задачи предлагалась минимизация целевой
функции, но ошибочные решения дали максимум функции. Решение с помощью компьютерной программы Maple подтвердило
результат, полученный аналитическим методом, в соответствии с
которым функция имеет минимальное значение. В последующих
изданиях данная задача была исключена.
Иллюстрация решения примера 37 методом симплекса потребовала изложения на 6 стр.
Решение примера 41 известными методами линейного программирования особенно показательно. Решение методом симплекса изложено на 8 стр., модифицированным симплекс-методом – на 4 стр., а с помощью пакета прикладных программ линейного программирования АСУ – на 5 стр. В последующих изданиях
допущена опечатка в первом ограничении, но оставлен ответ при
использовании ограничения в правильной форме. Вместо пакета
прикладных программ линейного программирования АСУ использована компьютерная программа SOLVER, но иллюстрация
решения потребовала тех же 5 стр.
Иллюстрация решения примера 49 графическим методом представлена на 2 стр., а методом симплекса – на 6 стр.
Решение задачи об экскаваторах в примере 53 методом разрешающих коэффициентов Канторовича изложено на 3 стр. и не является убедительным.
Транспортная задача в примере 54 не решена прямым расчетом, а потребовала для решения специализированной компьютерной программы.
78
Глава 2
ОПТИМИЗАЦИЯ ПОТРЕБЛЕНИЯ
2.1. Общие положения
Потребители товаров и услуг являются важнейшими элементами любой экономической системы, поскольку иные ее элементы,
в частности производственные, во многом зависят от поведения
потребителей. Попытки понять и объяснить поведение потребителей начались, по меньшей мере, со времен Адама Смита. Многие
экономисты полагали, что поведение потребителей определяется
полезностью совокупности товаров. Начала теории полезности
заложил Иеремия Бентам
Вильям Джевонс, Карл Менгер, Леон Вальрас, Альфред Маршалл,
Вильфредо Парето, Джон Хикс, Пол Самуэльсон и др.
В соответствии с теорией полезности с увеличением количества товаров полезность увеличивается в меньшей мере, т. е. существует максимум полезности, что составляет содержание закона
убывающей полезности Госсена. Обоснования этого закона до
настоящего времени остаются интуитивными, схожими с подходом Джевонса
2
, который не позволяет доказать существование
максимума полезности. Евгений Слуцкий рассматривал закон Госсена «просто как эмпирическое обобщение, которое до сих пор лишено строгого доказательства»
В XX в. стало ясно, что полезность зависит не только от количества товаров, но и от покупательной способности потребителей. Другими словами, для понимания поведения потребителей
необходимо рассматривать полезность, на которую налагается ограничение – бюджет потребителя. Однако использование метода
неопределенных множителей Лагранжа не позволило обосновать
и отобразить графически закон убывающей полезности, поскольку даже для двух видов товара лагранжиан оказывается функцией
трех переменных и не может быть изображен графически.
1
Бентам И. Введение в основания нравственности и законодательства. – М.:
РОССПЭН, 1998.
2
Jevons W. S. The Theory of Political Economy. 2nd ed. 1879, reprinted in 1970.
P. 106–109.
3
Слуцкий Е. Е. К теории сбалансированного бюджета потребителя // Эконо-
мико-математические методы. М., 1963 – С. 245.
1
. Вклад в теорию полезности внесли
3
.
79
Представляется, что теория потребления, основанная на понятии полезности, может быть относительно строго обоснована и
применима для понимания поведения потребителей. Такое обоснование теории потребления обеспечивает аналитический метод
1
оптимизации
, рассмотренный в предыдущей главе.
2.2. Моделирование полезности
Для моделирования полезности можно воспользоваться уравнением
мист Пол Дуглас и математик Чарльз Кобб. Долгое время счита-
лось, что применимость модели Кобба-Дугласа ограничена теорией и практикой производства. Однако в действительности эту модель можно использовать и в теории потребления. Такой подход
принципиально отличается от традиционных общих рассуждений
о полезности, которые оказались не только бесполезными, но и
вредными, поскольку скрывали действительный смысл полезности как экономической функции.
нием:
где k – коэффициент, x
циенты, выражающие предпочтения потребителя к данному виду
товара.
представляет собой поверхность в
двух товаров полезность можно изобразить в трехмерном пространстве, если задавать или выбирать значения величин
в некотором интервале значений
рованных компьютерных программ, например Maple. На рис. 2.1
изображена поверхность полезности в интервале значений количеств товаров от 0 до 100 при
2
, которое эмпирически установили американский эконо-
Модель Кобба-Дугласа для полезности U описывается уравне-
n
a
– количество товара i-го вида, ai – коэффи-
i
Ukx
=
i
, (2.1)
i
=∏1
i
Полезность n видов товаров в рамках модели Кобба-Дугласа
мерном пространстве. Для
n +1
ka a,,
xx
12
aa
12
с помощью специализи-
,
.
1==
12
1
Судариков С. А., Грек Н. Г., Бахренькова К. А. Экономика и интеллектуаль-
ная собственность. – М.: Издательство деловой и учебной литературы, 2005. –
С. 212–318.
2 Cobb C. W., Douglas P. H. A Theory of Production // Amer. Econ. Rev. 1928. Vol.
18. Suppl. March. P. 139–165.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]