Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовый менеджмент. Учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям
.pdf
Множитель (1+ t • r) называется множителем наращения суммы
простых процентов. Его значение всегда должно больше единицы.
Сумма простого процента в процессе наращения стоимости капитала рассчитывается по формуле:
Ð = PV • t•r.
Пример. Определить будущую стоимость вклада и сумму простого процента за год при следующих условиях:
первоначальная сумма вклада — 5000 руб.;
процентная ставка, выплачиваемая ежеквартально — 3%.
Решение:
сумма процента составит
Ð = 5000•0,03•4 = 600 ðóá.;
Будущая стоимость вклада составит
FV = 5000• (1 + 4• 0,03) = 5600 ðóá.
Пример. Определить период начисления при годовой процентной ставке 10%, за который первоначальный капитал 100 тыс. руб.
вырастет до 140 тыс. руб. по простым процентам.
Решение:
FV = PV (1+ r• t),
отсюда
T =
FV PV
PV r
140 100
100 0,1
ãîäà.
4
Пример. Рассчитать простую ставку процентов i, при которой
первоначальный капитал (PV) в размере 200 тыс. руб. достигнет
230 тыс. руб. через 2 года.
Решение:
PV 230 тыс.200тыс.
FV
0, 075, или 7, 5%.
r
tPV
2200тыс.
Переменные ставки. По условиям кредитного договора процентная ставка может изменяться во времени. В этом случае наращенная сумма (FV) определяется по формуле:
FV = PV (1+Ò1 • r1+ Ò2 • r2+Ò3 • r3+….+Tn • rn), (4.2)
ãäå PV — первоначальная сумма;
r
1, r2, r3,
Ò
1
…. rn — годовая ставка простых процентов;
, Т2,Т3,….Tn — продолжительность периода.
Пример. Организации необходим кредит в размере 10 000 тыс. руб.
сроком на 3 года. По условию договора начисляются простые про-
81
центы: первый год — 16%, в каждом последующем годовая ставка
F
повышается на 2%. Определить сумму кредита к возврату.
Решение:
сумма кредита к возврату составит:
FV = 10 000 òûñ. • (1+0,16 +0,18 +0,20) = 15 400 òûñ. ðóá.
Начисленная сумма процента равна 5400 тыс. руб.
Сложные проценты. Сложные проценты широко применяются в
долгосрочных финансовых операциях со сроком более одного года.
Для расчета по сложным процентам используется более обширная
система расчетных алгоритмов.
Базой для исчисления процентов за каждый плановый период
по сложным процентам являются первоначальная (исходная) сумма
сделки и к этому времени накопленные проценты. Присоединение
начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.
1. При расчете будущей суммы вклада в процессе его нараще-
ния по сложным процентам используется следующая формула:
t
VPV r (4.3)
ãäå FV — будущая стоимость вклада по сложным процентам;
PV — первоначальная сумма вклада;
t — число интервалов, по которым осуществляется расчет про-
центных платежей;
r — процентная ставка.
(1 ) ,
Начисленная сумма процента Ð определяется по формуле
Ð = FV – PV.
Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления значительно выгоднее, поскольку вложенный капитал постоянно возрастает.
Выражение (1+ r)
t
называют мультиплицирующим множителем,
èëè множителем наращения сложных процентов. Экономический
смысл множителя состоит в следующем: он показывает будущую
стоимость вложенного капитала через n лет при заданной процентной ставке i.
Пример. Определить будущую стоимость вклада и сумму сложного
процента за весь период инвестирования при следующих условиях:
первоначальная стоимость вклада — 5000 руб.;
процентная ставка, выплачиваемая ежеквартально — 3%;
общий период инвестирования — 1 год.
Решение:
будущая стоимость составит
FV = 5000• (1 + 0,03)4 = 5627,5 ðóá.;
82
начисленная сумма процента равна
Ð = 5627,5 – 5000 = 627,5 ðóá.
Пример. Банк предоставляет организации кредит 5000 тыс. руб.
под 18% годовых сроком на 3 года. Проценты начисляются на полугодие. Определить сумму к погашению ссуды.
Решение:
в данном примере процентная ставка на полугодие составит
0,18 : 2 = 0,09 (9%).
Сумма средств к погашению через три года составит:
FV = 5000• (1+0,09)6 = 8385,5 òûñ. ðóá.
2. Настоящая стоимость денежных средств FV с учетом начис-
ленной суммы простого процента определяется по формуле:
1
(4.4)
FV PV
(1 )
tr
.
Множитель
мы простых процентов; его значение всегда должно быть меньше
единицы.
Сумма простого процента в процессе дисконтирования стоимости определяется по формуле
ãäå D — дисконт за обусловленный период времени в целом.
Пример. Определить настоящую (текущую) стоимость вклада
и сумму дисконта по простому проценту за год при следующих
условиях:
конечная сумма вклада — 5000 руб.;
дисконтная ставка, выплачиваемая ежеквартально, — 3%.
Решение:
настоящая стоимость вклада составит
Начисленная сумма дисконта составит
При расчете настоящей стоимости денежных средств в процессе
дисконтирования (FV) по сложным процентам используется следующая формула:
1
называется дисконтным множителем сум-
(1 )tr
,DPVFV
5000 4464, 28
FV
D 5000 4464, 28 535, 72
1
(1 4 0, 0 3)
ðóá.
ðóá.;
83
FVr
PV
(1 )
,
(4.5)
t
Начисленная сумма дисконта D определяется по формуле:
D = PV – FV.
Пример. Определить настоящую стоимость денежных средств и
сумму дисконта по сложным процентам за 1 год при следующих
условиях:
будущая стоимость вклада — 5000 руб.;
процентная ставка, выплачиваемая ежеквартально — 3%.
Решение:
настоящая стоимость составит
FV
начисленная сумма дисконта
D = 5000 – 4440,0 = 560,0 ðóá.
5000
(1 0, 0 3)
4
4440,0
ðóá.
3. При определении процентной ставки, используемой в расчетах
стоимости денежных средств по сложным процентам, применяется
следующая формула
1/
t
PV
1,
r
FV
(4.6)
Пример. Определить годовую ставку доходности облигации при
следующих условиях:
номинал облигации, подлежащей погашению через 3 года,
составляет 5000 руб.;
цена, по которой облигация реализуется в момент ее эмис-
сии, составляет 3000 руб.
Решение:
годовая ставка доходности составит
1/3
5000
r
3000
11,1910,19,или 19%.
Пример. Инвестор имеет 300 000 руб. и желает получить через
2 года 400 000 руб. Каково в этом случае должно быть минимальное
значение годовой процентной ставки?
Решение:
пользуемся формулой
350 000
r
300 000
1/ 2
10,08(8%).
84
Следовательно, для того чтобы получить необходимую сумму
нужно вложить денежные средства по годовой ставке не ниже 8%.
4. Эффективная процентная ставка в процессе наращения стои-
мости денежных средств по сложным процентам рассчитывается по
формуле
t
i
11,
ãäå r
r
e
n
эффективная среднегодовая процентная ставка при наращении
e —
стоимости денежных средств по сложным процентам.
(4.7)
Пример. Определить эффективную среднегодовую процентную
ставку при следующих условиях:
денежная сумма 5000 руб. помещена в коммерческий банк на
депозит сроком на 2 года;
годовая процентная ставка, по которой ежеквартально осуще-
ствляется начисление процента, составляет 12%.
Решение:
эффективная среднегодовая процентная ставка составит
4
0,12
r
110,125,или 12,5%.
e
4
Результаты расчетов показывают, что условия размещения вклада на 2 года под 12% годовых при ежеквартальном начислении процентов равнозначны условиям начисления этих процентов 1 раз в
год под 12,5% годовых.
При оценке стоимости денег во времени по сложным процентам надо иметь в виду, что на результат оценки оказывает влияние
не только ставка процента, но и число интервалов выплат в течение
одного и того же общего платежного периода.
Пример. Если вклад в сумме 100 000 руб. хранить в банке 2 года,
то при годовой ставке 12% в зависимости от частоты начисления
процентов накопленная сумма составит:
а) при начислении процента 1 раз в год
100 000• (1+0,12)2 = 125 440 ðóá.;
б) при полугодовом начислении процентов
100 000• (1+0,12/2)
2• 2
= 100 000• (1+0,06)4 = 126 247,69 ðóá.;
в) при ежеквартальном начислении процентов
100 000• (1+0,12/4)
2• 4
= 100 000• (1+0,03)8 = 126 677 ðóá.;
г) при ежемесячном начислении процентов
100 000• (1+0,12/12)2• 12 = 100 000• (1+0,01)24 = 126 973,46 ðóá.
Временные периоды, которым соответствуют определенные по
величине денежные потоки, обычно предполагаются равными.
85
Одновременно предполагается, что денежные средства поступают
либо в начале, либо в конце периода, т.е. они не распределены
внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ, в начале или в конце года.
Ряд последовательных фиксированных платежей, производимых
через равные промежутки времени, называют финансовой рентой,
или аннуитетом.
Аннуитет — во-первых, это один из видов срочного займа, по
которому ежегодно выплачиваются проценты и погашается часть
суммы; во-вторых, так называют равные друг другу денежные платежи, выплачиваемые через равные промежутки времени в счет погашения полученного кредита, займа, и проценты. В развитых
странах в основном это вложение денежных средств в страховые и
пенсионные фонды. Страховые компании и пенсионные фонды
выпускают долговые обязательства, которые их владельцы хотят
использовать на покрытие непредвиденных расходов в будущем.
Пенсионные фонды обеспечивают своих клиентов денежными
средствами на период после выхода на пенсию.
Аннуитет рассчитывается с помощью коэффициента аннуитета
(AN), который распределяет величину Ê
на равные суммы плате-
î
жей с учетом процента на t лет, т.е. превращает «разовый платеж
сейчас» в платежный ряд:
t
r
(4.8)
,
t
АNCr
(1 )
rr
(1 ) 1
выражение
(1 )
rr
(1 ) 1
t
r
,
t
называется коэффициентом аннуитета,
ãäå AN — ежегодные платежи денежных средств, тыс. руб.;
Cr — сумма кредита, тыс. руб.:
r — годовая процентная ставка.
Пример. Коммерческий банк предоставил клиенту кредит на
3 года в размере 600 тыс. руб. под 16% годовых, начисляемых по
схеме сложных процентов на непогашенный остаток. По договору
кредит возвращается равными суммами в конце каждого года (постнумерандо). Требуется рассчитать сумму годового платежа.
Решение:
AN =
600 тыс. 600 тыс. 0,44 267,4
0,16(1 0,16)
(1 0 ,1 6) 1
3
3
òûñ. ðóá.
86
Авансовый аннуитет — поступление потоков платежей в начале
каждого периода. Первый платеж не дисконтируется, а все последующие платежи дисконтируются. Формула расчета авансового аннуитета имеет следующий вид:
t
(4.9)
.
r
ANa =
1(1r )
Cr
Пример. Организация сдает свободные площади в аренду за
1500 тыс. руб. ежегодно. Определить текущую стоимость совокупного дохода в течение 5 лет при годовой ставке дисконта 10%.
Решение:
5
0,1i
òûñ. ðóá.
ANa =
1(10,1) 10,62
1500 тыс. 1500 тыс. 5700
Коэффициент конечной стоимости рассчитывается следующим
образом:
t
(1 ) 1
r
FV PV
b
.
r
Пример. Инвестор ежегодно делает взнос в размере 500 тыс. руб.
под 12% годовых. Определить какая сумма будет на счете по истечении 5 лет?
Решение:
FV
òûñ. ðóá.
500 тыс. 3166,6
b
(1 0,12) 1
0,12
5
Оплата по заключенным сделкам может предусматривать как
разовый платеж, так и ряд выплат, распределенных во времени выплата арендной платы, выплаты за приобретенное в рассрочку
имущество, инвестирование средств в различные программы и т.п.
В большинстве случаев платежи вносятся через определенные промежутки времени, т.е. образуется поток платежей. Такой механизм
используется при создании благотворительного фонда.
Пример. Предпринимателю для непрерывного финансирования
текущей деятельности необходимо в будущем в течение 3 года снимать в конце каждого года со счета по 1000 тыс. руб. Определить
размер депозитного вклада в настоящее время, если процентная
ставка — 10%.
Решение:
текущая стоимость денежных средств составляет:
1-é ãîä. PV1 = 1000 òûñ.• 1/(1+0,1)1= 1000 òûñ.• 0,9091 = 909,1 òûñ. ðóá.
2-é ãîä. PV
= 1000 òûñ.• 1/(1+0,1)2= 1000 òûñ.• 0,8264 = 826,4 òûñ. ðóá.
2
87
3-é ãîä. PV 3 = 1000 òûñ.• 1/(1+0,1)3= 1000 òûñ.• 0,7513 = 751,3 òûñ. ðóá.
Суммарная стоимость депозитного вклада составит:
909,1 òûñ. + 826,4 òûñ. + 751,3 òûñ. = 2486,8 òûñ. ðóá.
Таким образом, если сегодня положить в банк 2486,8 тыс. руб.
сроком на 3 года под 10% годовых, то будет возможным ежегодно в
конце каждого года снимать со счета по 1000 тыс. руб. после выплат на депозитном счете будет нулевой остаток.
4.2. Методы оценки эффективности
реальных инвестиций
Для оценки эффективности реальных инвестиционных проектов
используются статические показатели (без учета фактора времени)
и динамические (с учетом фактора времени).
Статические методы. Рассмотрим расчет показателей без учета
времени.
Рентабельность инвестированного капитала (R) или норма при-
были рассчитывается по следующей формуле
NP
R 100,%,
(4.10)
IC
ãäå NP
ключается в том, что в западноевропейских странах существует несколько определений понятий «доход» и «вложенный капитал».
Наиболее общим подходом при расчете нормы прибыли на капитал
является понятие «доход» как сумма прибыли и амортизации, т.е.
чистый приток денежных средств. Включение амортизации в доход
объясняется тем, что цель амортизации — сокращение общей суммы прибыли той ее части, которая может быть распределена. В
этом смысле амортизация имеет прямое отношение к процессу
корпоративного вложения.
считываться следующим образом:
ãäå À — амортизационные отчисления, тыс. руб.
26 млн руб., амортизационные отчисления равна 0,5 млн руб. Ожидаемая чистая прибыль в год составит 6,5 млн руб.
чистая прибыль, тыс. руб.;
—
IC — инвестированный капитал, тыс. руб.
Одна из сложностей в расчете нормы прибыли на капитал за-
Чистый приток денежных средств на капитал (NCI) может рас-
()
NP А
NCI
Пример. Сметная стоимость инвестиционного проекта составляет
IC
100,%,
(4.11)
88
Требуется определить норму прибыли на капитал (R) и норму
чистого притока денежных средств на капитал (NCI).
Решение:
норма прибыли на капитал равна
6,5 млн
R
26 млн
100 25,0%;
норма чистого притока денежных средств на капитал равна:
6,5 млн 0, 5 млн
NCI
26 млн
100 26, 9%
,
Срок окупаемости (PP) инвестиционного проекта может быть
определен по формулам:
а) при равномерном поступлении денежного потока за весь период эксплуатации (метод амортизации)
IC
PP PP
NP А
; (4.12)
n
б) при неравномерном распределении доходов по годам реализации инвестиционного проекта
Т
IC NP A
ãäå PP — срок окупаемости инвестиционного проекта, лет;
NP — чистая прибыль в t-ì ãîäó, ðóá.;
— амортизационные отчисления в t-ì ãîäó, ðóá.;
At
— экономически оправданный срок окупаемости, лет.
PP
n
()0
1
i
, (4.13)
i
Пример. Инвестиции на модернизации предприятия составляют
30 млн руб. Руководство фирмы считает затраты оправданными,
если они окупятся в течение 6 лет. Ежегодная прибыль будет равной 4 млн руб., амортизация — 2 млн руб. Налог на прибыль —
20%. Определить срок окупаемости.
Решение:
PP
4 млн (1 0, 2 0) 2 млн 5, 04 млн
30 млн 30 млн
5, 95
ãîäà.
Срок окупаемости инвестиций составляет 5,95 года, что меньше
экономически оправданного срока, равного 6 годам, поэтому вложение капитальных средств на приобретение нового оборудования
экономически оправданно.
Пример. Фирма покупает новую технику за 440 000 тыс. руб., затраты на монтаж — 32 000 тыс. руб. Ожидаемая чистая прибыль по
89
годам полезного использования и сумма амортизации приведена в
табл. 4.1. Определить срок окупаемости.
Таблица 4.1. Ожидаемые показатели деятельности предприятия
Годы Амортизация,
òûñ. ðóá.
1 94 400 72 960 167 360
2 94 400 103 360 197 760
3 94 400 133 760 228 160
4 94 400 164 160 258 560
5 94 400 164 160 258 560
Чистая прибыль,
òûñ. ðóá.
Чистый приток
денежных средств,
òûñ. ðóá.
Решение:
Баланс на конец первого года:
(440000 тыс. 32000 тыс.) (94400 тыс. 72960 тыс.) 304640 òûñ. ðóá.
Баланс на конец второго года:
304640 тыс. 197760 тыс. 106880
òûñ. ðóá.
Баланс на конец третьего года:
106880 тыс. 228160 тыс. 121280 òûñ. ðóá.
Баланс на конец четвертого года:
121280 тыс. 258560 тыс. 379840
òûñ. ðóá.
Баланс на конец пятого года:
379840 тыс. 258560 тыс. 638400
òûñ. ðóá.
Срок окупаемости данного инвестиционного проекта составляет
около 2,5 года.
Индекс доходности (PI) позволяет соотнести объем инвестиционных затрат с предстоящим чистым денежным потоком по проекту.
Расчет этого показателя осуществляется по формуле
T
D
t
1
t
PI
ãäå D
— чистый приток денежных средств в t-ì ãîäó.
t
,
(4.14)
IC
.
Пример
Определим индекс доходности по данным табл. 4.2.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]