Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие
.pdf
Е.В. Радкевич, О.А. Олейник
УРАВНЕНИЯ
С НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ
ФОРМОЙ
ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС
Часть 2
Учебное пособие
Москва
Ай Пи Ар Медиа
2025
ДК 517.95
У
ББК 22.161.62
Р15
Авторы:
Радкевич Е.В.
проф. кафедры дифференциальных уравнений
Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова;
Олейник О.А.
зав. кафедрой дифференциальных уравнений (1973–2001)
Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова
Чечкин Г.А.
Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова;
вед. науч. сотр. ИПМ РАН имени М.В. Келдыша
— д-р физ.-мат. наук (1954), проф. (1955–2001),
— проф. кафедры дифференциальных уравнений
Сакбаев В.Ж.
— д-р физ.-мат. наук,
Рецензенты:
— д-р физ.-мат. наук, проф.,
Радкевич, Евгений Владимирович.
Р15 Уравнения с неотрицательной характеристической формой.
Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2 : учебное пособие / Е.В. Радкевич,
О.А. Олейник. — Москва : Ай Пи Ар Медиа, 2025. — 209 с. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-4497-4287-2 (ч. 2)
ISBN 978-5-4497-4285-8
Учебное пособие посвящено общей теории уравнений второго порядка
с неотрицательной характеристической формой. Во второй части книги изложены
вопросы локализации операторов с переменными коэффициентами, гипоэллиптичности с потерей одной производной. Рассмотрены дополнительные темы, включающие изучение гипоэллиптичности дифференциальных операторов второго порядка с аналитическими коэффициентами, качественных свойств решений уравнений
второго порядка с неотрицательной характеристической формой и другие.
Отдельная глава посвящена методам введения параметра для исследования
эволюционных уравнений.
Подготовлено с учетом требований Федерального государственного
образовательного стандарта высшего образования.
Учебное пособие предназначено для математиков, физиков, инженеров,
а также научных сотрудников, преподавателей вузов, аспирантов и студентов,
специализирующихся по математическому анализу, теории функций и уравнениям
математической физики.
Учебное электронное издание
ISBN 978-5-4497-4287-2 (ч. 2) © Радкевич Е.В., Олейник О.А., 2025
ISBN 978-5-4497-4285-8 © ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа», 2025
Оглавление
3 Метод локализации
1 Операторы с переменными коэффициентами . . . . . . . . . .
2 Подготовительные леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Гипоэллиптичность с потерей одной производной
1 О некоторых фундаментальных оценках . . . . . . . . . . . .
2 Модельные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Необходимость условий теоремы 4.1.1 . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Дополнительные темы
1 Гипоэллиптичность (аналитические коэффициенты) . . . . . .
2 Качественные свойства решений . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Об аналитичности решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Вырождающиеся гиперболические уравнения
(задача Коши) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Необходимые условия корректности (задача Коши) . . . . . 95
6 Метод введения параметра
1
Пример вырождающегося параболического уравнения . . . . 115
Абстрактная схема метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2
3
Априорные оценки для решений параболических систем . . . 148
Неограниченные области (теоремы единственности) . . . . . 163
4
Еще один пример применения метода . . . . . . . . . . . . . . 175
5
4
5
6
14
30
30
36
46
46
54
65
79
108
Литература
190
Памяти моего учителя
Ольги Арсеньевны Олейник
3
лава 3
Г
Метод локализации
Введение
В работах Л. Хермандера [135] и Ю. B. Егорова [34, 35] были получены
необходимые и достаточные условия существования для псевдодифференциального оператора P в области Ω оценок вида
kUk
2
≤ C(K){kP uk
m−δ
2
+ kUk
o
2
}, u ∈ C
γ
∞
0
(K)
для люобого компакта K ⊂ Ω, где 0 ≤ δ < 1, m — порядок оператора P.
Показано, что эти оценки эквивалентны некоторым неравенствам, со-
держащим дифференциальные операторы с полиномиальными коэффициентами порядка не выше l, где l/l + 1 ≤ δ < l + 1/l + 2. Каждый такой
оператор составлен из членов порядка не выше l в разложении по формуле
Тейлора символа σ(P ) оператора P в любой (x, ξ) ∈ Ω × R
n
. В дальнейшем
ξ
эти операторы будем называть локализациями оператора P в точке (x, ξ).
Применяя метод локализации операторов с переменными коэффициентами, мы получим достаточные условия существования для оператора P с
кратными характеристиками внутренних оценок типа Шаудера для любого
s ∈ R и любого M ≥ 1/2 вида
2
kϕuk
(m−M+s)≤C(M,s)
{kϕ1P uk
для любой функции U ∈ D0(Ω) такой, что P u ∈ H
∞
C
(Ω) и ϕ1≡ 1 в окрестности supp ϕ.
0
Из
этих оценок следует гипоэллиптичность оператора P .
2
+ kϕ1uk
(s)
2
} (3.1)
(γ)
loc
, где функции ϕ, ϕ1∈
(s)
Метод локализации позволит нам получить алгебраические условия на
символ σ(P ), необходимые и достаточные в классе дифференциальных опе-
раторов P (x, ∂/∂x) порядка 2m с действительными коэффициентами и неотрицательной характеристической формой p0(x, ξ) для существования оцен-
ки вида (3.1.1) при M = 1 (оценки с потерей одной производной будут даны
в главе 4) (см. также [112]).
4
6 Г
лава 3. МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ
1 Операторы с переменными коэффициентами
Мы употребляем символ R для обозначения множества вещественных чисел. Если x ∈ Rn, то через Djобозначается дифферециальный оператор
i∂/∂xj. Здесь i =
(α1, . . . , αn) с целыми неотрицательными кoopдинатами, полагая |α| = α1+
···+ αn, Dα= D
где векторы x0, ξ0∈ Rn. Если x = (x1, . . . , xn) — некоторая локальная система координат на многообразии, то через (x, . . . , ξ) мы обозначаем соответствующие координаты в кокасательном пространстве. Если функция f(x, ξ)
принадлежит пространству C∞, то пишем
В дальнейшем будем предполагать известными определение и основные
свойства псевдодифференциальных операторов (см., например, [135] и главу 2, § 2 Части I). Для нас будет удобно ввести некоторые ограничения на
рассматриваемый класс псевдодифференциальных операторов, а именно:
(I) Если оператор P имеет порядок s, то каждый член pjсимвола σ(P )
оператора P (см., например, [135]) является однородной функцией степени
s − j для некоторого целого j ≥ 0.
(II) Для каждого компактного множества K ⊂ Ω существует другое
компактное множество K0⊂ Ω такое, что
α
1
√
1
···D
−1.
Через α будем обозначать n-мерный вектор α =
α
n
. Аналогичный смысл имеет (x −x0)α, (D −ξ0)α,
n
(α)
f
(x, ξ) ≡ (iDξ)α(iDx)βf(x, ξ).
(β)
1) если u ∈ C
2) если u ∈ C
∞
(K), то supp P u ⊂ K0и
0
∞
(Ω), причем u = 0 в K0, то P u = 0 в K.
0
Эти условия всегда выполнены для дифференциальных операторов и
не зависят от выбора локальных координат. Кроме того, они инвариантны
относительно умножения и перехода к сопряженному оператору.
В силу паракомпактности области Ω ∈ Rn, всякому псевдодифференциальному оператору P , удовлетворяющему условию (I), можно сопоставить
оператор P0с тем же символом, удовлетворяющий условиям (I) и (II). Это
означает, что разность P0−P отображает E(Ω) в C∞(Ω). В самом деле, пусть
функции ϕjобразуют локальное конечное разбиение единицыPϕj≡ 1. То-
гда для всякой функции u ∈ C
∞
(Ω) имеет место равенство
0
X
P u =
ϕjP ϕku.
j,k
Псевдодифференциальный оператор u → ϕjP ϕku обладает нулевым
символом, если носители ϕjи ϕkне пересекаются (см., например, [135]).
Поэтому оператор P0с требуемыми свойствами определяется формулой
P0u ≡
X
0
ϕjP ϕku,
5
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ 7
2.
где суммирование осуществляется лишь по тем j и k, для которых носители
ϕjи ϕkимеют непустое пересечение. В последующем изложении будем счи-
тать, что условия (I) и (II) входят в определение псевдодифференциального
оператора.
Определение. Локализацией типа (l, r) псевдодифференцнального опера-
тора P в точке (x, ξ) ∈ Ω × R
n
называется дифференциальный оператор
ξ
порядка (l + 1)r вида
Π
(x,ξ)
(y, D)ψ(y) ≡
ε
[rε]+1
X
γ=0
(l+1)(r−γ)
X
|α|+|β|=0
1
α!1β!
P
γ(α)
(β)
(x,
(|α|−|β|)(1−ε)yβDα
ξ)|ξ|
ψ(y),
y
(3.1.1)
где ψ ∈ C
∞
(Rn); l/l + 1 ≤ ε < l + 1/l + 2; l, r ≥ 1 и pγ(x, ξ) — однорядные
0
члены асимптотического разложения по ξ символа σ(P ) при ξ → ∞ (см.,
например, [135]).
Условие A
сти Ω ⊂ Rnудовлетворяет условию A
. Скажем, что псевдодифференциальный оператор P в обла-
r,ε
, если для любого компакта K ⊂ Ω
r,ε
существует постоянная C(K) такая, что для любой точки (x, ξ) ∈ K ×{|ξ| >
M}, где M достаточно велико, справедлива оценка вида
2(m−rε)
|ξ|
Z
X
×
|α|+|β|≤M
|ψ|2dy +
≤ C(K)
Z
r(l+1)−|β|
r−1
X
|β|=0
Z
|Π
|α|=0
(x,ξ)
|yαDβψ|2|ξ|
X
|β|(1−2ε)
|ξ|
(y, D)ψ|2dy + |ξ|
2|β|(1−2ε)
dy, ψ ∈ C
Z
(x,ξ)(α)
|Π
|β|
2(m−rε)
(y, D)ψ|2dy ≤
ε(|ξ|)×
∞
(Rn), (3.1.2)
0
где функция ε(|ξ|) → 0 при |ξ| → ∞, l/l + 1 ≤ ε < l + 1/l + 2 и
σΠ
(x,ξ)(α)
|β|
(y, D)(y, η) ≡ (iDy)β(iDη)ασΠ
(x,ξ)
(y, D)(y, η).
2 Подготовительные леммы
Прежде чем формулировать основные результаты, докажем несколько полезных в дальнейшем лемм.
Введем следующим образом два стандартных разбиения единицы в Rn.
Пусть функция Θ ∈ C
сти {x; |xj| ≤ 1/2 для всех j = 1, . . . , n} и равна нулю в области {x; |xj| ≥ 3/4
для какого-либо j}. Пусть g0, g1, . . . — точки в Rnс целочисленными координатами такие, что g0= 0.
Пусть
∞
(Rn) неотрицательна, строго положительна в обла-
0
ϕk(x) = Θ(x − gk)
∞
X
Θ(x − gs)
0
!
−1/2
2
.
6
8 Г
лава 3. МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ
Очевидно, что ϕk∈ C
∞
(Rn),Pϕ
0
2
≡ 1, и для каждого мультииндекса α
k
существует такая постоянная Cα, что
∞
X
|Dαϕk(x)|2≤ Cα. (3.2.1)
0
Заметим, что ϕ0= 1 и ϕk= 0 при k 6= 0 в некоторой окрестностн точки
x = 0. Далее, если x, y ∈ supp ϕk, то при C =
√
3
n
справедлива
оценка
2
|x − y| ≤ C. (3.2.2)
В ξ-пространстве мы используем разбиение единицы с помощью функций
ψk(ξ) = ϕk(ξ/|ξ|ε), где l/l + 1 ≤ ε < l + 1/l + 2 и целое l ≥ 1.
Так как в окрестности начала координат ϕkравно либо 0, либо 1, то
ясно, что ψk∈ C
∞
(Rn). Мы видим, что ψk≥ 0,
0
P
2
ψ
≡ 1 в R
k
n
и для
ξ
любого α существует Cαтакое, что справедлива оценка
∞
X
2|α|ε
|ξ|
|Dαψk(ξ)|2≤ Cα. (3.2.3)
0
Если ξ, η ∈ supp ψk, то из (3.2.2) следует (см. [135]), что
|ξ − η| ≤ C|ξ|ε, если k 6= 0. (3.2.4)
Лемма 3.2.1. Если |ξ −η| ≥ |ξ|/2, то для любого k ≥ 0 справедливо нера-
венство
k
X
|s|=0
≤
|ξ − η|
2!1/2
s
≤ Ck(|ξ − η||ξ|−ε)
1
(s)
ψ
(η)(ξt− η)s.
j
s!
X
j
d
dt
s+1
s+1
fj(ξt)
k+1
!
1/2
2
. (3.2.5)
.
X
j
ψj(ξ) −
k
X
|s|=0
1
s!
(s)
ψ
(η)(ξ − η)
j
льство. Положим ξt= η + t(ξ − η),
Доказате
fj(ξt) = ψj(ξt) −
Как
нетрудно видеть, для любого целого s ≥ 1
d
dt
X
j
s
d
fj(ξt)
s
dt
!
1/2
2
Из
оценки (3.2.3) получаем
X
j
k+1
d
dt
k+1
fj(ξt)
!
1/2
2
≤ C
k+1|ξt
7
−ε(k+1)
|
≤ C
0
k+1
−ε(k+1)
|ξ|
,
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ 9
2.
|ξ|
где последнее неравенство следует из того факта, что |ξt| ≥
|ξ|
Интегрируя
.
2
d
dt
P
s
d
j
fj(ξt)
s
dt
!
1/2
2
от 0 до 1,
получим, что при любом
при |ξ −η|
2
0 ≤ t ≤ 1 и 0 ≤ s ≤ k
X
j
!
s
d
fj(ξt)
s
dt
1/2
2
≤ C
|ξ − η|
≤
0
k+1
k−s+1
|ξ − η|
k−s+1
max
t
|ξ|
X
j
−ε(k+1)
!
k+1
d
dt
k+1
fj(ξt)
1/2
2
.
≤
≤
Следовательно,
справедлива оценка
X
|fj(ξt)|
j
!
1/2
2
≤|ξ − η||ξ|
−ε
k+1
.
Лемма доказана.
Пу
сть Q — такой псевдодифференциальный оператор в Rnпорядка m,
что носитель Qu всегда содержится в некотором фиксированном компактном множестве K и Qu = 0, если u = 0 в K, u ∈ C
supp ψjи δ — некоторое число из интервала (0, 1). Обозначим через Q
∞
(Rn). Пусть 0 6= ξj∈
0
δ
j,r,ε
следующий дифференциальный оператор порядка (l + 1)r, где l/l + 1 ≤ ε <
l + 1/l + 2,
γ(α)
q
[rε]+1
δ
Q
г
де qγ— однородные, порядка m − γ, члены асимптотического разложения
j,r,ε
u(x) ≡
X
γ=0
(l+1)(r−γ)
X
α=0
1
α!
x,
j
ξ
D −
δ
α
j
ξ
u(x),
δ
символа σ(Q) оператора Q по ξ при ξ → ∞. Наконец, для любого мультииндекса β положим
Z
(β)
ψ
(δD)u(x) = (2π)
j
−n
ψ
(β)
j
(δξ)ˆu(ξ)e
ihx,ξi
dξ.
Лемма 3.2.2. Существуют такая постоянная C, не зависящая от δ, и
такая постоянная Cδ, что
≤Cδ
X
2r(1−ε)
∞
0
kuk
δ
Q
j,rε
2
(m−rε)
ψj(δD)u −
+ Cδkuk
r−1
X
1
(−i)
β!
|β|=0
2
(m−(r+1)ε)
|β|
ψ
Cδkuk
(β)
D)Q
(δ
j
2
(m−(r(l+1)+1)(1−ε))
(β)
2
u
≤
(0)
, u ∈ C
∞
0
(3.2.6)
или, что следует из предыдущей оценки,
kQuk
2
(0)
≤
∞
X
0
kQ
δ
ψj(δD)uk
j,rε
2
(0)
+
r−1
X
|α|=1
8
2|α|(1−ε)
δ
CαkQ
(α)
uk
2
(−|α|ε)
+
(Rn),
10 Г
лава 3. МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ
+Cδ
2r(1−ε)
kuk
2
(m−rε)
+ C
для любой функции u ∈ C
∞
0
δ
kuk
(Rn).
2
(m−(r+1)ε)
+ kuk
2
(m−(r(l+1)+1)(1−ε))
(3.2.7)
Доказательство. Прежде всего заметим, что
Z
Qu(x) = (2π)
−n
q(x, ξ)ˆu(ξ)e
ihx,ξi
dξ,
где функция q(x, ξ) ∈ C∞обращается в нуль при x /∈ K, а при ξ → ∞ равна
q0(x, ξ) + ··· + qr(x, ξ) + O(|ξ|
есть функция
η → (2π)
m−r−1
Z
−n
). Преобразование Фурье функции Qu
ˆq(η − ξ, ξ)ˆu(ξ) dξ,
где через ˆq(η, ξ) мы обозначили преобразование Фурье функции q(x, ξ) по
переменной x. Далее, справедлива следующая оценка (см. [135])
α
|D
ˆq
(β)
ξ
(η, ξ)| ≤ C
(1 + |η|)−N(1 + |ξ|)
N,α,β
для любого целого N и любых мультииндексов α, β, где ˆq
разование Фурье по x функции q
(x, ξ). В силу оценки (3.2.3), для любого
(β)
m−|α|
(β)
(3.2.8)
(η, ξ) — преоб-
α справедлив результат
∞
X
(α)
kψ
(δD)Q
j
0
(α)
uk
2
(0)
≤ Cαδ
2|α|(1−ε)
kQ
(α)
uk
2
(−|α|ε)
.
Поэтому оценка (3.2.7) немедленно следует из оценки (3.2.6). Итак, докажем
оценку (3.2.6).
Очевидно, что
r−1
X
= (2π)
−2n
ZZ
|α|=0
r−1
X
|α|=0
α!
(−1)
α!
1
(−i)
|α|
ψ
(α)
|α|
(α)
j
ψ
(δ
D)Q
(δ
j
u(x) =
(α)
η)(ξ − η)αˆq(η − ξ, ξ)ˆu(ξ)e
ihx,ηi
dξ dη.
Далее имеем
ZZ
(l+1)(r−γ)
δ
Q
ψj(δD)u(x) = (2π)
j,ε
×(η − ξ
,
j
ξ
δ
)(ξ −
−n
j
ξ
)βψj(δ
δ
X
β=0
ξ)ˆu(ξ)e
Возьмем теперь произвольную последовательность функций vj∈ C
[rε]+1
X
γ=0
ihx,ηi
1
β!
dξ dη.
γ(β)
ˆq
×
∞
0
(Rn),
в которой отлично от нуля лишь конечное число членов, вычислим скалярное произведение
(
δ
Q
ψj(δD)u −
j,ε
r−1
X
|α|=0
1
α!
(−i)
|α|
ψ
(α)
j
(δ
D)Q
(α)
u
)
с {vj}
9
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ 11
2.
и применим неравенство Коши—Шварца. Тогда получим
∞
X
j=0
*
δ
Q
ψj(δD)u −
j,ε
r−1
X
|α|=0
1
α!
(−i)
|α|
ψ
(α)
j
(δ
D)Q
(α)
u, ϕ
+
j
≤
ZZ
≤ (2π)
где использованы обозначения hf, gi =Zf ¯g dx, V (η) =
Hδ(ξ, η) =
β
j
ξ
×ξ −
ψj(δ
δ
−2n
∞
X
j=0
[rε]+1
X
γ=0
ξ) − ˆq(η − ξ, ξ)
Hδ(ξ, η)|ˆu(ξ)|V (η) dξ dη,
ˆq
ψ
γ(β)
(α)
j
η − ξ
(δ
η)(ξ − η)
(l+1)(r−γ)
X
|β|=0
!
r−1
X
|α|=0
1
β!
1
α!
P
,
|ˆvj(−η)|
j
ξ
×
δ
2!1/2
α
Докажем, что для любого целого N существуют постоянные C, Cδ, при
которых
−N
Hδ(ξ, η) ≤ C(1 + |ξ − η|)
+Cδ(1 + |ξ|)
m−(r+1)ε
+ Cδ(1 + |ξ|)
r(1−ε)
δ
(1 + |ξ|)
(r(l+1)+1)(1−ε)
m−rε
+
. (3.2.9)
1/2
2
,
.
Если выбрать N ≥ n + 1, то получим, что
ZZ
−2n
(2π)
+Cδkuk
Hδ(ξ, η)|ˆu(ξ)|V (η) dξ dη ≤Cδ
(m−ε(r+1))
+ Cδkuk
(m−(r(l+1)+1)(1−ε)
r(1−ε)
X
kuk
kvjk
(m−rε)
2
(0)
+
1/2
,
откуда следует (3.2.6). Чтобы доказать (3.2.9), оценим вначале величину
0
H
(ξ, η) = |ˆq(η − ξ, ξ)|
δ
X
j>0
ψj(δξ) −
r−1
X
|α|=0
1
α!
ψ
(α)
j
(δ
η)(ξ − η)
2!1/2
α
.
При |ξ − η| ≤ |ξ|/2 из лемма 3.2.1 следует, что
0
H
(ξ, η) ≤ C|ˆq(η − ξ, ξ)|δ
δ
r(1−ε)
(|η − ξ||ξ|−ε)r.
В то же время, в силу неравенства (3.2.3), легко показать, что
0
H
(ξ, η) ≤ |ˆq(η −ξ, ξ)|Cδ(1 + |ξ − η|)
δ
r−1
.
Отсюда следует, что
0
H
(ξ, η) ≤ |ˆq(η −ξ, ξ)|δ
δ
r(1−ε)
C(|η −ξ||ξ|−ε)r+ Cδ(1 + |ξ −η|)2r(1 + |ξ|)
10
−r−1
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]