Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие
.pdf
112 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
Рассмотрим задачу (6.1), (6.2). Получим оценку вида (6.9), из которой,
как мы видели, вытекают теоремы единственности и оценки, характеризующие асимптотические свойства решений. Рассмотрим функцию w(x, t) =
−µ2t
e
u(x, t). Функция w(x, t) удовлетворяет уравнению
n
∂w
∂
X
j=1
∂2w
+ µ2w = 0 (6.15)
2
x
∂
j
−
t
в области ω и начальному условию w|
s
g
= {x, t : |x| < s, 0 < t < τ}. Пусть ρ = const, 0 < ρ ≤ 1. Тогда, умно-
τ
t=0
= u|
= 0. Рассмотрим области
t=0
жая уравнение (6.15) на wψ(x), где ψ(x) — обрезающая функция такая, что
ψ ≡ 1 при |x| ≤ s и ψ ≡ 0 при |x| ≥ s + ρ, 0 ≤ ψ ≤ 1, ψ ∈ C∞(R
тегрируя полученное уравнение по g
s+ρ
и преобразуя отдельные его члены
τ
n
), ин-
x
интегрированием по частям, находим, что
Z
Z
M
w2dx dt ≤
s
g
τ
ρ2µ
g
s+ρ
τ
w2dx
2
dt, (6.16)
где постоянная M зависит только от n. Пусть l — произвольное положитель-
l
ное число. Положим ρ =
смотрим неравенства вида (6.16) для областей g
s+l−ρ
g
τ
в левой части и затем для оценки правой части неравенства (6.16)
,
где k > 0 — целое число такое, что ρ < 1. Рас-
k
s+ρ
s+2ρ
, g
τ
τ
, . . . , g
s+(k−1)ρ
τ
=
последовательно используем эти соотношения. Получим
Z
w2dx dt ≤
s
g
τ
M
ρ2µ
Z
k
dt. (6.17)
g
s+l
τ
w2dx
2
Пусть выполняется соотношение
M
≤ e−1. (6.18)
2
ρ2µ
огда, учитывая, что w(x, t) = e
Т
Z
u2dx dt ≤ exp{−k + 2µ2τ}
s
g
τ
Положим k = [µl(Me)
−1/2
−µ2t
u(x, t), из (6.17) получаем
Z
u2dx dt. (6.19)
s+l
g
τ
], где [h] означает целую часть h. Легко ви-
деть, что при таком k выполнено условие (6.18). Поэтому из оценки (6.19)
находим, что
Z
u2dx dt ≤ 3 exp{−µl(Me)
s
g
τ
111
−1/2
+ 2µ2τ}
Z
u2dx dt. (6.20)
s+l
g
τ
113
Неравенство
(6.20) имеет такой же вид, как и неравенство (6.9), только вме-
сто норм пространства C0используются соответствующие нормы пространства L2. Из оценки (6.20) точно так же, как и из неравенства (6.9), можно
получить теоремы единственности и неравенства вида (6.11) и (6.14). Это
подробно проведено в § 1 для более общих уравнений.
В некоторых случаях, как, например, для общих параболических систем, оценку вида (6.16) удобно получать, вводя дополнительную независимую переменную x0и рассматривая задачу, аналогичную задаче (6.4),
(6.5). Для решения v(x0, x, t) = e
ix0µe−µ2t
u(x, t) задачи (6.4), (6.5) получаем
(с помощью интегрирования по частям) оценку
Z
s
G
τ
∂
∂v
x
2
dx0dx dt ≤
0
M
ρ
Z
s+ρ
G
τ
|v2|dx0dx
2
dt, (6.21)
где 0 < ρ ≤ 1, постоянная M зависит только от n. Подставляя
v = exp{iµx0}w(x, t) в неравенство (6.21), получим оценку вида (6.16).
В § 1 по указанной схеме проведено исследование вырождающихся параболических уравнений второго порядка, которое может служить простейшим примером применения метода введения параметра. Полученные при
этом теоремы единственности и априорные оценки решений представляют также и самостоятельный интерес и доказаны в такой общности, повидимому, впервые.
Для доказательства теорем единственности для задачи Коши и краевых
задач для параболических уравнений второго порядка применялись метод
Хольмгрена, связанный с рассмотрением решений сопряженного уравнения, метод барьерных функций и методы, использующие асимптотические
свойства фундаментального решения и функции Грина. Эти методы не применимы в случае уравнения, рассмотренного в § 1, ввиду вырожденности
уравнения и отсутствия гладкости коэффициентов и границы области.
Теоремы единственности решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в классах растущих функций были впервые доказаны Е. Е. Леви [201] , Е. Хольмгреном [180], А. Н. Тихоновым [125], С. Тэклиндом [243]. В
работе А. Н. Тихонова [125] впервые был построен пример функции u(x, t),
удовлетворяющей уравнению теплопроводности (6.1) в ω, начальному условию (6.2) и отличной от тождественного нуля. Для этой функции в ω справедлива оценка
|u(x, t)| ≤ C exp{a|x|
2+ε
}, (6.22)
где ε, C, a — положительные постоянные. (Если оценка (6.22) выполняется
при ε = 0 и u(x, t) — решение задачи (6.1), (6.2), то, как было показано,
u(x, t) ≡ 0 в ω.)
Развивая идеи Е. Хольмгрена [180], С. Тэклинд [243] показал, что решение u(x, t) задачи Коши (6.1), (6.2) равно тождественно нулю в ω, если
в ω
|u(x, t)| ≤ exp{|x|h(|x|)}, (6.23)
112
114 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
где h(|x|) — неубывающая, неотрицательная функция такая, что
∞
Z
dr
= ∞. (6.24)
h(r)
1
Если
же функция h(r) такова, что интеграл (6.24) сходится, то построены
решения u(x, t) задачи Коши (6.1), (6.2), отличные от тождественного нуля
и удовлетворяющие условию (6.23).
Обобщение этой теоремы С. Тэклинда на случай общего вырождающегося параболического уравнения второго порядка дано в § 1, причем доказательство получено методом введения параметра.
В § 1 получены также оценки вида (6.11), аналогичные принципу СенВенана. Фактически теоремы единственности являются следствием этих
особого рода априорных оценок, которые в теории упругости выражают
принцип Сен-Венана и играют важную роль в приложениях. Энергетические оценки, выражающие в теории упругости принцип Сен-Венана [231],
были получены в [244, 190, 168, 85, 86, 87, 88, 91, 217, 249]. Аналоги этих
оценок для эллиптических уравнений установлены в [218, 89, 191].
Априорные оценки решений уравнения теплопроводности, аналогичные
принципу Сен-Венана, в слабой форме были получены в [192, 164, 237].
В [90] теоремы единственности решения краевых задач в неограниченных
областях для общего параболического уравнения второго порядка получены в классах растущих функций, причем класс функций, в котором имеет
место единственность решения краевой задачи, определяется геометрическими характеристиками области. Эти теоремы единственности установлены как следствия априорных оценок решений, аналогичных принципу
Сен-Венана и доказанных, вообще говоря, в неулучшаемой форме, учитывающей характер границы области. В частности, там получена оценка вида
(6.11) для общего параболического уравнения второго порядка.
И. Г. Петровским [106] была поставлена задача исследовать вопрос о
единственности решения задачи Коши для введенных им параболических
уравнений и систем в классах неограниченных функций и обобщить для
них теоремы единственности, известные для уравнения теплопроводности.
Этим вопросам посвящены многочисленные исследования (см. [60, 141, 40,
36, 116, 145, 146, 179, 189, 44, 143, 142]). Первой работой в этом направлении была работа [60]. Обобщение теоремы С. Тэклинда на случай параболических по И. Г. Петровскому систем было сделано в [40]. Доказательство
основано на оценках фундаментальных решений параболических систем.
Теоремы единственности решения задачи Коши в классах растущих функций получены также для эволюционных уравнений и систем с постоянными
коэффициентами и для некоторых классов систем с переменными коэффициентами, корректных по И. Г. Петровскому (см. [107, 61, 236, 24, 41, 37, 38,
39, 137, 138, 6, 139]). Развитию исследований в этом направлении способствовало широкое применение теории обобщенных функций в различных
вопросах анализа и теории уравнений с частными производными.
113
115
систем уравнений с постоянными коэффициентами классы един-
Для
ственности, близкие к максимальным, были впервые получены в работе
И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова [24] на основе применения метода Хольмгрена и теории обобщенных функций. В [139] для систем уравнений с постоянными коэффициентами получено обобщение теорем С. Тэклинда на
основе теории квазианалитических функций и оценок производных инте-
Z
грала вида
u(x, t)ϕ(x) dx, где u(x, t) — решение однородной задачи Коши,
n
R
x
ϕ(x) — функция из некоторого класса.
В § 2 дано изложение абстрактной схемы метода введения параметра.
При этом мы сначала приводим требования относительно функциональных пространств и локальных априорных оценок, обеспечивающие равенство нулю функции, для которой выполнены эти оценки и которая принадлежит классу растущих функций, соответствующему классу (6.3) для
решения уравнения теплопроводности (обобщение теоремы А. Н. Тихонова). Затем излагаются требования, которые обеспечивают равенство нулю
функции, принадлежащей классу, аналогичному (6.23) (обобщение теоремы С. Тэклинда). В методе введения параметра для доказательства теоремы единственности необходимо установить определенного вида локальную
априорную оценку решения, аналогичную (6.16), после чего доказательство
проводится по одной и той же схеме. В § 2 показывается, к каким классам
единственности приводит наличие той или иной локальной априорной оценки. Рассмотрение абстрактной схемы метода позволяет сократить ту часть
доказательства теорем единственности, которая является общей для всех
конкретных классов дифференциальных уравнений и систем. По такой же
единой схеме проводится доказательство оценок, аналогичных принципу
Сен-Венана, а также доказательство асимптотических свойств решений.
В §§ 3 и 4 рассматриваются общие краевые задачи для параболических
систем. Теоремы единственности решений краевых задач в неограниченных областях в классах растущих функций для параболических уравнений
и систем рассматривались ранее в ряде работ (см. [144, 59, 42, 43, 100, 44],
[81, 82, 215]). В [81, 82, 215] были получены теоремы единственности и априорные оценки фундаментального решения и функции Грина методом введения параметра на основе оценки аналитического продолжения решения
вспомогательной системы по дополнительному независимому переменному
x0по схеме, указанной выше. В [65] с помощью априорных оценок, полу-
ченных в [215], доказаны теоремы существования решений общих краевых
задач для параболических систем в неограниченных областях в классах
растущих функций.
В § 3 получена локальная априорная оценка вида (6.21) для решения общей краевой задачи для параболической системы. В § 4 как следствие этой
оценки и теорем из § 2 получены результаты для общих краевых задач для
параболических систем, касающиеся теорем единственности и асимптотических свойств решений. В частности, в § 4 получено обобщение теоремы
С. Тэклинда для решений задачи Коши и общей краевой задачи для па-
114
116 Г
раболических систем, доказаны оценки для фундаментального решения и
функции Грина при |x| → ∞ и при t → 0, а также оценки решений, аналогичные принципу Сен-Венана.
Можно указать другие классы уравнений и систем, которые могут быть
исследованы методом введения параметра на основе абстрактной схемы § 2.
В § 5 мы приводим пример уравнения, не принадлежащего к классу
параболических уравнений, которое может быть изучено методом введения
параметра на основе абстрактной схемы, изложенной в § 2.
Очевидно, что методом введения параметра могут быть получены аналогичные теоремы для параболических уравнений и систем с растущими
коэффициентами. Мы не останавливаемся здесь на этом вопросе. Другими
методами такие уравнения и системы были рассмотрены в ряде работ (см.
[36, 116, 38, 39, 59, 43] и др.). Имеется большое число работ, посвященных
изучению классов единственности для параболических уравнений второго
порядка (см. [51, 119, 120, 124, 136] и др.), где применяются характерные
для уравнений второго порядка методы (принцип максимума, барьерные
функции, методы теории вероятностей).
Как было указано выше, в [90] классы единственности решений краевых
задач для параболических уравнений второго порядка в неограниченных
областях получены в зависимости от характера поведения границы области в окрестности бесконечно удаленной точки. По-видимому, такого рода
теоремы имеют место и для общих параболических систем. Изучение этого
вопроса представляет несомненный интерес. Интересной задачей является
также получение априорных оценок решений, аналогичных принципу СенВенана, для параболических уравнений и систем с учетом характера поведения границы области, а также получение оценок решений при |x| → ∞ в
узких областях.
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
1 Пример вырождающегося параболического
уравнения
В настоящем параграфе докажем теоремы единственности решения задачи
Коши и первой краевой задачи в неограниченной области в классах растущих функций для вырождающегося параболического уравнения второго
порядка, не предполагая гладкости его коэффициентов. Эти теоремы аналогичны теоремам Е. Хольмгрена [180], А. Н. Тихонова [125] и С. Тэклинда
[243] о единственности решения задачи Коши для уравнения теплопроводности и являются их обобщением. Уравнение второго порядка может служить моделью для демонстрации метода, которому посвящена книга. Заметим, что в рассматриваемом случае не применимы метод Хольмгрена,
метод барьерных функций и методы, основанные на использовании фундаментального решения, из-за отсутствия гладкости коэффициентов и вырожденности уравнения. В такой общности приведенные ниже теоремы доказываются, по-видимому, впервые.
115
ПРИМЕР ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 117
1.
Кроме того, с помощью метода введения параметра в этом параграфе по-
лучим энергетические оценки, аналогичные принципу Сен-Венана, и оценки, характеризующие асимптотические свойства решений при |x| → ∞, а
также при t → 0.
Рассмотрим неограниченную область ω в R
n+1
= (x1, . . . , xn, t), заклю-
x,t
ченную между плоскостями t = 0 и t = T, T = const > 0. Пусть граница
∂ω области ω такова, что ∂ω = γ ∪ ω0∪ ωT, где γ = ∂ω ∩ {x, t : 0 < t < T },
ω0= ∂ω ∩{x, t : t = 0}, ωT= ∂ω ∩{x, t : t = T }. Обозначим через Q(l; τ1, τ2)
параллелепипед {x, t : |xj| < l, j = 1, . . . , n; τ1< t < τ2}, 0 ≤ τ1< τ2≤ T .
Положим ω(l; τ1, τ2) = ω ∩ Q(l; τ1, τ2), ω(l; τ) = ω ∩ {x, t : |xj| < l, j =
1, . . . , n, t = τ }. Относительно области ω будем предполагать, что для лю-
бого ω(l; τ1, τ2) справедлива формула Гаусса—Остроградского.
В области ω рассмотрим первую краевую задачу для уравнения вида
ut=
n
X
(akj(x, t)uxj)
k,j=1
x
n
X
+
k
k=1
bk(x, t)u
+ c(x, t)u (6.1.1)
x
k
с граничным условием
u|γ= 0 (6.1.2)
и начальным условием
u|
= u0(x). (6.1.3)
ω
0
Пусть открытое ограниченное множество G ⊂ ω, γ1⊂ ∂G ∩ γ. Через
H(G, γ1) обозначим пространство функций u(x, t), полученное пополнением
по норме
kukH=
Z
G
u2+ u
n
X
2
+
t
j=1
!
2
u
xj
dx dt
!
1/2
множества непрерывно дифференцируемых в G функций, равных нулю
на γ1.
Обобщенным решением уравнения (6.1.1) в G с граничным условием u =
0 на γ ∩∂G и начальным условием u = u0(x) на G0= ω0∩∂G будем называть
функцию u(x, t) такую, что u(x, t) принадлежит пространству H(G, γ ∩∂G)
и при любой непрерывно дифференцируемой в¯G функции ψ(x, t), равной
нулю на ∂G ∩ {x, t; 0 < t < T }, удовлетворяет интегральному тождеству
Z
utψ +
G
n
X
akj(x, t)uxjψ
k,j=1
и начальному условию и u|
G
−
x
k
= u0(x).
0
n
X
k=1
bk(x, t)u
−c(x, t)u!ψ!dx dt (6.1.4)
x
k
Обобщенным решением задачи (6.1.1)–(6.1.3) в неограниченной обла-
сти ω будем называть функцию u(x, t), которая для любого ограниченного
открытого множества G ⊂ ω является обобщенным решением уравнения
(6.1.1) в G с граничным условием u = 0 на γ ∩ ∂G и начальным условием
u = u0(x) на ω0∩ ∂G.
116
118 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
Для простоты мы рассматриваем уравнение (6.1.1) с граничным условием, заданным на всей границе γ. Случай, когда часть границы γ свободна
от граничного условия в силу вырожденности параболического уравнения
(6.1.1) (см. [99]), может быть изучен аналогично. Граничное условие (6.1.3)
должно выполняться в любой точке (x, t) ∈ γ такой, что
n
X
akj(x, t)νkνj> 0,
k,j=1
где ν = (ν0, ν1, . . . , νn) — вектор нормали к γ (см. [99]). Отметим, что классическое решение задачи (6.1.1)–(6.1.3) (u ∈ C1(¯ω), u
∈ C1(ω)), являет-
x
j
ся также и обобщенным решением этой задачи. Мы не предполагаем, что
akj(x, t) = ajk(x, t) в ω. Предположим, что при (x, t) ∈ ω, ξ ∈ R
n
X
C1|ξ|2≥
akj(x, t)ξkξj≥ 0, C1= const ≥ 1, (6.1.5)
k,j=1
n
ξ
n
X
(bk(x, t)ξk)2≤ C
k=1
2
k,j=1
n
X
akj(x, t)ξkξj, C2= const > 0, (6.1.6)
akj, bk, c, k, j = 1, . . . , n, (6.1.7)
— вещественные измеримые функции в ω, akj(x, t), c(x, t) ограничены в любой ω(l; 0, T ) и c(x, t) < C3= const в ω, C3≥ 0.
Для изучения задачи (6.1.1)–(6.1.3) рассмотрим функцию
w(x, t) = exp{−µ2t}u(x, t), где µ ≥ 0 — параметр.
Лемма 6.1.1. Пусть выполнены условия (6.1.5)–(6.1.7). Тогда для w(x, t) =
exp{−µ2t}u(x, t), где u(x, t) — обобщенное решение задачи (6.1.1)–(6.1.3), при
любых l2> l1> 0 и 0 ≤ τ1< τ2≤ T справедлива оценка
Z
Z
1
w2(x,
τ2) dx +
µ2w2dx dt ≤
2
ω(l1;τ2)
≤
1
2
ω(l2;τ1)
Z
w2(x,
τ1) dx +
ω(l1;τ1,τ2)
M
2
ρ
ω(l2;τ1,τ2)
Z
w2dx
dt, (6.1.8)
где 0 < ρ ≤ min{l2− l1, 1}, M = const > 1 u M зависит только от C1, C2,
C3, n.
Доказательство. Положим в интегральном тождестве (6.1.4) l = l2, ψ(x, t) =
w(x, t) exp{−µ2t}ϕ(x), где ϕ(x) — бесконечно дифференцируемая в R
n
функ-
x
ция, ϕ(x) ≡ 1 в области {x : |xj| < l1, j = 1, . . . , n} и ϕ(x) ≡ 0 вне области {x : |xj| < l2, j = 1, . . . , n}, 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1, |grad ϕ|2≤ C4ρ−2ϕ в R
n
x
C4= const > 0 и C4не зависит от ρ. При любых 0 ≤ τ1< τ2≤ T имеем
Z
ω(l2;τ1,τ2)
(
(we
µ2t
)twe
−µ2t
ϕ +
117
n
X
k,j=1
akj(x, t)w
w
x
ϕ+
x
j
k
,
ПРИМЕР ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 119
1.
+
n
X
k,j=1
akj(x, t)w
wϕ
x
x
j
n
X
−
k
k=1
bk(x, t)w
wϕ − c(x, t)w2ϕ)dx dt = 0.
x
k
Преобразуя первый член этого равенства интегрированием по частям и учитывая свойства функции ϕ(x) и коэффициентов уравнения (6.1.1), получаем
(
µ2w2ϕ +
ϕ dx dt + 4nC
j
dx dt +
)2ϕ
x
k
n
X
akjw
k,j=1
Z
1
ω(l2;τ1,τ2)
n
2ε
ω(l2;τ1,τ2)
Z
w
x
j
k
ϕ)dx dt ≤
x
|grad ϕ|2w2ϕ−1dx dt+
Z
dx dt+
w2ϕ
1
≤
4
Z
1
2
ω(l2;τ2)
Z
ω(l2;τ1,τ2)
ε
+
2
dx +
w2ϕ
n
X
akjw
,j=1
k
Z
ω(l2;τ1,τ2)
Z
ω(l2;τ1,τ2)
w
x
x
k
n
X
(bkw
k=1
Z
1
+C
3
ω(l2;τ1,τ2)
w2ϕ dx dt +
2
ω(l2;τ1)
w2ϕ
dx.
Полагая ε = 1/2C2и учитывая условия (6.1.5), (6.1.7) и оценку |grad ϕ|2≤
C4ρ−2ϕ, находим
Z
Z
1
w2ϕ
dx +
µ2w2ϕ dx dt ≤
2
≤
Z
1
2
ω(l2;τ1)
ω(l2;τ2)
w2ϕ
dx +4nC1C4ρ−2+
ω(l2;τ1,τ2)
n
2ε
+ C
3
ω(l2;τ1,τ2)
Z
w2dx
dt.
Отсюда следует неравенство (6.1.8) при M = 4nC1C4+ nC2+ C3+ 1 > 1.
Лемма доказана.
Лемма
6.1.2. Пусть выполнены условия (6.1.5)–(6.1.7). Тогда для обоб-
щенного решения задачи (6.1.1)–(6.1.3) при любых l2> l1> 0 и 0 ≤ τ1<
τ2≤ T справедлива оценка
Z
1
u2dx ≤
2
ω(l1;τ2)
1
2
ω(l2;τ1)
Z
u2dx +
M
2
ρ
ω(l2;τ1;τ2)
Z
u2dx
dt. (6.1.9)
Неравенство (6.1.9) получаем из (6.1.8), полагая µ = 0.
Замечание. Для получения оценки вида (6.1.8) можно воспользоваться
методом введения дополнительного независимого переменного. Отметим,
что функция v(x0, x, t) = e
iµx
0
w(x, t) = e
iµx0−µ2t
u(x, t) является обобщен-
ным решением уравнения
vt= v
x0x
n
X
+
0
k,j=1
(akjv
)
x
x
j
k
+
118
n
X
k=1
bk(x, t)v
+ cv (6.1.10)
x
k
120 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
в области Ω = ω × {−∞ < x0< ∞} ⊂ R
v|
= e
Ω
0
n+2
x0,x,t
iµx
с начальным условием
0
u0(x) (6.1.11)
и граничным условием
v|Γ= 0, (6.1.12)
где Γ = γ ×{−∞ < x0< ∞}, Ω0= ω0× {−∞ < x0< ∞}.
Аналогично тому, как доказана лемма 6.1.1, легко получить для обобщенного решения v(x0, x, t) задачи (6.1.10)–(6.1.12) при любых l2> l1> 0 и
0 ≤ τ1< τ2≤ T оценку вида
≤
1
2
Ω(l1;τ2)
M
2
ρ
ω(l2;τ1,τ2)
Z
|v|2dx0dx +
Z
|v|2dx0dx
dt +
Z
3
4
Ω(l1;τ1,τ2)
1
2
Ω(l2;τ1)
|v
|2dx0dx
x
0
dt ≤
Z
|v|2dx0dx, (6.1.13)
де Ω(l; τ) = ω(l; τ ) ×{−l < x0< l}, Ω(l; τ1, τ2) = ω(l; τ1, τ2) × {−l < x0< l}.
г
iµx
Подставляя в неравенство (6.1.13) v(x0, x, t) = e
≤
Z
1
2
ω(l1;τ2)
M
l2l
2
ρ
w2dx +
(
−1
1
Z
ω(l2;τ1,τ2)
Z
3
4
ω(l1;τ1,τ2)
w2dx
µ2w2dx
dt
ω(l2;τ1)
0
w(x, t), получим оценку
dt ≤
Z
w2dx). (6.1.14)
Такой подход к получению оценки вида (6.1.8), на которой основываются
доказательства теорем единственности, используется в ряде случаев, когда
непосредственная оценка w(x, t) затруднительна. Заметим, что уравнение
(6.1.10) принадлежит к тому же типу, что и уравнение (6.1.1), и не содержит
параметра µ. Идея введения дополнительного независимого переменного x
0
для доказательства основной оценки вида (6.1.8) используется в § 4 при
исследовании краевых задач для общих параболических систем.
Лемма 6.1.3. Пусть выполнены предположения (6.1.5)–(6.1.7). Тогда для
любого обобщенного решения задачи (6.1.1)–(6.1.3) при любых l2> l1> 0 и
0 ≤ τ1< τ2≤ T справедлива оценка
Z
ω(l1;τ1,τ2)
u2dx dt ≤ exp{−k + 2(τ2− τ1)µ2}
Z
+(e − 1)−1exp{2(τ2− τ1)µ2}
ω(l2;τ1)
119
Z
u2dx dt+
ω(l2;τ1,τ2)
u2dx, (6.1.15)
ПРИМЕР ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 121
1.
где постоянные k и µ связаны соотношением
p ≡ M µ−2k2(l2− l1)−2≤ e−1;
1
≤ 1,
k — целое число, k > 0.
l2− l
k
(6.1.16)
l2− l
Доказательство. Пусть ρk=
1
, l1(s)
= l1+ sρk, l2(s) = l1(s) + ρk,
k
s = 0, 1, . . . , k − 1. Положим в неравенстве (6.1.8) l1= l1(s), l2= l2(s),
ρ = ρk. Учитывая, что M ≥ 1, ρk≤ 1, получим
Z
(
Z
Z
M
w2dx
dt +
w2dx), (6.1.17)
ω(l2(s);τ1)
ω(l1(s);τ1,τ2)
w2dx dt ≤
2
2
ρ
µ
k
ω(l2(s);τ1,τ2)
где s = 0, . . . , k − 1. Применим последовательно неравенство (6.1.17), соответствующее s = s0> 0, для оценки правой части неравенства (6.1.17),
соответствующего s = s0−1, полагая s0= 1, . . . , k−1. В результате получим
Z
w2dx dt ≤ p
ω(l1;τ1,τ2)
Z
k
ω(l2;τ1,τ2)
w2dx dt +
k−1
X
s=0
p
s+1
Z
w2dx. (6.1.18)
ω(l2;τ1)
Согласно условиям (6.1.16), имеем p ≤ e−1. Учитывая это и соотношение
w(x, t) = exp{−µ2t}u(x, t), из (6.1.18) получим неравенство (6.1.15). Лемма
доказана.
Неравенство
(6.1.15) позволяет доказать теорему единственности решения краевой задачи (6.1.1)–(6.1.3) в классе растущих функций, аналогичную теореме А. Н. Тихонова [125]. Интересно отметить, что для доказательства неравенства (6.1.15) мы пользовались только леммой 6.1.1, касающейся вспомогательной функции w(x, t), и не использовали какие-либо априорные оценки самого решения u(x, t) задачи (6.1.1)–(6.1.3). Непосредственным
следствием леммы 6.1.3 (неравенства (6.1.15)) является следующая теорема
единственности.
Теорема 6.1.1. Пусть выполнены условия (6.1.5)–(6.1.7). Тогда если для
обобщенного решения u(x, t) задачи (6.1.1)–(6.1.3) в ω, для которого u0(x) ≡
0 на ω0, существует постоянная a > 0 такая, что для некоторой последовательности целых чисел mj→ ∞
Z
2m
j
}, (6.1.19)
ω(2
m
j
;0,T )
u2dx, dt ≤ exp{a2
то u(x, t) = 0 почти всюду в ω.
Доказательство. Положим в оценке (6.1.15) τ1= 0, τ2= min{T, (2b1)−2},
l1= 2m, l2= 2
m+1
, k = λ2
2(m+1)
, µ = b1λ2
120
(m+1)
, где b1= (4Me)
1/2
, λ = [a] +
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]