Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие
.pdf
162 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
если t0− τ1≤ ρ2b.
Переходя к переменным (x, t) и функциям uj(x, t), j = 1, . . . , N , в нера-
венствах (6.3.22) и (6.3.23), получим
N
X
j=1
ρ
s+t
j
ρ
t∗−t
j
kuj; C
s+tj,b(O1
(x0, t0))k ≤ C1C
ρ
6
N
X
j=1
ρ
t∗−t
j
kuj; C
0,b
(Oρ(x0, t0))k,
если t0− τ1> ρ2b, и
N
X
j=1
s+t
ρ
+C2C
j
ρ
7
t∗−t
N
X
j=1
j
kuj; C
t∗−t
ρ
s+tj,b(O1
[tj/2b]
X
j
β=0
(x0, t0))k ≤ C1C
ρ
β
∂
β
t
∂
uj; C
s+tj−2bβ
N
X
6
j=1
ρ
t∗−t
j
kuj; C
0,b
(Oρ(x0, t0) ∩ {t = τ1})
(Oρ(x0, t0))k+
, (6.3.25)
если t0− τ1≤ ρ2b.
Постоянная C6> 0 зависит от M(ω), постоянная C7> 0 зависит от
M(ω) и M . Последний член в (6.3.25) отсутствует, если τ1= 0.
Пусть точка
(x0, t0) ∈ ω(l; τ1, τ2) ∩ F
−1
ˆx,T
−
S
0, 0;
κ
2
∩
{yn≥ 0},
2
(6.3.24)
где (ˆx, T ) ∈ ∂ωT. Если t0− τ1> ρ2b, положим
1
O
(x0, t0) = O
ρ
(x0, t0).
ρ/2
Если t0− τ1≤ ρ2b, положим
1
O
(x0, t0) = F
ρ
−1
ˆx,T
+
S
y0, τ1− T ;
ρ
,
ρ∩ {yn≥ 0},
2
где (y0, τ1− T ) — образ точки (x0, τ1) при преобразовании F
Если точка
(x0, t0) ∈ ω(l; τ1, τ2) ∩ F
−1
ˆx,ˆt
S
0, 0;
κ
3
{yn≥ 0},
∩
2
где (ˆx,ˆt) ∈ γ1и t0− τ1> ρ2b, положим
1
O
(x0, t0) = O
ρ
(x0, t0).
ρ/2
Если же t0− τ1≤ ρ2b, положим
ˆx,T
.
1
O
(x0, t0) = F
ρ
−1
ˆx,ˆt
+
S
y0, τ1−ˆt;
161
ρ
ρ∩ {yn≥ 0},
,
2
АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ163
3.
где (y0, τ1−ˆt) — образ точки (x0, τ1) при преобразовании F
. Оценки вида
ˆx,ˆt
(6.3.24), (6.3.25) для указанных точек (x0, t0) области ω(l; τ1, τ2) получаются
так же, как и в рассмотренных выше случаях.
Нетрудно видеть, что из оценок (6.3.17), (6.3.18), (6.3.24), (6.3.25) следует
оценка (6.3.13). Если в оценке (6.3.13) положить
ρ = min(d(ω), M (ω)−1, (τ2− τ1)
1/2b
),
получим оценку (6.3.14). Теорема 6.3.1 доказана.
Аналогичное
2bs,s
W
, B
p
l
, 1 ≤ p < ∞ (определение пространств W
p
утверждение может быть доказано в нормах пространств
2bs,s
p
l
, B
см. в [122, с. 113,
p
114]).
Теорема 6.3.2. Пусть система (6.3.1) равномерно параболична в ω с по-
стоянной параболичности λ0, и для задачи (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) выполнены условия (6.3.4), (6.3.6). Пусть γ удовлетворяет условию <равномерной
локальной распрямляемости> с постоянными d(ω), M(ω), γ ∈ C
2bs+t∗,b
s целое, 2bs > q∗. Кроме того, предположим, что выполнены условия
(6.3.12) в области ω, и пусть tj, sk, rh, qνделятся на 2b. Пусть l > 0,
0 ≤ τ1< τ2≤ T,
ρ ≤ min(d(ω), (τ2− τ1)
1/2b
).
,
Тогда для любого решения u однородной задачи (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5)
такого, что uj∈ W
2bs+tj,s+tj/2b
p
(ω(l; τ1, τ2)), j = 1, . . . , N, справедлива оцен-
ка
N
X
+
N
X
j=1
t∗−t
ρ
2bs+t
ρ
j=1
≤ C
8
X
j
|α|+2bβ≤tj−2b
(
j
ρ
N
X
j=1
t∗−t
ρ
D
j
t∗−t
α
x
kuj; W
j
∂
t
∂
2bs+tj,s+tj/2b
p
(ω(l; τ1, τ2))k ≤
kuj; Lp(ω(l + M (ω)ρ; τ1, τ2))k+
β
β
2bs+tj−|α|−2bβ−2b/p
uj; B
p
(ω(l + M (ω)ρ; τ1))
Последний член в (6.3.26) отсутствует, если τ1= 0.
Кроме того, для любого j = 1, . . . , N справедлива оценка
|α|+2bβ≤tj−2b
N
X
+
j=1
|α|+2bβ≤tj−2b
X
X
D
≤ C9θ
D
∂
α
x
∂
2bs+t
α
x
β
t
∂
∂
uj; B
β
∗
β
β
t
2bs+tj−2bβ−|α|−2b/p
p
(
N
X
kuj; Lp(ω(l; τ1, τ2))k+
j=1
2bs+tj−|α|−2bβ−2b/p
uj; B
p
(ω(l −1; τ2))
(ω(l; τ1))
≤
)
, (6.3.27)
)
(6.3.26)
.
162
164 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
если 0 ≤ τ1< τ2≤ T , где θ−1= min(d(ω), M(ω)−1, (τ2− τ1)
1/2b
). Последний
член в (6.3.27) отсутствует, если τ1= 0. Постоянная C9зависит только
от {K}, ∆0, ∆γ, M(ω), d(ω), r1, . . . , rm, q1, . . . , qbm.
Теорема 6.3.2 доказывается так же, как и теорема 6.3.1.
4 Неограниченные обласи(теоремы единствен-
ности))
В этом параграфе будут доказаны теоремы единственности решения общей
краевой задачи (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) в области ω согласно схеме, указанной
в § 2. При этом будут использованы теоремы 6.2.3 и 6.2.5, основанные на
введении дополнительного независимого переменного x0. В связи с этим
изучим вспомогательную задачу для вектор-функций v(x0, x, t), которые
представлены в условиях Iа–IIIа и условиях I(Т)а–III(Т)а теорем 6.2.3 и
6.2.5. На основе теорем § 2 установим также некоторые асимптотические
свойства решений параболических систем.
Пусть для области ω выполнены предположения § 3 и в ω задана система
(6.3.1) с граничными условиями (6.3.3) и начальными условиями (6.3.5),
удовлетворяющими требованиям (6.3.2), (6.3.4), (6.3.6) и (6.3.12).
В области Ω = ω × R
1
рассмотрим вспомогательную систему
x
0
N
X
j=1
|α|+2bβ≤sk+t
X
j
αβ
a
kj
(x, t)D
∂
α
x
+ p1D
∂t
β
2b
vj= 0, (6.4.1)
x
0
k = 1, . . . , N, с граничными условиями
N
X
j=1
X
|α|+2bβ≤qν+t
ν = 1, . . . , bm, на Γ = γ × R
N
X
j=1
X
|α|+2bβ≤rh+t
h = 1, . . . , m, на Ω0= ω0× R
αβ
b
(x, t)D
νj
j
1
и начальными условиями
x
0
∂
α
x
t
∂
+ p1D
αβ
c
(x, t)D
hj
j
1
, где p1= const > 0, D
x
0
∂
α
x
∂
t
+ p1D
β
2b
vj= 0, (6.4.2)
x
0
β
2b
vj= 0, (6.4.3)
x
0
∂
x
= −i
0
.
∂
x
0
Покажем, что при достаточно большом p1задача (6.4.1)–(6.4.3) удовлетворяет в области Ω условиям теоремы 6.3.1.
Лемма 6.4.1. а) Система (6.4.1) равномерно параболична в Ω с постоян-
ной параболичности λ(p1), причем lim
p1→∞
λ(p1) = λ0, где λ0— постоянная
параболичности системы (6.3.1).
163
НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОБЛАСТИ(ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ)165
4.
б) Для системы (6.4.1) и начальных условий (6.4.3) выполнены условия
дополнительности равномерно в Ω с постоянной ∆0, определяемой условием (6.3.6).
в) Существуют положительные постоянные C0и p0такие, что при
p1≥ p0система (6.4.1) и граничные условия (6.4.2) удовлетворяют усло-
вию дополнительности равномерно на Γ с постоянной ∆Γ≥ C0∆γ, где ∆
определяется условием (6.3.4).
г) Коэффициенты задачи (6.4.1)–(6.4.3) удовлетворяют оценке (6.3.12)
с постоянной M (p1) > 0.
д) Функция vµ(x0, x, t) = exp{iµx0− p1µ2bt}u(x, t) является решением
задачи (6.4.1)–(6.4.3) при любом действительном параметре µ, если u(x, t)
является решением однородной задачи (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5).
Доказательство. Нетрудно видеть, что соответствующая системе (6.4.1)
матрица
∗
L
(x, t, ξ0, ξ, σ) ≡
0
X
|α|+2bβ=sk+t
αβ
a
(x, t)ξα(σ + p1ξ
kj
j
2b
0
!
β
)
γ
равна L0(x, t, ξ, θ), где θ = σ + p1ξ
2b
и L0— матрица, соответствующая си-
0
стеме (6.3.1) и определенная в § 3. Следовательно, для любого корня σ
полинома по σ
∗
(x, t, ξ0, ξ, σ)
0
имеем σs= θs− p1ξ
P∗(x, t, ξ0, ξ, σ) ≡ det L
2b
, где θs— корень полинома по θ,
0
P (x, t, ξ, θ) ≡ det L0(x, t, ξ, θ).
Из условия равномерной параболичности системы (6.3.1) получаем
Re σs= Re θs− p1ξ
где
λ(p1) = λ0a(p1), a(p1) = inf
Если b = 1, то
2b
0
≤ −λ
X
0
j=1
a(p1) = min1,
n
!
b
2
ξ
j
τ∈[0,1]
− p1ξ
p
1
λ
0
p
1
λ
0
;
2b
≤ λ(p1)
0
τb+
(1 − τ)
n
X
j=0
b
!
b
2
ξ
,
j
.
s
же b > 1, то
если
a(p1) = min1, p1λ
−1
0
1 + (p1λ
−1
0
1/(b−1)
)
Следовательно, λ(p1) → λ0при p1→ ∞.
Проверим выполнение утверждения б). Очевидно, что
∗
C
(x, t, ξ0, ξ, σ) = C0(x, t, ξ, θ
0
164
1−b
.
),
ξ
0
166 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
где
∗
C
(x, t, ξ0, ξ, σ) =
0
X
|α|+2bβ=rh+t
αβ
c
(x, t)ξα(σ + p1ξ
hj
j
0
2b
!
β
)
,
C0(x, t, ξ, θ) — матрица, соответствующая начальным условиям (6.3.5) и опре-
деленная в § 3, θ
= σ + p1ξ
ξ
0
2b
0
.
Положим
b
L∗(x, t, ξ0, ξ, σ) = P∗(x, t, ξ0, ξ, σ)L
b
L(x, t, ξ, θ) = P (x, t, ξ, θ)L
∗−1
0
−1
(x, t, ξ, θ).
0
(x, t, ξ0, ξ, σ),
Тогда
b
L∗(x, t, ξ0, ξ, σ) =bL(x, t, ξ, θ
).
ξ
0
Нетрудно видеть, что условия дополнительности для (6.4.1), (6.4.3) и
для (6.3.1), (6.3.5) определяются одной и той же матрицей
∗
C
(x, t, 0, 0, σ)bL∗(x, t, 0, 0, σ) ≡ C0(x, t, 0, σ)bL(x, t, 0, σ).
0
Поэтому утверждение б) следует из условия (6.3.6).
Проверим утверждение в). Через ν(ˆx,ˆt) обозначим единичный вектор
нормали, а через η(ˆx,ˆt) — произвольный вектор, лежащий в касательной
плоскости к поверхности γ ∩ {x, t : t =ˆt} в точке (ˆx,ˆt). Единичный вектор
нормали к Γ ∩{x0, x, t : t =ˆt} в точке (ˆx0, ˆx,ˆt) равен (0, ν(ˆx,ˆt)), а любой
касательный вектор к Γ ∩ {x0, x, x, t : t =ˆt} в точке (ˆx0, ˆx,ˆt) имеет вид
(η0, η(ˆx,ˆt)), где η0— произвольное число.
Обозначим через B
∗
матрицу с элементами
0
X
|α|+2bβ=qs+t
αβ
b
(x, t)ξα(σ + p1ξ
sj
j
2b
0
)β.
Очевидно,
P∗(ˆx,ˆt, η0, η(ˆx,ˆt) + τν(ˆx,ˆt), σ) ≡ P (ˆx,ˆt, η(ˆx,ˆt) + τν(ˆx,ˆt), θ
), (6.4.4)
η
0
A∗(ˆx,ˆt, η0, η(ˆx,ˆt) + τν(ˆx,ˆt), σ) ≡
∗
≡ B
(ˆx,ˆt, η0, η(ˆx,ˆt) + τν(ˆx,ˆt), σ)bL∗(ˆx,ˆt, η0, η(ˆx,ˆt) + τν(ˆx,ˆt), σ) =
0
= B(ˆx,ˆt, η(ˆx,ˆt) + τν(ˆx,ˆt), θ
= A(ˆx,ˆt, η(ˆx,ˆt) + τν(ˆx,ˆt), θ
)bL(ˆx,ˆt, η(ˆx,ˆt) + τν(ˆx,ˆt), θ
η
0
), (6.4.5)
η
0
) =
η
0
где B0(ˆx,ˆt, η, θ) — матрица, соответствующая граничным условиям (6.3.3)
и определенная в § 3. Из равенства (6.4.4) следует, что ˆτ является кор-
нем полинома P∗(ˆx,ˆt, η0, η(ˆx,ˆt) + τν(ˆx,ˆt), σ) по τ , если ˆτ — корень полино-
ма P (ˆx,ˆt, η(ˆx,ˆt) + τν(ˆx,ˆt), θ
) по τ. Обозначим через τ
η
0
165
+
(ˆx,ˆt, η0, η, σ), j =
j
НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОБЛАСТИ(ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ)167
4.
1, . . . , bm, корни с положительными мнимыми частями полинома P∗(ˆx,ˆt, η0, η(ˆx,ˆt)+
τν(ˆx,ˆt), σ) и положим
bm
+
M
(ˆx,ˆt, η0, η, σ; τ ) ≡
∗
Y
(τ − τ
j=1
+
(ˆx,ˆt, η0, η, σ)).
j
Очевидно,
+
M
(ˆx,ˆt, η0, η, σ; τ ) = M+(ˆx,ˆt, η, θ
∗
η
; τ),
0
где M+(ˆx,ˆt, η, θ; τ) определено в § 3. Обозначим через M(ˆx,ˆt) множество
векторов (η(ˆx,ˆt), θ) таких, что
Re θ ≥ −(λ0− ε0)
n
X
j=1
2
η
j
(ˆx,ˆt)
!
b
, ε0= const, 0 < ε0< λ0,
и
k(η(ˆx,ˆt), θ)k ≡ |θ|2+
n
X
j=1
η
2
(ˆx,ˆt)
j
!2b!
1/4b
> 0.
Так как для (6.3.1), (6.3.3) выполнено условие дополнительности (6.3.4)
равномерно на γ с постоянной ∆γ> 0, то
0 < ∆γ= inf
(η(ˆx,ˆt),θ)∈M(ˆx,ˆt)
(ˆx,ˆt)∈γ
maxj|∆j(x, t, η(ˆx,ˆt)k(η(ˆx,ˆt), θ)k−1, θk(η(ˆx,ˆt), θ)k
где ∆j— миноры порядка bm матрицы Q(ˆx,ˆt, η, θ) с элементами q
s
hj
−2b
(ˆx,ˆt, η, θ),
имеющей bm строк, h = 1, . . . , bm, и bmN столбцов, s = 0, . . . , bm − 1;
j = 1, . . . , N, и определенной в § 3. Обозначим через ∆
∗
(ˆx,ˆt, η0, η, σ), j =
j
1, . . . , N1, миноры порядка bm матрицы Q∗(ˆx,ˆt, η0, η, σ) с элементами
∗s
q
(ˆx,ˆt, η0, η, σ), имеющей bm строк, h = 1, . . . , bm, и bmN столбцов, s =
hj
0, . . . , bm − 1; j = 1, . . . , N, где элементы q
отношением
bm−1
X
s=0
∗s
q
(ˆx,ˆt, η0, η, σ)τ
hj
≡ A∗(ˆx,ˆt, η0, η(ˆx,ˆt) + τν(ˆx,ˆt), σ)( mod M
Очевидно, ∆
∗
(ˆx,ˆt, η0, η, σ) = ∆j(ˆx,ˆt, η, θ
j
∗s
(ˆx,ˆt, η0, η, σ) определяются со-
hj
!
s
≡
+
(ˆx,ˆt, η0, η, σ; τ )).
∗
). Определители ∆j(ˆx,ˆt, η, θ) яв-
η
0
ляются однородными функциями в смысле
|,
k
∆j(ˆx,ˆt, δη, δ2bθ) = δ
j
∆j(ˆx,ˆt, η, θ), (6.4.6)
где δ > 0 и kjне зависят от (ˆx,ˆt) (см. [122, с. 41]). Из утверждения а) следует
существование p0такого, что при p1> p0имеем ε
0
< λ(p1) ≤ λ0, где ε
0
0
> ε0.
0
Обозначим через M∗(ˆx,ˆt) множество векторов (η0, η(ˆx,ˆt), σ) таких, что
Re σ ≥ −(λ(p1)−ε
X
0
)
0
j=0
!
n
b
2
η
, k(η0, η(ˆx,ˆt), σ)k ≡ |σ|2+
j
n
X
j=0
2
η
j
!2b!
1/4b
> 0.
(6.4.7)
166
168 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
Покажем, что для любого вектора (η0, η(ˆx,ˆt), σ) ∈ M∗(ˆx,ˆt) имеем
(η(ˆx,ˆt), θ
) ∈ M(ˆx,ˆt). Проверим сначала это утверждение для векторов
η
0
(η0, η, σ) ∈ M∗(ˆx,ˆt) таких, что |η(ˆx,ˆt)| 6= 0. В этом случае мы можем предпо-
n
P
j=1
2
η
= 1, так как вектор (δη0, δη, δ2bσ) принадлежит M∗(ˆx,ˆt),
j
лагать, что
если (η0, η, σ) ∈ M∗(ˆx,ˆt) и δ = const > 0. Согласно (6.4.7), имеем
2b
0
где C
Re θ
— положительная постоянная, зависящая от ε и b, ε = const > 0.
ε,b
≡ Re σ + p1η
η
0
≥ p1η
2b
0
− (λ0− ε
Выберем ε из условия λ0ε − ε
очевидно, p1η
2b
− (λ0− ε
0
0
0
Re θ
)(1 + η
≥ −(λ0− ε0)
η
0
≥ p1η
0
(1 + ε) = −ε0, p1≥ C
0
2
0
2b
− (λ(p1) − ε
0
0
)(1 + ε) − C
0
ε,b(λ0
0
)(1 + η
0
0
− ε
0
2b
)η
0
ε,b(λ0
2
0
,
)b≥
− ε
)b≥ −(λ0− ε0). Отсюда получаем
X
j=1
!
n
b
2
η
j
0
). Тогда,
0
(6.4.8)
для любого (η0, η, σ) ∈ M∗(ˆx,ˆt) и такого, что |η(ˆx,ˆt)| 6= 0. Если |η(ˆx,ˆt)| =
0, то, согласно (6.4.7), Re θ
(6.4.8), очевидно, выполняется. Кроме того, если k(η, θ
j = 1, . . . , n, σ + p1η
тельно, k(η, θ
η
0
2b
= 0, что противоречит (6.4.7), если p0> λ0. Следова-
0
)k 6= 0, если (η0, η, σ) ∈ M∗(ˆx,ˆt).
≥ 0, если p0достаточно велико, и условие
η
0
)k = 0, то ηj= 0,
η
0
Положим
X
E(ˆx,ˆt) =(η, θ : Re θ ≥ −(λ0− ε0)
j=1
E∗(ˆx,ˆt) =(η0, η, σ : Re σ ≥ −(λ(p1) − ε
!
0
0
2
η
j
)
b
; |θ|2+
n
X
j=0
n
η
j
!
b
2
n
X
j=1
; |σ|2+
!
2b
2
η
j
n
X
j=0
= 1),
!
2b
2
η
j
= 1).
Далее, имеем
∆Γ≡ inf
E∗(ˆx,ˆt),(ˆx0,ˆx,ˆt)∈Γ
maxj|∆
∗
(ˆx,ˆt, η0, η, σ)| = inf
j
E∗(ˆx,ˆt),(ˆx0,ˆx,ˆt)∈Γ
maxj|∆j(ˆx,ˆt, η, θ
Так как для любой точки (ˆx,ˆt) ∈ γ множество E∗(ˆx,ˆt) ограничено и
замкнуто, то существуют постоянные C1, C2> 0 такие, что для любого
вектора (η0, η, σ) ∈ E∗(ˆx,ˆt)
C1≤ k(η, θ
)k ≤ C2.
η
0
Легко видеть, что C1и C2можно выбрать не зависящими от (ˆx,ˆt) ∈ γ, так
как для любой точки (ˆx,ˆt) ∈ γ множество {η(ˆx,ˆt)} можно ортогональным
преобразованием перевести в некоторую фиксированную (n − 1)-мерную
плоскость, а величина k(η, θ
)k не меняется при этом преобразовании.
η
0
167
)|.
η
0
НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОБЛАСТИ(ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ)169
4.
Таким образом, имеем
∆Γ≥ inf
maxj|∆j(ˆx,ˆt, η, θ)|,
˜
E
где
˜
E = {(η, θ) ∈ M∗(ˆx,ˆt), (ˆx,ˆt) ∈ γ, C1≤ k(η, θ)k ≤ C2}.
В силу однородности вида (6.4.6) миноров ∆j, из условия ∆γ> 0 на E(ˆx,ˆt)
следует существование постоянной C0> 0 такой, что ∆Γ≥ C0∆γ. Это и
требовалось доказать.
Утверждение г) очевидно. Справедливость утверждения д) вытекает из
линейности задачи (6.4.1)–(6.4.3) и того, что для любого β ≥ 0
∂
t
∂
+ p1D
β
2b
vµ(x0, x, t) = exp{iµx0− p1µ2bt}
x
0
∂
t
∂
β
u(x, t).
β
Лемма 6.4.1 доказана.
сируем в задаче (6.4.1)–(6.4.3) постоянную p1так, что p1≥ p0. Тогда
Фик
к задаче (6.4.1)–(6.4.3) с n + 2 независимыми переменными x0, x1, . . . , xnи t,
как и к задаче (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5), применима теорема 6.3.1, содержащая
основную априорную оценку решения.
Мы предполагаем, что область ω, задача (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) удовлетворяют условиям теоремы 6.3.1. Покажем, что для решения u(x, t) задачи
(6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) выполнены предположения Iа, IIа, IIIа § 2. Для любых
l > 0, 0 ≤ τ1< τ2≤ T положим
j
B
(ω(l; τ1, τ2)) = C
0
j
B
(Ω(l; τ1, τ2)) = C
0
0,b
(ω(l; τ1, τ2)),
0,b
(Ω(l; τ1, τ2)),
j = 1, . . . , N.
За A0(ω(l; τ1, τ2)) возьмем множество вектор-функций, которые являются сужениями на ω(l; τ1, τ2) решений u(x, t) = (u1(x, t), . . . , uN(x, t)) однородной задачи (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) в ω, uj∈ C
s+tj,b
(ω(r; 0, T )) для любого r ≥
0, j = 1, . . . , N , s — нецелое число и s > q∗= max(0, q1, . . . , qbm). Соответ-
ственно за A0(Ω(l; τ1, τ2)) возьмем множество вектор-функций, которые являются сужениями на Ω(l; τ1, τ2) решений v(x, t) = (v1(x0, x, t), . . . , vN(x0, x, t))
однородной задачи (6.4.1)–(6.4.3) в Ω, vj∈ C
s+tj,b
(Ω(r; 0, T )) для любого
r ≥ 0, j = 1, . . . , N. В A0(Ω(l; τ1, τ2)) введем полунормы
[s]+t
j
X
α0=0
s−[s]
sup
Ω(l;τ1,τ2)
[s]+t
j
x
0
α
0
|D
x
0
vj(y0, x, t)
vj|+
j = 1, . . . , N.
,
+ sup
(x0,x,t)∈Ω(l;τ1,τ2)
(y0,x,t)∈Ω(l;τ1,τ2)
kvj; B
j
(Ω(l; τ1, τ2))k =
1
[s]+t
D
j
vj(x0, x, t) − D
x
0
|x0− y0|
(6.4.9)
168
170 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
Очевидно, для κ = ϕ(µ) = µ2b,
vµ= exp{iµx0− µ2bt}u(x, t) = exp{iµx0}w
ϕ(µ)
(x, t)
имеем
µ
kv
j
; B
(Ω(l; τ1, τ2))k ≤ kw
0
j
≤ exp{−τ1µ2b}kuj; B
j
0
ϕ(µ)
j
j
; B
(ω(l; τ1, τ2))k ≤
0
(ω(l; τ1, τ2))k, j = 1, . . . , N,
для любых l > 0, 0 ≤ τ1< τ2≤ T. Это означает, что выполнены неравенства
(6.2.2) и (6.2.2a) с постоянной C2(l) ≡ 1. Выполнение неравенства (6.2.1)
очевидно. Проверим выполнение оценок (6.2.1a). Имеем
µ
kv
j
; B
(Ω(l; τ1, τ2))k = kexp{iµx0}; C
1
j
≥ kexp{iµx0}; C
s+t
j
({|x0| < l})kkw
s+t
j
({|x0| < l})k exp{−τ2µ2b}kuj; B
ϕ(µ)
j
j
0
j
; B
(ω(l; τ1, τ2))k ≥
0
(ω(l; τ1, τ2))k,
для j = 1, . . . , N. Легко видеть, что при любых µ ≥ 1 и l ≥ 1
kexp{iµx0}; C
= µ
s+t
j
({|x0| < l})k ≥ µ
s+t
j
sup
|z0|,|η0|<µl
[s]+t
|exp{iz0}
|z0− η0|
j
sup
|x0|,|y0|<l
− exp{iη0}|
s−[s]
|exp{iµx0} − exp{iµy0}|
j
C1,
s−[s]
|x0− y0|
s+t
≥ µ
=
де положительная постоянная C1не зависит от µ и l. Таким образом, вы-
г
полнены неравенства (6.2.1a) при C
j
(µ, l) = C1µ
1
s+t
j
. В силу леммы 6.4.1,
для задачи (6.4.1)–(6.4.3) выполнены условия теоремы 6.3.1. Поэтому из
оценки (6.3.13) следует, что для любого u ∈ A0, любых l > 0, 0 < ρ < d(ω),
0 < τ2≤ T, µ ≥ 1 справедливо неравенство
N
X
j=1
C
−1
3
ρ
s+t
j
ρ
t∗−t
j
kv
µ
j
; B
(Ω(l; 0, τ2))k ≤
1
j
N
X
j=1
ρ
t∗−t
µ
j
kv
j
; B
(Ω(l+M (ω)ρ; 0, τ2))k,
0
j
если ϕ(ρ) ≡ ρ2b≤ τ2, C3= const > 0. Отсюда следует, что выполнены
условия IIа и IIIа § 2 с q1= 2b, q2(j) = q3(j) = s + tj, ηj= t∗− tjи
σ(j) = σ = 2b − 1 > 0, j = 1, . . . , N .
Таким образом, мы доказали, что выполнены условия Iа–IIIа. В § 2 было
показано, что из Iа–IIIа следуют предположения I–III.
Из теоремы 6.2.3 вытекает следующая теорема единственности решения
краевой задачи (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5).
Теорема 6.4.1. Пусть область ω, задача (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) удовлетворяют условиям теоремы 6.3.1. Пусть u(x, t) = (u1(x, t), . . . , uN(x, t)) —
решение однородной задачи (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) такое, что
uj∈ C
s+tj,b
(ω(l; 0, T )) для любого l > 0, j = 1, . . . , N. Пусть для некоторой
последовательности mp→ ∞ имеем
o
,
ku; B0(ω(2
mp+1
; 0, T ))k ≤ expna2
mp+1
2b/(2b−1)
a = const > 0. Тогда u ≡ 0 в ω.
169
НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОБЛАСТИ(ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ)171
4.
Теорема 6.4.1 впервые была доказана в [81, 215]. Получим теперь для задачи (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) теорему единственности, аналогичную теореме
Тэклинда. Для этого проверим выполнение условий теоремы 6.2.5. Покажем, что выполнены условия I(Т)а–III(Т)а, IV(T).
Для любых l > 0, 0 ≤ τ ≤ T положим
kuj; Hj(ω(l; τ))k =
kvj; Hj(Ω(l; τ ))k =
[tj/2b]
X
β=0
[tj/2b]
X
β=0
β
∂
β
t
∂
β
∂
β
∂
t
uj; C
vj; C
s+tj−2bβ
s+tj−2bβ
(ω(l; τ))
(Ω(l; τ ))
,
,
j = 1, . . . , N . Очевидно, для любого µ ≥ 1 выполнено неравенство
ϕ(µ)
e
; Hj(ω(l; τ))k ≤
j
µ
s+2t
µ
kv
; Hj(Ω(l; τ ))k ≤ µ
j
j
e
e
C
C5exp{−τϕ(µ)}kuj; Hj(ω(l; τ))k,eC9,eC5= const > 0
9
s+t
j
C9kw
Это означает, что справедливы неравенства (6.2.14) и (6.2.33), и следовательно, выполнено условие I(Т)а.
Из леммы 6.4.1 и оценки (6.3.13) следует, что для любого u ∈ A0, любых
l > 0, 0 < ρ ≤ d(ω), 0 ≤ τ1< τ2≤ T, справедливо неравенство
N
≤
N
X
j=1
ρ
t∗−t
X
j=1
µ
j
kv
j
; B
(Ω(l + M(ω)ρ; τ1, τ2))k +
0
j
C0ρ
s+t
j
ρ
t∗−t
µ
j
kv
j
; B
(Ω(l; τ1, τ2))k ≤
1
j
N
X
j=1
t∗−t
ρ
µ
j
kv
; Hj(Ω(l + M(ω)ρ; τ1))k,
j
если ρ ≤ (τ2− τ1)
1/2b
, C0= const > 0. Отсюда следует выполнение условий
II(Т)а, III(Т)а с q1= 2b, q2(j) = q3(j) = s + tj, ηj= t∗− tj; σ(j) = σ =
2b − 1 > 0, j = 1, . . . , N , t∗= maxjtj.
Из леммы 6.4.1 и оценки (6.3.14) выводим, что для любых 0 ≤ τ1< τ2≤
T , l > 0 и любого u ∈ A0выполнено неравенство
s+t
(
N
X
∗
kuj; B
j=1
j
(ω(l + 1; τ1, τ2))k+
0
N
X
kuj; Hj(ω(l; τ2))k ≤eC7θ
j=1
N
X
+
kuj; Hj(ω(l + 1; τ1))k),eC7= const > 0, (6.4.10)
j=1
где
θ−1= min{d(ω), M (ω)−1, (τ2− τ1)
1/2b
}.
Это означает, что выполнено условие IV(T).
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]