Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие
.pdf
152 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
Как и раньше, будем использовать следующее обозначение: [s] — целая
часть числа s.
Для любой области G ⊂ R
n+1
и 0 < δ < 1 введем следующие обозначе-
x,t
ния:
G
hvi
= supG|v|,
0
G
hvi
hvi
Для
всякого нецелого l > 0 положим l0= [l] и
G
Через C
hvi
hvi
l,b
(G), l ≥ 0, обозначим пространство функции v(x, t) с нормой
l,x
G
l/2b,t
G
hvi
l
kv; C
=
=
= hvi
l,b
= sup
δ,x
(x,t)∈G
(y,t)∈G
G
= sup
δ
,t
(x,t)∈G
(x,t0)∈G
X
2bβ+|α|=l
X
0<l−2bβ−|α|<2b
G
+ hvi
l,x
(G)k = hvi
|v(x, t) −v(y, t)|
|v(x, t) −v(x, t0)|
∂
α
D
x
0
∂
G
.
l/2b,t
G
+
l
2bβ+|α|≤l
|x − y|
|t − t0|
β
v
β
t
α
D
x
X
∂
∂
t
δ
δ
G
,
l−l0,x
G
β
v
β
(l−2bβ−|α|)/2b,t
α
D
x
0
,
.
,
G
β
∂
v
β
∂
t
.
0
Для любой области G0⊂ R
n
через Cl(G0) обозначим пространство функ-
x
ций u(x, t) с нормой
X
0
В пространстве R
ku; Cl(G0)k = hui
n+1
будем рассматривать множества
x,t
G
l,x
+
|α|≤l
hD
0
α
G
ui
.
x
0
H(ˆx,ˆt; ρ) = {x, t : |xj− ˆxj| < ρ, j = 1, . . . , n; −ρ2b< t −ˆt < ρ2b};
H−(ˆx,ˆt; ρ) = {x, t : |xj− ˆxj| < ρ, j = 1, . . . , n; −ρ2b< t −ˆt ≤ 0};
H+(ˆx,ˆt; ρ1, ρ2) = {x, t : |xj− ˆxj| < ρ1, j = 1, . . . , n; 0 ≤ t −ˆt < ρ
2b
2
}.
Параллелепипеды H+(ˆx,ˆt; ρ, ρ) будем обозначать через H+(ˆx,ˆt; ρ). Та-
кие же параллелепипеды нам придется рассматривать и в пространстве
n+1
R
переменных y1. . . , yn, τ. Чтобы различать их, мы будем обозначать
y,τ
эти параллелепипеды соответственно S(ˆx,ˆt; ρ), S−(ˆx,ˆt; ρ), S+(ˆx,ˆt; ρ1, ρ2),
S+(ˆx,ˆt; ρ).
151
АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ153
3.
Предположим, что γ удовлетворяет условию <равномерной локальной
распрямляемости> с постоянными d(ω), M(ω) и γ ∈ C
s+t∗,b
, где t∗= maxjtj,
s > q∗= max(0, q1, . . . , qbm).
Условие <равномерной локальной распрямляемости> означает следующее.
I. Для любой точки (ˆx, 0) ∈ ∂ω0существует окрестность O
что множество O
образовании координат F
S+(0, 0; κ1) ∩ {yn≥ 0}, 0 < κ1≤ 1, а множество O
∩ ¯ω гомеоморфно при некотором невырожденном пре-
ˆx,0
= {y = f (x, t), τ = t; f (ˆx, 0) = 0} множеству
ˆx,0
∩ ¯γ гомеоморфно
ˆx,0
ˆx,0
такая,
S+(0, 0; κ1) ∩ {yn= 0}. Предположим, что κ1не зависит от (ˆx, 0) ∈ ∂ω0.
Пусть
M0=
[
(ˆx,0)∈∂ ω
−1
F
ˆx,0
0
+
S
0, 0;
κ
1
∩
{yn≥ 0}.
2
II. Для любой точки (ˆx, T ) ∈ ∂ωT, где ωT= ¯ω ∩{x, t : t = T }, существует
окрестность O
тором невырожденном преобразовании координат F
t − T ; f(ˆx, T ) = 0} множеству S−(0, 0; κ2) ∩ {yn≥ 0}, а множество O
такая, что множество O
ˆx,T
∩ ¯ω гомеоморфно при неко-
ˆx,T
= {y = f(x, t), τ =
ˆx,T
ˆx,T
∩ ¯γ
гомеоморфно S−(0, 0; κ2) ∩{yn= 0}, 0 < κ2≤ 1. Предположим, что κ2не
зависит от точки (ˆx, T ) ∈ ∂ωT. Пусть
MT=
[
(ˆx,T )∈∂ ω
−1
F
ˆx,T
T
−
S
0, 0;
κ
2
∩
{yn≥ 0}.
2
III. Преобразования F
ˆx,0
, F
и обратные к ним F
ˆx,T
функциями, нормы которых в пространстве C
s+t∗,b
−1
ˆx,0
ограничены постоян-
, F
−1
ˆx,T
заданы
ной K1(γ) ≥ 1.
IV. Для любой точки
1
(ˆx,ˆt) ∈ γ1= γ ∩
x, t :
2
κ
1
≤ t ≤ T −
существует окрестность O
ˆx,ˆt
2
2
2
такая, что множество O
при некотором невырожденном преобразовании координат F
2b
κ
1
2
2b
(K1(γ)(n +
(K1(γ)(n +
−1
1))
ˆx,ˆt
1))−1≤
∩ ¯ω гомеоморфно
= {y =
ˆx,ˆt
f(x, t), τ = t −ˆt; f (ˆx,ˆt) = 0} множеству S(0, 0; κ3) ∩{yn≥ 0}, 0 < κ3≤ 1, а
множество O
∩ ¯γ гомеоморфно S(0, 0; κ3) ∩{yn= 0}. Предположим, что
ˆx,ˆt
κ3не зависит от (ˆx,ˆt).
V. Преобразование F
и обратное к нему F
ˆx,ˆt
мы которых в пространстве C
s+t∗,b
ограничены постоянной K2(γ).
−1
заданы функциями, нор-
ˆx,ˆt
Положим K(γ) = max{K1(γ), K2(γ)}. Нетрудно видеть, что условиям
I–V удовлетворяет цилиндрическая по t область ω, если для любой точки (ˆx, 0) ∈ ∂ω0выполнены условия I, III при некотором невырожденном
преобразовании координат F
= {y = f (x), τ = t; f(ˆx) = 0}.
ˆx,0
152
154 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
Так как преобразования F
−1
, (ˆx,ˆt) ∈ γ1, F
ˆx,ˆt
−1
, (ˆx, 0) ∈ ∂ω0и F
ˆx,0
−1
, (ˆx, T ) ∈
ˆx,T
∂ωT, уменьшают расстояние между точками не более, чем в K(γ)(n+1) раз,
то расстояние от любой точки множества
ω1= ω \M0∪ MT∪
(ˆx,ˆt)∈γ
[
S
−1
F
ˆx,ˆt
1
0, 0;
κ
3
2
∩ {yn≥ 0}
до ¯γ не меньше, чем
1
d1(γ) = min
2
2b
κ
1
2
2
2
Положим d(ω) = d1(γ)(n + 1)
(K(γ)(n +
1))−1,
−1/2
1. Нетрудно видеть, что для любой точки (x
2b
κ
1
(K(γ)(n +
1))−1,
2
κ
2b
3
(K(γ)(n +
1))
−1
.
2
, M(ω) = K(γ)(n + 1). Очевидно, d(ω) <
, t
) ∈ ω
параллелепипед
H(x0, t0; ρ) ∩ {0 < t < T } принадлежит ω, если ρ ≤ d(ω).
Для любых l > 0, 0 ≤ τ1< τ2≤ T рассмотрим множества
ω(l; τ1, τ2) = ω ∩ {x, t : |xj| < l, j = 1, . . . , n; τ1< t < τ2}.
Пусть ρ < min(d(ω), (τ2− τ1)
1/2b
). Определим каноническое ρ-покрытие
{Oρ(x, t)} множества ω(l; τ1, τ2).
Для точки (x0, t0) ∈ ω(l; τ1, τ2) определим множество Oρ(x0, t0) следую-
щим образом.
Пусть t0− τ1> ρ2b. Тогда если
(x0, t0) ∈ F
−1
ˆx,0
+
S
0, 0;
κ
1
∩
{yn≥ 0}
и (ˆx, 0) ∈ ∂ω0,
2
то положим
0, 0;
−1
(S−(y0, τ0; ρ) ∩ {yn≥ 0}),
ˆx,0
κ
2
∩
{yn≥ 0}
и (ˆx, T ) ∈ ∂ωT,
2
. Если
ˆx,0
Oρ(x0, t0) = F
где (y0, τ0) — образ точки (x0, t0) при преобразовании F
(x0, t0) ∈ F
−1
ˆx,T
−
S
то положим
Oρ(x0, t0) = F
−1
(S−(y0, τ0; ρ) ∩ {yn≥ 0}),
ˆx,T
где (y0, τ0) — образ точки (x0, t0) при преобразовании F
(x0, t0) ∈ F
−1
ˆx,ˆt
−
S
0, 0;
κ
3
{yn≥ 0}
∩
2
и (ˆx,ˆt) ∈ γ1,
то положим
Oρ(x0, t0) = F
−1
(S−(y0, τ0; ρ) ∩ {yn≥ 0}),
ˆx,ˆt
153
ˆx,T
. Если
АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ155
3.
где (y0, τ0) — образ точки (x0, t0) при преобразовании F
, при условии, что
ˆx,ˆt
для точки (x0, t0) множество Oρ(x0, t0) не было определено выше. Если
(x0, t0) ∈ ω1, то положим Oρ(x0, t0) = H−(x0, t0; ρ).
Пусть теперь t0− τ1≤ ρ2b. Тогда для точки (x0, t0) ∈ ω1положим
Oρ(x0, t0) = H+(x0, τ1; ρ). Для точки
(x0, t0) ∈ F
−1
ˆx,0
+
S
0, 0;
κ
1
{yn≥ 0}
∩
2
такой, что (ˆx, 0) ∈ ∂ω0, положим
0, 0;
−1
(S+(y0, τ1; ρ) ∩ {yn≥ 0}),
ˆx,0
κ
2
{yn≥ 0}
∩
и (ˆx, T ) ∈ ∂ωT,
2
. Если
ˆx,0
Oρ(x0, t0) = F
где (y0, τ1) — образ точки (x0, τ1) при преобразовании F
(x0, t0) ∈ F
−1
ˆx,T
−
S
то положим
Oρ(x0, t0) = F
где (y0, τ1) — образ точки (x0, τ1) при преобразовании F
(x0, t0) ∈ F
−1
(S+(y0, τ1− T ; ρ) ∩ {yn≥ 0}),
ˆx,T
−1
ˆx,ˆt
S
0, 0;
κ
3
{yn≥ 0}
∩
2
. Для точки
ˆx,T
такой, что (ˆx,ˆt) ∈ γ1, положим
Oρ(x0, t0) = F
где (y0, τ1−ˆt) — образ точки (x0, τ1) при преобразовании F
Так как ρ ≤ min(d(ω)(τ2− τ1)
делены. В силу того, что преобразования F
−1
(S+(y0, τ1−ˆt; ρ) ∩ {yn≥ 0}),
ˆx,ˆt
1/2b
), то все множества Oρ(x0, t0) опре-
−1
ˆx,0
, F
−1
ˆx,T
, F
.
ˆx,ˆt
−1
могут увеличи-
ˆx,ˆt
вать расстояние между точками не более, чем в K(γ)(n + 1) раз, для любой точки (x0, t0) ∈ ω(l; τ1, τ2) имеем Oρ(x0, t0) ⊂ ω(l + M (ω)ρ; τ1, τ2), где
M(ω) = K(γ)(n + 1).
Таким образом, получаем следующее утверждение.
Лемма 6.3.1. Для любых l > 0, ρ ≤ min(d(ω), (τ2−τ1)
1/2b
), 0 ≤ τ1< τ2≤ T,
существует каноническое ρ-покрытие ω(l; τ1, τ2) множествами Oρ(x, t),
причем Oρ(x, t) ⊂ ω(l + M(ω)ρ; τ1, τ2) для всех (x, t) ∈ ω(l; τ1, τ2).
В дальнейшем нам понадобятся оценки, доказанные в [122, с. 108]. Ниже
мы приводим их в том виде, в каком они будут использованы для доказательства теоремы 6.3.1.
154
156 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
Лемма 6.3.2. 1) Пусть в параллелипипеде Q = H−(0, 0; 1) задана равномерно параболическая система вида (6.3.1) и для нецелого s > 0 существует положительная постоянная M такая, что
ka
αβ
kj
; C
s−sk,b
(Q)k ≤ M, (6.3.7)
где k, j = 1, . . . , N ; |α| + 2bβ ≤ sk+ tj.
Пусть u = (u1, . . . , uN), uj∈ C
нием системы (6.3.1) в Q и пусть Q0= H
s+tj,b
(¯Q), j = 1, . . . , N, является реше-
−
0, 0;
1
Тогда имеет место
.
2
оценка
N
X
j=1
kuj; C
s+tj,b(Q0
)k ≤ C
1
N
X
j=1
kuj; C
0,b
(Q)k, (6.3.8)
где постоянная C1зависит только от совокупности констант
{K} ≡ {λ0, n, s, m, b, M, t1, . . . , tN, s1. . . , sN}.
2) Пусть в Q = H−(0, 0; 1) ∩ {xn> a}, где a = const, −1 ≤ a ≤ 0, за-
даны равномерно параболическая система вида (6.3.1) и граничные условия
вида (6.3.3) на Γa=¯Q ∩ {xn= a}, удовлетворяющие равномерно условию
дополнительности (6.3.4). Пусть для нецелого s > q∗= max(0, q1, . . . , qbm)
существует положительная постоянная M такая, что
ka
αβ
kj
; C
s−sk,b
(Q)k + kb
α0β
νj
0
; C
s−qν,b
(Γa)k ≤ M, (6.3.9)
где k, j = 1, . . . , N ; ν = 1, . . . , bm; |α| + 2bβ ≤ sk+ tj; |α0| + 2bβ0≤ qν+ tj.
Пусть u = (u1, . . . , uN), uj∈ C
s+tj,b
(¯Q), j = 1, . . . , N, является реше-
нием системы (6.3.1) в Q с граничными условиями (6.3.3) на Γa. Пусть
2b
1
t < 0.
<
2
Q0=x, t : |xj| <
1
j = 1, . . . , n − 1; a < xn<
,
2
1
; −
2
Тогда имеет место оценка (6.3.8) с постоянной C1> 0, зависящей только
от совокупности констант {K}, ∆(γ), q1, . . . , qbm.
3) Пусть в Q = H+(0, 0; 1) заданы равномерно параболическая система
вида (6.3.1) и начальные условия вида (6.3.5) на S0=¯Q ∩ {t = 0}, удо-
влетворяющие равномерно условию дополнительности (6.3.6). Пусть для
нецелого s > 0 существует положительная постоянная M такая, что
ka
αβ
kj
; C
s−sk,b
(Q)k + kc
α00β
hj
00
; C
s−r
h
(S0)k ≤ M, (6.3.10)
где k, j = 1, . . . , N ; h = 1, . . . , m; |α|+ 2bβ ≤ sk+ tj; |α00| + 2bβ00≤ rh+ tj.
Пусть u = (u1, . . . , uN), uj∈ C
нием системы (6.3.1) в Q с начальными условиями (6.3.5) на S0. Пусть
Q0= H
0, 0;
1
, 1. Тогда имеет место оценка
+
s+tj,b
(¯Q), j = 1, . . . , N, является реше-
2
N
X
j=1
kuj; C
s+tj,b(Q0
)k ≤ C
1
N
X
j=1
kuj; C
155
0,b
(Q)k + C
2
m
X
h=1
kFh; C
s−r
h
(S0)k,
(6.3.11)
АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ157
3.
где
Fh≡
N
X
j=1
|α|+2bβ≤rh+t
X
j
αβ
c
hj
(x, t)D
α
x
β
∂
β
∂
t
uj(x, t)
при t = 0. Постоянные C1, C2> 0 зависят только от совокупности по-
стоянных {K}, ∆0, r1, . . . , rm.
4) Пусть в Q = H+(0, 0; 1) ∩{xn> a}, где a = const, −1 ≤ a ≤ 0, задана
равномерно параболическая система вида (6.3.1) с начальными условиями
вида (6.3.5) на S0=¯Q ∩ {t = 0}, удовлетворяющими равномерно усло-
вию дополнительности (6.3.6), и граничными условиями вида (6.3.3) на
Γa=¯Q ∩ {xn= a}, удовлетворяющими равномерно условию дополнитель-
ности (6.3.4). Пусть для нецелого s > q∗= max(0, q1, . . . , qbm) существует
положительная постоянная M такая, что выполнены неравенства (6.3.9)
и (6.3.10). Пусть u = (u1, . . . , uN), uj∈ C
s+tj,b
(¯Q), j = 1, . . . , N, являет-
ся решением системы (6.3.1) в Q с граничными условиями (6.3.3) на Γaи
начальными условиями (6.3.5) на S0. Пусть
Q0=x, t : |xj| <
1
j = 1, . . . , n − 1; a < xn<
,
2
1
0 < t < 1.
;
2
Тогда справедлива оценка (6.3.11) с постоянными C1, C2> 0, зависящими
только от совокупности констант {K}, ∆0, ∆γ, r1, . . . , rm, q1, . . . , qbm.
Используя леммы 6.3.1 и 6.3.2, получим основную априорную оценку,
из которой будут выведены неравенства, необходимые для применения абстрактной схемы, изложенной в § 2, к общим параболическим системам.
Теорема 6.3.1. Пусть система (6.3.1) равномерно параболична в ω с по-
стоянной параболичности λ0. Пусть граничные условия (6.3.3) удовлетворяют равномерно условию дополнительности (6.3.4) и начальные условия (6.3.5) удовлетворяют равномерно условию дополнительности (6.3.6).
Предположим, что для границы γ выполнены условия <равномерной локальной распрямляемости> с постоянными M(ω) и d(ω), γ ∈ C
s+t∗,b
, s —
нецелое число и s > q∗. Предположим, что в ω выполнено условие
αβ
ka
kj
+ sup
0≤τ≤T
; C
s−sk,b
α00β
kc
hj
(ω)k + kb
00
s−r
; C
0
α0β
νj
h
(ω ∩ {t = τ })k ≤ M, (6.3.12)
; C
s−qν,b
(γ)k+
где M = const > 0, k, j = 1, . . . , N ; ν = 1, . . . , bm, h = 1, . . . , m, |α| + 2bβ ≤
sk+tj; |α0|+2bβ0≤ qν+tj; |α00|+2bβ00≤ rh+tj. Пусть l > 0, 0 ≤ τ1< τ2≤ T,
ρ ≤ min(d(ω), (τ2− τ1)
1/2b
).
Тогда для любого решения u = (u1, . . . , uN) однородной задачи (6.3.1),
(6.3.3), (6.3.5) такого, что
uj∈ C
s+tj,b
(ω(l + M (ω)ρ; τ1, τ2)), j = 1, . . . , N,
156
158 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
справедлива оценка
N
X
+
N
X
j=1
t∗−t
ρ
≤ C
j=1
(
3
[tj/2b]
X
j
β=0
tj+sρt∗−t
ρ
N
X
t∗−t
ρ
j=1
∂
∂t
β
β
j
j
kuj; C
uj; C
kuj; C
s+tj,b
0,b
(ω(l + M (ω)ρ; τ1, τ2))k+
s+tj−2bβ
(ω(l; τ1, τ2))k ≤
(ω(l + M (ω)ρ; τ1))
)
. (6.3.13)
Последний член в (6.3.13) отсутствует, если либо τ1= 0, либо u ≡ 0 в
ω(l + M(ω)ρ; 0, τ1). Постоянная C3> 0 зависит только от совокупности
постоянных {K}, ∆0, ∆γ, M(ω), d(ω), q1, . . . , qbm, r1, . . . , rm, t1, . . . , tN.
Для любых j = 1, . . . , N, l > 1 имеем
≤ C4θ
s+t
[tj/2b]
X
β=0
(
N
X
∗
kuj; C
j=1
β
∂
uj; C
β
∂
t
0,b
(ω(l; τ1, τ2))k +
s+tj−2bβ
X
j=1
(ω(l −1; τ2))
X
β=0
N
[tj/2b]
≤
β
∂
β
t
∂
uj; C
s+tj−2bβ
(ω(l; τ1))
(6.3.14)
где 0 ≤ τ1< τ2≤ T и θ−1= min(d(ω), M (ω)−1, (τ2−τ1)
1/2b
). Последний член
в (6.3.14) отсутствует, если τ1= 0.
Доказательство. Пусть (x0, t0) ∈ ω(l; τ1, τ2).
Рассмотрим сначала случай, когда точка (x0, t0) ∈ ω(l; τ1, τ2) ∩ ω1. Если
t0− τ1> ρ2b, положим O
положим O
1
(x0, t0) = H
ρ
1
(x0, t0) = O
ρ
+
x0, τ1;
(x0, t0). Если же t0− τ1≤ ρ2b,
ρ/2
ρ
,
ρ.
2
Рассмотрим случай, когда t0−τ1≤ ρ2b. Случай t0−τ1> ρ2bрассматрива-
ется аналогично. Сделаем в Oρ(x0, t0) преобразование координат x−x0= ρz,
t−τ1= ρ2bp. Положим uj(x, t) = uj(x0+ρz, τ1+ρ2bp). Умножая k-е уравнение
s
системы (6.3.1) в новых переменных z, p на ρ
r
условий (6.3.5) в новых переменных на ρ
h
k
, h-e уравнение начальных
, получим в
)
,
систему вида
N
X
j=1
X
|α|+2bβ≤sk+t
+
S
(0, 0; 1) = {z, p : |zj| < 1, j = 1, . . . , n; 0 ≤ p < 1}
∗
αβ
a
(x0+ρz, τ1+ρ2bp)ρ
kj
j
−|α|−2bβ+sk+t
157
α
j
D
z
β
∂
Zj= 0, (6.3.15)
β
∂
p
АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ159
3.
для j = 1, . . . , N, и начальные условия на Γ
N
X
j=1
X
|α|+2bβ≤rh+t
αβ
c
(x0+ ρz, τ1+ ρ2bp)ρ
hj
j
−|α|−2bβ+rh+t
+
∗
+
= S
(0, 0; 1) ∩ {p = 0} вида
∗
β
∂
α
j
D
z
β
p
∂
Zj≡ ρ
r
h
Fh,
(6.3.16)
для h = 1, . . . , m.
Так как ρ ≤ 1, то коэффициенты в (6.3.15), (6.3.16) удовлетворяют условию (6.3.10) леммы 6.3.2 с той же постоянной M . Применяя утверждение 3)
леммы 6.3.2 к задаче (6.1.15)–(6.1.16), получим
N
X
j=1
kZj; C
s+tj,b(Q0
)k ≤ C
1
N
X
j=1
kZj; C
0,b
(Q)k + C
2
m
X
h=1
r
ρ
h
kFh; C
s−r
h
(Γ∗)k,
где
Q = S
Q0= S
+
(0, 0; 1),
∗
+
0, 0;
∗
1
, 1=z
2
, p : |zj| <
1
,
j = 1, . . . , n; 0 ≤ p < 1.
2
Переходя в полученной оценке к переменным (x, t) и функциям u(x, t) =
(u1(x, t), . . . , uN(x, t)), находим, что
N
X
+C
4
N
X
j=1
ρ
t∗−t
j=1
[tj/2b]
X
j
β=0
ρ
≤ C
t∗−t
1
j
N
X
j=1
∂
t
∂
ρ
β
β
s+t
j
t∗−t
ρ
uj; C
kuj; C
j
kuj; C
s+tj−2bβ
s+tj,b(Q1
0,b
(x0, t0))k ≤
ρ
(Oρ(x0, t0))k+
(Oρ(x0, t0) ∩ {t = τ1})
, (6.3.17)
где постоянная C4зависит только от {K}, ∆0, r1, . . . , rm. Последний член
в (6.3.17) отсутствует, если τ1= 0. Мы воспользовались тем, что ρ ≤ 1,
rh< 0, h = 1, . . . , m, tj+ rh≥ 0, если c
N
X
X
Fh=
j=1
|α|+2bβ≤rh+t
αβ
6≡ 0, |α| + 2bβ ≤ rh+ tjи
hj
β
u
j
β
t
t=τ
.
1
D
∂
α
x
∂
αβ
c
hj
j
Следовательно,
β
∂
−t
j
ρ
uj; C
β
∂
t
r
ρ
h
kFh; C
s−r
h
(Γ∗)k ≤ C
5
N
X
j=1
[tj/2b]
X
β=0
где постоянная C5зависит только от M, s, t∗.
158
s+tj−2bβ
(Oρ(x0, t0)∩{t = τ1})
,
160 Г
лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
В случае, когда t0−τ1> ρ2b, из утверждения 1) леммы 6.3.2 аналогично
получаем оценку вида
N
X
j=1
tj+sρt∗−t
ρ
j
kuj; C
s+tj,b(O1
(x0, t0))k ≤ C
ρ
1
N
X
j=1
t∗−t
ρ
j
kuj; C
0,b
(Oρ(x0, t0))k.
(6.3.18)
Рассмотрим теперь случай, когда точка
(x0, t0) ∈ ω(l; τ1, τ2) ∩ F
−1
ˆx,0
+
S
0, 0;
κ
1
∩
{yn> 0},
2
где (ˆx, 0) ∈ ∂ω0. Если t0− τ1> ρ2b, то положим
1
O
(x0, t0) = O
ρ
(x0, t0).
ρ/2
Если t0− τ1≤ ρ2b, то положим
1
O
(x0, t0) = F
ρ
−1
ˆx,0
+
S
y0, τ1;
где (y0, τ1) — образ точки (x0, τ1) при преобразовании F
ρ
,
ρ∩ {yn≥ 0},
2
ˆx,0
. Перейдем в окрест-
ности точки (ˆx, 0) к новым переменным y, τ с помощью преобразования
F
. Рассмотрим в новых переменных y, τ систему уравнений (6.3.1) в
ˆx,0
S−(y0, t0; ρ) ∩ {yn> 0}, если t0− τ1> ρ2b, и в S+(y0, τ1; ρ) ∩ {yn≥ 0},
если t0− τ1≤ ρ2b, с начальными условиями вида (6.3.5) на
S+(y0, τ1; ρ) ∩ {yn≥ 0}∩ {τ = τ1} и граничными условиями вида (6.3.3) при
yn= 0. Нетрудно видеть, что полученная задача удовлетворяет условиям
теоремы 6.3.1; при этом постоянные {K}, ∆0, ∆γдля новой задачи зависят
только от {K}, ∆0, ∆γпервоначальной задачи (6.3.1), (6.3.3), (6.3.5) и от
M(ω), d(ω).
Далее сделаем преобразование переменных y − y0= ρz, τ − t0= ρ2bp,
если t0− τ1> ρ2b, и преобразование y − y0= ρz, τ − τ1= ρ2bp, если t0−
t
τ1≤ ρ2b. Положим uj(x, t) ≡ vj(y, τ ) ≡ ρ
j
Zj(z, p), j = 1, . . . , N. Тогда в
новых переменных получим систему уравнений вида (6.3.15) с начальными
условиями вида (6.3.16) и граничными условиями вида
N
X
j=1
|α|+2bβ≤qν+t
X
αβ
˜
b
(y0+ ρz, τ0+ ρ2bp)ρ
νj
j
−|α|−2bβ+qν+t
j
D
β
∂
α
Zj= 0, (6.3.19)
z
β
t
∂
для ν = 1, . . . , bm, где (y0, τ0) — образ точки (x0, t0) при преобразовании
F
, если t0− τ1> ρ2b, и точки (x0, τ1), если t0− τ1≤ ρ2b. Так как ρ ≤ 1,
ˆx,0
то коэффициенты задачи (6.3.15), (6.3.16), (6.3.19) удовлетворяют условиям
леммы 6.3.2 в области
0
y
Q = S
−
(0, 0; 1) ∩zn≥ −
∗
159
n
,
ρ
АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ161
3.
если t0− τ1> ρ2b, и в области
0
y
Q = S
+
(0, 0; 1) ∩zn≥ −
∗
n
,
ρ
если t0− τ1≤ ρ2b,
−
S
(0, 0; ρ) = {z, p : |zj| < ρ, j = 1, . . . , N ; −ρ2b< ρ ≤ 0}.
∗
где
Применяя утверждение 2) леммы 6.3.2, получим оценку вида
N
X
j=1
kZj; C
s+tj,b(Q0
)k ≤ C
1
N
X
j=1
kZj; C
0,b
(Q)k, (6.3.20)
где
Q = S
Применяя
N
X
kZj; C
j=1
0
y
−
(0, 0; 1) ∩zn≥ −
∗
n
,
Q0= S
ρ
утверждение 4) леммы 6.3.2, получим
N
s+tj,b(Q0
)k ≤ C
1
X
j=1
kZj; C
0,b
(Q)k+C
−
∗
2
0, 0;
m
X
h=1
r
ρ
∩
1
2
h
kFh; C
zn≥
s−r
где
0, 0;
1
, 1∩zn≥
2
+
∗
Q = S
+
(0, 0; 1) ∩zn≥ −
∗
0
y
n
,
Q0= S
ρ
0
y
n
−
.
ρ
h
(Q∩{p = 0})k,
(6.3.21)
0
y
n
−
.
ρ
Возвращаясь
к переменным (y, τ ) и функциям vj(y, τ ), j = 1, . . . , N , из
(6.3.20) и (6.3.21) получим оценки
N
X
s+t
t∗−t
j=1
C
j
ρ
N
X
1
j=1
j
ρ
ρ
t∗−t
kvj; C
j
kvj; C
если t0− τ1> ρ2b, и
N
X
s+t
t∗−t
+C
2
j=1
m
X
h=1
ρ
≤ C
r
h
ρ
j
N
X
1
j=1
kFh; C
j
ρ
t∗−t
ρ
s−r
kvj; C
j
kvj; C
h
(F
s+tj,b
(F
0,b
(F
s+tj,b
(F
0,b
(F
ˆx,0(Oρ(x0
1
(O
ˆx,0
ˆx,0(Oρ(x0
ˆx,0
ˆx,0(Oρ(x0
(x0, t0)))k ≤
ρ
, t0)))k, (6.3.22)
1
(O
(x0, t0)))k ≤
ρ
, t0)))k+
, t0) ∩ {t = τ1}))k, (6.3.23)
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]