Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие
.pdf
12 Г
лава 3. МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ
так что, в силу (3.2.8), для H
0
справедлива оценка вида (3.2.9). Остается
δ
рассмотреть величину
X
j
[rε]+1
X
γ=0
−ˆq(η −ξ
(l+1)(r−γ)
X
|β|=0
, ξ)!ψj(δξ)
1
β!
γ(β)
ˆq
2)1/2
η − ξ
.
j
ξ
,
ξ −
δ
β
j
ξ
−
δ
H
00
δ
(
(ξ, η) =
Если суммирование распространяется по конечному числу индексов j,
то полученная сумма равна нулю при |ξ| ≥ Mj, так что она оценивается
через второе слагаемое в правой части (3.2.9). Поэтому можно считать, что
j велико. Если ψj(δξ) 6= 0, то величина |δξ| достаточно большая и из (3.2.4)
следует, что
если j велик
о. Оценки остаточного члена в формуле Тейлора и неравен-
ξ −
j
ξ
≤ C
δ
|ξ|
ε
|ξ|
<
δ
,
2
ства (3.2.8) позволяют теперь утверждать, что
[rε]+1
X
γ=0
(l+1)(r−γ)
X
|β|=0
1
β!
γ(β)
ˆq
≤ Cδ(1 + |ξ − η|)−N(1 + |ξ|)
η − ξ
j
ξ
,
δ
m−r(l+1)−1
ξ −
j
ξ
δ
ε]+1
[r
β
X
γ=0
r(l +
ˆqγ(η − ξ, ξ)
1) + 1.
−
|ξ|
ε
≤
δ
Поскольку
ˆq(η − ξ, ξ) −
[rε]+1
X
γ=0
отсюда следует, что H
ˆqγ(η − ξ, ξ)
00
оценивается через второе слагаемое в правой части
δ
≤ C(1 + |ξ|)
m−ε(r+1)
(1 + |ξ − η|)−N,
неравенства (3.2.9). Доказательство закончено.
Лемма
3.2.3. Для любого s ∈ R1существуют такая постоянная Cs, не
зависящая от δ, и такая постоянная Cδ, что при |ξ| ≥ N(δ), где N(δ)
достаточно велико,
+
r
X
|β|=1
X
j≥N (δ)
2|β|(1−ε)
δ
2s
j
ξ
δ
CβkQ
Z
|ψjQu|2dx ≤
2
uk
(β)
(s−|β|ε)
+ C
j≥N (δ)
δ
X
ξ
δ
2
kuk
(m+s−ε(r+1))
Z
2s
j
|Q
δ
,ε
j
+ kuk
ψju|2dx+
2
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
(3.2.10)
11
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ 13
2.
и
X
j≥N (δ)
−C
ξ
δ
j
δ
≤
Z
2s
|Q
2
kuk
(m+s−ε(r+1))
X
j≥N (δ)
δ
ψju|2dx −
j
,ε
Z
2s
j
ξ
δ
r
X
δ
|β|=1
+ kuk
2
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
|ψjQu|2dx,
2|β|(1−ε)
u ∈ C
CβkQ
∞
(Rn).
0
(β)
uk
2
s−ε|β|
≤
−
Доказательство. Так же, как и в лемме 3.2.2, рассмотрим последовательность функций vj∈ C
(
"
s
j
ξ
δ
δ
Q
,ε
j
∞
(Rn) и вычислим скалярное произведенне
0
ψj(δD)u −
r
X
|β=0|
(−i)
|β|
1
β!
ψ
(β)
j
(δ
D)Q
(β)
u
#)
и {vj}.
Применяя неравенство Коши—Шварца, получаем
X
j≥N (δ)
*
"
s
j
ξ
δ
δ
ψj(δD)u −
Q
,ε
j
r
X
|β=0|
1
β!
(−i)
|β|
ψ
(β)
j
(δ
D)Q
(β)
u#, v
+
j
≤
ZZ
≤ (2π)
−2n
Hδ(ξ, η)|ˆu(ξ)|V (η) dξ dη. (3.2.11)
В этом случае
2s
j
ξ
δ
Hδ(ξ, η) =
j≥N (δ)
X
−ˆq(η −ξ, ξ)
ξ
В силу (3.2.4),
ξ −
δ
справедливы оценки
1
≤
|ξ|
2
Вначале оценим величину
0
H
(ξ, η) = |ˆq(η − ξ, ξ)|
δ
j≥N (δ)
"
j
X
[r
ε]+1
(l+1)(r−γ)
X
γ=0
X
|β|=0
X
|β|=0
r
1
(β)
ψ
j
β!
ε
|ξj|
≤ C
δ
j
ξ
≤ 2|ξ| при |ξj|
δ
2s
j
ξ
ψj(δ
δ
1
γ(β)
ˆq
η − ξ
β!
!
1−ε
r
X
|β|=0
β
≥ C
1
ψ
β!
η)(ξ − η)
(δ
на
носителе ψj(δξ). Следовательно,
ξ) −
ξ
,
2!1/2
δ
j
.
ξ −
j
ξ
δ
. (3.2.12)
(β)
j
(δ
η)(ξ − η)
β
#
β
2!1/2
ψj(δ
.
ξ)−
Если N (δ) достаточно велико, то |ξ|
1−ε
≥ C/δ
1−ε
при j ≥ N (δ) на но-
сителе ψj(δξ), и следовательно, применима оценка (3.2.12). Таким образом,
12
14 Г
получаем, что
лава 3. МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ
0
H
(ξ, η) ≤ C(s)|ˆq(η−ξ, ξ)|
δ
X
j≥N (δ)
|ξ|
2s
ψj(δξ)−
r
X
|β|=0
В силу леммы 3.2.1, если |ξ − η| ≤ |ξ|/2, то
0
H
(ξ, η) ≤ C
δ
00
(s)Cδ(1 + |ξ − η|)−N(1 + |ξ|)
N
Отсюда следует, что при любых ξ, η, в силу (3.2.8),
0
H
(ξ, η) ≤ C
δ
00
(s)Cδ(1 + |ξ − η|)−N(1 + |ξ|)
N
m+s−ε(r+1)
для любого целого N .
Остается рассмотреть величину
X
[rε]+1
X
γ=0
−ˆq(η −ξ
(l+1)(r−γ)
X
|β|=0
!
j
ξ
, ξ)
δ
s
1
β!
ψj(δ
γ(β)
ˆq
ξ)
η − ξ
2!1/2
H
00
δ
(ξ, η) =
j≥N (δ)
1
(β)
ψ
(δ
j
β!
m+s−ε(r+1)
j
ξ
,
δ
.
η)(ξ −η)
.
j
ξ
ξ −
δ
2!1/2
β
(3.2.13)
β
−
.
Оценивая остаточный член в формуле Тейлора, так же, как в лемме 3.2.2,
получим, что для H
00
H
(ξ, η) ≤ C
δ
00
справедлива оценка вида
δ
(1 + |ξ − η|)−N(1 + |ξ|)
δ,N
m+s−(r(l+1)+1)(1−ε)
.
Таким образом, для любого N и достаточно большого N(δ) справедлива
оценка
Hδ(ξ, η) ≤ Cδ(1 + |ξ − η|)
+(1 + |ξ|)
m+s−(r(l+1)+1)(1−ε)
−N
(1 + |ξ|)
m+s−ε(r+1)
+
. (3.2.14)
Обращая неравенство Коши—Шварца, получаем оценку
X
ξ
j≥N (δ)
δ
≤ C
Из
(3.2.9) следует,что
≤ Cβδ
kuk
δ
2|β|(1−ε)
2s
j
δ
Q
j
,ε
2
(m+s−(r+1)ε)
X
j≥N (δ)
kQ
ψj(δD)u −
+ kuk
2s
j
ξ
δ
2
uk
(s−|β|ε)
ψ
(β)
r
X
(−i)(β)
|β|=0
2
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
(β)
(δ
D)Q
j
+ Cδkuk
1
ψ
β!
2
u
(β)
(0)
2
(s+m−(r+1)ε)
(β)
j
≤
Q
2
(β)
u
≤
(0)
. (3.2.15)
. (3.2.16)
Из оценок (3.2.15), (3.2.16) следуют оценки (3.2.6), (3.2.7). Лемма дока-
зана.
13
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 15
3.
Если
ujk(x) = ϕk(x|ξj|
1−ε
)ψj(δD)u(x),
то положим
ujk(x) = e
ihx,ξj/δivjk
((x − xjk)|ξj|
1−ε
),
где xjk— некоторая точка носителя ϕk(x|ξj|
ψj(δD)u(x) = e
ihx,ξj/δivj
1−ε
). Аналогично положим
(x|ξj|
1−ε
).
Ясно, что vjkполучается из ϕkvjпреобразованием переноса. В силу (3.2.4),
|δξ − ξj| ≤ C|ξj|εв спектре ψj(δD)u, так что спектр оператора
exp(−ihx, ξj/δi)ψj(δD) лежит в шареξ; |ξ| ≤ C
2ε−1
в шареξ; |ξ| ≤ C
|ξj|
Отсюда имеем для каждого α неравенство
.
|ξj|
δ
ε
спектр vjлежит
и
δ
Z
|Dαvj(x)|2dx ≤C
|ξj|
2ε−1
2|α|
Z
|vj(x)|2dx. (3.2.17)
δ
X
k
Далее,
Z
из (3.2.1) получаем
|Dαvjk(x)|2dx ≤
X
k
Z
Dα(ϕk(x)vj(x))
2
dx ≤ Cδ|ξj|
2|α|(2ε−1)
Z
|vj(x)|2dx,
и, так как носитель vjkлежит в шаре {x; |x| ≤ C} в силу (3.2.2), то мы
можем заключить, что для произвольных индексов α, β существует постоянная Cδтакая, что
Z
X
k
|xβDαvjk|2dx ≤ Cδ|ξj|
0
δ
|ξj|
2|α|(2ε−1)
= C
n/2+2|α|(2ε−1)
X
k
kvjkk
2
(0)
kψj(δD)uk
2
(0)
=
. (3.2.18)
3 Основные результаты
Теорема 3.3.1. Для любого скалярного псевдодифференциального оператора P в области Ω ⊂ Rn, любого компакта K ⊂ Ω и любого s ∈ R
существует постоянная C(K, s) такая, что справедливы оценки вида
k,ξj
(
/δ)(α)
r−1
X
|β|=0
(y, D)v
r(l+1)
X
|α|=0
jk
2(|α|+|β|)(1−ε)
δ
2
+
(0)
×
kP uk
2
≤ C(K, s)
(s)
×
j
ξ
δ
X
j≥N (δ)
2|β|(1−2ε)
2s−n/2
j
0
ξ
δ
j
(x
Π
(β)
1
14
16 Г
лава 3. МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ
и
+Cδ|ξj|
+C
δ
−C
−Cδ|ξj|
2r(1−ε)
−δ
2
kuk
(m+s−(r+1)ε)
r−1
X
2
|β|=1
C2kuk
2(m−(r(l+1)+1)(1−ε))
2
+ |uk
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
X
1
2
kP uk
r(l+1)−|β|
2(m−(r(l+1)+1)(1−ε))
≥
(s)
r(l+1)
−C
2
X
|α|=0
2
(m+s−rε)
2
j≥N (δ)
X
|α|=1
δ
2|α|(1−ε)
δ
2(|α|+|β|)(1−ε)
− C
X
|α|+|β|≤M
2s−n/2
j
0
ξ
δ
X
|α|+|β|≤M
2
kuk
δ
(m+s−(r+1)ε)
Z
|yαDβvjk|2|ξj|
(
Π
(xjk,ξj/δ)(α)vjk
Π
(xjk,ξj/δ)(α)
Π
(β)
Z
|yαDβv
+ C1δ
j
k,ξj
(x
/δ)vjk
2
(0)
jk
v
k|2|ξj|2|β|(1−2ε)
j
2
+ |uk
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
2|β|(1−2ε)
2r(1−ε)
2
(0)
−
j
ξ
2
(0)
δ
dy)+
2
kuk
(m+s−rε)
−
2|β|(1−2ε)
dy)−
(3.3.1)
−
(3.3.2)
для любой функции u ∈ C
∞
(K), где δ ∈ (0, 1),
0
l +
l
≤ ε <
1
l + 1
l +
, l ≥ 1;
2
постоянные N(δ), M достаточно велики.
Доказательство. Неравенства (3.3.1), (3.3.2) устанавливаются совершенно
аналогично. Поэтому приведем доказательство только неравнества (3.3.2).
Рассмотрим псевдодифференциальные операторы E
где функция χ(x) ∈ C
σ(E
∞
0
)(x, ξ) = χ(x)|ξ|s(1 − Θ(ξ)), (3.3.3)
(s)
(Ω) и χ(x) ≡ 1 в некоторой окрестности ω1компакта
с символом
(s)
K; s ∈ R1.
Как нетрудно видеть (см, например, [53]), для любого s ∈ R1справед-
лива оценка вида
kQuk
2
(s)
≥ kE
(s)
где Qu ≡ P ϕu, функция ϕ ∈ C
Quk
2
− Cskuk
(0)
2
(m+s−(r+1)ε)
∞
(ω1) и ϕ ≡ 1 в некоторой окрестности ω
0
, u ∈ C
∞
(K), (3.3.4)
0
компакта K.
Применяя лемму 3.2.2 к оператору E
X
j≥N
σ(E
(s)
2
(m+s−ε)
kE
(s)
Quk
2
(0)
−C
≥
N
δ
(kuk
, получаем
(s)
)x,
+ kuk
j
ξ
ψj(δ
δ
2
(m+s−1+ε)
2
D)Qu
−
(0)
). (3.3.5)
15
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 17
3.
Из (3.3.3) следует, что σ(E
)(x, ξ) = |ξ|s(1 −Θ(ξ)) в некоторой окрест-
(s)
ности ω1компакта K. Если в лемме 3.2.2 положить Q = χ(x), где функция
χ(x) ∈ C
Обозначим через
∞
(Ω), то получим, что для любого M ≥ 0
0
X
kψj(δD)u − χkψj(δD)uk
j
P
00
суммирование по j, k, для которых supp ˜ujk⊂ ω1, где
2
≤ C
(0)
˜ujk≡ ϕk(x|ξj|
kuk
M,δ
1−ε
)ψj(δD)Qu.
−Mε
, u ∈ C
∞
(K). (3.3.6)
0
Из оценки (3.3.6) следует, что
X
j
σ(E
(s)
)x,
≥
j≥N
X
j
ξ
ψj(δ
D)Qu
δ
2s
j
00
ξ
δ
2
(0)
kϕkψjQuk
=
u ∈ C
X
σ(E
j,k
2
− C
(0)
∞
(Rn). (3.3.7)
0
N
,δ
(s)
kuk
)x,
2
(m+s−1+ε)
j
ξ
δ
ϕkψjQu
,
2
(0)
≥
Суммируя оценки (3.3.4)–(3.3.7), получаем
2s
j
00
ξ
δ
2
kuk
(m+s−1+ε)
kϕk(x|ξj|
1−ε
)ψj(δ
, u ∈ C
D)Quk
∞
(Rn). (3.3.8)
0
2
(0)
−
kQuk
2
(s)
≥
−C
X
j>N
N,δ
В силу произвольности s, для любого L ≥ 1 существует постоянная C(K, L, N, δ)
такая, что справедлива оценка вида
kP uk
2
= kQuk
(s)
2
(s)
−C(K
X
00
≥
j>N
, L, N, δ)kuk
2s
j
ξ
− C(K
δ
2
(m+s−(L+1)(1−ε))
, L, N, δ)
, u ∈ C
L
X
t=1
2(s−t(1−ε))
j
ξ
δ
∞
(K). (3.3.9)
0
kϕkψjQuk
Пусть L = r(l + 1) и N1(δ) — постоянная такая, что при j ≥ N1(δ)
оценки (3.3.9) получаем, что для любой функции u ∈ C
Из
kQuk
1
≥
2
2
(s)
X
j≥N1(δ)
≥
ξ
δ
j
ξ
δ
1
2
j≥N1(δ)
2s
j
2s
X
kϕk(δ
− C(K
00
ξ
δ
D)Quk
, L, N, δ)
2s
j
kϕkψjQuk
2
(0)
− C
L
X
t=1
0
δ
2(s−t(1−ε))
j
ξ
δ
2
− Cδkuk
(0)
2
kuk
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
2
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
≥
j
1
ξ
2
δ
∞
0
, u ∈ C
2s
(K)
.
≥
∞
(Rn).
0
(3.3.10)
2
(0)
−
16
18 Г
лава 3. МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ
В силу леммы 3.2.3, из оценки (3.3.10) получаем
2s
j
ξ
δ
, u ∈ C
−δ
2r(1−ε)
kP uk
C1kuk
r−1
X
−
|α|=1
2
= kQuk
(s)
2
(m+s−rε)
2|α|(1−ε)
δ
2
(s)
− C
C2kQ
≥
δ
X
1
2
j≥N1(δ)
2
kuk
(m+s−(r+1)ε)
uk
(α)
2
(s−|α|ε)
δ
kQ
j
+ kuk
,ε
ψj(δD)Quk
2
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
∞
(K). (3.3.11)
0
2
(0)
−
−
Применим правило Лейбница к операторам Q
r(l+1)
X
3
|α|=1
1−ε
)ψj(δD)u, то
2|α|(1−ε)
|ξj|
дует, что если положить ujk= kϕk(x|ξj|
kQ
δ
j,ε
ψjuk
2
(0)
≥
X
k
kQ
δ
j,k
ujkk
2
(0)
− C
Применяя правило Лейбница к операторам Q
получаем
r(l+1)
≤
X
k
r(l+1)
X
|α|=1
|ξj|
X
|α|=1
2|α|(1−ε)
kQ
|ξj|
δ(α)
j,ε
2|α|(1−ε)
2
ujkk
(0)
kQ
+
δ(α)
j,ε
r(l+1)
X
|α|=2
ψjuk
|ξj|
Из оценки (3.3.13) немедленно следует, что
δ
. Из оценки (3.3.10) сле-
j,ε
δ(α)
kQ
j,ε
δ(α)
, в силу оценки (3.2.1),
j,ε
2
≤
(0)
2|α|(1−ε)
C4kQ
ψjuk
δ(α)
j,ε
2
. (3.3.12)
(0)
ψjuk
2
.
(0)
(3.3.13)
r(l+1)
X
|α|=1
|ξj|
2|α|(1−ε)
kQ
δ(α)
j,ε
ψjuk
2
(0)
≤ C
X
5
k
Таким образом, справедлива оценка вида
kQ
δ
j,ε
ψjuk
2
(0)
≥
X
k
kQ
δ
j,k
ujkk
2
(0)
− − C
6
Суммируя оценки (3.3.11), (3.3.15), получаем
X
X
17
kP uk
2
(s)
= kQuk
2
(s)
≥
1
2
j≥N1(δ)
r(l+1)
X
|α|=1
r(l+1)
X
|α|=1
(
k
ξ
|ξj|
|ξj|
j
δ
2s
2|α|(1−ε)
2|α|(1−ε)
δ
kQ
ujkk
j
,ε
kQ
kQ
δ(α)
j,ε
δ(α)
j,ε
2
(0)
−
ujkk
ujkk
2
.
(0)
(3.3.14)
!
2
.
(0)
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 19
3.
r(l+1)
X
−C
6
|ξj|
|α|=1
−C
δ
r−1
X
−
|α|=1
2|α|(1−ε)
δ
Обозначая через
2|α|(1−ε)
2
kuk
(m+s−ε(r+1))
P
0
суммирование лишь по тем j, k, для которых supp ujk⊂
kQ
C2kQ
δ(α)
j,ε
(α)
ujkk
+ kuk
uk
)
2
(0)
2
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
2
(s−|α|ε)
2r(1−ε)
− δ
, u ∈ C
C1kuk
2
(m+s−rε)
−
−
∞
(K). (3.3.15)
0
ω, в силу (3.3.6) получаем
2s
j
ξ
δ
k
kQ
|ξj|
δ(α)
j
,ε
2|α|(1−ε)
2
ujkk
(0)
δ(α)
kQ
ujkk
,ε
j
− Cδkuk
2
≥
(0)
2
(m+s−(r+1)ε)
, (3.3.16)
≥
j≥N1(δ)
X
0
j
ξ
δ
X
j≥N1(δ)
2s
|ξj|
X
2|α|(1−ε)
где ω1⊃ ω ⊃ K и функция ϕ, определяющая оператор Q, равна единице на
ω. На ω для любого γ qγ(x, ξ) ≡ Pγ(x, ξ).
Положим
j
ujk(x) = expix,
ξ
j
k
v
((x − xjk)|ξj|
1−ε
),
δ
где xjk— некоторая точка носителя функции ϕk(x|ξj|
1−ε
). Сделав замену
переменных, получим, что для любого α
=
X
X
0
n(1−ε)
|ξj|
Z
[rε]+1
0
[(l+1)(r−γ)−|α|
X
γ=0
|β|=0
X
kQ
δ(α)
j,ε
ujkk
1
|ξj|
β
2
(0)
X
0
=
|β|(1−ε)Pγ(α+β)
|ξj|
n(1−ε)
j
x
δ(α)
kP
j,ε
k
+ x|ξj|
ujkk
ε−1
2
(0)
=
j
ξ
Dβv
,
δ
j
k
Применяя разложение подынтегральных функций по формуле Тейлора, для
любого α получаем
δ(α)
kP
(|β1|−|α1|)(1−ε)
j,ε
ujkk
X
2
≥
(0)
γ(α+β1)
P
(α1)
Z
|x
x
j
ξ
j
k
,
α
β
j
1
x
D
k
1
v
δ
α
1
D
β
1
vjk|2|ξj|
2|β1|(1−2ε)
Z
[rε]+1
≥
−Cδ|ξj|
|ξj|
[(l+1)(r−γ)−|α|
X
γ=0
2(m−(r(l+1)+1)(1−ε))−2|α|ε
X
|α1|+|β1|=0
α
1
1
β
1
1
n(1−ε)
|ξj|
|α1|+|β1|≤r(l+1)+1
(3.3.17)
2
2
dx.
dx−
dx,
|ξj|
n(1−ε)
kP
δ(α)
j,ε
ujkk
2
(0)
≤ C
(
Z
[rε]+1
7
[(l+1)(r−γ)−|α|
X
γ=0
|α1|+|β|=0
18
X
α
1
1
1
(|β|−|α1|)(1−ε)
|ξj|
β
×
20 Г
+Cδ|ξj|
γ(α+β)
×P
(α1)
2(m−(r(l+1)+1)(1−ε))−2|α|ε
xjk,
|α1|+|β|≤r(l+1)+1
j
ξ
δ
X
Из оценок (3.3.15)–(3.3.18) получаем
xjk,
[rε]+1
X
γ=0
x
(
Z
j
ξ
δ
[(l+1)(r−γ)−|α|
|α1|+|β|=0
j
ξ
j
k
,
δ
kQuk
−C
2
(s)
≥
r(l+1)
X
8
|α|=1
X
1
2
j≥N1(δ)
|ξj|
2s−n(1−ε)
j
0
ξ
δ
×P
2|α|(1−ε)
γ(α+β)
×P
(α1)
γ(α)
(|β|)
Z
лава 3. МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ
2
Dβv
j
k
dx)+
α
1
x
Z
α
1
|x
Dβvjk|2|ξj|
2|β|(1−2ε)
(3.3.18)
[rε]+1
[(l+1)(r−γ)
X
γ=0
xβDαv
X
α
1
x
Dβv
X
|α|+|β|=0
2
j
k
dx−
1
α
1
2
k
j
dx−
1
|ξj|
α1β
1
(|β|−|α1|)(1−ε)
|ξj|
β
(|α|−|β|)(1−ε)
×
×
dx.
−Cδ|ξj|
2(m−(r(l+1)+1)(1−ε)+|α|(1−2ε))
r−1
X
−
|α|=1
C9δ
2|α|(1−ε)
−C
kuk
δ
Taк как по определению
(xjk,ξj/δ)(α)
Π
(β)
(y, D)vjk≡
то, сделав замену x →
X
j≥N (δ)
r(l+1)
−C
8
α
D
Z
α
1
|x
Dβvjk|2|ξj|
kQ
1
1
β
1
1
α
j
1
v
kuk
(α)
(|α|+|α1|−|β|−|β1|)(1−ε)
j
ξ
δ
k
,
kQ
(α)
2
(m+s−rε)
[rε]+1
X
γ=0
γ(α+α1)
×P
(β+β1)
X
|α1|+|β|≤r(l+1)+1
2
uk
(s−ε|α|)
+ kuk
(l+1)(r−γ)−|α|−|β|
|α1|+|β1|=0
− C9δ
2
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
X
j
ξ
xjk,
y
δ
2r(1−ε)
β
1
√
δ
y, получаем, что из условия 2ε ≥ 1 следует
0
ξ
δ
X
|α|=1
2s−n(1−ε)
j
2|α|(1−ε)
δ
(
Z
Π
Z
(xjk,ξj/δ)(α)vjk
Π
(x
k,ξj
j
/δ)vjk
2
2
dy−
dy−
2|β|(1−2ε)
2
(m+s−rε)
−
. (3.3.19)
dx)−
×
19
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 21
3.
Z
2
uk
(s−|α|ε)
|yαDβvjk|2|ξj|
2r(1−ε)
+ δ
2|β|(1−2ε)
2
kuk
(m+s−rε)
. (3.3.20)
−Cδ|ξj|
≤ 2kQuk
2(m−(r(l+1)+1)(1−ε))
(
r−1
2
(s)
+C
+ C
kuk
δ
X
11
|α|=1
2
(m+s−(r+1)ε)
δ
X
|α|+|β|≤r(l+1)+1
2|α|(1−ε)
kQ
+ kuk
(α)
2
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
Аналогом оценки (3.3.20) для неравенства (3.3.2) будет оценка вида
X
2
uk
(s−|α|ε)
"
r(l+1)
|α|=0
X
2|α|(1−ε)
δ
Z
|yαDβvjk|2|ξj|
2r(1−ε)
+ δ
Z
kuk
k,ξj
j
(x
Π
2|β|(1−2ε)
2
(m+s−rε)
/δ)(α)vjk
+
kQuk
+Cδ|ξj|
(
j≥N1(δ)
r−1
X
X
2
≤ C
(s)
12
2(m−(r(l+1)+1)(1−ε))
+
|α|=1
0
2|α|(1−ε)
δ
2s−n(1−ε)
j
ξ
δ
|α|+|β|≤r(l+1)+1
kQ
(α)
)
+C
δ
2
kuk
(m+s−(r+1)ε)
+ kuk
2
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
. (3.3.21)
dy)≤
)
+
2
dy+
dy#+
Теперь применим оценки (3.3.21) к операторам Q
и s на s − |α|ε, получаем
(
2
uk
(α)
(s−|α|ε)
X
δ
|α2|=0
2|α1|(1−ε)
δ
2
(m+s−(r+1)ε)
≤ C
2|α2|(1−ε)
|α2|+|β|≤(l+1)(r−|α|)+1
kQ
(α1)
+ kuk
13
Z
uk
2
(m+s−(r(l+1)+1)(1−ε))
+Cδ|ξj|
kQ
"
(l+1)(r−|α|)
×
2(m−((r−|α|)(l+1)+1)(1−ε))
r−1
X
+
|α1|=1+|α|
+C
δ
kuk
где дифференциальные операторы R
j≥N (δ)
2
(s−|α1|ε)
0
j
k,ξj
j
ξ
δ
/δ)(α2)
X
(x
R
[α]
X
(xjk,ξj/δ)(α2)
[α]
. Заменив Q на Q
(α)
2s−n(1−ε)−2|α|ε
(y, D)v
Z
α
|y
2r(1−ε)
+ δ
kuk
)
(y, D) имеют вид
×
2
jk
dy+
2
Dβvjk|2|ξj|
2
(m+s−rε)
2|β|(1−2ε)
+
, (3.3.22)
(α)
dy#+
≡
[rε]+1
X
γ=0
(l+1)(r−γ)−|α2|
X
|α3|+|β|=0
α
(xjk,ξj/δ)(α2)
R
[α]
1
ξ
1
β
δ
3
(y, D)vjk≡
(|β|−|α3|+|α2|)(1−ε)
j
20
γ(β+α1)
P
(α+α3)
j
ξ
j
k
x
,
α
y
3
Dβv
j
k
.
δ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]