Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие

182 Г

лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА

(

X

|α|≤m1+m

−2(m1+2m2)kwκ

−2(m1+m2−|α|)kDα

ρ

2

; L2(ω(R2; τ1, τ2))k

2

κ

w

; L2(ω(R2; τ1))k2+

x

2

)

,

≤ K

+ρ

10

kw

−2m

κ

; L2(ω(R2; τ1))k2+

1

κ

1

kw

; L2(ω(R2; τ1, τ2))k2+ ρ

1

(6.5.21)

где K10= const > 0,

ω(l; τ1, τ2) = {x, t : |xj| < l, j = 1, . . . , n; τ1< t < τ2}.

Доказательство. Очевидно, задача (6.5.4), (6.5.5) сводится к задаче Коши для системы





∂

+ L

t

∂

u1+ A1u1+ (A2− A1L2)u2= 0, (6.5.22)

1





∂

+ L

∂

t

u2= u1, (6.5.23)

2

с начальными условиями



u1|



t=0

= u2|

∂

где u1=

+ L

t

∂

u, u2= u, u — решение задачи Коши (6.5.4), (6.5.5).

2

Умножая уравнение (6.5.22) на ϕ2e

получим

τ

2

Re



Z

∂

(eκtw

∂

τ

t

1

κ

), ϕ2e

1

−κtwκ



1

dt+Re

гдеeA2= A2− A1L2, κ = const ≥ 1, w вытекает, что

τ

2

Z

+ κ

τ

1

κ

) dt + Re

1

kϕw

τ

κ

1

τ

Z

1

2

k

0

2

(A1w

−Re

1 2

τ

2

Z

([L1, ϕ]w

τ

1

kϕw

κ

2

k

(τ2)

1

0

κ

, ϕw

1

t=0

−κt¯wκ

τ

2

Z

(L1w

τ

1

κ

= e

1

dt + Re

κ

+eA2w

1

= 0, (6.5.24)

и интегрируя по ω(R2; τ1, τ2),

1

κ

+A1w

1

κ

+eA2w

1

κ

, ϕ2w

2

κ

) dt = 0,

1

(6.5.25)

−κt

τ

Z

τ

1

2

u1, w

(L1(ϕw

κ

, ϕ2w

2

κ

2

= e

κ

), ϕw

1

κ

) dt =

1

−κt

u2. Из (6.5.25)

κ

) dt−

1

1 2

kϕw

κ

1

k

2

(τ1).

0

(6.5.26)

В

силу условия (6.5.3), имеем

τ

2

Z

Re(L1(ϕw

τ

1

κ

1

), ϕw

κ

) dt ≥

1

τ

2

Z

p

1

2

τ

1

kϕw

κ

2

k

dt − K

1

m

1

τ

2

Z

κ

kϕw

1

τ

1

2

k

dt. (6.5.27)

1

0

181

ЕЩЕ ОДИН ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА 183

5.

Применяя лемму 6.5.2 при s = 2m1− 1, s1= m1, k = 2m2, g = f = w

κ

1

Q = A1, получим

≤ ε

τ

Z

τ

1

2

kϕw

+Cερ

κ

1

2

k

m

−2m

dt + C

1

τ

Z

1

τ

1

ε

2

2m2/Nwκ

kϕ



τ

Z

 

Re

 

τ

1

X

|α|≤m1−1

1

2

κ

(A1w

ρ

2

k

0

, ϕ2w

1

−2(m1−1−|α|)

dt + ε

X

|α|=m

κ

1

) dt

Z

τ

1

Z

1

τ

  

≤

 

τ

2

(2m2+|α|+1)/NDα

kϕ

τ

2

α

kϕD

1

κ

w

x

1

κ

w

k

x

1

2

k

dt. (6.5.28)

0

2 0

dt+

Из неравенства (6.5.10) леммы 6.5.2 при s = 2m2+2m1−1, s1= m1, k = 2m2, g = w

Z

≤ ε

τ

1

+Cερ

κ

, f = w

2

τ

2

kϕw

−2m

κ

, Q =eA2, находим, что

1



τ

2

Z

 

Re

 

τ

1

κ

2

k

1

dt + C

m

1

τ

2

Z

2m2/Nwκ

kϕ

τ

1

ε

X

|α|≤2m2+m1−1

2

k

dt + ε

1

0

(eA2w

X

|α|=m

κ

, ϕ2w

2

−2(2m2+m1−1−|α|)

ρ

−2(2m2−1)

ρ

1

κ

1

) dt

  

≤

 

τ

2

Z

(|α|+1)/NDα

kϕ

τ

1

τ

2

Z

(m1+1)/NDα

kϕ

τ

1

w

x

κ

w

k

x

2

κ

2

k

dt.

2

0

(6.5.29)

,

2 0

dt+

Из оценок (6.5.27)–(6.5.29), равенства (6.5.26) и оценки (6.5.7) леммы 6.5.1 при ˜s = m1,˜k = 2m2, выбирая ε достаточно малым, получим

τ

2

Z

kϕD

1

τ

1

2

(2m2+|α|)/NDα

kϕ

w

x

α

κ

2

w

k

x

κ

k

2

dt ≤

1

0

κ

w

k

x

1

2

dt). (6.5.30)

0

2 0

dt+

1 2

kϕw

κ

k

1

(

≤ K

11

kϕw

κ

1

X

+

|α|≤2m2+m1−1

Оценим теперь w

τ

2

Z

2

(τ2)

+ κ

0

τ

1

2

k

(τ1)

+

0

|α|≤m1−1

−2(2m2+m1−1−|α|)

ρ

κ

. Дифференцируя уравнение (6.5.23), при любых β, |β| ≤

2

kϕw

X

κ

2

k

dt +

1

0

−2(m1−|α|)

ρ

Z

τ

2

1

X

p

1

4

|α|=m

τ

Z

τ

1

(|α|+1)/NDα

kϕ

m1+ m2, получим



∂

t

+ L



β

D

2

u2= D

x

β

u1−

x

|β|

X

|α|=1

1

α!

L

2(α)

((D

β

(α)

)

u2). (6.5.31)

x

182

184 Г

лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА

Умножая (6.5.31) на e

−κtϕ2(m2+|β|)/NDβ

области ω(R2; τ1, τ2), получим равенство

(

−2(m1+m2−|β|)

ρ

+ Re

1

(m2+|β|)/

kϕ

2

τ

2

Z

(m2+|β|)/NDβ

−2(m1+m2−|β|)

τ

1

= ρ

(L2(ϕ

NDβ

(

w

x

1

κ

2

k

2

0

κ

w

), ϕ

2

(m2+|β|)/

kϕ

(τ2) + κ

2

τ

2

Z

+ Re

−Re

τ

1

|β|

X

|α|=1

([L2, ϕ

+ Re

(m2+|β|)/N]Dβ

τ

2

Z

1

(L

α!

2(α)

τ

1

τ

2

Z

(D

τ

1

w

x

β

(α)wκ

(D

)

x

β

κ

2(m2+|β|)/NDβ

w

, ϕ

x

1

κ

−2(m1+m2−|β|)

¯w

ρ

x

2

Z

τ

(m2+|β|)/NDβ

NDβ

κ

(m2+|β|)/NDβ

, ϕ

2

2(|β|+m2)/NDβ

,

ϕ

2

x

и интегрируя по

τ

2

(m2+|β|)/NDβ

kϕ

1

κ

w

) dt)=

x

2

κ

2

w

k

x

w

(τ1)+

2

0

κ

w

) dt−

x

2

κ

w

) dt+

x

2

κ

) dt). (6.5.32)

2

κ

w

x

2

k

dt+

0

В силу условий (6.5.3) имеем

τ

2

Z

≥

Re(L2(ϕ

τ

1

τ

2

Z

p

2

(m2+|β|)/

kϕ

2

τ

1

(m2+|β|)/NDβ

NDβ

κ

w

k

x

2

m

2

κ

w

x

2

dt − K

(m2+|β|)/NDβ

, ϕ

τ

2

Z

(m2+|β|)/NDβ

kϕ

2

τ

1

x

w

κ

2

)) dt ≥

κ

w

k

x

2

dt. (6.5.33)

0

Применяя оценку (6.5.9) леммы 6.5.2 при s = 2m2, s1= m2, k = |β|, f =

β

g = D

κ

w

, Q = L2, получим

x

2

−2(m1+m2−|β|)

ρ

≤ ερ

X

+C

ε

|α|≤m2−1

−2(m1+m2−|β|)

+ερ



τ

2

Z

 

Re

 

−2(m1+m2−|β|)

([L2, ϕ

τ

1

−2(2m2+m1−|α|−|β|)

ρ

(m2+|β|)/N]Dβ

X

|α|=m

2

τ

2

Z

(m2+|β|)/NDβ

kϕ

τ

1

Z

τ

1

τ

2

Z

(m2+|β|)/NDα+β

kϕ

τ

1

κ

w

, ϕ

x

2

x

τ

2

(|β|+|α|)/NDβ+α

kϕ

x

(m2+|β|)/NDβ

κ

2

w

k

dt+

2

m

2

w

x

κ

2

w

k

dt. (6.5.34)

2

0

  

κ

w

) dt

≤

2

dt+

0

 

x

κ

k

2

183

ЕЩЕ ОДИН ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА 185

5.

Применяя оценку (6.5.10) при s = 2m2+|β|−|α|, s1= m2, k = |β|, f = D g = w

κ

, Q = L

2

2(α)

(D

β

(α)

)

x

, находим

β

κ

w

,

x

2

  

Re

 

−2(m1+m2)

+ερ

|β|

X

|α|=1

τ

2

Z

1

(L

α!

τ

1

≤ ερ

+C

ε

|γ|≤m2+|β|−1

X

|γ|=m

β

x

m2/NDγ

kϕ

(α)wκ

)

−2(2m2+m1−|γ|)

ρ

((D

2(α)

−2(m1+m2−|β|)

X

τ

2

Z

2

τ

1

2(m2+|β|)/NDβ

),

ϕ

2

τ

2

Z

(m2+|β|)/NDβ

kϕ

τ

1

κ

2

w

k

2

0

dt + Cερ

x

w

x

w

x

τ

2

Z

|γ|/NDγ

kϕ

τ

1

−2(2m2+m1−|β|)

κ

2

) dt

κ

2

  

−2(m1+m2−|β|)

ρ

 

2

k

dt+

m

2

κ

2

w

k

x

2

0

dt+

τ

2

Z

τ

1

|β|/NDβ

kϕ

≤

x

(6.5.35)

Оценим теперь последний член правой части равенства (6.5.32). Если

|β| ≥ m2, то, применяя оценку (6.5.10) при s = |β|, s1= m2, k = |β|,

β

f = D

w

x

κ

, g = w

2

κ

, Q = D

1

β

, получим

x

w

κ

2

k

dt.

2

0

+Cερ

−2(m1+m2−|β|)

ρ

≤ ερ

+C

ε

|α|≤|β|−m

+K

12

|α|≤m2−1

−2(2m2+m1−|β|)



τ

Z

 

Re

 

τ

1

−2(m1+m2−|β|)

X

Z

τ

1

2

kϕ

−2(m1−|α|)

ρ

−2(m1−|α|)

ρ

|β|/NDβ

2

(D

τ

x

β

κ

w

, ϕ

x

1

τ

2

Z

(m2+|β|)/NDβ

kϕ

1

τ

2

Z

τ

1

τ

2

Z

τ

1

κ

2

w

k

dt + ερ

2

0

2(m2+|β|)/NDβ

x

(2m2+|α|)/NDα

kϕ

(2m2+|α|)/NDα

kϕ

−2(m1−m2)

w

κ

2

w

x

2

k

m

x

|α|=m

κ

2

w

), dt

dt+

κ

1

κ

1

X

  

≤

 

2

k

dt+

0

2

k

dt+

0

τ

2

Z

3m2/NDα

kϕ

2

τ

1

κ

2

w

k

x

dt.

1

0

(6.5.36)

Если |β| < m2, то, интегрируя по частям, получим



τ

2

Z



−2(m1+m2−|β|)

ρ

  

Re

β

κ

(D

w

x

τ

1

2(m2+|β|)/N]Dβ

, ϕ

1

184

 

), dt



≤

 

κ

w

x

2

186 Г

лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА

≤ K

13

(

−2m

ρ

τ

2

Z

κ

1

kϕ1w

τ

1

2

k

0

dt + ρ

−2(2m2+m1−2|β|)

τ

2

Z

2(m2+|β|)/NDβ

kϕ

τ

1

κ

2

w

k

x

dt).

2

|β|

(6.5.37)

Применяя лемму 6.5.1 при ˜s = |β|,˜k = 2m2+ |β|, получим

τ

2

Z

X

≤

|α|≤2m2−2

−2(2m2+m1−2|β|)

ρ

−2(2m2+m1−|α|)

K14ρ

2(m2+|β|)/NDβ

kϕ

τ

1

τ

2

Z

τ

1

(2m2+|α|)/NDα

kϕ

κ

2

w

k

x

dt ≤

2

|β|

κ

2

w

k

x

dt. (6.5.38)

2

0

Суммируя равенства (6.5.32) по β, |β| ≤ m1+m2, используя оценки (6.5.33)– (6.5.38) и оценку (6.5.7) леммы 6.5.1 и выбирая ε достаточно малым, получим

τ

2

Z

+

≤ K

X

|α|≤m

X

1

+

2

|α|≤m1+m

(

15

|α|≤m1+m

X

+

|α|≤2m2+m1−1

−2(m1−|α|)

ρ

1

−2(m1+m2)

ρ

2

p

2

+

4

X

τ

2

Z

τ

1

κ

τ

−2(m1+m2−|α|)kϕ(m2+|α|)/

X

|α|=2m2+m

−2(m1+m2−|α|)kϕ(m2+|α|)/

ρ

2

−2(2m2+m1−|α|)

ρ

(2m2+|α|)/NDα

kϕ

1

Z

1

τ

m2/Nwκ

kϕ

τ

2

kϕD

1

x

w

Z

τ

1

κ

1

α

w

x

τ

2

k

2

κ

k

2

|α|/NDα

kϕ

2

dt + ρ

0

2

dt+

0

NDα

2

dt ≤

0

w

x

NDα

x

−2m

x

w

κ

2

1

k

w

κ

2

Z

τ

2

(τ2)+

0

κ

k

2

k

0

τ

2

kϕ1w

1

2

(τ1)+

0

dt+

κ

2

k

d).

1

0

(6.5.39)

p

1

Далее, умножим неравенство (6.5.39) на K

−1

15

сложим его с неравен-

и

4

ством (6.5.30). Применим лемму 6.5.3 для оценки интегралов

τ

2

X

|α|≤2m2+m1−1

X

|α|≤m1−1

−2(2m2+m1−|α|)

ρ

−2(m1−|α|)

ρ

τ

Z

τ

1

Z

kϕ

τ

1

2

(2m2+|α|)/NDα

kϕ

185

|α|/NDα

κ

2

w

k

x

w

x

dt,

2

0

κ

2

k

dt.

1

0

ЕЩЕ ОДИН ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА 187

5.

Выбирая ε достаточно малым и умножая полученное неравенство на подходящую постоянную, выводим оценку вида (6.5.21). Лемма доказана.

Проверим,

что для решений задачи Коши (6.5.22)–(6.5.24) выполнены

условия I(Т)–IV(Т) § 2. Из оценки (6.5.21) следует, что для любых τ1, τ2,

0 ≤ τ1< τ2≤ T, R1> 1

ku1; L2(ω(R1− 1; τ2))k +

(

≤ C

ku1; L2(ω(R1; τ1))k +

7

X

|α|≤m1+m

X

|α|≤m1+m

2

α

kD

u2; L2(ω(R1− 1; τ2))k ≤

x

α

kD

u2; L2(ω(R1; τ1))k+

x

2

+ku1; L2(ω(R1; τ1, τ2))k + ku2; L2(ω(R1; τ1, τ2))k), C7= const > 0.

Тем самым, выполнена оценка (6.2.16) условия IV(Т) § 2, если

j

B

(ω(R; τ1, τ2)) = L2(ω(R; τ1, τ2)), j = 1, 2,

0

ku1; H1(ω(R; τ ))k = ku1; L2(ω(R; τ ))k;

X

ku2; H2(ω(R; τ ))k =

|α|≤m1+m

2

α

kD

u2; L2(ω(R; τ ))k.

x

Если за A0взять множество вектор-функций (u1, u2) вида

∂

u1= (

в ω (ω ∈ C

+L2)u, u2= u, где u — классическое решение задачи (6.5.4), (6.5.5)

∂

t

2(m1+m2),m1+m

2

(ω0) в любой конечной подобласти ω0⊂ ω), то для (u1, u2) ∈ A0при η1= 2m2, η2= 0 из оценки (6.5.21) получим при ρ ≥ 1, R1> 0 неравенство вида

√

κρ

+ρ

m

≤ ρ

η

1

η

1

C0ρ

kw

η

1

κ

1

κ

1

kw

; L2(ω(R1; τ1,

1

κ

kw

; L2(ω(R1+ ρ; τ1, τ2))k + kw

1

; L2(ω(R1+ ρ; τ1))k +

τ2))k +

√

κρ

X

|α|≤m1+m

m

2

C0kw

κ

; L2(ω(R1+ ρ; τ1, τ2))k+

2

kD

2

κ

; L2(ω(R1; τ1,

2

α

κ

w

; L2(ω(R1+ ρ; τ1))k,

x

2

τ2))k ≤

где C0= const > 0.

Тем самым, выполнена оценка (6.2.15) условия II(Т) § 2 при C1(ρ, κ) =

√

κρ

m

1

C0, C2(ρ, κ)

=

√

κρ

m

1

C0, C6=

1, M(ω) = 1. Условия I(T) очевидно

выполнены, а условия III(T) справедливы при q1= 2q, q2(1) = q2(2) = q, q3(1) = m1, q3(2) = m2, σ(1) = 2m1− 1, σ(2) = 2m2− 1 и σ = 2m1− 1 > 0. Выберем постоянную q так, что 2q −σ > 0.

Из теорем § 2 получаем следующие утверждения.

Теорема 6.5.1. Пусть u(x, t) — решение задачи Коши (6.5.4), (6.5.5) в ω такое, что для любого целого m > 0

ku; L2(ω(2m; 0, T ))k +







∂

 

t

∂

+ L



u; L2(ω(2m; 0, T ))

2

  

≤ exp{a2mh(2m)},



(6.5.40)

186

188 Г

лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА

где a = const > 0, h(r) — неубывающая положительная функция и h(r) ≥

1/σ

M1r

, [h(2r)] ≤ M0[h(r)] при r ≥ r0> 0, σ = 2m1−1, M1, M0= const > 0,

M1> 1,

∞

Z

dr

= ∞. (6.5.41)

σ

h(r)

r

0

огда u ≡ 0 в ω.

Т

Замечание 6.5.1. Примеры, построенные в [243], показывают, что условие (6.5.41) является необходимым для справедливости теоремы 6.5.1.

Действительно, задача Коши для уравнения

Lu ≡



∂

t

∂

+ L

2



∂



+ L

t

∂

1

u = 0,

которое приводится к виду (6.5.1), имеет нетривиальное решение в классе функций u(x, t), удовлетворяющих условию (6.5.40), если

∞

Z

dr

< ∞.

σ

h(r)

r

0

аким решением является решение параболического уравнения

Т



∂

t

+ L



u = 0, построенное в [243].

1

Замечание 6.5.2. Теорему, аналогичную теореме 6.5.1, а также последующие теоремы 6.5.2–6.5.4 можно получить для решения задачи Коши в ω для уравнения

Lu ≡

p

Y

j=1



∂

+ Lj(x, t, Dx)u +

∂

t

p

X

Ak(x, t, Dx)

k=1

∂

p−k

t

u = 0

с начальными условиями

 

∂su



= 0, s = 0, 1, . . . , p − 1,



s

∂

t

t=0

где оператор Ljимеет порядок 2mj, m1≥ m2≥ ··· ≥ mp, и удовлетворяет

k

условию (6.5.2), j = 1, . . . , p, а операторы Akимеют порядки

P

2mj− 1

j=1

соответственно.

Теорема 6.5.2. Пусть u(x, t) — решение задачи Коши (6.5.4), (6.5.5) в ω(R2; 0, T ) и u ∈ C

2(m1+m2),m1+m

2

(ω(R2; 0, T )). Тогда при R2> R1> 1

справедлива оценка







∂

 

∂

t

+ L



u; L2(ω(R1− 1;ˆt))

2

  

+



X

|β|≤m1+m

187

2

β

kD

u; L2(ω(R1− 1;ˆt))k ≤

x

ЕЩЕ ОДИН ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА 189

5.



×

≤ M2exp−

˜

b

(R2− R1)

2m1(2m1−1)

−1/(2m1−1)

ˆ

t

4

×









∂

 

∂

t

+ L



u; L2(ω(R2; 0,ˆt))

2

  

+ ku; L2(ω(R2; 0,ˆt))k,



если

R2− R1≥ max(1, 2ˆt, (2˜b−1)

2m1−1

(2q−2m1+1)/2q

ˆ

t

, (2˜b−1)

2m1−1

ˆt,ˆ

1/2q

t

),

где положительные постоянные M2,˜b определены, в теореме 6.2.6 при M(ω) = 1, d(ω) = 1.

Теорема 6.5.2 является следствием теоремы 6.2.7. Из теоремы 6.5.2, так

же как и в § 4, получим следующие утверждения.

Теорема 6.5.3. Пусть u(x, t) — решение задачи Коши (6.5.4), (6.5.5) в ωR= ω ∩ {x, t; |x| > R, 0 < t < T } такое, что u ∈ C

2(m1+m2),m1+m

в любой конечной подобласти ω0⊂ ωR. Пусть для любой точки (ˆx,ˆt) ∈ ω

2

(ω0)

R

такой, что

(|ˆx|−R)n

−1/2

> > 2 max(1, 2ˆt, (2˜b−1)

2m1−1

(2q−2m1−1)/2q

ˆ

t

, (2˜b−1)

2m1−1

ˆt,ˆ

1/2q

t

)

|ˆx| − R ≥ (8a˜b−1n

m1/(2m1−1)

1/(2m1−1)22m1/(2m1−1))1/ε

ˆ

t

, (6.5.42)

справедливо неравенство

+

  

u; L

2







∂

 

+ L

∂

2

t

≤ exp{a(|ˆx| − R)

ω



u; L

|ˆx| − R

ˆx;

ω

2

√

;

0, T

n

|ˆx| − R

√

ˆx;

n

2m1/(2m1−1)−ε



;

   

0, T

+

},



  

≤



где

2m

1

ε, a = const > 0, ε <

,

2m1− 1

ω(

ˆx; l; 0, T ) = {x, t : |xj− ˆxj| < l, j = 1, . . . , n, 0 < t < T }.

Тогда для всех точек (ˆx,ˆt) ∈ ωR, удовлетворяющих условиям (6.5.42), (6.5.42), имеем



  

+



  

≤



−1/(2m1−1)

ˆ

t



≤ M3exp−







∂

 

t

∂

X

+

|α|≤m1+m

˜

b

−m1/(2m1−1)2−2m1/(2m1−1)

n

+ L



2

   

2

u; L

α

D

x

ω

2

u; L

2

ˆx;

ω



|ˆx| − R

2√n

ˆx;

|ˆx|

2√n

(|ˆx|



− R

− R)

− 1;ˆt

2m1/(2m1−1)

8

,

где M3,˜b = const > 0,

ω(ˆx; l; τ ) = {x, t : |xj− ˆxj| < l, j = 1, . . . , n, t = τ }.

188

190 Г

лава 6. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА

Теорема 6.5.4. Пусть u(x, t) — решение задачи Коши (6.5.4), (6.5.5) в ω такое, что u ∈ C

2(m1+m2),m1+m

2

(ω0) в любой конечной подобласти ω0⊂ ωR.

R

Пусть для любой точки (ˆx,ˆt) ∈ ωRтакой, что



2m1−1

,

ˆ

t <ε

˜

b

a−1n

−m1/(2m1−1)2−2m1/(2m1−1)

4

(|ˆx|

− R)n

> 2 max(1, 2ˆt, (2˜b−1)

2m1−1

(2q−2m1+1)/2q

ˆ

t

, (2˜b−1)

2m1−1

ˆt,ˆ

1/2q

t

),

(6.5.43)

выполнено неравенство

   

u; L

ω

2

|ˆx| − R

ˆx;

√

0, T

;

n

≤ exp{a(|ˆx| − R)









+



∂

 

∂

t



+ L

u; L

2

2m1/(2m1−1)

ω

2

},

|ˆx| − R

ˆx;

√

0, T

;

n



  

≤



a, ε = const > 0, ε < 0. Тогда для всех точек (ˆx,ˆt) ∈ ωR, удовлетворяющих условиям (6.5.43), имеем

X

+

|α|≤m1+m







∂



t

∂

 

α



D

u; L

x



2

+ L



2

ω

2

u; L

ˆx;

ω

2

|ˆx|

2√n

ˆx;

− R

|ˆx| − R

2√n

− 1;ˆt





 

≤ M4expnH(





  

+



ˆx,ˆt)o,

где

˜

H(ˆx,ˆt) = −

b

(1−ε)n

4

и˜b, M4= const > 0.

−m1/(2m1−1)2−2m1/(2m1−1)

(|ˆx|

2m1/(2m1−1)

−R)

−1/(2m1−1)

ˆ

t

189

Литература

[1] Алекс

Мат. — 1958. — 5, No 6. — С. 126–157.

[2] Александров А. Д. Исследования принципа максимума. II// Изв. ву-

зов. Мат. — 1959. — 3, No 10. — С. 3–12.

[3] Александров А. Д. Исследования принципа максимума. III// Изв. ву-

зов. Мат. — 1959. — 5, No 12. — С. 16-32.

[4] Александров А. Д. Исследования принципа максимума. IV// Изв. ву-

зов. Мат. — 1960. — 3, No 16. — С. 3–15.

[5] Александров А. Д. Исследования принципа максимума. V// Изв. ву-

зов. Мат. — 1960. — 5, No 18. — С. 16–26.

[6] Бабенко К. И. Об одной новой проблеме квазианалитичности и пре-

образование Фурье целых функций// Тр. Моск. мат. об-ва. — 1958. — 5, С. 523–542.

[7] Березин И. С. О задаче Коши для линейных уравнений второго по-

рядка с начальными условиями на параболе// Мат. сб. — 1949. — 24, No 66. — С. 301–320; English transl., Amer. Math. Soc. Transl. — 1962. — I, No 4. — С. 415–439.

андров А. Д. Исследования принципа максимума. I// Изв. вузов.

[8] Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производны-

ми. — М.: Мир, 1966.

[9] Введенская Н. Д. О краевой задаче для уравнений эллиптического ти-

па, вырождающихся на границе области// Докл. АН СССР. — 1953. —

91. — С. 711–714.

[10] Вишик М. И. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений,

вырождающихся на границе области// Докл. АН СССР. — 1953. —

93. — С. 9–12.

[11] Вишик М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырож-

дающихся на границе области// Мат. сб. — 1954. — 35 (77). — С. 513–

568.

190