Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 2. Учебное пособие
.pdf
лава 4. ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТЬ С ПОТЕРЕЙ ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
32Г
где I =
0 E
−E 0
— симплектическая матрица, E и 0 — единичная и нуле-
вая матрицы порядка n × n соответственно.
Теорема 4.1.1. Необходимым и достаточным условием выполнения для
оператора P , удовлетворяющего условиям (4.1.1), для любого компакта
K ⊂ Ω оценки вида
kuk
2
(m−1)
≤ C(K)kP k
2
+ kuk
0
2
(0)
, u ∈ C
∞
(K), (4.1.3)
0
является следущее неравенство:
J(x, η) > 0 для любой точки (x, η) ∈ N. (4.1.4)
Доказательство. Достаточность. Если выполнено условие (4.1.4), мы до-
кажем более сильную оценку, а именно,
n
X
kuk
2
(m−1)
+
j=1
kP
(j)uk2
(1/2)
+ kP
(j)
uk
2
(−1/2)
≤
≤ C(K)kP uk
2
(0)
+ kuk
2
(0)
, u ∈ C
∞
0
(K).
Сначала докажем полезную в дальнейшем лемму. Если функция ϕ ∈
∞
C
(Ω) u ϕ ≡ 1 в окрестности ω компакта K, то положим Qu ≡ P ϕu для
0
любой функции u ∈ C
∞
(K). Не ограничивая общности (см., например [135]), можно считать,
C
0
∞
(Rn). Как нетрудно видеть, Qu ≡ P u для u ∈
0
что m = 2.
Лемма 4.1.1. Существуют такая постоянная C, не зависящая от δ, и
такая постоянная Cδ, что
∞
X
0
Re
"
Z
δ
Q
ψj(δD)u −
j
≤ δCkuk
X
|α|≤1
2
(1/2)
1
α!
+ Cδkuk
где дифференциальные операторы Q
δ
Q
(x, D)u ≡
j
X
|α|≤2
1
α!
q
0(α)
x,
|α|
(−i)
δ
j
ψ
2
, u ∈ C
(0)
имеют вид
j
ξ
Dx,
δ
(α)
j
(δ
ξ
δ
#
D)Q
j
u
(α)
∞
(Rn), (4.1.5)
0
α
u + q
ψj(δ
1
ξ
x,
D)u dx
j
δ
≤
u
точки
и
j
ξ
δ
∈ supp
Z
\
D)u выбираются так, чтобы
ψj(δ
Z
j
ξ
ξ|ψj(δξ)ˆu(ξ)|2dξ =
|ψj(δξ)ˆu(ξ)|
δ
31
2
dξ. (4.1.6)
О НЕКОТОРЫХ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ОЦЕНКАХ 33
1.
Доказательство. Пусть ˆq(η, ξ) — преобразование Фурье по x символа q(x, ξ)
оператора Q. Тогда
ZZ
(Qu, u) = (2π)
−2n
ˆq(η − ξ, ξ)ˆu(ξ)ˆu(η) dξ dη,
δ
Re(Q
ψj(δD)u, ψj(δD)u) = (2π)
j
= Re
Из равенстваPψ
Re"hQu, ui −
где
−
|α|≤2
"
1
+ˆq(η −ξ, ξ)
2
+
ZZ
X
Q
= Re(2π)
Hδ(ξ, η) =
X
1
α!
ψj(δ
+
−2n
Re
ˆq
1
η − ξ,
j
ξ
ξ)ψj(δη)ˆu(ξ)ˆu(η) dξ dη,
ψj(δ
δ
(α)
Re((−i)
|α|
ψ
j
(δD)Q
(η − ξ)αˆq(η − ξ, ξ)ψ
2
(ξ) ≡ 1 следует, что
k
δ
ψj(δD)u, ψj(δD)u− i
j
ZZ
−2n
Hδ(ξ, η)ˆu(ξ)ˆu(η) dξ dη, (4.1.7)
(
X
ψj(δξ)ψj(δη)"ˆq(η − ξ, ξ)−
j
0(α)
ˆq
η − ξ,
j
ξ
δ
X
ξ) −
|α|≤1
α
ψ
(δη)(ξ −η)
j
X
(ψj(δξ) −(ψj(δη))ψ
|α|=1
ZZ
X
|α|≤2
u, ψj(δD)u) =
(α)
(α)
(δη)ψj(δη)ˆu(ξ)ˆu(η) dξ dη.
j
X
|α|=1
α
j
ξ
ξ,
− ˆq
1
α!
ˆq
ψ
1
0
η − ξ
(α)
(δD)Q
j
η − ξ,
δ
!
2
α
−
X
1
2
|α|≤1
#)
α
(δη)(ξ −η)
j
α
j
ξ
,
ξ −
δ
α
j
ξ
δ
u, ψj(δD)u
(α)
#
j
ξ
+
δ
!
ψ
α
j
η)(ξ − η)
(δ
α
. (4.1.8)
+
#
=
2
+
Покажем, что для любого целого N ≥ 0 существует постоянная C
N
такая, что
Hδ(ξ, η) ≤ CN(1 + |ξ − η|)−N(δ(1 + |ξ|) + C + δ(1 + |ξ|)
1/2
). (4.1.9)
Это завершает доказательство оценки (4.1.5).
Так же, как при доказательстве леммы 3.2.1, мы можем считать j до-
статочно большим при оценке Hδ(ξ, η). В силу леммы 3.2.1, получаем, что
1
при |ξ − η| ≤
|ξ|
2
32
2
α
≤ Cδ
|ξ − η|
2
4
. (4.1.10)
|ξ|
X
j
ψj(δ
ξ) −
X
|α|≤1
α
ψ
(δη)(ξ −η)
j
лава 4. ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТЬ С ПОТЕРЕЙ ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
34Г
Из оценки (3.2.3) следует, что
2
. (4.1.11)
|η|
|ξ|
≤
при
2
достаточно
Далее,
X
X
α
ψ
(δη)(ξ −η)
j
|α|=1
j
если ξ ∈ supp ψj, то
2
α
j
ξ
ξ,
≤ C
δ
≤ Cδ
|ξj|
|ξ − η|
1/2
δ
большом |ξ|, так что по формуле Тейлора первую сумму в (4.1.8) так же,
как в лемме 3.2.2, можно оценить через
C
N,δ
X
ψj(δξ)ψj(δη)|ξj|
j
1/2
(1 + |η| − ξ)−N. (4.1.12)
Из неравенств (4.1.10), (4.1.11), (4.1.12) следует оценка (4.1.9). Лемма
доказана.
неравенства (4.1.5) следует, что для любого ζ2, 0 < ζ2< 1,
Из
∞
X
ReZQ
0
+ζ2kuk
δ
ψj(δD)uψj(δD)u dx ≤ Cδkuk
j
+ C
√
1
δ kuk
2
(1/2)
+
2
(1/2)
X
|α|=1
kQ
2
(1/2)
(α)
+ Cδkuk
2
uk
(−1)
!
,
2
+ C
(0)
u ∈ C
2
∞
(K). (4.1.13)
0
(−1/2)
2
kP uk
ζ
+
Положим ujk(x) = ϕk(x|ξj|)ψj(δD)u. Тогда получаем
X
+
−
X
Re
X
s,t=1
k
X
k
+Z|ξj|
(Q
k
n
n
X
s,t=1
δ
ujk, ujk) = Re(Q
j
Z
"
|ξj|q
Z
|ξj|q
0(s,t)
0(s,t)
0(s,t)
1/2
q
(s)
x,
x,
δ
ψj(δD)u, ψj(δD)u)+
j
j
ξ
ϕ
k(s)ϕk(t)
δ
j
ξ
δ
x,
ξ
ϕ
j
δ
k(t)
ϕ
k(st)
|ψj(δ
ϕk|ψj(δ
Из неравенства (4.1.14) следует, что
Re
X
k
δ
(Q
ujk, ujk) − Re(Q
j
δ
ψju, ψju)
j
≤ C
X
|ξj|(ujk, ujk) + C
2
k
D)u|2dx−
|ψj(δ
D)u|2dx+
D)u|2dx#. (4.1.14)
X
(ujk, ujk).
3
k
(4.1.15)
Из оценок (4.1.13), (4.1.15) следует, что
X
j,k
Re(Q
δ
ujk, ujk) − C
j
0
2
X
k,j
33
|ξj|(ujk, ujk) + (ujk, ujk) ≤
О НЕКОТОРЫХ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ОЦЕНКАХ 35
1.
!
≤ C
√
1
δ kuk
2
(1/2)
+
X
|α|=1
kQ
(α)
uk
2
(−1)
u ∈ C
+ Cδkuk
∞
(K). (4.1.16)
0
2
(0)
+ C
kP
ζ
2
Как и при доказательстве теоремы 3.3.1, положим
k
j
v
(x − xjk)
|ξj|
1/2
Z
|ujk|2dx. (4.1.17)
j
ξ
ujk(x) = expix,
δ
де точки xjk∈ supp ujkвыбираются таким образом, чтобы
г
Z
x|ujk|2dx = x
jk
Тогда
Z
y|vjk(y)|2dy = 0 и
Z
|vjk(y)|2dy = |ξj|
n/2
Z
|ujk(x)|2dx.
uk
,
2
(−1/2)
+ ζ2kuk
2
(1/2)
,
Как нетрудно видеть, из равенства (4.1.6) следует, что
Z
ξ|vj(ξ)|2dξ = 0, (4.1.18)
где
ψj(δD)u = expix,
j
ξ
v
j
(x − x
p
δ
и
\
D)u(ξ) = |ξj|
ψj(δ
С
помощью замены переменных мы приходим к равенству
−n/2ˆvj
ξ −
p
ξ
δ
|ξj|
j
expix
Z
×
X
|α|≤2
1
α!
|α|/2q0(α)
|ξj|
Re(Q
δ
ujk, ujk) = |ξj|
j
+
x
p
j
k
x
|ξj|
,
j
ξ
δ
−n/2
Dαv
Re
j
v
j
k
+ q
|ξj|
k
(y)×
1
k
j
)
ξ
j
k
,
xjk+
j
− ξ.
δ
p
x
|ξj|
!
j
ξ
j
k
v
,
dy.
δ
Из равенств (4.1.17), (4.1.18) и оценки (3.2.3) следует, что
|ξj|
n/2
+
Re(Q
δ
j
X
|α|+|β|=2
ujk, ujk) − Re
1
α!1β!
0(α)
q
(β)
Z
x
0
k
j
q
v
xjk,
j
ξ
k
j
v
+ q
1
xjk,
δ
j
ξ
j
k
,
(|α|−|β|)/2yαDβvj
|ξj|
!
k
δ
34
dy
j
ξ
k
j
+
v
δ
≤
лава 4. ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТЬ С ПОТЕРЕЙ ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
36Г
Z
|yαDβvjk|2dy. (4.1.19)
≤ Cde|ξj|
1/2
|α|+|β|≤2
X
Из оценок (4.1.19), (4.1.16) и (3.2.18) получаем
X
j,k
+
|α|+|β|=2
|ξj|
X
−n/2
Re
1
α!1β!
Z
q
0(α)
(β)
k
j
v
0
q
xjk,
j
ξ
k
j
,
x
|ξj|
δ
j
ξ
+ q
ξ
k
1
j
,
x
δ
(|α|−|β|)/2yβDαvj
δ
j
k
!
v
2
k
j
+
dy ≤
!
≤ C
√
3
δ kuk
2
(1/2)
+
X
|α|=1
kQ
(α)
uk
2
(−1)
+ Cδkuk
2
(1/4)
+ ζ2kuk
2
(1/2)
+ C
Если Oζ(N)ζ — окрестность характеристического многообразия N на S
K, то существует постоянная C(ζ ) такая, что
p0(x, η) ≥ C(ζ) для любой точки (x, η) ∈ (S
n−1
× K) \Oζ(N).
uk
kP
ζ
2
(4.1.20)
2
(−1/2)
n−1
×
.
Обозначая через
j
ξ
ω и
∈ (S
|ξj|
j≥N (δ)
+
|α|+|β|=2
X
j≥N (δ)
≥
1
C(ζ)
2
Далее, если
j
ξ
ω и
∈ Oζ(N),
|ξj|
j>N (δ)
+
|α|+|β|=2
P
n−1
× K) \Oζ(N),
X
Z
0
Re
X
1
α!1β!
2
j
0
ξ
δ
P
00
— суммирование лишь по тем k, j, для которых supp ujk⊂
получим,
X
00
ReZ¯v
X
1
α!1β!
0
суммирование лишь по тем k, j, для которых supp ujk⊂
получим
1
j
k
v
0
p
x
2
0(α)
p
(β)
x
Z
j
k|2
|v
dy −
+C4ζ
jk
0(α)
q
(β)
x
1
q
j
k
ξ
0
j
k
j
ξ
,
δ
X
j≥N (δ)
2
j
δ
xjk,
j
ξ
,
δ
j
ξ
j
k
,
δ
j
ξ
δ
(|α|−|β|)/2
(
0
C
+ p
δ
ζ
1
1
j
x
X
1
|α|+|β|≤2
j
ξ
k
,
δ
yβDαv
Z
j
k
v
+
!
j
k
dy ≥
|yαDβv
j
k|2
dy+
Z
k|2
j
dy). (4.1.21)
+ q
1
j
x
j
ξ
k
,
k
j
+
v
δ
(|α|−|β|)/2
j
δ
yβDαv
!
j
k
dy ≥
|v
j
ξ
δ
ξ
35
МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 37
2.
≥
j≥N (δ)
X
+
|α|+|β|=2
где точки¯xjk,
оценок (4.1.20), (4.1.21), (4.1.22) и (3.2.18) следует
Из
+
X
X
00
X
00
+
j≥N (δ)
X
+
j≥N (δ)
√
+C
|α|+|β|=2
δ kuk
2
(1/2)
X
00
−
¯
ξ
|¯ξj|
X
j>N (δ)
0
≤ C
+
ReZ¯v
1
α!1β!
X
j≥N (δ)
j
0
j
ξ
δ
1
α!1β!
δ
X
|α|=1
jk
0
p
00
p
0(α)
(β)
¯x
j
k
X
,
Cδζ
|α|+|β|≤1
N, |¯ξj| = |ξj| и ρ
∈
1
C(ζ) −C1ζ
2
−n/2
k
0
j
p
x
ReZp
1
kuk
ζ
1
kQ
0(α)
(β)
2
+ Cδζkuk
(0)
uk
(α)
2
(−1)
xjk,
j
¯
ξ
δ
j
ξ
δ
j
¯
ξ
δ
(|α|−|β|)/2
+ p
1
j
k
x
,
yβDαv
j
ξ
j
k
v
+
δ
!
j
k
dy−
|ξj|Z|yαDβvjk|2dy, (4.1.22)
xjk,
,
j
ξ
jk
,
¯x
|ξj|
1
ξ
,
2−n/2
j
ξ
δ
j
+
δ
j
¯
ξ
j
k
¯x
,
δ
2
(1/2)
Z
1
Re p
(|α|−|β|)/2
j
¯
ξ
δ
+ Cδkuk
j
|v
xjk,
k|2
ξ
δ
2
(1/4)
dy+
j
|α|Dβvj
y
+
Z
j
¯
ξ
|¯ξj|
|v
j
!
k|2
k
v
≤ ζ.
dy+
k
j
!
+ C
2
kP
uk
ζ
2
(−1/2)
+ ζ2kuk
2
(1/2)
(4.1.23)
dy ≤
для любой функции u ∈ C
∞
0
(K).
2 Модельные операторы
В этом параграфе мы продолжим исследование достаточных условий теоремы 4.1.1.
Рассмотрим модельные дифференциальные операторы
n
X
t=1
+s
a
(x, η)Dt+
t
Π
(x,η)
s
(y, D) ≡
Как нетрудно видеть, в силу полуопределенности симметрической матрицы
U(x, η), справедливо равенство
X
|α|+|β|=2
1
α!1β!
Re p
0(α)
(β)
j
¯
ξ
j
k
¯x
,
δ
j
¯
ξ
δ
(|α|−|β|)/2
n
X
t=1
+s
b
t
Z
(x, η)yt.
yβDαv
j
k
vjkdy =
36
лава 4. ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТЬ С ПОТЕРЕЙ ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
38Г
Z
j
¯
ξ
δ
¯xjk,¯ηj)
(
Π
s
(y, D)v
2
jk
dy, (4.2.1)
где λ
и ¯ηj=
X
s
+
λ
(¯xjk, ¯ηj)
s
=
+
(¯xjk, ¯ηj) — положительные собственные значения матрицы U(¯xjk, ¯ηj)
s
j
¯
ξ
.
|¯ξj|
Применяя
X
s,l
≥
лемму [135, лемма 8], получаем оценку
Z
n
X
t=1
X
s,l
a
+s
(¯xjk, ¯ηj)b
t
(¯xjk,¯ηj)
Π
s
(y, D) ±iΠ
+l
(¯xjk, ¯ηj) − a
t
ψ ∈ C
(¯xjk,¯ηj)
l
+l
(¯xjk, ¯ηj)b
t
∞
(Rn). (4.2.2)
0
(y, D)ψ
+s
(¯xjk, ¯ηj)
t
2
dy ≥
Z
|ψ|2dy,
Из оценки (4.2.2) следует, что
+
j>N (δ)
≤ C
X
j≥N (δ)
X
00
1
4
1
δ
ζ
1
+Cδkuk
min
+
+
kuk
0
1
C(ζ) −C1ζ1− Cδ|ξj|
2
q
N
X
s,l
X
+
+
λ
λ
s
l
X
00
1
λ
4
j≥N (δ)
X
s
X
00
0
+
>N(δ)
j
−n/2
X
+
j>N (δ)
2
+ Cδζkuk
(0)
2
(1/4)
+ ζ2kuk
j
00
ξ
δ
2
(1/2)
2
(1/2)
n
X
t=1
+
¯xjk, ¯ηj)
(
s
j
ξ
δ
(a
−n/2
Re p
+ C
+ C
+s
t
ζ
1
√
2
−1
+l
b
t
Z
0
p
j
¯x
δkuk
uk
kP
− a
(¯xjk,¯ηj)
Π
s
j
x
k
,
2
(−1/2)
ξ
+l
t
k
,
j
¯
ξ
δ
2
(1/2)
j
δ
b
ξ
δ
2−n/2
ξ
+s
)
t
δ
jk
v
Z
j
|v
Z
j
k|2
|v
X
+
|α|=1
, u ∈ C
Z
j
k|2
1−n/2
j
2
j
|v
ξ
δ
k|2
j
dy+
dy+
dy+
Z
|v
dy ≤
(α)
uk
2
(−1)
kQ
∞
(K). (4.2.3)
0
j
k|2
dy+
+
Далее, как нетрудно видеть, справедливо неравенство
Im(P u, u) = Re[P
(j)
+ i˜P ]u, u, u ∈ C
(j)
∞
(K), (4.2.4)
0
где главная часть оператора˜P : ˜p0(x, ξ) = p1(x, ξ). Применяя к операторам
(j)
P
,˜P полученные выше неравенства, получим оценку вида
(j)
Re[P
(j)
+˜P ]u, u≥
(j)
37
МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 39
2.
≥
X
j,k
−n/2
j
ξ
δ
Rep
0(j)
(j)
j
ξ
k
j
,
x
δ
u ∈ C
+ ip
1
j
x
Z
j
ξ
k
,
|v
k|2
j
dy − Cδkuk
δ
∞
(K). (4.2.5)
0
Из оценки (4.2.5) следует, что для любого ζ2, 0 < ζ2< 1,
X
j≥N (δ)
≤
ζ
−n/2
Rep
2
(−1/2)
0(j)
(j)
+ ζ2kuk
x
2
(1/2)
j
ξ
j
k
,
δ
+ Cδkuk
+ ip
1
2
(1/4)
ξ
j
k
x
,
, u ∈ C
j
ξ
δ
1
kP
uk
2
δ
j
Z
∞
0
j
k|2
|v
(K). (4.2.6)
dy ≤
Суммируя оценки (4.2.3), (4.2.6), получаем
ξ
1−n/2
j
δ
(¯xjk,¯ηj)
Π
s
j
k
x
,
2
(−1/2)
2−n/2
j
δ
Z
+ ip
j
ξ
δ
2
(1/2)
, u ∈ C
|v
1
v
Z
+
j
x
jk
X
|α|=1
Z
k|2
|v
j
2
k|2
j
|v
dy+
dy+
Z
dy+
dy ≤
2
uk
(α)
(−1)
(K). (4.2.7)
k
j
k|2
,
ξ
ξ
δ
j
δ
kQ
∞
0
j
|v
j
k|2
+
X
≤ C
X
j≥N (δ)
X
00
+
j>N (δ)
1
kuk
δ
ζ
1
+Cδkuk
0
0
X
+
j≥N (δ)
+
2
(0)
2
(1/4)
C(ζ) −C1ζ1− Cδ|ξj|
X
00
1
1
4
X
X
minNJ(x,
8
Rep
+
λ
s
s
0
2
(1/2)
2
(1/2)
0(j)
(j)
¯xjk, ¯ηj)
(
j
ξ
δ
+ C
+
+
j>N (δ)
−n/2
j
ξ
δ
00
X
00
+
j≥N (δ)
+ Cδζkuk
+
2ζ2kuk
η)
−n/2
2
ζ
j
x
Z
p
√
δkuk
kP
2
k
0
ξ
−1
j
δ
,
ξ
uk
+
2
(1/4)
dy+
,
Выбирая N (δ, ζ) так, чтобы при j ≥ N (δ, ζ) и ζ1< ζ
j
ξ
≥
δ
minNJ(x,
1
1
4
C(ζ) −C1ζ
2
оценки (4.2.7) получаем, что существует постоянная C0такая, что
из
C0kuk
2
(1/2)
≤
X
+
j
η)
X
j>N (δ,ζ)
X
00
1
4
s
,
1
1
8
λ
1
2
minNJ(x,
Z
+
Π
s
C(ζ) −C1ζ1− Cδ|ξj|−1≥
1−n/2
j
ξ
δ
2
jk
v
¯xjk,¯ηj)
(
s
38
η)
0
(ζ)
1
C(ζ)
Z
k|2
j
|v
j
ξ
dy+
δ
dy+
,
4
лава 4. ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТЬ С ПОТЕРЕЙ ОДНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
40Г
j
ξ
δ
√
δ
2
(1/2)
−n/2
|α|=1
+ C
X
p
0
kuk
δ
0
kP
k
j
x
(α)
2
(1/4)
,
uk
j
ξ
δ
2
(−1)
+
ζ
Z
+ kuk
2
kP
2
|v
k|2
j
dy + Cδkuk
2
(1/2)
2
uk
(−1/2)
+
+ 2ζ2kuk
2
(1/4)
2
(1/2)
≤
, u ∈ C
+C
X
+
X
0
+
j>N (δ,ζ)
00
≤ C
1
2
kuk
δ
ζ
1
+ Cδζkuk
(0)
(4.2.8)
∞
0
(K).
Применяя оценку (4.2.8) к операторам P
X
≤ C(K)
Z
+
Π
X
|α|=1
0
X
(
+
j≥N
(xjk,ξj/δ)(α)vjk
kP
00
2
2
uk
(α)
(−1)
1−n/2
j
ξ
δ
dy#+ Cδkuk
где
+
X
Z
+
(xjk,ξj/δ)
Π
определения
Из
X
0
00
+
j≥N (δ)
≤
0(α)
p
Z
+
Z
−2
j
ξ
δ
j
ξ
δ
X
0
+
j>N (δ)
ξ
xjk,
δ
X
+
X
|α|+|β|=1
X
|α|+|β|=1
≡
|α|+|β|≤2
P
−1−n/2
X
j
j
v
0
+
j≥N (δ)
X
P
0
,
00
2
k
X
0(α+α1)
p
(β)
0(α1)
p
(α+β)
1
α!1β!
00
, в силу условий (4.1.17), (4.1.18), получаем
"
X
|α|=1
−n/2
j
ξ
δ
0(α)
p
(β)
Z
(x
Π
(α)
(
ξ
δ
X
0
dy)+
j≥N (δ)
(
00
Cδζ|ξj|
j
¯
ξ
¯xjk,
δ
j
¯x
j
¯
ξ
k
,
δ
+ kP
"
X
|α|=1
2
(0)
k
j
x
k,ξj
j
/δ)
Z
−2
j
1−n/2
j
ξ
δ
X
|α|+|β|≤1
j
ξ
δ
(|α1|−|β|)/2
j
¯
ξ
δ
(α)
, P
(α)
(α)uk2
(0)
Z
(x
Π
(α)
)
, u ∈ C
j
j
ξ
ξ
,
δ
δ
2
jk
v
dy +
0
p
(α)
x
C
δ
|α|+|β|≤1
j
Z
α
1
|y
(|α1|−|β|)/2
yβD
, получаем
≤
k,ξj
j
/δ)
jk
v
∞
(K), (4.2.9)
0
(|α|−|β|)/2
Z
j
ξ
k
,
yβDα.
(xjk,ξj/δ)(α)vjk
Π
2
j
k
v
δ
X
Z
|yαDβv
Dβvjk|2dy+
k
α
j
1
yβD
v
2
k
α
j
1
v
2
dy+
2
dy+
j
k|2
dy+
2
dy+
dy). (4.2.10)
dy#≤
39
МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 41
2.
Как нетрудно видеть, справедливо следующее неравенство:
≤
+
X
Z
X
|α|+|β|=1
−2
j
¯
ξ
δ
¯
ξ
δ
s
Z
j
+
λ
(
s
0(α+α1)
p
(β)
X
|α|+|β|=1
¯xjk, ¯ηj)C
0(α1)
p
(α+β)
Z
2
Π
¯xjk,
(¯xjk,¯ηj)
s
Легко видеть, что для любой точки (x, ξ) ∈ K ×R
j
¯
ξ
δ
k
j
,
¯x
j
¯
ξ
δ
j
¯
ξ
δ
jk
v
(|α1|−|β|)/2
(|α1|−|β|)/2
j
¯
ξ
δ
2
dy + C
2
n
ξ
неравенство
X
|α|=1
|ξ|−2|p
0
(x, ξ)|2+ |p
(α)
0(α)
(x, ξ)|
2
≤ C(K)p0(x, ξ). (4.2.12)
Выбирая N1(δ, ζ) ≥ N(δ, ζ) так, чтобы при j ≥ N1(δ, ζ)
j
¯
ξ
δ
C
≥
δ
C(ζ)
,
2
α
j
k
j
Z
1
yβD
|v
v
dy+
2
k
α
j
1
v
j
k|2
dy. (4.2.11)
dy ≤
ξ
yβD
¯
δ
при |ξ| > 0 справедливо
оценок (4.2.11)–(4.2.15) и (4.2.8) получаем, что
из
(
X
|α|=1
X
+
j≥N1(δ,ζ)
kP
00
uk
(α)
+
λ
(¯xjk, ¯ηj)
s
2
(−1)
+ kP
¯
ξ
δ
(α)uk2
Z
j
Π
(0)
(
¯xjk,¯ηj)
s
≤ C(K)
u ∈ C
j≥N1(δ,ζ)
2
jk
v
dy + Cδζkuk
∞
(K). (4.2.13)
0
Выбирая δ, ζ, ζ1, ζ2, из условий
√
δ
C
C(K) + Cδζ + C
√
δ +
2ζ2+ C
√
δ
C
√
δ
C(K)Cδζ ≤
1
C3≤
18
получим
1
16
оценку вида
minNJ(x,
η)kuk
2
≤ C(K)kP uk
1/2
2
−1/2
+ kuk
X
Z
1
16
2
, u ∈ C
0
p
xjk,
0
2
+ kuk
(1/2)
minNJ(x,
j
ξ
δ
2
(1/2)
2
j
k
v
+ Cδkuk
η), (4.2.14)
(4.2.15)
∞
(K). (4.2.16)
0
dy+
2
(0)
)
,
Из оценок (4.2.16) и (4.2.8) следует, что
X
kP
|α|=1
(α)
uk
2
(−1)
+ kP
40
(α)uk2
(0)
≤
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]