Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с частными производными. Учебное пособие
.pdf
Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций
Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»
(СибГУТИ)
Д. А. Прокудин
Уравнения с частными производными
Учебное пособие
Новосибирск
2023
2
УДК 517.95(075.8)
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ
Рецензенты: д.т.н., проф. М.Г. Курносов, д.ф.-м.н., доц. С.А. Саженков
Прокудин, Д. А. Уравнения с частными производными : учебное посо-
бие / Д. А. Прокудин ; Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, кафедра высшей математики. – Новосибирск, 2023. –
81 с.
Пособие содержит теоретические сведения по теории уравнений с частными производными, большое количество задач с решениями, а также упражнения для самостоятельной работы. В заключение приводятся контрольные задания для самоконтроля. Учебное пособие предназначено для проведения прак-
тических занятий при изучении математики в соответствии с государственными
образовательными стандартами инженерных специальностей.
© Прокудин Д.А., 2023
© Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики, 2023
3
Содержание
Введение………………………………………………………………………....
1 Основные понятия…………………………………………………………...
2 Уравнения с частными производными первого порядка……………....
2.1 Линейные однородные уравнения первого порядка …………………….
2.2 Квазилинейные уравнения первого порядка……………………………...
2.3 Упражнения………………………………………………………………....
3 Понятие характеристической формы и классификация уравнений с
частными производными второго порядка………………………………..
3.1 Классификация линейных уравнений второго порядка………………….
3.2 Классификация нелинейных уравнений второго порядка……………….
3.3 Классификация систем двух линейных уравнений с частными………....
производными первого порядка.........................................................................
3.4 Упражнения....................................................................................................
4 Приведение к каноническому виду уравнений с частными
производными второго порядка.....................................................................
4.1 Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными
производными второго порядка с двумя независимыми переменными........
4.2 Упражнения....................................................................................................
5 Задача Коши для линейного уравнения второго порядка
гиперболического типа.....................................................................................
5.1 Метод характеристик....................................................................................
5.2 Метод факторизации.....................................................................................
5.3 Упражнения....................................................................................................
6. Решение смешанных задач для уравнений гиперболического
типа методом разделения переменных...........................................................
6.1 Однородное уравнение, однородные краевые условия..............................
6.2 Неоднородное уравнение, однородные краевые условия..........................
6.3 Неоднородное уравнение, неоднородные краевые условия......................
6.4 Упражнения....................................................................................................
7 Решение задач для уравнений параболического типа методом
разделения переменных....................................................................................
7.1 Решение смешанных задач методом разделения переменных..................
7.2 Упражнения....................................................................................................
8 Решение краевых задач для уравнений эллиптического типа
методом разделения переменных в круговых областях.............................
8.1 Решение краевых задач для уравнения Лапласа в круге............................
8.2 Решение краевых задач для уравнения Лапласа вне круга........................
8.3 Решение краевых задач для уравнения Лапласа в кольце.........................
8.4 Упражнения....................................................................................................
Контрольные задания........................................................................................
Заключение..........................................................................................................
Список литературы............................................................................................
4
5
9
9
14
18
19
19
23
25
26
28
28
32
33
33
37
40
42
42
46
47
48
51
51
53
54
56
57
58
59
61
79
80
4
Введение
Большинство явлений в самых разных областях физики (динамика жидкости, электричество, магнетизм, оптика, акустика и др.) может быть описано с
помощью дифференциальных уравнений. Более простые случаи описываются
обыкновенными дифференциальными уравнениями, полное описание процессов обычно приводит к дифференциальным уравнениям с частными производными. Данное пособие содержит теоретические сведения по теории уравнений
с частными производными, большое количество задач с решениями, а также
упражнения для самостоятельной работы и может быть использовано для проведения практических занятий со студентами. Пособие состоит из 8 разделов, в
которых рассматриваются такие вопросы, как основные понятия уравнений с
частными производными, уравнения с частными производными первого порядка и методы их решения, понятие характеристической формы и классификация
уравнений с частными производными второго порядка, приведение к каноническому виду линейного уравнения с частными производными второго порядка с
двумя независимыми переменными, решение задачи Коши для линейного урав-
нения второго порядка гиперболического типа, решение смешанных задач для
уравнений с частными производными второго порядка гиперболического и па-
раболического типов методом разделения переменных (методом Фурье), реше-
ние краевых задач в круговых областях для уравнений с частными производных
второго порядка эллиптического типа методом Фурье. В конце каждого раздела
приведены упражнения, предназначенные для выполнения на занятиях.
5
1 Основные понятия
Уравнение с частными производными – уравнение, содержащее
неизвестную функцию двух или более независимых переменных и некоторые
частные производные этой функции.
Обозначим через
D
– область n-мерного евклидова пространства
n
R
точек
),,(
1 n
xx =x
1
,
2n
. Пусть
),,,(
,...,
1n
ii
pF x
– заданная гладкая2
действительная функция точек
x
области D и действительных переменных
n
iip,...,
1
с неотрицательными целочисленными индексами
n
ii ,...,
1
,
ki
j
n
j
=
=1
,
mk ,...,0=
,
1m
и, по крайней мере, одна из производной которой
mi
p
F
j
n
j
ii
n
=
=1
,...,
,
1
отлична от нуля.
Определение 1.1. Равенство вида
0,...
...
,...,
1
1
=
n
i
n
i
k
xx
u
F x
(1.1)
называется дифференциальным уравнением с частными производными порядка
m
относительно неизвестной функции
)(xu
,
Dx
.
Уравнение с частными производными первого порядка может быть
записано в виде
.0,...,,,
1
=
n
x
u
x
u
uF x
(1.2)
Уравнение с частными производными второго порядка имеет вид
....,,1,,,...,...,...,,,
2
1
nji
xx
u
x
u
x
u
uF
n
jin
=
x
(1.3)
Будем говорить, что уравнение с частными производными решено, если
найдены все функции
u
, удовлетворяющие (1.1) (возможно, лишь в классе
функций, удовлетворяющих вспомогательным граничным условиям на
некоторой части
Γ
границы
D
). Когда мы говорим, что решение найдено, в
идеальном случае это означает, что найдены простые явные формулы для
решения или, если такое невозможно или слишком сложно, доказано
существование решения и установлены его некоторые свойства.
1
Иногда вместо
,...,,
321
xxx
будем писать
,...,, zyx
2
Мы не будем обсуждать степень гладкости функции
F
, полагая ее непрерывно дифференцируемой столько
раз, сколько потребуется.
6
Определение 1.2. Определенная в области
D
задания уравнения (1.1)
действительная функция
)(xu
, непрерывная вместе со своими частными
производными, входящими в это уравнение, и обращающая его в тождество,
называется классическим решением (или регулярным решением).
Определение 1.3. Если
)(xu
регулярное решение уравнения (1.1), то
поверхность
)(xuu =
в пространстве переменных
),( ux
называется
интегральной поверхностью уравнения (1.1).
Определение 1.4. Уравнение с частными производными (1.1) называется
линейным, если функция
),,,(
,...,
1n
ii
pF x
является линейной относительно
всех переменных
,
,...,
1 n
ii
p
ki
j
n
j
=
=1
,
mk ,...,0=
.
Например, уравнение вида
( ) ( ) ( )
xxx fub
x
u
a
i
i
n
i
=+
=1
(1.4)
есть линейное уравнение первого порядка, а уравнение
( ) ( ) ( )
jiij
i
i
n
i
ji
ij
n
ij
aafuc
x
u
b
xx
u
a ==+
+
==
,)(
1
2
1
xxxx
(1.5)
является линейным уравнением второго порядка относительно неизвестной
функции
( )
xu
.
Определение 1.5. Если функция
),,,(
,...,
1n
ii
pF x
линейна относительно
переменных
n
iip,...,
1
при
mi
j
n
j
=
=1
, то уравнение (1.1) называется
квазилинейным.
Уравнение
( ) ( )
0,,
1
=+
=
uf
x
u
ua
i
i
n
i
xx
(1.6)
есть квазилинейное уравнение первого порядка, а уравнение
0,...,,,,...,,,
1
2
1
1
=
+
=
njin
ij
n
ij
x
u
x
u
uf
xx
u
x
u
x
u
ua xx
(1.7)
– квазилинейное уравнение второго порядка относительно неизвестной
функции
)(xu
.
Система уравнений с частными производными – совокупность нескольких
уравнений с частными производными относительно нескольких неизвестных
функций.
7
Определение 1.6. Выражение вида
,,...,0 , ,0,...
,...,
,...,
1
1
1
mkki
xx
j
n
j
i
n
i
k
n
===
=
u
xF
(1.8)
где
),...,(
1 s
FF=F
задана, а
),...,(
1 s
uu=u
неизвестна, называется системой
уравнений частными производными
m
-го порядка.
Мы будем рассматривать системы, у которых число уравнений
s
совпадает
с числом неизвестных
s
uu ,...,
1
. Обычно рассматриваются именно такие
системы, хотя случаи, когда число уравнений меньше или больше числа
неизвестных, также исследуются.
Очевидно, что можно классифицировать системы по признаку линейности
и квазилинейности.
Не существует общей теории, устанавливающей разрешимость всех
уравнений с частными производными. Весьма сомнительно, что создание такой
теории вообще возможно ввиду большого многообразия физических,
геометрических и вероятностных явлений, которые моделируются уравнениями
с частными производными. Поэтому исследования концентрируются вокруг
некоторых конкретных уравнений, важных для приложений, как в рамках
самой математики, так и для смежных дисциплин, с надеждой, что интуитивное
понимание истоков этих уравнений с частными производными подскажет путь
к их решению.
Перечислим некоторые важные в современных исследованиях уравнения с
частными производными, с тем, чтобы иметь хотя бы начальное представление
(название и вид) об этих хорошо известных уравнениях.
Всюду далее
Dx
, где
D
– область пространства
n
R
, и
0t
– время.
1) При изучении различных видов волн – упругих, звуковых,
электромагнитных, а также других колебательных явлений мы приходим к
волновому уравнению
, Δ),,(Δ
2
2
1
2
2
2
i
n
i
x
tfuc
t
u
=+=
=
x
(1.9)
где
c
– скорость распространения волны в данной среде,
),( tf x
– внешняя
сила.
2) Процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, так
же, как и явления диффузии, описываются уравнением теплопроводности
),,(Δ
2
tgua
t
u
x+=
(1.10)
где
a
– коэффициент температуропроводности,
),( tg x
– плотность тепловых
источников.
3) При рассмотрении установившегося теплового состояния в однородном
изотропном теле мы приходим к уравнению Пуассона
( )
.Δ xgu −=
(1.11)
8
При отсутствии источников тепла уравнение (1.11) переходит в уравнение
Лапласа
.0Δ =u
(1.12)
Потенциалы поля тяготения и стационарного электрического поля также
удовлетворяют уравнению Лапласа, в котором отсутствуют массы и,
соответственно, электрические заряды.
Уравнения (1.9)-(1.12) часто называют основными уравнениями
математической физики. Их подробное изучение дает возможность построить
теорию широкого круга физических явлений и решить ряд физических и
технических задач.
Каждое из уравнений (1.9)-(1.12) имеет бесчисленное множество частных
решений. При решении конкретной физической задачи необходимо из всех
этих решений выбрать то, которое удовлетворяет некоторым дополнительным
условиям, вытекающим из её физического смысла. Итак, задачи
математической физики состоят в отыскании решений уравнений в частных
производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям.
Такими дополнительными условиями чаще всего являются так называемые
граничные условия, т.е. условия, заданные на некоторой части границы
рассматриваемой среды, и начальные условия, относящиеся к одному какому-
нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического
явления.
9
2 Уравнения с частными производными первого порядка
2.1 Линейные однородные уравнения первого порядка
Равенство вида
0)(
1
=
=
i
n
i
i
x
u
a x
,
(2.1)
где
)(x
i
a
,
ni ,...,1=
– заданные непрерывные в области
n
RD
,
2n
функции, для которых
,0)(
1
2
=
x
n
i
i
a
называется линейным однородным урав-
нением первого порядка.
Решение
),...,()(
1 n
xxuu =x
уравнения (2.1) задает поверхность в про-
странстве переменных
( )
uxxx
n
,,...,,
21
, которую называют интегральной по-
верхностью.
Уравнению (2.1) сопоставим систему обыкновенных дифференциальных
уравнений
)(
...
)(
1
1
xx
n
n
a
dx
a
dx
==
.
(2.2)
Система (2.2) называется характеристической системой уравнения (2.1), а интегральные кривые системы (2.2) называются характеристиками уравнения (2.1).
Запишем (2.2) в виде нормальной системы, в предположении, что
0)( x
n
a
в области D
1,...,1,
)(
)(
−== ni
a
a
dx
dx
n
i
n
i
x
x
.
(2.3)
Общее решение системы (2.3) имеет вид
1,...,1,),,...,,(
11
−==
−
niRСCCxxx
innii
.
(2.4)
Разрешая систему (2.4) относительно
i
C
, получим
),...,(
1 nii
xxC=
,
1,...,1 −= ni
.
(2.5)
Непрерывно дифференцируемая в области
D
функция
),...,(
1 n
xx
=
,
тождественно равная постоянной на любом решении системы (2.2), называется
первым интегралом системы (2.2). Равенства (2.5) определяют в D
( )
1−n
не-
зависимых первых интегралов системы (2.2).
Утверждение 2.1. В некоторой окрестности каждой точки
Dx
все
решения уравнения (2.1) имеют вид
( )
),...,(),...,,...,(
1111 nnn
xxxxFu−=
,
(2.6)
где
)(x
i
,
1,...,1 −= ni
– независимые первые интегралы характеристической
системы (2.2), а F – произвольная непрерывно дифференцируемая функция
своих аргументов.
10
Пример 2.1. Найти общее решение уравнения
0)( =−++
zyx
zuyxyuxu
в области
0,0,0:),,( = zyxzyxD
.
Решение. Составим характеристическую систему, соответствующую дан-
ному уравнению
zyx
dz
y
dy
x
dx
)( −
==
.
Рассматривая равенство первой и второй дробей
y
dy
x
dx
=
,
находим
yCx1=, ,1RC
откуда
y
x
C =
1
.
Таким образом, один из первых интегралов имеет вид
y
x
=
1
.
Для нахождения еще одного первого интеграла будем использовать свойство
равных дробей, которое заключается в том, что если
====
n
n
b
a
b
a
b
a
...
2
2
1
1
,
то при любых
n
kkk ,...,,
21
справедливо равенство
=
+++
+++
nn
nn
bkbkbk
akakak
...
...
2211
2211
.
Рассмотрим комбинацию первой и второй дробей при
11=k
,
12−=k
и при-
равняем ее к третьей, получаем
zyx
dz
yx
yxd
)()(−
=
−
−
или
z
dz
yxd =− )(
.
Интегрируя последнее уравнение, получим
,ln
2
Cyxz +−=
RC
2
или
zeC
xy−
=
2
.
Таким образом, найден еще один первый интеграл
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]