Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с частными производными. Учебное пособие
.pdf
61
Контрольные задания
1. Определить тип линейного уравнения с частными производными второго по-
рядка.
2. Определить тип нелинейного уравнения второго порядка на заданных решениях.
3. Привести уравнение к каноническому виду в каждой из областей, где сохраняется тип уравнения.
4. Проверить, какая из поставленных задач Коши для линейного уравнения вто-
рого порядка является характеристической, и решить не характеристическую
задачу двумя методами: методом характеристик и методом факторизации.
5, 6. Решить смешанную задачу методом разделения переменных.
7. Найти функцию, гармоническую в круговой области.
Вариант 1
1.
042 =−++− xuuuu
zyzxyxx
2.
022
222
=−+−
xxyyxyxx
uuuu
,
2
,
2
2
2
1
y
xyuxu −==
3.
uxuuue
yyyxx
y342
=−+
4.
023 =+−
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
2,2
2
==
−=
−=
; б)
xuxu
xy
y
xy
4,2
2
2
2
−==
=
=
5.
5
9 cos ,
6
=−
tt xx
x
uu
0 0 0 3
, 0, 0, 0
= = = =
= = = =
tx
t t x x
u x u u u
6.
)201)(2(3sin420
22
txxtuuu
xxt
−+++=−
,
tutuxu
xxt
4,2,3sin
2
20
4
0
===
===
7.
,,0 brau =
3sin),(,cos),( −== buau
r
Вариант 2
1.
02269 =++−−− xyuuuuu
xyzxyxx
2.
04
22
=+−
yyxyxx
uuu
,
)(,)(
2
2
1
yxxuyxu +=+=
62
3.
02
22
=−+−
yyyxyxx
uuxxyuuy
4.
0103 =−+
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
4,14
2
2
2
−==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
2,13
5
2
5
=−=
=
=
5.
1
cos4
16
=−
t xx
u u t x
,
0 0 1
, 0, 0
= = =
= = =
xx
t x x
u x u u
6.
xt
x
euuuu
t
xxttt
96218
2
sin343
2
1
++−−−=−+
,
tutuuxu
xxt
t
t
2,62,2,36
2000
−=+−=−=−=
====
7.
,,0 Rru =
+=
3
2cos),(
Ru
Вариант 3
1.
038242 =+−++−+ yuuuuuuu
yzzyyxzxyxx
2.
02224
222
=+−+++
yyxxyyxxxyyyxx
uuuuuuu
,
2
,
2
2
1
yx
uxu
+
==
3.
0994
4
=−++
xyyy
x
xx
yuuueu
4.
032 =−+
yyxyxx
uuu
,
а)
2
,
2
x
uxu
xy
y
xy
=−=
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
==
==3
2
3
,
5.
9 2sin
2
=+
tt xx
x
uu
,
0 0 0 3
2 , 0, 0, 0
= = = =
= − = = =
tx
t t x x
u x u u u
6.
)51)(83(
16
1
8
5
cos364
64
5
22
txxtuuu
xxt
−−++=−
,
tutuxu
xx
x
t
16,12,
8
5
cos
4
40
4
0
==−=
===
7.
brau = ,0
,
5sin),(,2cos),( == buau
r
63
Вариант 4
1.
0862428 =+−+−++
zxyzxzyyzzxx
uuuuuuu
2.
8420689
222
=+++++
xyyyxxxyyyxxyyxyxx
uuuuuuuuu
,
)(2,
24
1
4
5
2
2
22
1
yxyu
xy
xyu −=−+=
3.
0322
2
=−++− uuuxyxyuxu
xyyxyxx
4.
01252 =−+
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
4,11
4
2
4
==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
3,
2
11
2
3
2
2
3
=−=
=
=
5.
36 2 cos
6
=−
t xx
u u t x
,
0 0 3
2 , 0, 0
= = =
= = =
x
t x x
u x u u
6.
xtxeuuuu
t
xxttt
3289sin94
5
2
+++−−=−−
,
tutuuxu
xxt
t
t
2,92,2,39
3000
−=+−=−=−=
====
7.
Rru = ,0
,
−=4sin),(
Ru
Вариант 5
1.
1532433 =+−+−+− uuuuuuu
zyzxzzzyyxx
2.
4725612233
222
=+−−++++
yyxyxxyyxxxyxxxyyyxx
uuuuuuuuuu
,
6
,
8
)(
8
)(
22
2
22
1
xy
u
yxyx
u
−
=
−
+
+
=
3.
0222
22
=++−
xyyxyxx
uuxxyuuy
4.
0443 =−+
yyxyxx
uuu
а)
xuxu
xy
y
xy
3,4
2
2
2
==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
==
=
=
3
2
2
3
2
,3
5.
5
4 3sin
2
=−
tt xx
u u x
,
0 0 0 2
3 , 0, 0, 0
= = = =
= − = = =
t
t t x x
u x u u u
6.
ttxxxtuuu
xxt
25
2
)81)(3(5cos4
25
1
8
22
−+++−=+
,
64
tutuxu
x
x
x
x
t
9,3,5cos
1
30
4
0
==−=
===
7.
brau = ,0
,
3sin),(,4cos),( == buau
r
Вариант 6
1.
082452 =+−+−++ zuuuuuu
yyzxzzzyyxx
2.
0463
3
=−+−
yyxyxx
uuu
,
2
,
3
2
22
21
yx
u
xy
u
+
=−=
3.
4)(84
2
=−−++
xyyyxyxx
uuuxxuu
4.
015174 =−−
yyxyxx
uuu
а)
xuxu
xy
y
xy
==
==5
2
5
,8
; б)
xuxu
xy
y
xy
8,23
4
3
2
4
3
==
=
=
5.
16 3 cos
2
=−
t xx
u u t x
,
0 0 5
3 , 0, 0
= = =
= − = =
x
t x x
u x u u
6.
xtxeuuuu
t
xxttt
93218sin4432
5
2
++−−+=−+
,
tutuuxu
xxt
t
t
−=+−=−=−=
====
2000
,6,1,36
7.
Rru = ,0
,
−=
6
3cos),(
Ru
Вариант 7
1.
2442 =+−+
yxzxyxx
uuuu
2.
04725612233
222
==++−++++
yyxyxxyyxxxyxxxyyyxx
uuuuuuuuuu
,
4
,
22
21
yx
uxyu
+
==
3.
0352
22
=+−+− xuuueuyeuy
yyy
y
xy
y
xx
4.
0572 =+−
yyxyxx
uuu
а)
xuxu
xy
y
xy
4,3
2
==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
9,14
2
5
2
2
5
−=−=
−=
−=
65
5.
5
9 4cos
6
=−
tt xx
x
uu
,
0 0 0 3
4 , 0, 0, 0
= = = =
= = = =
tx
t t x x
u x u u u
6.
)51)(4(4
8
3
sin3645
22
txxtuuu
xxt
−++−=−
,
tutuxu
x
x
xt
4,16,
8
3
sin
5
40
4
0
===
===
7.
brau = ,0
,
4sin),(,2cos),( == buau
r
Вариант 8
1.
0552452 =−−+−++
zxyzxzzzyyxx
uuuuuuu
2.
14=−+
xyxyyyxx
uuuu
,
2
,
22
21
yx
uxyu
+
=−=
3.
uyuuxuxux
yyyxyxx
=++−
22
sin42sin2cos
4.
010712 =−+
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
23
1
,
24
1
4
5
2
4
5
==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
23
24
,
3
2
2
3
2
==
=
=
5.
9
4 sin5
25
=−
t xx
u u t x
,
0 0 7
4 , 0, 0
= = =
= − = =
t x x
u x u u
6.
5.275.36
4
3
cos3425.12
3
1
−+++=−−
−
xtx
x
euuuu
t
xxttt
,
26,3,3,2
2000
+−=−=−==
====
tutuxuu
xx
x
t
t
t
7.
Rru = ,0
,
+=
4
2cos),(
Ru
Вариант 9
1.
)(222 yxuuuuu
zyzxyzzxx
+=−−+−
2.
04861483
222
=−−++++
yyxyyyxyyyxxxyyyxx
uuuuuuuuu
,
2
2
2
1
2),(
2
5
yuyxyu =−=
66
3.
02
22
=−+−+− uueuueuxeux
y
y
xyy
y
xy
y
xx
4.
0212 =−+
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
13
4
,
3
2
3
−==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
−==
=
=
2
7
2
2
7
,3
5.
3
4 5cos
4
=−
tt xx
x
uu
,
0 0 0 2
5 , 0, 0, 0
= = = =
= = = =
tx
t t x x
u x u u u
6.
)51)(9(sin45
22
txxtuuu
xxt
−++−=−
,
tutuxu
xxt
18,9,sin
1
90
4
0
===
===
7.
brau = ,0
,
6sin),(,4cos),( == buau
r
Вариант 10
1.
42424 =++−++
zyzxyzzyyxx
uuuuuu
2.
844233
22
=−−++
xyyyxyxxyyxxyyxx
uuuuuuuu
,
22
,
2
22
2
22
1
xyyx
u
yx
u +
−
=
+
=
3.
0sin)cos2(sin2
22
=−−−++ xuuyuxuxu
yyyxyxx
4.
012235 =++
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
17
2
,
5
1
4
2
4
==
−=
−=
; б)
xuxu
xy
y
xy
6,
5
3
2
5
3
−==
=
=
5.
4 5 sin
2
=+
t xx
u u t x
,
0 0 5
5 , 0, 0
= = =
= = =
x
t x x
u x u u
6.
24962
2
cos243
2
3
4
−−+−+=−+
−
xxtx
x
euuuu
t
xxttt
,
122,2,2,3
200
2
0
+−=−=−==
====
tutuxuxu
x
x
x
x
t
t
t
7.
Rru = ,0
,
−=
3
5sin),(
Ru
67
Вариант 11
1.
13223 =−−+−
yyzxyzzxx
uuuuu
2.
088442417
222
=−−+++++
xyxxyyxyxxxyyyxxxyyyxx
uuuuuuuuuuu
,
2
,
32324
2
22
1
yx
u
xyyx
u
−
=+−=
3.
y
xyy
x
xy
x
xx
xeyuuexuxeu =+++
22
1042
4.
0576 =−+
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
==
=
=
3
5
2
3
5
,
; б)
xuxu
xy
y
xy
13
2
,
6
1
2
1
2
2
1
−==
=
=
5.
5
4 6sin
4
=−
tt xx
x
uu
,
0 0 0 2
6 , 0, 0, 0
= = = =
= = = =
tx
t t x x
u x u u u
6.
ttxxxtuuu
xxt
2
1
)31)(7(4cos5
4
1
3
22
−−++−=−
,
tutuxu
x
x
x
x
t
21,7,4cos
8
70
4
0
==−=
===
7.
brau = ,0
,
cos),(,2sin),( == buau
r
Вариант 12
1.
uuuuuuu
zyzxzzzyyxx
=++−++ 102610
2.
844233
22
=−−++
xyyyxyxxyyxxyyxx
uuuuuuuu
,
2
2
22
1
3
2
),(
2
1
yuyxu =−=
3.
22
22 xuueueu
xyy
y
xy
y
xx
=++−
4.
0576 =−+
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
==
=
=
3
5
2
3
5
,
; б)
xuxu
xy
y
xy
13
2
,
6
1
2
1
2
2
1
−==
−=
−=
5.
4 6 cos
2
=−
t xx
u u t x
,
0 0 7
6 , 0, 0
= = =
= = =
x
t x x
u x u u
68
6.
xtxeuuuu
t
xxttt
1428842sin2972
5
4
−−−++=−−
,
tutuuxu
xxt
t
t
4,64,4,26
3000
=−==+−=
====
7.
Rru = ,0
,
−=
4
3
4sin),(
Ru
Вариант 13
1.
2224224 =−+−++
yyzxyzzyyxx
uuuuuu
2.
04
22
=+−
yyxyxx
uuu
,
xuxy
y
xu =++=
2
2
2
1
,
16
17
4
3.
29)(5,49
5544 yxuuueueue
xyy
x
xy
yx
xx
y
=+++−
+
4.
03116 =++
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
−==
−=
−=
3
1
2
3
1
,
2
1
; б)
xuxu
xy
y
xy
7
1
,
12
1
2
3
2
2
3
==
=
=
5.
4 7sin
4
=+
tt xx
x
uu
,
0 0 0 2
7 , 0, 0, 0
= = = =
= = = =
tx
t t x x
u x u u u
6.
)151)(4(18
4
cos415
22
txxtuuu
xxt
+−++=+
,
tutuxu
xx
x
t
36,18,
4
cos
3
60
4
0
===
===
7.
brau = ,0
,
7cos),(,4sin2),( == buau
r
Вариант 14
1.
uuuuuu
yyzxyzzxx
5222 =+−+−
2.
843
22
=+++
yyxxxyxxxyxx
uuuuuu
,
xyuyxu 8,
2
22
1
=−=
3.
0sin242
22
=−+−++ xuuueuyeuy
xyy
x
xy
x
xx
4.
03108 =−+
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
8,7
4
1
2
4
1
−==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
==
=
=
2
3
2
2
3
,
69
5.
9
4 sin4
16
=+
t xx
u u t x
,
0 0 1
7 , 0, 0
= = =
= = =
t x x
u x u u
6.
5.1525.236
4
3
cos475.72
2
5
+−++=+− xtx
x
euuuu
t
xxttt
,
26,3,3,2
2000
+−=−=−==
====
tutuxuu
xx
x
t
t
t
7.
Rru = ,0
,
−=
3
4
6cos),(
Ru
Вариант 15
1.
0344324 =++−++
xyzxyzzyyxx
uuuuuu
2.
0152428
2
=−+++
yyyyxyyyxyxx
uuuuuu
,
yu
xy
u =
−
=
2
2
1
,
2
)(
3.
yx
yyyxyxx
euuxuuyu
+
=−++− cossin2
4.
081415 =−−
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
13
1
,
15
1
5
2
2
5
2
==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
−==
=
=
3
4
2
3
4
,
5.
2
9 8cos
3
=−
tt xx
x
uu
,
0 0 0 3
8 , 0, 0, 0
= = = =
= = = =
t x x
t t x x
u x u u u
6.
)31)(2(2
4
5
sin163
22
txxtuuu
xxt
+++−=+
,
tutuxu
x
x
xt
2,4,
4
5
sin
4
20
4
0
===
===
7.
brau = ,0
,
10sin),(,8cos),( == buau
r
Вариант 16
1.
0225 =+−−+
xzzyzxyxx
uuuuu
2.
843
22
=+++
yyxxxyxxxyxx
uuuuuu
,
)(8;22
2
2
22
1
xyyuxyxyu +=−+=
70
3.
022
22
=+−+−
−−
uxuueueue
xyy
y
xy
yx
xx
x
4.
0443 =−+
yyxyxx
uuu
а)
xuxu
xy
y
xy
3,4
2
2
2
==
=
=
; б)
xuxu
xy
y
xy
==
=
=
3
2
2
3
2
,3
5.
3
64 8 cos
8
=+
t xx
u u t x
,
0 0 4
8 , 0, 0
= = =
= = =
x
t x x
u x u u
6.
xt
x
euuuu
t
xxttt
−−−++=++
−
22
2
sin242
5
3
,
tutuuxu
xxt
t
t
−=+−=−=−=
====
2000
,2,1,2
7.
Rru = ,0
,
−=
4
7
3sin),(
Ru
Вариант 17
1.
0442 =−−+−− yuuuuu
yyzzzxyxx
2.
04114810
2
=−−+−
yyyyxyxx
uuuu
,
4
5
,
3
22
2
2
1
xy
u
xyx
u
−
=
−
=
3.
uyuuxu
yyyxx
cos=+−
4.
0812 =++
yyxyxx
uuu
,
а)
xuxu
xy
y
xy
6,
6
1
2
6
1
−==
−=
−=
; б)
xuxu
xy
y
xy
5,
2
1
2
2
1
==
=
=
5.
9 9sin
2
=+
tt xx
x
uu
,
0 0 0 3
9 , 0, 0, 0
= = = =
= = = =
tx
t t x x
u x u u u
6.
)151)(4(18
4
cos415
22
txxtuuu
xxt
+−++=+
,
tutuxu
xx
x
t
36,18,
4
cos
3
60
4
0
===
===
7.
brau = ,0
,
6cos),(,2sin),( == buau
r
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]