Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с частными производными. Учебное пособие
.pdf
41
7.
0,
xx xy x
xu u u− + =
22
1
(1 ) ,
yy
x
u e e y
=
= + +
( )
32
1
4 2 2 .
yy
xy
x
u u e e y
=
+ = + +
Решить задачу Коши методом факторизации:
8.
,1)cossin1(sincos2
2
=+−++−+
yxyyxyxx
uxxuuxuxu
,cos
sinxuxy==
.sin
sinxuxy==
9.
,0244 =++++
yxyyxyxx
uuuuu
.0,
2
==
==xy
y
xy
uxu
10.
,0)14(32
2
=−−+−+ uuxuxxuu
yyyxyxx
.,
2
0
0
x
e
u
e
u
x
y
y
x
y
−==
=
=
42
6 Решение смешанных задач для уравнений гиперболического типа
методом разделения переменных
6.1 Однородное уравнение, однородные краевые условия
Метод разделения переменных, или метод Фурье, используют при постро-
ении решений смешанных задач для широкого класса уравнений с частными
производными.
Изложение схемы метода в данном разделе рассмотрим на примере одномерного волнового уравнения, описывающего процесс колебания струны длины
l
constauau
xxtt
== ,
2
,
(6.1)
концы которой закреплены жестко, т.е.
0,0),(,0),0( === constltlutu
,
(6.2)
и в начальный момент отклонение струны от положения равновесия задается
условиями
)()0,(),()0,( xgxuxfxu
t
==
.
(6.3)
Задача (6.1)-(6.3) называется начально-краевой, или смешанной, задачей,
условия (6.2) – краевыми условиями, условия (6.3) – начальными условиями.
Решение задачи (6.1)-(6.3) будем искать в области
0,0 = tlxQ
.
Суть метода Фурье состоит в том, что сначала ищем нетривиальное реше-
ние уравнения (6.1), удовлетворяющее краевым условиям (6.2) в виде произве-
дения двух функций, одна из которых зависит от x, другая от
t
, т.е. в виде
)()(),( tTxXtxu =
.
(6.4)
Далее, вместо
),( txu
в уравнение (6.1) подставляем правую часть равенства
(6.4), в результате получим уравнение
)()()()(
2
tTxXatTxX
=
.
Разделив обе части этого равенства на
)()(
2
tTxXa
, имеем
)(
)(
)(
)(
2
xX
xX
tTa
tT
=
.
(6.5)
Заметим, что в равенстве (6.5) левая часть зависит только от t, а правая – толь-
ко от x. Это равенство возможно только в том случае, когда правая и левая части являются константой. Обозначая эту константу через
−
, будем иметь
−=
=
)(
)(
)(
)(
2
xX
xX
tTa
tT
.
Таким образом уравнение с частными производными (6.1) мы свели к двум
обыкновенным дифференциальным уравнениям
0)()(
2
=+
tTatT
,
(6.6)
и
43
0)()( =+
xXxX
.
(6.7)
Поскольку мы ищем решение, удовлетворяющее краевым условиям (6.2),
то при любом значении
0t
должны выполняться равенства
0)()(,0)()0( == tTlXtTX
.
Т.к.
0)( tT
, то получаем два краевых условия
0)(0)0( == lXиX
.
(6.8)
Уравнение (6.7) вместе с условиями (6.8) образуют задачу Штурма-
Лиувилля, состоящую в том, чтобы найти те значения , которым соответствуют нетривиальные решения
)(xX
. Такие
называются собственными
числами, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными
функциями.
Уравнение (6.7) – линейное обыкновенное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами, общее решение которого за-
висит от вида корней характеристического уравнения
0
2
=+
или
−=
2
. Возможны три случая.
Случай I. Пусть
0
. Тогда общее решение уравнения (6.7) имеет вид
RCCeCeCxX
xx
+=
−−−
2121
,,)(
.
Подчиняя его условиям (6.8), получаем систему для определения неизвестных
постоянных
1
C
и
2
C
=+
=+
−−−
.0
,0
21
21
ll
eCeC
CC
Так как решение этой системы есть
0
21
== CC
, то
0)( xX
. Следовательно,
задача Штурма-Лиувилля (6.7), (6.8) при
0
не имеет решения.
Случай II. Пусть
0=
. В этом случае уравнение (6.7) имеет вид
0)( =
xX
и его общим решением является линейная функция
RCCCxCxX +=
2121
,,)(
.
Условия (6.8) будут выполняться в том и только в том случае, если
0
21
== CC
. Опять имеем тривиальное решение задачи (6.7), (6.8).
Случай III. Пусть
0
. Тогда общее решение уравнения (6.7) определя-
ется по формуле
RCCxCxCxX +=
2121
,,cossin)(
.
Удовлетворяя это решение краевым условиям (6.8), получаем
==.0sin
,0
1
2
lC
C
Так как
0
1
C
(иначе будем иметь тривиальное решение), то
0sin =l
, т.е.
kl
k
=
,
...2,1=k
44
Итак, задача Штурма-Лиувилля (6.7), (6.8) имеет решение при
,...2,1,
2
=
= k
l
k
k
Этим собственным значениям при каждом фиксированном
k
соответствуют
собственные функции
x
l
k
CxX
kk
sin)(1=
,
,...2,1=k
,
(6.9)
где
kС1
,
,...3,2,1=k
, – произвольные постоянные, отличные от нуля. Возьмем
для определенности
11=
k
С
,
,...2,1=k
Далее, подставляя найденные
k
в (6.6), приходим к решению линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
0)()(
2
=
+
tT
l
ka
tT
kk
,
,...2,1=k
Нетрудно проверить, что общими решениями этих уравнений являются функ-
ции
t
l
ka
Bt
l
ka
AtT
kkk
cossin)( +=
,
,...2,1=k
,
(6.10)
где
kk
BA ,
,
,...2,1=k
– произвольные действительные постоянные.
Подставляя выражения (6.9) и (6.10) в формулу (6.4), получаем частные
решения уравнения (6.1)
+= t
l
ka
bt
l
ka
ax
l
k
txu
kkk
cossinsin),(
,
,...2,1=k
(6.11)
Будем искать решение смешанной задачи (6.1)-(6.3) в виде ряда
=
=
+==
1 1
cossinsin),(
k k
kkkk
t
l
ka
bt
l
ka
ax
l
k
TXtxu
.
(6.12)
В силу линейности и однородности уравнения (6.1) функция
),( txu
является
его решением (мы предполагаем, что бесконечный ряд (6.12) и ряды, получен-
ные из него двукратным дифференцированием по
x
и t, сходятся) и, кроме то-
го,
),( txu
удовлетворяет краевым условиям (6.2), т.к. им удовлетворяет каждая
из функций
),( txu
k
,
,...2,1=k
Постоянные
kk
ba ,
определим из начальных условий (6.3):
=
=
==
1
0
),(sin
k
kt
xfx
l
k
bu
=
=
==
1
0
)(sin
k
ktt
xgx
l
k
a
l
ka
u
.
(6.13)
45
Разложим функции
)(),( xgxf
в ряд Фурье по собственным функциям
)(xX
k
,)()(
1
==k
kk
xXfxf
==1
)()(
k
kk
xXgxg
,
(6.14)
где
kk
gf ,
– коэффициенты Фурье, определяемые по формулам
,)()(
1
0
2
=
l
k
k
k
dxxXxf
X
f
=
l
k
k
k
dxxXxg
X
g
0
2
)()(
1
,
=
==
l l
kk
l
dxx
l
k
dxxXX
0 0
22
2
2
sin)(
,
,...2,1=k
Тогда в силу линейной независимости собственных функций
k
X
из (6.13) и
(6.14) следует, что
,...2,1,, === kfb
ka
lg
a
kk
k
k
Подставляя найденные значения
kk
ba ,
в (6.12), получим решение задачи
(6.1)-(6.3)
.cossin)(
2
sinsin)(
2
sin),(
0
0
1
+
+
=
=
t
l
ka
dxx
l
k
xf
l
t
l
ka
dxx
l
k
xg
ka
x
l
k
txu
l
l
k
(6.15)
Замечание 6.1. Собственные функции обладают свойством ортогональ-
ности, т.е.
=
=
l
m
mk
mkX
mk
dxxXxX
0
2
.,
,,0
)()(
Замечание 6.2. Если граничные условия заданы в виде
,0),(,0),0( == tlutu
xx
(6. 2’)
т.е. когда оба конца струны свободны, то для определения функции
)(xX
,
необходимо рассматривать следующие краевые условия:
0)(,0)0( =
=
lXX
.
В этом случае, кроме
0
, собственным значением является
0=
и ему со-
ответствует собственная функция
0
0
= constX
.
46
6.2 Неоднородное уравнение, однородные краевые условия
Рассмотрим теперь следующую смешанную задачу:
),(2txwuau
xxtt
+=
,
(6.16)
0),(),0( == tlutu
,
(6.17)
)()0,(),()0,( xgxuxfxu
t
==
.
(6.18)
Решение этой задачи будем искать в области
0,0 = tlxQ
.
Так же, как и в предыдущем пункте, построим решение задачи (6.16)-(6.18)
в виде ряда
==1
)()(),(
k
kk
tTxXtxu
,
(6.19)
где
)(xX
k
– собственная функция, определяемая из задачи Штурма-Лиувилля
(6.7)-(6.8):
,...2,1,,sin)(
2
=
== k
l
k
xxX
kkk
Предположим, что в каждый момент времени t функцию
),( txw
можно
разложить в ряд Фурье
==1
)()(),(
k
kk
xXtwtxw
,
(6.20)
где
)(tw
k
– коэффициенты Фурье:
=
l
k
k
k
dxxXtxw
X
tw
0
2
)(),(
1
)(
,
2
2
l
X
k
=
,
,...2,1=k
Подставляя (6.19) и (6.20) в уравнение (6.16), получим
( )
=
=
=
−
1 1
2
)()()()()()(
k k
kkkkkk
xXtwtTxXatTxX
.
Поскольку
kkk
XX
−=
,
то
( )
=
=
=+
1 1
2
)()()()()(
k k
kkkkkk
xXtwxXtTatT
.
47
Приравнивая коэффициенты при
)(xX
k
справа и слева, получаем, в силу
линейной независимости
)(xX
k
, линейные неоднородные дифференциальные
уравнения второго порядка
)()()(
2
twtTatT
kkkk
=+
,
,...2,1=k
Решая эти обыкновенные дифференциальные уравнения методом вариации
произвольных постоянных, находим
( )
dtaw
a
taBtaAtT
k
t
k
k
kkkkk
)(sin
1
cossin)(
0
−++=
,
RBA
kk
,
,
,...2,1=k
Здесь первые два слагаемых – общее решение однородного уравнения, а последнее – частное решение неоднородного уравнения. Иногда, в зависимости от
вида
)(tw
k
, частное решение неоднородного уравнения удобнее искать мето-
дом неопределенных коэффициентов.
Подставляя найденные функции
)(xX
k
,
)(tT
k
в (6.19), получим решение
уравнения (6.16)
(
( ) )
,)(sin
1
cossinsin),(
0
1
dtaw
a
taBtaAxtxu
k
t
k
k
kkkk
k
k
−+
++=
=
удовлетворяющее краевым условиям (6.17). Подчиняя это решение начальным
условиям (6.18), найдем коэффициенты
kk
BA ,
по аналогии с разделом 6.1.
6.3 Неоднородное уравнение, неоднородные краевые условия
Рассмотрим смешанную задачу вида
),(2txwuau
xxtt
+=
,
(6.21)
)(),(),(),0( ttluttu
==
,
(6.22)
)()0,(),()0,( xgxuxfxu
t
==
,
(6.23)
решение которой будем искать в области
0,0 = tlxQ
.
Задачу (6.21)-(6.23) можно свести к задаче с однородными краевыми условиями. Для этого произведем замену
),(),(),( txWtxVtxu +=
,
(6.24)
где функция
),( txW
выбирается такой, чтобы она удовлетворяла неоднород-
ным краевым условиям
)(),(),(),0( ttlWttW
==
,
(6.25)
а
),( txV
– новая неизвестная функция.
48
Функцию
),( txW
можно искать, например, в виде
)()()(),(
2
tCxtBxtAtxW ++=
,
где функции
)(),(),( tCtBtA
подбираются исходя из условий (6.25). Удовле-
творяем
),( txW
первому из равенств (6.25), находим
)()( ttC
=
.
Удовлетворяя
),( txW
второму из равенств (6.25), получаем
)()()()(
2
ttltBltA
=++
.
Можно взять
0)( =tA
, тогда
l
tt
tB
)()(
)(
−
=
. Следовательно
)(
)()(
),( tx
l
tt
txW
+
−
=
.
(6.26)
Для определения функции
),( txV
, после подстановки (6.24) в (6.21)-(6.23),
с учетом (6.26), получим задачу с однородными краевыми условиями
),(
~
2
txwVaV
xxtt
+=
,
(6.27)
0),(),0( == tlVtV
,
(6.28)
)(
~
)0,(),(
~
)0,( xgxVxfxV
t
==
,
(6.29)
где
),,(),(
~
2
txwWWatxw
ttxx
+−=
),0,()()(
~
xWxfxf −=
)0,()()(
~
xWxgxg
t
−=
.
Построение решения задачи (6.27)-(6.29) описано в пункте 6.2.
6.4 Упражнения
Решить смешанные задачи:
1.
+==
==
=
==
==
.
2
5
cos
2
3
cos,
2
cos
,0
,0,
00
0
2
x
l
x
l
ux
l
u
uu
lxuau
t
t
t
lxx
x
xxtt
49
2.
==
==
=
==
==
.1,
,0
,0,
00
0
2
t
t
t
lx
x
x
x
xxtt
uxu
uu
lxuau
3.
−==
==
=
==
==
.
2
3
sin
2
sin,
2
sin
,0
,0,
00
0
x
l
x
l
ux
l
u
uu
lxuu
t
t
t
lx
x
x
xxtt
4.
==
==
−=+
==
==
.,0
,0
,0,2
00
0
xuu
uu
xuuuu
t
t
t
xx
x
xxttt
5.
=−=
==
−=+
==
==
.0,
,0
,0,2
0
2
0
0
t
t
t
xx
xxttt
uxxu
uu
xuuuu
6.
==
==
+=
==
==
−
.0
,0
,,0,
2
cos
00
0
2
t
t
t
lxx
x
t
xxtt
uu
uu
RAlxx
l
Aeuau
7.
==
==
++=
==
==
.0
,0
,0,sin24
00
0
2
t
t
t
x
x
x
x
xxtt
uu
uu
xxuuu
50
8.
==
==
+=
==
==
.0,2sin
,0
,
00
0
t
t
t
xx
xxtt
uxu
uu
xuu
9.
+==
+==
−+=−
==
==
.sin,3
,,3
,
2
0),(sin42
00
2
2
0
xxuu
ttuu
xxxtuuu
t
t
t
x
x
x
xxttt
10.
==
==
+=
==
==
.0
,0,2
,20,
00
20
t
t
t
xx
xxtt
uu
utu
xuuu
11.
==
==
+=+−
==
==
.2,cos
,,2
,
2
0,cos842
00
2
0
xuxu
tutu
xxexuuu
t
t
t
xx
x
t
txxtt
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]