Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1. Учебное пособие
.pdf
Е.В. Радкевич, О.А. Олейник
УРАВНЕНИЯ
С НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ
ФОРМОЙ
ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС
Часть 1
Учебное пособие
Москва
Ай Пи Ар Медиа
2025
ДК 517.95
У
ББК 22.161.62
Р15
Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова;
Олейник О.А.
зав. кафедрой дифференциальных уравнений (1973–2001)
Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова
Чечкин Г.А.
Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова;
адкевич, Евгений Владимирович.
Р
Авторы:
Радкевич Е.В.
проф. кафедры дифференциальных уравнений
— д-р физ.-мат. наук (1954), проф. (1955–2001),
— проф. кафедры дифференциальных уравнений
Сакбаев В.Ж.
вед. науч. сотр. ИПМ РАН имени М.В. Келдыша
— д-р физ.-мат. наук,
Рецензенты:
— д-р физ.-мат. наук, проф.,
Р15 Уравнения с неотрицательной характеристической формой.
Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1 : учебное пособие / Е.В. Радкевич,
О.А. Олейник. — Москва : Ай Пи Ар Медиа, 2025. — 219 с. — Текст :
электронный.
SBN 978-5-4497-4286-5 (ч. 1)
I
ISBN 978-5-4497-4285-8
Учебное пособие посвящено общей теории уравнений второго порядка
с неотрицательной характеристической формой. В первой части книги
рассмотрена первая краевая задача, а также приведены сведения о локальной
гладкости слабых решений и гипоэллиптичности дифференциальных уравнений
второго порядка.
Подготовлено с учетом требований Федерального государственного
образовательного стандарта высшего образования.
Учебное пособие предназначено для математиков, физиков, инженеров,
а также научных сотрудников, преподавателей вузов, аспирантов и студентов,
специализирующихся по математическому анализу, теории функций и уравнениям
математической физики.
Учебное электронное издание
ISBN 978-5-4497-4286-5 (ч. 1) © Радкевич Е.В., Олейник О.А., 2025
ISBN 978-5-4497-4285-8 © ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа», 2025
Оглавление
Введение
1 Первая краевая задача 19
1 Формулировка первой краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Априорные оценки в пространствах Lp(Ω) . . . . . . . . . . . . 25
3 Lp(Ω)− разрешимость первой краевой задачи . . . . . . . . . 28
4 Слабое решение первой краевой задачи . . . . . . . . . . . . . 30
5 Метод эллиптической регуляризации . . . . . . . . . . . . . . 33
6 Единственность слабого решения . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7 Лемма о неотрицательных
квадратичных формах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8 О гладкости слабых решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Первая краевая задача
9
(пространства С.Л.Соболева) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2 О локальной гладкости слабых решений
1
Пространства Hs .
2 Некоторые свойства
псевдодифференциальных операторов .
3
Леммы о коммутаторах
4
Необходимое условие гипоэллиптичности
5
Достаточные условия гипоэллиптичности
6
Априорные оценки (операторы
7
Априорные оценки (общий случай) . . . . . . . . . . . . . . . 177
8
Негладкие области (метод М.В. Келдыша) . . . . . . . . . . . .194
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Х¨ермандера) . . . . . . . . . . 157
. . . . . . . . . . . . . 123
. . . . . . . . . . . . 138
. . . . . . . . . . . . 141
112
4
Литература
200
Памяти моего учителя
Ольги Арсеньевны Олейник
3
Основная часть этой книги содержится в публикации под тем же назва-
нием в серии Итоги науки и техники (ВИНИТИ, 1971), в дополненном ее
издании Американским Математическим Обществом (1973) и в совместных
работах с О. А. Олейник, написанных в 1974–1978 годах.
Цель этих работ — разработать и представить основание общей теории
уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой. За прошедшие годы идеи и методы, на которых основаны эти публикации, нашли многочисленные применения в математической физике и
других областях. В особенности следует отметить приложение этих методов
в теории пограничного слоя и интерес к ним в последние годы в финансовой математике (см. [27]) и гидродинамике (см. [224, 225]), что показало —
интерес к изложенным в этих статьях методам не исчерпан. Последнее привело к мысли об их переиздании, приуроченном к юбилею О. А. Олейник.
Обнаруженные во всех этих примерах факты потенциально имеют широкий круг приложений, но поскольку изложены лишь в специальной литературе, то включение новых добавлений по результатам совместных работ с
О. А. Олейник и прежде всего метода введения параметра для исследования
эволюционных уравнений (см. [98]) и метода аналитичности решений линейных уравнений с частными производными (см. [94]) было оправданным.
Эти добавления рассчитаны на любознательного читателя, и некоторые из
них могут составить основу специальных курсов.
Введение
Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой
представляют собой новую ветвь теории дифференциальных уравнений в
частных производных, возникшую в конце 20-х годов и особенно интенсивно
развивающуюся в последнее время.
Уравнение вида
L(u) ≡ akj(x)u
называется уравнением второго порядка с неотрицательной характеристической формой на множестве G, если в любой точке x, принадлежащей G,
выполняется соотношение akj(x)ξkξj≥ 0 для всякого вектора ξ = (ξ1, . . . , ξm).
В уравнении (1) предполагается, что по повторяющимся индексам происходит суммирование от 1 до m и x = (x1, . . . , xm). Такие уравнения также
иногда называются вырождающимися эллиптическими уравнениями или
эллиптико-параболическими уравнениями.
Этот класс уравнений включает уравнения эллиптического и параболического типов, уравнения первого порядка, ультрапараболические уравнения, уравнения броуновского движения и другие.
Цель этой книги — разработать и представить основания общей теории
уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой.
Специальные классы уравнений вида (1), не совпадающих с хорошо изученными уравнениями эллиптического и параболического типов, изучаются
xkx
+ bk(x)u
j
+ c(x)u = f(x) (1)
x
k
4
Оглавление 5
уже давно, в частности, в статье Пиконе [223], опубликованной 60 лет тому
назад.
Мемуары Трикоми [247] так же, как и последующие исследования уравнений смешанного типа, привлекли интерес к изучению эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области, т.е. уравнений вида (1) с тем
условием, что akj(x)ξkξj> 0 при ξ 6= 0 в точках области Ω и akj(x)ξkξj≥ 0
для всех ξ в точках ее границы.
Статья М. В. Келдыша [52], вышедшая в 1951 г., положившая начало
целому ряду статей, сыграла важную роль в развитии этой теории. Именно
в этой статье Келдыш впервые пролил свет на тот факт, что в случае эллиптических уравнений, вырождающихся на границе, при некоторых предположениях часть границы может быть свободна от задания граничных
условий. Многие работы, продолжающие исследования, начатые в статье
Келдыша, были посвящены изучению краевых задач для эллиптических
уравнений произвольного порядка, вырождающихся на границе. В этих исследованиях применялись различные методы, используемые ранее в теории
эллиптических уравнений и других областях теории уравнений с частными производными (обзор некоторых из этих статей можно найти в книге [117]). В связи с методами функционального анализа, применяемыми к
изучению эллиптических уравнений, вырождающихся на границе, возникла теория функциональных пространств с весовыми нормами, для которых
были получены теоремы вложения, аналогичные теоремам вложения Соболева (см. [57, 70, 11] и др.). Недавно появились исследования псевдодифференциальных уравнений, вырождающихся на подмногообразиях, лежащих
внутри области или на ее границе (эта ситуация рассматривается в статьях
[33, 62, 63, 12, 13, 14] и др.). Методы теории псевдодифференциальных уравнений во многих случаях привели к почти определенным результатам для
эллиптических уравнений, вырождающихся на границе, и, в частности, к
значительному продвижению в изучении классической проблемы Пуанкаре
о косой производной (см. [33, 62, 63]).
Мы изучим общие уравнения вида (1), не налагая никаких ограничений
на множество точек x, в которых характеристическая форма akj(x)ξkξjможет становиться равной нулю при ξ 6= 0. Теория, развитая в этой книге,
содержит, в частности, результаты для эллиптических уравнений второго
порядка, вырождающихся на границе.
Статья [166], опубликованная в 1956 г., явилась важным шагом к развитию общей теории уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой. В этой статье краевые задачи, аналогичные задачам
Дирихле и Неймана для эллиптических уравнений, были поставлены для
общих уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической
формой. Первая краевая задача (или задача Дирихле) для уравнения (1) в
области Ω с границей Σ была сформулирована следующим образом: найти
функцию u(x) такую, что
L(u) = f в Ω (2)
5
6 Оглавление
и
u = g на Σ2∪ Σ3, (3)
где f и g — функции, определенные на Ω и на Σ2∪Σ3соответственно, причем последнее является подмножеством Σ, определенным ниже. Вся граница Σ области Ω разделена на множества Σ0, Σ1, Σ2, Σ3. Предположим, что
¯n = (n1, . . . , nm) — нормальный вектор к границе Σ, обращенный внутрь
области. Обозначим Σ3нехарактеристическую часть границы Σ, т.е. Σ3—
множество точек Σ, в которых выполняется условие akjnknj> 0. На мно-
жестве Σ \Σ3, где akjnknj= 0, изучается функция Фикеры b ≡ (bk−a
kj
x
)nk.
j
Обозначим Σ0, Σ1, Σ2подмножества Σ \ Σ3, где b = 0, b > 0 и b < 0 соответственно. (В случае эллиптических уравнений, вырождающихся только
на границе Σ, задача (2), (3) совпадает с проблемой Келдыша [52].)
Отметим, что разделение границы Σ на части Σ0, Σ1, Σ2, Σ3инвариант-
но относительно замены независимых переменных.
При рассмотрении задачи (2), (3) возникают следующие вопросы: при
каких условиях на коэффициенты уравнения и границу области решение
задачи (2), (3) существует, единственно и обладает определенной степенью
гладкости? (Простые примеры показывают, что задачи (2), (3) могут не
иметь гладких решений, см. главу 1, §8.)
В статьях Фикеры [166, 167] были получены априорные оценки для гладких решений (2), (3) в пространствах Lp(Ω). В частности, было показано,
что если c < 0 и c∗< 0 в Ω∪Σ, то для всех функций u из класса C
(2)
(Ω∪Σ),
удовлетворяющих условию u = 0 на Σ2∪ Σ3, и для всех p ≥ 1 справедлива
оценка
p
kuk
Lp(Ω)
≤
min[−c∗+ (1 − p)c]
kL(u)k
. (4)
Lp(Ω)
Здесь c∗= a
kj
xkx
j
k
−b
+c, и через C
x
k
(k)
(Ω∪Σ) мы обозначили класс функций,
производные которых до порядка k включительно непрерывны в Ω ∪Σ (см.
главу 1, §2).
Используя оценку (4) и теорему о представлении линейного функционала в пространстве Lp(Ω), Фикера получил теорему существования для
слабого решения задачи (2), (3) в пространстве Lp(Ω).
Слабое решение задачи (2), (3) при g = 0 определяется как функция u(x)
в пространстве Lp(Ω), которая для любой функции v(x) из класса C
(2)
(Ω ∪
Σ), равной нулю на Σ3∪ Σ1, удовлетворяет интегральному тождеству
Z
uL∗(v) dx =
Ω
Z
vf dx. (5)
Ω
Здесь
L∗(v) ≡ akjv
xkx
+ b∗kv
j
+ c∗v, b∗k≡ 2a
x
k
kj
x
j
− b
k
(см. главу 1, §3).
6
Оглавление 7
Фикера также доказал существование решений задачи (2), (3) в гиль-
бертовом пространстве H со скалярным произведением
Z
Z
(u, v)H=
Ω
(akju
v
x
j
k
+ uv) dx +
Σ1∪Σ
x
|b|uv dσ
2
Доказательство основано на теореме представления Рисса.
Теорему о существовании слабых решений задачи (2), (3) в классах H
и Lp(Ω) или в классе ограниченных функций можно доказать методом эллиптической регуляризации (см. [74, 76] и главу 1, §5). С помощью этой
процедуры слабое решение задачи (2), (3) для гладких f и g получается
как предел при ε → 0 решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений
ε∆u + L(u) = f в Ω, ε = const > 0, (6)
с граничным условием
u = g1на Σ, (7)
где g1— гладкая функция, совпадающая с g на Σ2∪ Σ3. Для того, чтобы
доказать существование предела при ε → 0 решений задачи (6), (7), Фикера
доказал равномерные (по ε) оценки для норм этих решений в подходящем
пространстве, а также для производных этих решений на границе области.
В своих статьях Фикера поставил задачу единственности слабых решений уравнений (2), (3), построенных в пространствах Lp(Ω) и H.
Вопросы о единственности слабых решений системы (2), (3) впервые были исследованы в [74] (см. также [76] и главу 1, §6). Теоремы единственности для таких обобщенных решений были доказаны методом эллиптической
регуляризации. При достаточно общих предположениях на коэффициенты
уравнения (2) и на границу Σ области Ω было доказано, что слабое решение
в смысле (5) единственно в классе Lp(Ω) при p ≥ 3. При этом предполагается, что граница Γ множества Σ2в Σ имеет (m − 1)-мерную меру нуль.
В главе 1, §6 приведены примеры задач (2), (3), для которых все предположения теоремы единственности слабых решений в классе Lp(Ω) для
p ≥ 3 выполняются, но единственность не имеет места в классе Lp(Ω) при
p < 3. Эти примеры показывают, что фундаментальная теорема главы 1, §6
о единственности слабых решений является, в некотором смысле, наилучшим возможным результатом.
Филлипс и Сарасон [220] привели пример задачи (2), (3), в котором Γ
имеет положительную (m −1)-мерную меру, и слабое решение этой задачи
не единственно даже в классе ограниченных измеримых функций.
В [220] они также доказали теорему единственности для слабых решений задачи (2), (3) в пространстве H, сведя (2) к симметричной системе и
применив теорию продолжения симметрических операторов. Аналогичная
теорема доказана в главе 1, §6. В этой теореме на слабые решения наложены
более слабые требования, чем существование конечной нормы в пространстве H. Однако предполагается, что коэффициенты производных самого
высокого порядка в (2) можно продолжить в окрестность Σ2с сохранением
7
8 Оглавление
неотрицательности характеристической формы, а также требуется наличие
ограниченных производных второго порядка. В этой теореме условие продолжимости коэффициентов можно заменить требованием, чтобы слабое
решение принимало данные значения на Σ2в некотором слабом смысле.
Теоремы единственности для решений задачи (2), (3) доказаны также
для кусочно-гладких областей.
Вопрос существования гладких решений задачи (2), (3) для специальных
классов уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической
формой рассматривался в диссертации А. М. Ильина (см. [47, 48, 49]). Он
доказал, что внутри этого класса для существования гладкого решения задачи (2), (3) коэффициенты (2) и их производные должны удовлетворять
некоторым неравенствам.
В [75, 76] приведены достаточно общие достаточные условия существования гладкого решения (2), (3). В этих статьях также доказаны теоремы
о гладкости слабых решений этой задачи. Доказательства этих теорем основаны на лемме (см. [76], а также главу 1, §7).
Предположим, что akj(x)ξkξj≥ 0 для всех x из Rmи всех ξ = (ξ1, . . . , ξm)
и предположим, что akj(x) принадлежат классу C
функция v ∈ C
(Rm) удовлетворяет неравенству
(2)
(Rm). Тогда любая
(2)
kj
(a
v
x
j
ρ
)2≤ M akjv
xkx
xkx
v
, (8)
xjx
s
s
где постоянная M зависит только от вторых производных akj. Обозначим
через C
(Ω) класс функций, имеющих производные до порядка k включи-
(k)
тельно, ограниченные в Ω. Эта лемма также имеет важные приложения при
изучении локальной гладкости слабых решений уравнения (1) (см. главу 2,
§6).
Например, достаточным условием существования решения задачи (2),
(3) в классе C
функция f принадлежали классу C
(Ω) является условие, чтобы коэффициенты уравнения и
(s)
(Ω), граница области Ω была доста-
(s)
точно гладкой, выполнялось неравенство c ≤ −c0< 0, где c0— число,
зависящее от s, и чтобы коэффициенты akjможно было продолжить в
окрестность Σ0∪ Σ1∪ Σ2таким образом, чтобы в этой окрестности a
принадлежали классу C
и характеристическая форма akjξkξjбыла неот-
(s)
kj
рицательна.
Кроме того, предполагается, что множества¯Σ3,¯Σ2и Σ0∪ Σ1не имеют
общих точек (см. [75, 76, 196]). Вопрос о существовании гладкого решения
задачи (2), (3) (без предположения о возможности продолжения коэффициентов akjчерез границу с указанными свойствами) рассматривался в статье
Кона и Ниренберга [193] (см. главу 2, §9). Они получили условия существования решений задачи (2), (3) в пространствах Соболева W
N
(Ω). В их
2
статье предполагается, что пересечение Σ0∪ Σ1и Σ2∪ Σ3пусто, что в Ω
коэффициент c ≤ −c0< 0 и на Σ2имеем b ≤ −b0< 0, где постоянные c
и b0достаточно велики. Для простоты предполагается, что коэффициенты
уравнения (2), граница Ω и функции f и g бесконечно дифференцируемы.
В указанной статье решение задачи (2), (3) также получено методом эл-
0
8
Оглавление 9
липтической регуляризации. Таким образом, в окрестности Σ0∪ Σ1левая
сторона уравнения (2) дополнена эллиптическим оператором, умноженным
на ε, порядок которого зависит от N , а вне окрестности Σ0∪ Σ1в Ω она
дополнена эллиптическим оператором второго порядка, умноженным на ε.
Априорные оценки, равномерные по параметру ε, для решений соответствующей задачи для эллиптического уравнения получены в пространстве
N
W
(Ω). Мы докажем аналогичные теоремы другими средствами в главе 2,
2
§8, где даны условия, при которых решение задачи (2), (3) принадлежит
классу C
(Ω) в случае, когда akjне продолжаются через границу с ука-
(k)
занными выше свойствами. Показано, что в этом случае решение задачи
(2), (3) можно получить посредством регуляризации (2) с помощью эллиптического оператора второго порядка с малым параметром ε. Отметим, что
метод эллиптической и параболической регуляризации широко использовался Лионсом (см., например, [203]), а также при изучении разрывных
решений нелинейных гиперболических уравнений (см. [79], метод исчезающей вязкости). Вторая краевая задача для (1), аналогичная задаче Неймана
для эллиптических уравнений, изучалась в [127, 109].
Большой интерес представляет изучение локальной гладкости решений
задачи (2), (3) и связанный с ней вопрос о гипоэллиптичности уравнений
второго порядка. Понятие гипоэллиптичности оператора было введено в
книге Шварца [234] (см. также [182, 183]).
Линейный дифференциальный оператор P с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, определенный в области Ω, называется гипоэллиптическим в Ω, если для любой обобщенной функции u(x) в D0(Ω) и
любой области Ω1, содержащейся в Ω, из того, что Pu бесконечно дифференцируемо в Ω1, следует, что u(x) также бесконечно дифференцируемо
в Ω1.
Для уравнений и систем с постоянными коэффициентами необходимые
и достаточные условия гипоэллиптичности были найдены в [182, 183]. Для
дифференциальных уравнений и систем с переменными коэффициентами,
а также для псевдодифференциальных операторов известны различные достаточные условия гипоэллиптичности.
Л. Х¨ермандер доказал в [187] что гипоэллиптические уравнения второго порядка имеют неотрицательную характеристическую форму в каждой
точке области Ω, возможно, после умножения на −1 (см. также главу 2, §3).
В [187] Х¨ермандер приводит достаточное условие гипоэллиптичности
уравнений второго порядка вида
r
X
P u ≡
j=1
2
X
u + iX0u + cu = f, (9)
j
где Xj, j = 0, 1, . . . , r, — дифференциальные операторы первого порядка с
бесконечно дифференцируемыми действительными коэффициентами
m
Xj≡
X
k=1
k
a
(x)Dk, Dk= −i
j
9
∂
∂x
.
k
10 Оглавление
Условие Х¨ермандера для оператора (9) — это условие на алгебру Ли операторов Xj, j = 0, 1, . . . , r. Для гипоэллиптичности оператора (9) в области Ω
достаточно, чтобы в каждой точке Ω среди операторов Xj, j = 0, 1, . . . , r, и
коммутаторов, порожденных этими операторами, существовало m линейно
независимых операторов. Это условие Х¨ермандера является также необходимым условием гипоэллиптичности оператора P в области Ω, если ограничиться классом операторов вида (9), для которых в каждой точке x среди
операторов Xjи коммутаторов, порожденных ими, существует в точности
µ линейно независимых операторов, где µ ≤ m не зависит от x. В этом
случае говорят, что система {X0, . . . , Xr} имеет ранг µ в Ω. В доказательстве Х¨ермандера используются теория алгебр Ли и некоторые специальные
функциональные пространства.
Другое доказательство теоремы Х¨ермандера о гипоэллиптичности оператора (9) приведено в [111] и в более общей теореме в главе 2, §5. Это доказательство основано на теории псевдодифференциальных операторов. С
помощью псевдодифференциальных операторов найдены априорные оценки решений уравнения (9) в норме пространств Hs, и из них следует гипоэллиптичность P , если использовать теорему, доказанную в главе 2, §4. Из
априорных оценок, установленных в главе 2, §5, также следует гладкость
обобщенного решения (9).
В главе 2, §5 мы также вводим и рассматриваем класс гипоэллиптических операторов вида (9), для которых условие Х¨ермандера может нарушаться на некотором множестве M точек из Ω. Доказано, что оператор P
гипоэллиптичен в Ω, если
1) в Ω\M система Xj, j = 0, 1, . . . , r, имеет ранг m, где M — ограниченное
множество точек, лежащих на конечном числе (m−1)-мерных гладких
многообразий M с замыканием в Ω, и
2) в каждой точке x из M или
m
X
k
a
Φ
6= 0
x
j
k
k=1
для некоторого j = 1, . . . , r, или, в случае
r
X
j=1
m
X
k=1
a
k
Φ
= 0,
x
j
k
выполняется условие
r
X
j=1
2
−X
Φ + iX0Φ 6= 0,
j
где Φ(x1, . . . , xm) = 0 — уравнение для M в окрестности точки x и
grad Φ 6= 0.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]