Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1. Учебное пособие
.pdf
Оглавление 11
В случае, когда множество M состоит из одной точки x0, оператор
(9) гипоэллиптичен в Ω, если в этой точке один из коэффициентов a
k
j
k = 1, . . . , m, j = 0, . . . , r, отличен от нуля. Некоторые гипоэллиптические
операторы вида (9), для которых условие Х¨ермандера нарушается, были
найдены также В. С. Федием [128].
Не всякое уравнение (1) с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами можно привести к виду (9). Гильберт (см. [178]) построил пример
неотрицательного многочлена P(x, y) от двух независимых переменных x
и y шестой степени, который не представляется в виде конечной суммы
квадратов многочленов. Легко показать, что многочлен вида
L(u) ≡ z6P
x
y
,
z
∆u + T u,
z
где T — любой оператор первого порядка с бесконечно дифференцируемыми
коэффициентами и ∆u = uxx+ uyy+ uzz, не представим в виде (9) в любой
окрестности начала координат.
Для общих уравнений второго порядка вида (1) с неотрицательной характеристической формой условие гипоэллиптичности приведено в [112] и
более общей теореме из главы 2, §6.
Пусть L0(x, ξ) = akj(x)ξkξj. Обозначим L0псевдодифференциальный
оператор с символом L0(x, ξ) (см. главу 2, §2). Для любого псевдодифференциального оператора A обозначим через A
(j)
и A
псевдодифференци-
(j)
альные операторы, соответствующие символам ∂A(x, ξ) и DjA(x, ξ) соответственно, где A(x, ξ) — символ оператора A и Dj= −i∂/∂xj. Запишем
оператор L(u) в виде
,
L(u) ≡ −Dj(akjDku) + iQu + cu,
где Qu ≡ (bk− a
где Q0= Q, Qi= L
kj
xj)Dku
. Рассмотрим систему операторов {Q0, Q1, . . . , Q2m},
0(j)
при j = 1, . . . , m, Qj= E−1L
0
(j−m)
при j = m +
1, . . . , 2m, E−1— псевдодифференциальный оператор с символом φ(x)(1 +
−1/2
|ξ|2)
и φ(x) ∈ C
αl= 0, . . . , 2m при l = 1, . . . , k, положим |I| = Σ
∞
(Ω). Для любого мультииндекса I = (α1, . . . , αk), где
0
k
λl, где λl= 1 при αl=
1
1, . . . , 2m и λl= 2 при αl= 0. С каждым мультииндексом I свяжем оператор
QI= ad Q
···ad Q
α
l
α
k−l
Q
,
α
k
где ad AB = AB − BA для любых операторов A и B.
Рассмотрим операторы QI, порожденные системой операторов {Q0, . . . , Q2m}.
Оператор QIможно представить в виде QI= Q
ет порядок не более нулевого, а Q
символом q
0
(x, ξ). Будем говорить, что система операторов на компактном
I
0
— псевдодифференциальный оператор с
I
0
+ TI, где оператор TIиме-
I
множестве K имеет ранг m, если существует число R(K) такое, что
X
1 +
|I|≤R(K)
0
|q
(x, ξ)|2≥ C1(1 + |ξ|2), C1= const > 0 (10)
I
11
12 Оглавление
для всех x ∈ K и всех ξ ∈ Rm.
Если ранг системы операторов {Q0, . . . , Q2m} равен m на любом компактном множестве K, принадлежащем Ω, то оператор L вида (1) гипоэллиптичен в Ω. Оператор L также гипоэллиптичен в Ω, если система операторов {Q0, . . . , Q2m} имеет ранг m на любом компактном множестве K в
Ω \M , а в точках M
akjΦ
Φ
k
+ |akjΦ
x
j
x
xkx
+ bkΦ
j
x
k
| > 0.
(множество M обладает свойствами, указанными выше). В этом случае, как
и в аналогичной теореме для операторов вида (9), область Ω1, фигурирующая в определении гипоэллиптичности, либо содержит множество M , либо
не пересекает его. При этих условиях уравнение (1) обладает свойством локальной гладкости обобщенных решений, и можно найти априорные оценки
в пространствах Hs, аналогичные известным внутренним оценкам Шаудера [232]. Доказательства основаны на лемме (см. [112], а также главу 2, § 3),
согласно которой для псевдодифференциальных операторов P , Q порядка
единица, удовлетворяющих условиям a), b) (формулы (2.2.2), (2.2.3)), справедлива априорная оценка для коммутатора
k[P, Q]uk
2
≤ C(s)kP uk
1
s−
2
2
+ kQuk
s
2
+ kP∗uk
s
2
+ kQ∗uk
s
2
+ kuk
s
2
s
∀s ∈ R1,
и любой u ∈ S.
Если множество M состоит из одной точки, то для гипоэллиптичности
(1) в Ω достаточно, чтобы в этой точке выполнялось неравенство
m
X
ajj+ |bj| > 0.
j=1
Изучение гипоэллиптичности операторов вида (1) также проводится на основе теории псевдодифференциальных операторов в главе 2, §6. В главе
4 получены обобщения этих результатов на случай так называемой «гипоэллиптичности с потерей одной производной», когда не выполнено условие (10).
Для уравнений (1) и (9) с аналитическими коэффициентами известны
необходимые и достаточные условия гипоэллиптичности (см. [162, 92] и главу 2, §8).
Легко проверить, что уравнение броуновского движения удовлетворяет сформулированным выше условиям гипоэллиптичности. Классы уравнений, аналогичных уравнению броуновского движения, рассматривались
в статьях Т. Г. Генчева [25], Л. Х¨ермандера [187], А. М. Ильина [47] и др.
Фундаментальные решения таких уравнений были построены в [187] и [47].
Для гипоэллиптических уравнений, удовлетворяющих условию Х¨ермандера
или условию (10) решение первой краевой задачи в негладкой области можно построить с помощью процедуры, аналогичной процедуре, использованной М. В. Келдышем [52] для эллиптических уравнений второго порядка,
12
Оглавление 13
вырождающихся на границе Ω (см. главу 2, §7). В этой процедуре область
Ω аппроксимируется областями Ω1, . . . , Ωnтакими, что Ωn⊂ Ω
n+1
, непрерывная граничная функция g продолжается внутрь области Ω, и в Ωjрассматривается решение u
ε
эллиптического уравнения
j
ε∆u + L(u) = f
с краевым условием u
ε
= g на границе Ωj. На основе априорных оценок,
j
доказанных в главе 2, §§ 5 и 6, установлено, что во внутренних точках
последовательность u
ε
(x) → u(x) при ε → 0 и j → ∞. Непрерывность
j
решений u(x) задачи (2), (3) на границе доказана посредством барьеров.
Также рассматриваются качественные свойства решений уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Принцип максимума для гладких решений уравнения (1) был доказан Фикерой в [166], и
тот же самый принцип для обобщенных решений доказан в [74] и в главе 1,
§5 (см. также главу 1, §1). Отметим разницу между принципом максимума,
доказанным в главе 1, §1 и теоремами о принципе максимума, доказанными в [166] и в главе 1, §2. Изучение сильного принципа максимума для
общих уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической
формой было предпринято в статьях К. Пуччи [228, 229] и А. Д. Александрова [1, 2, 3, 4, 5], а для уравнений вида (9) — в статьях Бони [157, 158, 159]
(см. главу ??, §1).
В каждой точке x из G рассмотрим характеристические векторы, соответствующие положительным характеристическим значениям матрицы
kakjk, и обозначим через E(x) линейное пространство, натянутое на эти век-
торы. Кривая l называется линией эллиптичности для уравнения (1), если в
окрестности любой ее точки существует векторное поле¯Y = (Y1(x), . . . , Ym(x))
такое, что Yj∈ C
(1)
, в каждой точке x этой окрестности вектор (Y1(x), . . . , Ym(x))
лежит в плоскости E(x), akj(x)Yk(x)Yj(x) ≥ const > 0, и кривая l является траекторией векторного поля¯Y . Множество M называется множеством
эллиптической связности для уравнения (1), если любые две точки M мож-
но соединить кривой, состоящей из конечного числа линий эллиптичности,
и если не существует множества, содержащего в качестве собственного подмножества M и обладающего тем же самым свойством. Если вся область
Ω является множеством эллиптической связности, то уравнение (1) называется эллиптически связным в Ω. Нетрудно найти примеры уравнений,
которые эллиптически связны, но не эллиптичны в Ω.
Для уравнения (1) сильный принцип максимума имеет следующий вид
(см. [1, 2, 3, 4, 5] и главу ??, §1): предположим, что L(u) ≥ 0 в области Ω
и что коэффициент c(x) и M = supΩu удовлетворяют неравенству Mc ≤ 0
в Ω. Если u(x0) = M для некоторого x0∈ Ω, то на множестве эллиптиче-
ской связности, содержащем точку x0, или u ≡ 0, или u ≡ M и c ≡ 0. Для
уравнения (1) Александров [1, 2, 3, 4, 5] также доказал теорему, аналогичную сильному принципу максимума для параболических уравнений. Для
13
14 Оглавление
уравнений вида
r
X
P u = −
j=1
2
X
u + iX0u + cu = f
j
теоремы о сильном принципе максимума были доказаны Бони [157, 158,
159]. Пусть¯Xj(x) — вектор (a
из Ω, в которых u(x) = M =
1
(x), . . . , a
j
P
u. Предположим, что c ≤ 0 и M ≥ 0.
Ω
В [157] доказано, что если P (u) ≥ 0, c ≡ 0, u ∈ C
m
(x)) и пусть F — множество точек
j
(2)
(Ω) и траектория x(t)
векторного поля¯Xj(x), j = 1, . . . , r, содержит точку x(t0) множества F , то
вся траектория x(t) принадлежит F . В случае, когда система операторов
{X1, . . . , Xr} имеет ранг m в Ω, сильный принцип максимума для такого
уравнения имеет тот же вид, что и для уравнения Лапласа: если P (u) ≥
0, c ≡ 0 в Ω, u ∈ C
(2)
(Ω) и u(x) принимает наибольшее положительное
значение M в точке x0, принадлежащей Ω, то u ≡ M в Ω.
В случае, когда ранг системы операторов {X1, . . . , Xr} равен µ < M в
каждой точке Ω, сильный принцип максимума для уравнения (9) имеет тот
же вид, что и для теплового уравнения. А именно, предположим, что P (u) ≥
0 в Ω, u ∈ C
(2)
(Ω), и что u(x) принимает свое наибольшее положительное
значение M в точке x0, принадлежащей Ω. Тогда u ≡ M в каждой точке из
Ω со следующими свойствами:
1) ее можно соединить с точкой x0некоторой кривой, состоящей из конечного числа отрезков траекторий векторных полей¯Xj(x), j = 0, 1, . . . , r.
2) Когда эта кривая выходит из точки x0, любую часть траектории поля¯X0(x), лежащей на кривой, нужно пройти в направлении вектора
¯
X0(x).
В статьях Бони [157, 158, 159] доказаны теоремы единственности для
задачи Коши для уравнений вида (9) с аналитическими коэффициентами,
а также теоремы Харнака. Александров [1, 2, 3, 4, 5] изучал множество
уровня u = M функции u(x), удовлетворяющей в области Ω соотношению
L(u) ≤ 0 при условии, что u ≥ M во всех точках рассматриваемой области.
Большое число работ посвящено изучению вырождающихся параболических уравнений вида
ut= akj(x, t)u
xkx
j
+ bk(x, t)u
+ c(x, t)u + f(x, t), (11)
x
k
где akj(x, t)ξkξj≥ 0 во всех точках рассматриваемой области. Очевидно,
(11) является частным случаем (1). Задача Коши для (1) изучалась различными методами в ряде статей (см., например, [75, 118] и др.). Отметим,
что задачу Коши для (11) с начальными условиями при t = 0 можно также
изучать методами глав 1 и 2 (см. [75]).
В связи с изучением задачи Трикоми для уравнений смешанного типа
возник интерес к изучению гиперболических уравнений, вырождающихся
на границе. В [71, 72] задача Коши изучалась для уравнений второго порядка таких, что в каждой точке рассматриваемой области характеристическая форма имеет одно отрицательное характеристическое значение, а все
14
Оглавление 15
остальные положительны или равны нулю. Задачу Коши для таких уравнений можно изучать методами, аналогичными методам, использованным
при изучении уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой. В [71, 72] и в главе ??, § 2 методом гиперболической
регуляризации получено решение задачи Коши для уравнения
utt= L(u) + f (12)
с начальными условиями
где L(u) ≡ akju
xkx
+ bku
j
u|
= ϕ(x), ut|
t=0
+ cu — оператор второго порядка с неотрица-
x
k
= ψ(x), (13)
t=0
тельной характеристической формой и с коэффициентами, зависящими от
x и t. Неравенство (8) играет важную роль в нахождении априорных оценок
для решений этой задачи. В частности, было показано (см. главу ??, § 2),
что задача Коши (12), (13) имеет единственное решение в классе W
s
, и что
2
справедлива энергетическая оценка, если коэффициенты в (12) и функции
f, φ и ψ достаточно гладки, и либо
αt(bkξk)2≤ Aakjξkξj+ a
kj
ξkξj, (14)
t
либо
α(T −t)(bkξk)2≤ Aakjξkξj− a
kj
ξkξj+
t
akjξkξ
α(T −t)
j
(15)
в рассматриваемой области {0 ≤ t ≤ T } для любого ξ. Здесь α и A — положительные постоянные с зависящей от степени гладкостью коэффициентов
(12), функции f и начальных условий (13).
Условие (14) содержит в качестве частных случаев многие критерии
корректности задачи Коши, известные ранее только для гиперболических
уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, вырождающихся на линии, на которой заданы начальные условия (см. [7, 154, 226]
и др.). Обзор некоторых из этих результатов можно найти в [117].
Некоторые необходимые условия корректности задачи Коши (12), (13)
приведены в [46, 102] (см. также главу ??, § 3).
Многие задачи гидродинамики (теории граничного слоя), теории фильтрации, физические задачи, связанные с изучением броуновского движения, задачи теории вероятностей (марковские процессы) и задачи из других областей приводят к уравнениям второго порядка с неотрицательной
характеристической формой. Изучение квазилинейных и нелинейных уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой (см.
[126, 133, 73, 79, 21]) важно для приложений в газовой динамике и теории
граничного слоя, а также в других разделах механики.
Задача (2), (3) также изучалась методами теории вероятностей, основанными на стохастических уравнениях К. Ито. В этой ситуации обобщенное
решение задачи (2), (3) рассматривалось в классе ограниченных измеримых функций и определялось в терминах теории марковских процессов (см.
[129, 130, 131, 132, 133] и др.).
15
16 Оглавление
В последней главе (глава 6) рассматриваются вопросы единственности
решений краевых задач для эволюционных уравнений в неограниченных
областях в классе растущих функций, вопрос об априорных оценках специального вида, которые можно назвать аналогом энергетических оценок,
выражающих принцип Сен-Венана в теории упругости, а также вопросы об
оценках, характеризующих поведение решения при |x| → ∞ и t → 0. Частным случаем таких оценок являются оценки функций типа Грина и фундаментального решения. Эти вопросы изучаются с помощью метода введения
параметра, который был разработан и применялся ранее для исследования
параболических систем в [97, 98, 100]. В этой статье этот метод получит
свое дальнейшее развитие.
Имеется много интересных нерешенных проблем, связанных с уравнениями второго порядка с неотрицательной характеристической формой, а
также с аналогичными уравнениями высших порядков. (Отметим, что краевая задача (2), (3) не изучена полностью даже для простейшего уравнения
теплопереноса ut= uxx. Этот вопрос детально обсуждается в [193].) Среди нерешенных проблем отметим вопрос о спектре задачи (2), (3). Для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе, вопросы, касающиеся
характера спектра первой краевой задачи, рассматривались в [67, 240, 241].
Представляет интерес дальнейшее изучение вопросов, касающихся условий гладкости и негладкости для обобщенных решений задачи (2), (3). Было
бы интересно изучить природу особенностей негладких обобщенных решений задачи (2), (3) и прояснить условия, при которых они возникают.
В связи с проблемами геометрии в целом интересно описать класс уравнений вида (1) с аналитическими коэффициентами и аналитической функцией f, для которых все достаточно гладкие решения аналитичны (некоторые результаты по этому вопросу можно найти в [94]).
Проблема описания всех корректных краевых задач для (1) не решена. Для эллиптических дифференциальных и псевдодифференциальных
уравнений, вырождающихся только на границе, эта проблема изучалась
в [26, 12, 13, 14]. Недавно был построен параметрикс, т.е. найдена главная
часть функции Грина, для вырождающихся квазиэллиптических уравнений (не только второго порядка); см., например, [12, 13, 14]. В этих статьях были найдены условия нормальной разрешимости краевых задач для
указанных уравнений, аналогичные известным условиям нормальной разрешимости краевых задач для эллиптических операторов.
Было бы интересно выделить класс уравнений вида (12), для которых
задача Коши некорректна. Этот вопрос является частью более широкой
проблемы изучения гиперболических уравнений с кратными характеристиками. В последние годы в решении этой задачи был достигнут значительный прогресс с помошью теории псевдодифференциальных операторов и
асимптотических решений, см. [207, 239, 46, 103, 102], главу 5, § 4 и др.
В последующих главах мы продолжим построение теории дифференциальных операторов с неотрицательной характеристической формой, начатое в первой части публикации [114]. Уравнения с неотрицательной характеристической формой представляют новую ветвь теории дифференциальных
16
Оглавление 17
уравнений в частных производных, возникшую в конце 20-х годов. Большой
интерес представляют изучение локальной гладкости решений уравнения
L(u) ≡ akj(x)u
xkx
+ bk(x)u
j
+ c(x)u = f(x) (16)
x
k
и связанный с ней вопрос о гипоэллиптичности уравнений второго порядка. Понятие гипоэллиптичности оператора было введено в книге Шварца
[234] (см. также [182, 183]). Линейный дифференциальный оператор P c бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, определенный в области
Ω, называется гипоэллиптическим в Ω, если для любой обобщенной функции u(x) в D0(Ω) и любой подобласти Ω1, содержащейся в Ω, из того, что
P u бесконечно дифференцируемо в Ω1, следует, что u(x) также бесконечно
дифференцируемо в Ω1. Для общих уравнений второго порядка вида (16) с
неотрицательной характеристической формой условие гипоэллиптичности
приведено в [111] и более общей теореме из [114, глава 2, § 6]. Доказательства основаны на лемме (см. [112], а также [114, глава 2, § 3]), согласно
которой для псевдодифференциальных операторов P , Q порядка единица,
удовлетворяющих условиям a), b) (формулы (2.2.2), (2.2.3)), справедлива
априорная оценка для коммутатора
k[P, Q]uk
2
≤ C(s)kP uk
1
s−
2
2
+ kQuk
s
2
+ kP∗uk
s
2
+ kQ∗uk
s
2
+ kuk
s
2
s
∀s ∈ R1,
и любой u ∈ S. В главе 4 этой книги получены обобщения результатов
главы 2 на случай так называемой «гипоэллиптичности с потерей одной
производной», когда выполнено условие (10) [114]. Существенным при доказательстве этих обобщений был метод локализации операторов с переменными коэффициентами, который и сейчас имеет широкие приложения
(см. например [28, 161, 173] и главу 3 этой книги.)
Для уравнения (16) с аналитическими коэффициентами известны необ-
ходимые и достаточные условия гипоэллиптичности (см. [162, 92] и главу 5,
§ 1).
В книге также рассматриваются качественные свойства решений уравне-
ний второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Принцип максимума для гладких решений уравнения (16) был доказан Фикерой
в [166]. Изучение сильного принципа максимума для общих уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой было предпринято в [228, 229] и [1, 2, 3, 4, 5], а для уравнений вида
r
X
P u ≡
j=1
2
X
u + iX0u + cu = f,
j
где Xj, j = 0, 1, . . . , r — дифференциальные операторы первого порядка с
бесконечно дифференцируемыми коэффициентами
m
X
k=1
k
a
(x), Dk= −i∂
j
17
,
x
k
Xj≡
18 Оглавление
в статьях Бони [157, 158, 159] (см. главу 4, § 2).
В связи с изучением задачи Трикоми для уравнений смешанного типа
возник интерес к изучению гиперболических уравнений, вырождающихся
на границе. В [71, 72] задача Коши изучалась для уравнений второго порядка таких, что в каждой точке рассматриваемой области характеристическая форма имеет одно отрицательное характеристическое значение, а все
остальные положительны или равны нулю. Задачу Коши для таких уравнений можно изучать методами, аналогичными методам, использованным
при изучении уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой. В [71, 72] и в главе 5, § 4 методами гиперболической
регуляризации получено решение задачи Коши для уравнения
utt= L(u) + f (17)
с начальными условиями
где L(u) ≡ akju
xkx
+bku
j
u
ϕ(x), u
t=0
+cu — оператор второго порядка с неотрицатель-
x
k
ψ(x), (18)
t
t=0
ной характеристической формой и с коэффициентами, зависящими от x и
t. Неравенство (8) [114] и в этом случае играет важную роль в нахождении
априорных оценок для решений этой задачи.
В последней главе (глава 6) рассматриваются вопросы единственности
решений краевых задач для эволюционных уравнений в неограниченных
областях в классе растущих функций, вопрос об априорных оценках специального вида, которые можно назвать аналогом энергетических оценок,
выражающих принцип Сен-Венана в теории упругости, а также вопросы об
оценках, характеризующих поведение решения при |x| → ∞ и t → 0. Частным случаем таких оценок являются оценки функций типа Грина и фундаментального решения. Эти вопросы изучаются с помощью метода введения
параметра, который был разработан и применялся ранее для исследования
гиперболических систем в [148, 149, 150]. В этой книге этот метод получит
свое дальнейшее развитие.
И последнее. Интересно переосмыслить заложенные в этой книге основы теории уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой, отталкиваясь от сегодняшних задач финансовой математики
и гидродинамики (см., например, [224, 27]).
Мы будем рады, если выход этой книги привлечет внимание ко всем
этим проблемам.
18
Глава 1
Первая краевая задача
1 Формулировка первой краевой задачи
Обозначим через Ω ограниченную область в евклидовом пространстве Rm, а
через x = (x1, . . . , xm) — точку в этом пространстве. Все функции, рассмат-
риваемые в главе 1, предполагаются действительными, если не оговорено
противное. Как обычно, выражение A ⊂ B означает, что множество A со-
держится в B, а A¯ обозначает замыкание множества A.
Будем говорить, что функция u(x) принадлежит классу C
(k)
(G), если
она имеет непрерывные производные до порядка k включительно во всех
точках множества G ⊂ Rm. Обозначим через C
(G) класс функций, сла-
(k)
бые производные которых до порядка k включительно ограничены в G.
Класс C
(0)
состоит из функций, непрерывных в G, а C
содержит все из-
(0)
меримые функции, ограниченные в G.
Обозначим через C
(k,β)
(G) класс функций с производными в G до поряд-
ка k включительно, удовлетворяющими условию Г¨ельдера с показателем β,
0 < β < 1.
Будем говорить, что область Ω с границей Σ принадлежит классу A
A
(k)
или C
, k ≥ 1, если в некоторой окрестности Q каждой из ее точек
(k,β)
(k)
P границу Σ можно представить в виде
xl = fl(x1, . . . , x
l−1
, x
, . . . , xm)
l+1
для некоторого l, где функции fl принадлежат соответствующему классу
C
(k)
(Ql), C
(Ql) или C
(k)
(k,β)
(Ql), а Ql — проекция Q∩Σ на плоскость xl = 0.
Нам также придется рассматривать области Ω с кусочно-гладкими гра-
ницами Σ. Классы таких областей, обозначаемые B
(k)
, B
(k)
и B
(k,β)
, опреде-
ляются с помощью индукции по размерности области. Одномерная область
(k)
B
, B
(k)
или B
Σ принадлежит классу B
конечное число кусков S
(k,β)
— интервал. Далее, скажем, что область Ω с границей
(k)
, B
j
, каждый из которых гомеоморфен (m − 1)-шару,
(k)
или B
(k,β)
, если Σ можно разделить на
который может пересекать только граничные точки, таких, что Sj можно
,
19
20 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
представить в виде
xl= fl(x1, . . . , x
l−1
, x
l+1
, . . . , xm)
для некоторого l, где функция flзадана в некоторой (m−1)-мерной замкнутой области класса B
(k)
, B
(k)
или B
xl= 0 и принадлежит в этой области классу C
(k,β)
, соответственно, на гиперплоскости
(k)
, C
(k)
или C
(k,β)
соответ-
ственно.
Обозначим через ¯n = (n1, . . . , nm) нормальный вектор в граничных точ-
m
X
ках Ω, направленный вовнутрь; ∅ обозначает пустое множество; |x| =
1
Пусть α = (α1, . . . , αm) — мультииндекс, где αj— неотрицательные це-
m
X
лые числа и |α| =
αj.
1
В главе 1 мы иногда будем использовать следующее обозначение произ-
водных:
Dαu =
Обычно (см., например, [188]) используется обозначение Dαu = D
∂
∂x
α
1
1
···
∂x
α
∂
m
u.
m
α
1
1
···D
α
m
m
где Dj= −i∂/∂xj, i =√−1. Это обозначение нам будет удобно использо-
вать в главе 2. Положим
X
kuk
C
(k)
(G)
=
supG|Dαu|.
|α|≤k
x
u,
1/2
2
j
.
Как правило, мы будем обозначать постоянные как Cj, а нумерация их
индексом j сохраняется только в пределах доказательства данной теоремы.
Обозначим через C
∞
(Ω) или C
0
∞
(Rm) класс бесконечно дифференциру-
0
емых функций, которые могут отличаться от нуля только на компактном
множестве, принадлежащем области Ω или Rmсоответственно.
Уравнение второго порядка вида
L(u) ≡ akj(x)u
xkx
+ bk(x)u
j
+ c(x)u = f(x) (1.1.1)
x
k
с условиями
akj(x)ξkξj≥ 0 (1.1.2)
для любого действительного вектора ξ = (ξ1, . . . , ξm) и любой точки x ∈ Ω
называется уравнением второго порядка с неотрицательной характери-
стической формой в Ω.
Здесь и далее предполагается суммирование по повторяющимся индек-
сам от 1 до m.
Очевидно, что класс уравнений с неотрицательной характеристической
формой включает уравнения эллиптического и параболического типов, уравнения первого порядка (случай akjξkξj≡ 0), ультрапараболические урав-
нения, уравнения броуновского движения, уравнение Трикоми в верхней
полуплоскости, уравнение Келдыша и др.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]