Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1. Учебное пособие

162 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

По теореме 2.2.6 для любой функции u ∈ C

∞

(K) мы получим неравен-

0

ство

kX0uk

2 s−1/2

≤ C

≤ 2kEsX0uk



kE

18

−1/2

2

+ C16kuk

−1/2

X0Esuk

2

+ kE

0

2

≤ 4kE

0

[X0, Es]uk

−1/2

EsX0uk

2

+ kuk

0

2

+ C17kuk

0



2

.

0

2

≤

0

Оценивая правую часть последнего неравенства, применим (2.6.16) и теорему 2.3.1 о коммутаторах, и получим

kX0uk

2 s−1/2

≤ C

19



kP uk

2

+ kuk

0



2

. (2.6.17)

2s

Из априорных оценок (2.6.13) и (2.6.17) следует требуемый результат. Теорема доказана.

Это центральная оценка в доказательстве гипоэллиптичности оператора (2.6.1).

Рассмотрим систему операторов {X0, . . . , Xr}, определенных с помощью (2.6.1). Для мультииндекса I = (α1, . . . , αt), где αl= 0, 1, . . . , r, l = 1, . . . , t,

t

положим |I| =

P

λl, где λl= 1, если αl= 1, . . . , r и λl= 2, если α = 0.

l=1

Каждому мультииндексу I поставим в соответствие оператор

XI= ad X

···ad X

α

1

α

t−1

X

,

α

t

где ad AB = [A, B] = AB − BA для любых операторов A и B. Следующая лемма обеспечивает оценку нормы оператора XI.

Лемма 2.6.2. Для любого компактного множества K, любого целого чис- ла k ≥ 1 и любого s ≥ 0 существует постоянная C(K, s, k) такая, что для любой функции u из C

X

kXIuk

|I|=k

∞

(K) выполняется неравенство

0

s+2

1−k

≤ C(K, s, k)kP uk

−1

2

+ kuk

0



2

. (2.6.18)

2ks

Доказательство. Мы докажем (2.6.18) индукцией по k. При k ≤ 2 это неравенство следует из (2.6.17), (2.6.13) и леммы 2.3.1, согласно которой

r

X

k[Xj, Xl]uk

j,l=1

2 s−1/2

≤ C

(

r

X

1

kXjuk

j=1

2

+ kuk

s

)

≤ C



2

kP uk

2

+ kuk

0

2

s

2 2s



.

Теперь предположим, что (2.6.18) выполняется для всех k ≤ k0, и покажем, что оно должно также выполняться для k = k0+ 1. Возможны два случая:

1) X1= [Xj, X

2) X1= [X0, X

], где |I| = k0+ 1 и |I1| = k0, j = 1, . . . , r;

I

1

], где |I| = k0+ 1 и |I0| = k0− 1.

I

0

161

6. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ (ОПЕРАТОРЫ Х¨ЕРМАНДЕРА) 163

Чтобы оценить норму Xju в первом случае, мы используем неравенство

1−k

(2.3.3) для P = Xj, Q = X

и s1+ 2

I

1

0

− 1. Получим

r

X

j=1

0

kXjuk

k[Xj, X

X

2

+

s

|I1|=k

]uk

I

1

0

2 s−1/2+(2

kX

I

1

uk

2 s+2

−k

1−k

0

−1/2)

0

−1

≤

+ kuk

2 2s

)

.

≤ C

3

(

X

|I1|=k

r

X

j=1

Из оценки (2.6.13) и предположения индукции следует, что

0

r

X

j=1

k[Xj, X

2

]uk

I

1

s+2

−k

0

−1

≤ ≤ C



4

kP uk

2

+ kuk

0



2

k

0

2

s

X

|I1|=k

Теперь мы получим оценку (2.6.18) для случая оператора XI= [X0, X

−k

|I0| = k0− 1. Обозначим 2

r

X

[P, X

I

0

]u =

(2Xj[Xj, X

j=1

0

− 1 через ρ. Легко видеть, что

]u −[Xj, [Xj, X

I

0

]]u) + i[X0, X

I

0

]u + [γ, X

I

0

.

],

I

0

]u.

I

0

Подставим в это уравнение Esu вместо u и возьмем скалярное произведение получающегося уравнения с E

∗

Eρ[X0, X

ρ

]Esu в пространстве H0. Тогда

I

0

получим

([P, X

+

]Esu, E

I

0

+([γ, X

r

X

2

j=1

−Eρ[Xj, [Xj, X

∗

Eρ[X0, X

ρ

I

0

[Xj, X

]Esu, E

]Esu, X

I

0

]]Esu, Eρ[X0, X

I

0

]Esu) = ikEρ[X0, X

I

0

∗

Eρ[X0, X

ρ

∗

E

j

Это уравнение дает оценку для kEρ[X0, X

I

0

∗

Eρ[X0, X

ρ

]Esuk

I

0

]Esuk

I

0

]Esu)+

]Esu−

I

0

]Esu. (2.6.19)

I

0

2

. Оценим остальные чле-

0

2 0

ны в (2.6.19). Имеем

V1≡







[γ, X

]Esu, E

I

0

∗

Eρ[X0, X

ρ

I

0

]Esu







≤ k[γ, X

]Esuk

I

0

2

+kE

0

∗

Eρ[X0, X

ρ

]Esuk

I

0

Применяя теорему 2.2.1 о порядке псевдодифференциального операто-

ра, получим

V1≤ C



2

kuk

5

+ kuk

s

2 s+2

1−k

0

−1



≤ C6kuk

2

,

s

2

.

0

так как 2

1−k

0

− 1 ≤ 0. Далее, по неравенству Шварца (2.1.19) имеем

r

X



V2≡

j=1





[Xj, X

]Esu, X

I

0

∗

E

j

ρ

Eρ[X0, X

I

0



]Esu

162

 

≤

164 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

r

X

≤

j=1

≤ C



k[Xj, X

r

X

7

j=1

+kX

]Esuk

I

0



k[Xj, X

∗

uk

j

I

2

+ k[X

s

0

2

1−k

2

]uk

0

−1

2 s+2

∗

, E

j

+ kX

1−k

0

−1

∗

Eρ[X0, X

ρ

∗

E

Eρ[X0, X

j

ρ

+ k[[Xj, X

]Es]uk

I

0

I

0

], Es]uk

I

0

2 1−2

]Esuk

1−k

0

2 2



2 1−2

1−k

.

1−k

0

−1

0

+



≤

Применяя теорему 2.2.1 и оценку (2.6.13), получим

V2≤ C

(

r

X

8

k[Xj, X

j=1

2

]uk

I

0

s+2

1−k

0

−1

+ kPuk

2

+ kuk

0

2 2s

)

.

Легко видеть, что

r

X

V3≡

≤ rδkEρ[X0, X

|(Eρ[Xj, [Xj, X

j=1

]Esuk

I

0

]]Esu, Eρ[X0, X

I

0

r

X

1

2

+

0

kEρ[Xj, [Xj, X

2

j=1

]Esu)| ≤

I

0

]]Esuk

I

0

2

,

0

где δ > 0 — произвольная постоянная. Для последнего члена этого неравенства выполняется оценка

r

≤ C

9

r

X

j=1

≤ C



X

k[Xj[Xj, X

r

X



10

kuk

j=1

kEρ[Xj, [Xj, X

j=1

]]uk

I

s+2

0

−k

0

−1

]]Esuk

I

0

−k

+ kEρ[[Xj, [Xj, X

0

−1

+ k[Xj[Xj, X

I

]]uk

0

2 0



]], Es]uk

I

0

2 0



s+2

−k

.

0

−1

Следовательно,

(

V3≤ rδkEρ[X0, X

]Esuk

I

0

2 0

+ C

kuk

δ

Чтобы оценить выражение

V4≡[P, X

]Esu, E

I

0

представим его в виде V4= V5+ V6, где

V5≡ (X

Esu, P∗E

I

0

V6≡ −(P Esu, X

∗

ρ

∗

E

I

0

163

r

X

2

+

s

j=1

∗

Eρ[X0, X

ρ

Eρ[X0, X

∗

Eρ[X0, X

ρ

k[Xj[Xj, X

]Esu,

I

0

]Esu),

I

0

]Esu).

I

0

I

]]uk

0

2 s+2

−k

)

.

0

−1

6. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ (ОПЕРАТОРЫ Х¨ЕРМАНДЕРА) 165

Применяя неравенство Шварца, получим

|V6| ≤ kP Esuk

2

−s

+ kX

∗

E

I

0

∗

Eρ[X0, X

ρ

]Esuk

I

0

2

.

s

Оценим первое слагаемое в правой части этого неравенства, применяя (2.6.12), а второе не превосходит

3kE

∗

Eρ[X0, X

ρ

]EsX

I

0

+k[X

2

uk

I

s

0

∗

, E

I

ρ

0

∗

+ kE

Eρ[X0, X

ρ

Eρ[X0, X

]Es]uk

I

0

]Es(X

I

0

2

s

∗

− X

I



0

I

0

)uk

2

+

s

.

Вспоминая теоремы 2.2.1 и 2.3.1, получим

так как 2

|V6| ≤ C

1−k

0

≤ 0 при k0≥ 1.

11



kP uk

2

+ kX

0

uk

I

0

2s+2

1−k

0

−1

+ kuk



2

,

s

Чтобы оценить |V5|, используем следующее выражение для оператора

P∗:

P∗v = −P v +

r

X

j=1

(2X

2

+ βjXj)v + β0v,

j

где βjи β0— некоторые функции. Легко видеть, что

∗

Eρ[X0, X

ρ

]Esu)| + |(X

∗

Eρ[X0, X

ρ

]Esu)|+

I

0

Esu, βjXjE

I

0

]Esu)|. (2.6.20)

I

0

∗

Eρ[X0, X

ρ

]Esu)|+

I

0

+

r

X

j=1



|(X

Esu, 2X

I

0

|V5| ≤ |(X

2

∗

E

Eρ[X0, X

j

ρ

+|(X

Esu, −P E

I

0

I

Esu, βE

I

0

Оценим скалярное произведение в правой части (2.6.20). Согласно (2.1.19), имеем

∗

Eρ[X0, X

ρ

∗

Eρ[X0, X

ρ

]Esu)| ≤

I

0

]Esuk

I

0

2 1−s−2

1−k

.

0

1−k

0

≤ kX

Esuk

I

0

Так как оператор E

W1≡ |(X

2

1−k

s+2

∗

Eρ[X0, X

ρ

Esu, P E

I

0

+ kPE

0

−1

]Esимеет порядок не более, чем s−1+2

I

0

из леммы 2.6.1, замечания после нее и теорем 2.2.1 и 2.3.1 следует, что

W1≤ C

12



kP uk

2

+ kuk

0

2 2s

Здесь мы использовали тот факт, что 2

+ kX

1−k

uk

I

0

− 1 ≤ 0 при k0≥ 1.

2s+2

1−k



.

0

−1

Далее, применяя неравенство (2.1.19), а также теоремы 2.2.1 и 2.3.1, мы

получим

r

≤

r

X

j=1

W2≡



kX

I

0

X

j=1

Esuk

|(X

2

1−k

2

Esu, βjXjE

I

0

+ kβjXjE

0

−1

∗

Eρ[X0, X

ρ

∗

Eρ[X0, X

ρ

]Esu)| ≤

I

0

]Esuk

I

0

2 1−2

1−k



≤

0

,

164

166 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

≤ C

13

(

kX

+

I

0

X

j=1

uk

r

2

1−k

s+2

0

−1

kβj[Xj, E

r

X

+

∗

ρ

kXjuk

j=1

Eρ[X0, X

Отсюда и из оценки (2.6.13) следует, что

W2≤ C

14



kX

2

uk

I

0

s+2

1−k

0

−1

Точно так же мы получим

W3≡ |(X

Esu, βE

I

0

∗

Eρ[X0, X

ρ

]Esu)| ≤ C

I

0

Далее исследуем

r

X

W4≡

j=1

|(X

∗

X

I

j

Esu, XjE

0

2

+ k[X

s

]Es]uk

I

0

+ kPuk



kX

15

∗

Eρ[X0, X

ρ

I

0

2 1−2

2

+ kuk

0

I

0

, Es]uk

)

1−k

0

2

uk

s+2

]Esu)|.

I

0

2 2s

1−k

2 2

1−k

+

0

−1

.



.



0

−1

+ kuk

2

.

s

По неравенству Шварца (2.1.19)

r

X



W4≤

j=1

≤ C

16

kX

r

X

j=1

∗

X

j



kXjuk

I

0

Esuk

2

s

2

1−k

2

+ kuk

Чтобы оценить

r

X

W5≡

j=1

P

сначала получим оценку для цию v = X

2

E

1−k

I

0

2

Esu вместо Esu в уравнение (2.6.9), получим

0

−1

r

X

kXjvk

j=1

2 0

≤ C

Отсюда следует, что

0

−1

2

s

kX

r

kXjX

1

j

Esuk

I

0

I

0

∗

ρ

∗

X

I

0

2

E

1−k

2

Eρ[X0, X

+ kXjE

+ kX

∗

X

j



|(P v, v)| + kvk

17

Esuk

2

1−k

2

0

−1

2

1−k

2

0

−1

Esuk

]Esuk

I

0

2 1−2

1−k



0



. (2.6.21)

0

−1

,

2

. Подставляя функ-

0



2

. (2.6.22)

0

≤

r

X

j=1

kXjvk

2 0

≤ C



18

Чтобы оценить kP vk

2

kvk

s+2

1−k

0

≤ C

kX

2

−s−2

I

19

2

uk

0

s+2

1−k

0

−1

+ kPvk

2

−s−2

1−k

+ kuk

0

2

+ kvk

s

2 s+2

1−k



.

0

(2.6.23)

, применим лемму 2.6.1. Легко видеть, что

1−k

0



kX

2

uk

I

0

2s+2

2−k

0

−1

+ kuk

2 2s+2

2−k

165



. (2.6.24)

0

−1

6. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ (ОПЕРАТОРЫ Х¨ЕРМАНДЕРА) 167

2−k

Так как 2

0

− 1 ≤ 0 при k0≥ 2 и s ≥ 0, мы получим из (2.6.23) и (2.6.24)

оценку

r

X

j=1

kXjvk

2 0

≤ C

20



kX

2

uk

I

0

2s+2

2−k

0

−1

+ kPuk

2

+ kuk

0



2

. (2.6.25)

2s

Здесь мы также использовали неравенство

kuk

2

≤ kuk

µ

2

для µ ≤ l. (2.6.26)

l

Таким образом, применяя теоремы 2.2.6 и 2.3.1, мы получим неравенство

W5≤ 2

+C

X

22

r

j=1

(

kE

kX

∗

X

1−k

X

I

j

0

+

0

−1

1−k

0

2

−1

2

uk

I

0

s+2

Esuk

r

X

j=1

2

+ C21kuk

0

kXjuk

2 s+2

2 0

1−k

≤ 4

0

−1

r

X

kXjX

j=1

+ kuk

2

s+2

I

0

1−k

E

0

1−k

2

−1

Esuk

0

−1

+ kuk

2

+

0

)

2 0

(2.6.27)

для любой функции u ∈ C

Принимая во внимание, что 2

(

W5≤ C

23

kXjvk

2 0

∞

0

+ kX

(K), K ⊂ K1.

1−k

0

− 1 ≤ 0 при k0≥ 1 и s ≥ 0, получим

2

uk

I

0

s+2

1−k

0

−1

+ kuk

r

X

2

+

s

kXjuk

j=1

)

2

. (2.6.28)

s

Вспоминая (2.6.21), (2.6.28), (2.6.13) и (2.6.25), мы окончательно получим следующее соотношение для W4:

W4≤ C

24



kP uk

2

+ kuk

0

2 2s

+ kX

2

uk

I

0

2s+2

2−k

0

−1

и поэтому

|V5| ≤ W1+W2+W3+W4≤ C

25



kP uk

2

+kX

0

2

uk

I

0

2s+2

2−k

0

−1

Далее, из (2.6.19) мы получим соотношение

kEρ[X0, X

]Esuk

I

0

2

≤ V1+ V2+ V3+ |V5| + |V6|. (2.6.31)

0

По теореме 2.2.6 имеем

k[X0, X

]uk

I

0

≤ 4kEρ[X0, X

2 s+2

]Esuk

I

0

−k

≤ 2kEρEs[X0, X

0

−1 2

+ C

0

≤ 4kEρ[X0, X



kEρ[Es, [X0, X

27

]Esuk

I

0

2 0

+ C28kuk

2

]uk

I

0

+ C26kuk

0

2

]]uk

I

0

2

. (2.6.32)

s

Следовательно, рассматривая (2.6.32) и (2.6.31), мы получим

k[X0, X

2

]uk

I

0

s+2

−k

≤

0

−1



, (2.6.29)



2

+kuk

+ kuk

2s

2

≤

0



2 0

. (2.6.30)

≤

166

168 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

≤ C

29

+

(

2

kP uk

r

X

+ C(δ)kuk

0

C(δ)k[Xj, [Xj, X

j=1

2 2s

I

+

]]uk

0

r

X

j=1

2 s+2

k[Xj, X

−k

0

−1

2

]uk

I

0

s+2

1−k

0

−1

+ δkEρ[X0, X

+ kX

]Esuk

I

0

2

uk

I

0

2s+2

)

2

, (2.6.33)

0

2−k

+

0

−1

где δ > 0 — произвольная положительная постоянная и C29не зависит от δ.

Так как



2

,

s

δkEρ[X0, X

]Esuk

I

0

2

≤ 2δk[X0, X

0

2

]uk

I

0

s+2

−k

+ C30kuk

0

−1

можно использовать (2.6.26) и выбрать достаточно малое δ, чтобы получить

k[X0, X

+

2

]uk

I

0

s+2

r

X

k[Xj, [Xj, X

j=1

−k

0

−1

≤ C

I

31

]]uk

0

(

kP uk

2 s+2

−k

2

+ kuk

0

−1

2 2s

+ kX

r

+

X

k[Xj, X

j=1

2

]uk

I

0

s+2

1−k

0

−1

+

)

2

uk

I

0

2s+2

2−k

. (2.6.34)

0

−1

Так как для XI= [Xj, X

] при j 6= 0 мы имеем |I| = k0, из предположения

I

0

индукции следует, что

r

X

k[Xj, X

j=1

Для XI= [Xj, [Xj, X

2

]uk

I

0

]], j 6= 0, имеем |I| = k0+ 1, и для таких XIнеравен-

I

0

s+2

1−k

≤ C

0

−1

32



kP uk

2

+ kuk

0



2

.

k

0

2

s

ство (2.6.19), доказанное выше, справедливо.

Так как |I0| = k0− 1, мы получаем по предположению индукции

kX

2

uk

I

0

2s+2

1−(k0−1)

−1

≤ C

33



kP uk

2

+ kuk

0

2

k0−1

2

2s



.

Следовательно, из (2.6.34) мы окончательно получим

k[X0, X

2

]uk

I

0

s+2

−k

0

−1

≤ C

34



kP uk

2

+ kuk

0

2 2

k0+1



,

s

что и требовалось доказать.

Определение. Система дифференциальных операторов {X0, . . . , Xr} называется системой ранга m в точке x0, если существует число R(x0) такое, что

X

|XI(x0, ξ)| > 0 при ξ 6= 0, (2.6.35)

|I|≤R(x0)

где XI(x, ξ) — символ дифференциального оператора XI= ad X

. . . ad X

α

1

α

t−1

соответствующий мультииндексу I = (α1, . . . , αt).

Очевидно, что условие (2.6.35) равносильно тому, что при x = x0среди операторов {XI}, где |I| ≤ R(x0), существует m линейно независимых операторов, т.е. ранг алгебры Ли, порожденной операторами {X0, . . . , Xr}, равен m.

167

X

,

α

t

6. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ (ОПЕРАТОРЫ Х¨ЕРМАНДЕРА) 169

Лемма 2.6.3. Если в любой точке x ∈ K, где K — компактное множе- ство в Rm, система операторов {X0, . . . , Xr} имеет ранг m, то для любого

s ∈ R1существует постоянная C(K, s) такая, что

kuk

2

≤ C(K, s)

1+s

(

|I|≤R(K)

X

kXIuk

2

+ kuk

s

)

2

, (2.6.36)

s

где R(K) = sup

x∈K

R(x), u ∈ C

∞

0

(K).

Доказательство. Так как XI(x, ξ) — однородная функция от ξ первого по-

рядка, непрерывная по x и ξ, из условия (2.6.35) следует, что для всех x в некоторой достаточно малой окрестности O(x0) точки x0выполняется неравенство

X

1 +

|I|≤R(x0)

|XI(x, ξ)|2≥ C0(1 + |ξ|2), ξ ∈ Rm, (2.6.37)

где C0= const > 0 и x0— произвольная точка, принадлежащая K.

Выберем конечное подпокрытие из бесконечного покрытия K такими окрестностями O(x), и таким образом получим, что для всех x, принадлежащих некоторой замкнутой области K0⊃ K выполняется неравенство

X

|XI(x, ξ)|2+ 1 ≥ C0(1 + |ξ|2), (2.6.38)

|I|≤R(K)

где C = const > 0 и K лежит строго внутри K0.

На основе теоремы 2.2.9 из условия (2.6.38) следует, что неравенство (2.6.36) выполняется для функций u ∈ C

∞

0

(K).

Теорема 2.6.2. Пусть система операторов {X0, . . . , Xr} имеет ранг m в каждой точке x∈Ω. Тогда для любой функции u ∈ D0(Ω) такой, что

P u ∈ H

где γ = const < s + ε(K), функции ϕ, ϕ1∈ C

loc

(Ω), выполняется оценка вида

s

kϕuk

s+ε(K)

≤ C(K, s)kϕ1uk



2

, (2.6.39)

γ

∞

(K), K — компактное мно-

0

жество в Ω, ϕ1≡ 1 — окрестность носителя ϕ и ε(K) > 0 — некоторое число. Кроме того, оператор P , заданный условием (2.6.1), гипоэллиптичен в области Ω.

Доказательство. Достаточно доказать, что если система операторов {X0, . . . , Xr}

имеет ранг m в каждой точке x ∈ Ω, то оператор P из (2.6.1) удовлетворяет условиям теоремы 2.5.2, где множество M понимается, как пустое множество. Предположим, что область G ⊂ Ω и замыкание¯G также принадлежит Ω. Пусть¯G таково, что G ⊃ K и R(¯G) = R(K). На основе лемм 2.6.3 и 2.6.2 мы заключаем, что для любого t ∈ R1неравенство

kuk

2 t+1

≤ C

1

X

|I|≤R(K)

kXIuk

2

+ kuk

t

!

≤ C



2

kP uk

2

+ kuk

0

2

R(K)

2

(t+1−2

1−R(K)

2

t



)

(2.6.40)

168

170 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

выполняется для любой функции u из C

∞

(G), если s = t + 1 −2

0

1−R(K)

≥ 0.

Выберем t так, что

t + 1 > 2

t + 1 ≥ 2

R(K)

(t + 1 −2

1−R(K)

.

Тогда из (2.6.40) и теоремы 2.1.12 следует, что для u ∈ C

kuk

2 t+1

≤ C



3

kP uk

2

+ kuk

0

1−R(K)

2

−N

),

(2.6.41)

∞

(G)

0



(2.6.42)

для любого N > 0 и некоторого t, удовлетворяющего неравенству −1 +

1−R(K)

2

≤ t < −1 + 2(2

ε(K) > 0. Тогда из (2.6.42) получим, что для любых N > 0 и u ∈ C

Это означает, что условие I теоремы 2.5.2 выполняется для u ∈ C

kuk

R(K)

− 1)−1. Положим t + 1 = ε(K). Ясно, что

2

ε

≤ C



4

kP uk

2

+ kuk

0



2

. (2.6.43)

−N

∞

(G)

0

∞

(G). Из

0

теоремы 2.6.1 и неравенства (2.6.43) следует, что если мы положим 2s = ε, то

kX0uk

2 (ε−1)/2

+

r

X

j=1

kXjuk

2 ε/2

≤ C



5

kP uk

2

+ kuk

0

2

−N



.

Ясно, что

r

P

(x, ξ) +

(j)

где Xk(x, ξ) =

m

P

l=1

(j)

P

(x, ξ) +

r

X

2X

k=1

l

a

(x)ξl, k = 0, 1, . . . , r. Следовательно, на основе теоре-

k

X

k=1

(x, ξ)Xk(x, ξ) + iX

k(j)

j

2a

(x)Xk(x, ξ) + ia

k

j

0

(x, ξ) + γ

0(j)

(x),

(j)

(x),

мы 2.2.1 мы имеем неравенство

r

X

j=1

(

r



(j)uk2

kP

+ kP

s

(j)

uk

2 s−1



≤ C

X

6

kXjuk

j=1

2

+ kuk

s

)

2

, u ∈ C

s

∞

0

(G).

(2.6.44)

Возьмем оператор Esu такой, что Esu ∈ C

∞

(G), и положим ϕ(x) ≡ 1 в

0

точках области Ω1такой, что K ⊂ Ω1,¯Ω1⊂ G, где¯Ω1— замыкание Ω1.

В неравенстве

r

kuk

X

2

+

ε

kXjuk

j=1

2 ε/2

≤ C



7

kP uk

2

+ kuk

0

2

−N



заменим u на Esu и таким образом получим для u ∈ C

kEsuk

r

X

2

+

ε

kEsXjuk

j=1

2 ε/2

≤ C

(

kP Esuk

8

169

r

X

2

+

0

k[Xj, Es]uk

j=1

∞

0

(K)

2 ε/2

+ kuk

)

2

−N

.

1

(2.6.45)

6. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ (ОПЕРАТОРЫ Х¨ЕРМАНДЕРА) 171

Из теоремы 2.3.1 о коммутаторах следует, что

(

m

X

j=1

2

s

+



kE

X

j=1

s/2

m

s(j)



kP

(j)uk2

P

(j)

и

0

uk

2

s−1

s

+ kP

(j)

+ E

∂

(ϕ(x)(1 + |ξ|2)

∂ξ

j

P

(j)

(j)uk2

uk

2

+ kuk

0

)



, (2.6.46)

s

s/2

)

где E

k[P, Es]uk

и E

s(j)

2

≤ C

0

9

(

≤ C

(j)

— псевдодифференциальные операторы с символами

s

10

kuk

Djϕ(x)(1 + |ξ|2)

соответственно. Применяя неравенство (2.6.44), мы получим

k[P, Es]uk

2 0

≤ C

11

(

kuk

r

X

2

+

s

kXjuk

j=1

)

2

.

s

Из (2.6.45) и теоремы 2.2.6 следует

)



2

≤

s

r

kuk

2 s+ε

+

X

j=1

kXjuk

2 s+ε/2

≤ C

Имея в виду теорему 2.1.12, мы заключаем, что для u ∈ C

r

kuk

2 s+ε

+

X

kXjuk

j=1

Таким образом, из (2.6.44) и (2.6.48) следует, что для u ∈ C

m

X

j=1

kP

(j)uk2

(

12

2 s+ε/2

≤ C

s

kP uk

≤ C



14

2

+ kuk

s



13

kP uk

2 s+ε/2

kP uk

2 s−ε/2

2

+ kuk

s

+ kuk

+

r

X

j=1

2

−N

2

−N

∞

0

2

s

(K)

+ kuk

kXjuk



. (2.6.48)

2

∞

(K)

0



, (2.6.49)

4

где N4— произвольное положительное число и C14зависит от N4.

Имея в виду теорему 2.1.12, выведем, что

m

X

j=1

kP

(j)

uk

2 s−1

≤ C

15



kP uk

2 s−ε/2

+kuk

2

−N



≤ δkP ukk

4

2

+C16kuk

s

2

−N

2

−N

(2.6.47)

(2.6.50)

5

)

.

2

для любых δ > 0 и N5> 0, где C16зависит от δ и N5, а u ∈ C

∞

(K). Это

0

означает, что оператор P удовлетворяет условиям I, II и IIIa теоремы 2.5.2 для области Ω и, следовательно, утверждения теоремы 2.6.2 выполняются.

170