Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1. Учебное пособие

152 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

заменяя s1на s1− |α|. Таким образом мы получим

1

Z

k(P

(α)

0

1

Z

≤

kP

(α)

0

1

X

+

1≤|β|≤N −|α|−1

X

+

N−|α|≤|β|≤N−1

Z

0

1

Z

0

Cβk(P

Из леммы 2.5.2 следует

1

Z

k(P

(α+β)

0

1

Z

≤ C

k(P

1

0

(α+β)

ψju) ∗χεk

(ψju ∗χε)k

(α+β)

ψju) ∗χ

(α+β)

ψju) ∗χ

2

s1−|α|−|β|

2

s1−|α|

2

s1−|α|

ψju) ∗χ

β

2

k

ε

s1−|α|

−2s

ε

−2s

ε

β

2

k

ε

s1−|α|

β

2

k

ε

s1−|α|

−2(s−|β|)

ε



−2s

ε



1 +



1 +

−2(s−|β|)

ε

1 +



2

δ

2

ε

2

δ

2

ε

−2(s−|β|)

ε



1 +



−γ

2

δ

2

ε

−γ



δ ε

−γ

2

dε



ε

dε



ε

dε

ε



1 +

−γ

+ C

≤

+

1 +

dε

ε

2

δ

2

ε

N



2

δ

2

ε



−γ

≤

kψjuk

2

−γ

dε

ε

dε

+ C

ε

(2.5.33)

2

−N

(2.5.34)

+

2

1

N

,

kψjuk

1

2

.

t

где t > −N2, N2> 0 — произвольное достаточно большое число, так как ψju ∈ Htи t > s + s1+ m1− |α| − γ. Члены в последней сумме в правой части (2.5.33) не превышают C2kψjuk

1

Z

β

k(P

0

(α+β)

ψju) ∗χ

Так как порядок P

kP

(α+β)

ψjuk

2

k

ε

s1−|α|

(α+β)

2

s1+s−|α|−|β|,γ

−2(s−|β|)

ε

не превосходит m1и |β| ≥ N − |α|, имеем

≤ C4kψjuk

2

. Действительно, по теореме 2.5.1,

t



1 +



−γ

2

δ

2

ε

dε

ε

2

s1+s+m1−N,γ

≤ C3kP

≤ C5kψjuk

(α+β)

ψjuk

2

s1+s−|α|−|β|,γ

2

.

t

Из этих оценок и из повторного применения (2.5.33) следует, что

≤ C

1≤|α|≤N−1

"

6

1≤|α|≤N−1

X

1

Z

k(P

0

1

Z

kP

0

ψju) ∗χεk

(α)

(ψju ∗χε)k

(α)

2

s1−|α|

2

s1−|α|

ε

−2s

ε

−2s



1 +



−γ

2

δ

2

ε



2

δ

2

ε

−γ

dε

ε

dε

+ kψjuk

ε

≤

#

2

.

t

(2.5.35)

.

151

5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ 153

Таким образом, из (2.5.31) следует, что

≤ C

Z

0

"

7

1≤|α|≤N−1

1

kP (ψju ∗χε) −(P ψju) ∗χεk

1

X

Z

kP

(ψju ∗χε)k

(α)

0

2

s

2

s1−|α|

1

ε

−2s



1 +



−γ

2

δ

2

ε

2

δ

2

ε



−γ

dε

≤

ε

dε

+ kψjuk

ε

#

2

.

t

(2.5.36)

Оценим правую часть (2.5.36) с помощью леммы 2.5.3. Мы получим:

≤ δ

1

X

1≤|α|≤N−1

1

Z

kP (ψju ∗χε)k

0

1

Z

1 +

2

s1−|α|



2

δ

2

ε

−γ

kP

(ψju ∗χε)k

(α)

0



2

−2s

ε

s

1



−2s

ε

1 +

dε

+ C(δ1)kψjuk

ε



−γ

2

δ

2

ε

dε

≤

ε

2

. (2.5.37)

t

Из неравенств (2.5.36) и (2.5.37) мы получим первое основное неравенство

≤ δ

1

Z

kP (ψju ∗χε) −(P ψju) ∗χεk

0

1

Z

2

kP (ψju ∗χε)k

2

0

−2s

ε

s

1



1 +

2

s



−γ

2

δ

2

ε



−2s

ε

1

1 +

dε

+ C(δ2)kψjuk

ε



−γ

2

δ

2

ε

dε

≤

ε

2

. (2.5.38)

t

Теперь оценим члены вида ([P, ψj]ψ

u) ∗χε, входящие в (2.5.30).

j+1

Применяя формулу Лейбница для подсчета [P, ψj]v, мы получим

≤

1≤|α|≤m

X

1

Z

0

C

α

1

k([P, ψj]ψ

1

Z

k(ψ

j(α)

0

j+1

P

(α)

u) ∗χεk

ψ

u) ∗χεk

j+1

2

s

1

ε

−2s



2

s

1

1 +

−2s

ε

δ ε



2

1 +



−γ

dε

≤

ε



−γ

2

δ

2

ε

dε

. (2.5.39)

ε

Чтобы оценить последние интегралы, применим неравенство (2.5.36) с операторами ψ

j(α)

Z

0

≤

(α)

P

, справедливое для оператора P . Мы получим

1

Z

0

k(ψ

1

kψ

j(α)

P

(α)

ψ

j+1

(ψ

u) ∗χεk

u ∗χε)k

j+1

2

s



−2s

ε

1

1 +



2

−2s

ε

s

1

1 +



−γ

2

δ

2

ε



2

δ

2

ε

−γ

dε

≤

ε

dε

+

ε

152

154 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

X

+

1≤|β|≤N −1−|α|

β=β0+β

1

Z

C

00

kψ

β

j(α+β0)

0

(α)

P

(ψ

(β00)

+C8kψ

j+1

u ∗χε)k

2

uk

t

2

s1−|β|

. (2.5.40)

−2s

ε



1 +



2

δ

2

ε

Здесь мы использовали тот факт, что

X

N−|α|≤|β|≤N−1

β=β0+β

00

1

Z

0

kψ

j(α+β0)

(α)

P

(β00)

≤ C9kψ

(ψ

u ∗χε)k

j+1

uk

2

t

2

s1−|β|

.

ε

−2s



1 +



−γ

2

δ

2

ε

Применим лемму 2.5.4 для оценки последних интегралов в правой части

(2.5.40). Рассматривая теорему 2.2.1, получим

X

1≤|β|≤N −1−|α|

β=β0+β

≤ C

11

00

10

0≤|β|≤N −1−|α|



1

Z



kP (ψ



0

Z

0

X

1

kψ

j+1

j(α+β0)

1

Z

kP

0

u ∗χε)k

(α)

P

(β00)

(α)

(β)

2

s1−µ

(ψ

ε

j+1

−2s

u ∗χε)k

j+1

u ∗χε)k



1 +

2

δ

2

ε

2

s1−|β|

2

s1−|β|



−γ

ε

dε

ε

−2s

ε

−2s

+ C



1 +

N

1 +

kψ

3

δ ε

2

δ

2

ε



2

j+1



−γ

uk

dε

ε

2

−N

−γ

dε

ε

dε

+

ε

≤

 

,

3



где t > −N3, N3> 0 — произвольное достаточно большое число. Так мы получим второе основное неравенство

≤ C

12





1

Z

0

1

Z

0

kP (ψ

k([P, ψj]ψ

u ∗χε)k

j+1

2

s1−µ

u) ∗χεk

−2s

ε

2

s



ε

1

1 +

−2s



1 +



2

δ

2

ε

−γ

δ ε

dε

ε



2

−γ

+ kψ

dε

ε

j+1

≤

uk



2



t

. (2.5.41)

Теперь оценим левую часть (2.5.30). Из оценок (2.5.38) и (2.5.41) следует, что

≤ C

Z

0

13

1

kP (ψ

1

Z

0

j+1

kP (ψ

u ∗χε)k

j+1

2

s

ε

1

2

s1−µ

−2s



ε

1 +

−2s



2

δ

2

ε

1 +



−γ

δ ε

dε

≤

ε



−γ

2

dε

+

ε

153

5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ 155

+δ

+C

1

Z

kP (ψju ∗χε)k

2

0





kψ

14

j+1

uk

2

s

1

Z

2

+

t

k(ψjP u) ∗χεk

0



−2s

ε

1

1 +



−γ

2

δ

2

ε

dε

+

ε



ε

−2s

dε

ε



(2.5.42)

2

s

1

для любого положительного γ ≥ s + s1+m1−t и s1≤ 0, так как ψjP u ∈ Hs. Выбирая δ2= 1/2, выведем из (2.5.42), что для любых s ∈ R1и s1≤ 0

≤ C

1

Z

kP (ψju ∗χε)k

0

1

Z

n

15

+

kP (ψ

0

1

Z

k(ψjP u) ∗χε)k

0

j+1

2

s

u ∗χε)k



−2s

ε

1

2

s

2

s1−µ

ε

1

−2s

1 +

ε

dε

ε

−2s



2

δ

2

ε



1 +

+ kψ

−γ

j+1

dε

δ ε

≤

ε



−γ

2

dε

+

ε

o

2

uk

. (2.5.43)

t

Так как по теореме 2.2.1

kψjuk

2

= kψjψ

t

j+1

uk

2

t

≤ C16kψ

j+1

uk

2

,

t

можно применить неравенство (2.5.43) последовательно при s1= 0, −µ, −2µ, . . . , −lµ, где j = 0, 1, . . . , l, соответственно, и использовать каждое неравенство, чтобы оценить первый член, появляющийся в правой части предыдущего неравенства. Таким образом мы получим

≤ C

17

l

X

+

j=0

Так как P u ∈ H

1

Z

kP (ϕu ∗ χε)k

0



1

Z



kP (ψ



0

1

Z

k(ψjP u) ∗χεk

0

loc

, все интегралы в правой части (2.5.44) конечны. Если l

s

u ∗χε)k

l+1

2

−µj

2

−2s

ε

0

ε



1 +

2

−µ(l+1)

dε

−2s

ε

2

δ

2

ε

−2s

ε

+ kψ





−γ

1 +

l+1

dε

uk

≤

ε



−γ

2

δ

2

ε

dε

+

ε

 

2

. (2.5.44)

t



настолько велико, что −µ(l + 1) + m1+ s < t, из (2.5.44) следует, что

1

Z

kP (ϕu ∗ χε)k

0

18

(

l

X

j=0

kψjP uk

2

+ kψ

s

l+1



2

−2s

ε

0

1 +



−γ

2

δ

2

ε

dε

≤ C

ε

uk

)

2

.

t

(2.5.45)

154

156 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

На основе этого неравенства легко доказать требуемую оценку (2.5.21). Действительно, из теоремы 2.5.1 и из оценки (2.5.17), которая выполняется в силу условия I доказанной теоремы, следует, что

kϕuk

2

s0+s,γ

≤ C

20

≤ C

 

kϕuk



19





kϕuk

2

+

t

1

Z

2

+

t

0

1

Z

kP (ϕu ∗ χε)k

0

kϕu ∗χεk

2

ε

0

2

s

0

−2s

ε

−2s



1 +

2

δ

2

ε



δ ε

−γ



2

dε

−γ

ε

 



dε

ε





≤

.

Применяя неравенство (2.5.45), мы найдем

kϕuk

2

≤ supδkϕuk

s+s

0

2 s+s0,γ

≤ C

21

(

l

X

j=0

kψjP uk

2

+ kψ

s

l+1

)

2

uk

. (2.5.46)

t

Можно предположить, что система функций {ψj} выбрана таким образом, что ψ0= ϕ и ψ

= ϕ1. Постоянная C21будет в общем случае зависеть

l+1

от t, которое определяется функцией u ∈ D0(Ω). Однако, из неравенств вида (2.5.46) следует, что для любого компактного множества K ⊂ Ω \ M можно считать, что постоянная t одна и та же для всех ψu, где u ∈ D0(Ω),

P u ∈ H

loc

и ψ ∈ C

s

∞

(K). Можно выбрать t = γ0< s + s0. Так, из (2.5.46)

0

следует требуемое неравенство (2.5.21), если supp ϕ ⊂ Ω \M .

Из неравенства (2.5.21) следует гипоэллиптичность оператора P u в Ω \ M, так как, если ϕ1P u ∈ C∞(Ω \M ), то по (2.5.21) ϕu ∈ Hsдля любого s, и из теоремы вложения 2.1.8 следует, что ϕu ∈ C∞(Ω \M ).

Теперь мы докажем (2.5.21) в случае когда ϕ ≡ 1 на M.

Рассмотрим функции ϕ и ϕ0из C

∞

(Ω) такие, что ϕ0≡ 1 на supp ϕ и

0

ϕ ≡ 1 в некоторой окрестности M .

Для рассматриваемых функций ϕ и ϕ0также выполняются оценки (2.5.38) и (2.5.40). Теперь из леммы 2.5.3 и теоремы 2.2.1 следует, что

X

1≤|β|≤N −1−|α|

β=β0+β

Z

≤ δ

1

Z

+2δ

kP ([ϕ0− ϕ]u ∗ χε)k

1

0

1

Z

kϕ

(α+β0)

0

00

1

kP (ϕ0u ∗χε)k

0

1

Z

≤ 2δ

1

0

(α)

P

(ϕ0u ∗χε)k

(β00)



2

−2s

ε

0

kP (ϕu ∗ χε)k



2

−2s

ε

0

1 +

2

ε

0

1 +

155

−2s



2

−2s

ε

−|β|



−γ

2

δ

2

ε



2

δ

2

ε

1 +



−γ

dε

ε

δ

ε

dε

ε

2

1 +

+ C22kϕ0uk



−γ

dε

ε

+ C23kϕ0uk

+



−γ

2

δ

2

ε

2

≤

t

2

. (2.5.47)

t

dε

≤

ε

5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ 157

Так как носитель ϕ0− ϕ лежит в Ω \M , согласно оценке (2.5.45) имеем

1

Z

kP ([ϕ0− ϕ]u ∗ χε)k

0

24

(

l

X

k=0

kψkP uk

2

+ kψ

s

l+1



2

−2s

ε

0

1 +



−γ

2

δ

2

ε

dε

≤ C

ε

uk

)

2

t

(2.5.48)

где {ψk} — некоторая система функций, такая, что ψk∈ C

∞

(Ω\M ), ψ

0

k+1

≡

1 на supp ψk, и все ψk≡ 1 на supp(ϕ0−ϕ). Как и в предыдущем случае, мы снова рассмотрим тождество (2.5.30).

Из этого тождества и из оценок (2.5.38), (2.5.40) и (2.5.48) следует, что

1

Z

kP (ϕu ∗ χε)k

0

+δ

+C



2

−2s

ε

0

1

Z

kP (ϕu ∗ χε)k

1

0

(

kϕ0uk

25

1 +

2

t

2

δ

2

ε

+ kψ



−γ

2 0

l+1

ε

dε

ε

−2s

uk

1

Z

≤

k(ϕP u) ∗χεk

0



1 +

2

+

t

l

X

j=0

δ ε



−γ

2

dε

kψkP uk

2 0

+

ε

)

2

.

s

ε

−2s

dε

+

ε

,

Полагая δ1= 1/2, получим

26

(

kϕP uk

l

X

2

+

s

kψkP uk

k=0

2

+ kψ

s

l+1

uk

2

t

+ kϕ0uk

2

t

1

Z

kP (ϕu ∗ χε)k

0

ε

−2s

dε

≤ C

ε

2 0

(2.5.49)

По условию I теоремы имеем

≤ C

27



1

Z



kP (ϕu ∗ χε)k



0

1

Z

kϕu ∗χεk

0

2

s

0

2

−2s

ε

0

ε

−2s



1 +

δ ε



−γ

2

δ

2

ε

dε

≤

ε





−γ

2

dε

+ kϕuk

ε



2

. (2.5.50)

t



Применяя неравенство (2.5.49) для оценки правой части (2.5.50), мы получим отсюда и из теоремы 2.5.1, что

≤ C

28

(

kϕP uk

2

s

kϕuk

X

+

k=0

≤ C

2

s+s

l

kψkP uk

29

≤ supδkϕuk

0

2

s



kϕ1P uk

+ kϕ0uk

2 s+s0,γ

2

+ kϕ1uk

s

2

+ kψ

t

≤

)

2

uk

l+1



2

, (2.5.52)

t

≤ (2.5.51)

t

)

.

156

158 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

где ϕ1∈ C

∞

(Ω) и ϕ1≡ 1 на множестве supp ϕ0∪ supp ψ

0

l+1

.

Из оценки (2.5.52) следует (2.5.21) и глобальная гипоэллиптичность оператора P в окрестности множества M точно так же, как это было сделано в случае, когда supp ϕ1⊂ Ω \M .

Теорема доказана.

6 Априорные оценки (операторы Х¨ермандера)

Х¨ермандер [187] доказал теорему о гипоэллиптичности дифференциальных операторов второго порядка вида

r

X

P u ≡

j=1

m

P

где Xj(x, D) ≡

l

a

(x)Dl, j = 0, 1, . . . , r, при некоторых условиях на алгеб-

j

l=1

ру Ли операторов Xj, j = 0, 1, . . . , r. Дифференциальные операторы первого порядка Xjимеют действительные бесконечно дифференцируемые коэффициенты в области Ω, а γ — действительная бесконечно дифференцируемая функция в Ω.

В этом параграфе мы дадим другое доказательство теоремы Х¨eрмандера, а также докажем некоторые более общие теоремы о гипоэллиптичности оператора Pu, а также теоремы о локальной гладкости слабых решений уравнения P u = f . Для этого мы найдем априорные оценки для оператора (2.6.1) и условия на P , при которых применима теорема 2.5.2. Те же самые методы будут использоваться в следующем параграфе для изучения вопросов, касающихся гладкости решений и гипоэллиптичности общих уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Аналогичная теорема выполняется также для некоторых классов уравнений высших порядков. Так как все рассмотрения проводятся на некотором компактном множестве K1в Ω, можно предположить, что коэффициенты (2.6.1) принадлежат классу C

∞

(Ω), если нужно, умножая их на функцию ϕ(x) ∈ C

0

такую, что ϕ ≡ 1 на K1. Очевидно, −P u = f — уравнение с неотрицательной характеристической формой.

В §§ 6 и 7 для простоты обозначим (u, v)0через (u, v). Сначала мы докажем следующий вспомогательный результат.

2

X

u + iX0u + γu, (2.6.1)

j

0

∞

(Ω)

Лемма 2.6.1. Пусть As— псевдодифференциальный оператор, символ ко- торого удовлетворяет условиям a) и b) из § 2 при σ = s. Тогда для любого компактного множества K ⊂ Ω неравенство

kP Asuk

выполняется при u ∈ C

2

≤ C(s, K)(kP uk

−s

∞

(K), C(s, K) — постоянная, зависящая от s и

0

2

+ kuk

0

2

) (2.6.2)

0

K.

157

6. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ (ОПЕРАТОРЫ Х¨ЕРМАНДЕРА) 159

Доказательство. Следующее тождество легко проверить:

r

X

[P, As]u ≡

(2[Xj, As]Xj+ [Xj, [Xj, As]])u + i[X0, As]u + [γ, As]u. (2.6.3)

j=1

Применяя теорему 2.3.1 о коммутаторах, неравенство (2.3.2) и теорему 2.2.1 о порядке псевдодифференциального оператора, мы видим из (2.6.3), что

k[P, As]uk

2

−s

≤ C

r

X

1

k[Xj, [Xj, As]]uk

j=1

2

−s

+

r

X

k[Xj, As]Xjuk

j=1

2

−s

+

!

+k[X0, As]uk

2

+ k[γ, As]uk

−s

2

−s

≤

≤ C

kuk

2

r

X

2

+

0

kXjuk

j=1

!

2

. (2.6.4)

0

В уравнении

Re(P u) = Re

"

r

X

j=1

2

(X

u, u) + i(X0u, u) + (γu, u)

j

#

(2.6.5)

преобразуем с помощью интегрирования по частям следующие интегралы:

2

(X

u, u) = kXjuk

j

2

+ (Xju, (X

0

∗

− Xj)u),

j



Re[i(X0u, u)] = Re

i

(X0u.u)+

2

i

(u, X0u)+

2

i

(u, (X

2

∗

−X0)= Re

0

i

(u, (X

2

∗

−X0)u).

0

Уравнение (2.6.5) дает

r

X

j=1

kXjuk

2

≤ |(P u, u)|+

0

 

1

 

2

(u, (X

∗

−X0)u)

0



r

X

 

+



|(Xju, (X

j=1

∗

−Xj)u)|+|(γu, u)|.

j

(2.6.6)

Отсюда мы получим

r

X

kXjuk

j=1

2

≤ C3(kP uk

0

откуда следует

r

X

kXjuk

j=1

Оценки (2.6.4) и (2.6.7) дают

kP Asuk

2

≤ 2kAsP uk

−s

Лемма доказана.

2

+ kuk

0

2

≤ C4(kP uk

0

2

+ 2k[P, As]uk

−s

158

1

2

) +

0

2

+ kuk

0

2

≤ C5(kP uk

−s

r

X

kXjuk

j=1

2

). (2.6.7)

0

2

,

0

2

+ kuk

0

2

).

0

160 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

Замечание. Очевидно, что лемма 2.6.1 также справедлива для операторов

Asвида As= A

+ TN, где A

s,N

— псевдодифференциальный оператор

s,N

порядка не более чем s, а TN— оператор порядка не более чем −N, где N > 0 — достаточно большое число.

Теорема 2.6.1 (энергетическая оценка). Для любой функции u ∈ C

∞

0

(K)

и любого s ≥ 0

r

kX0uk

2 s−1/2

+

X

j=1

kXjuk

2

≤ C(K, s)kP uk

s

2

+ kuk

0



2

. (2.6.8)

2s

Доказательство. Отметим, что при s ≥ 1 неравенство (2.6.8) тривиально. Пусть Es— псевдодифференциальный оператор с символом, определенным формулой (2.2.33), где функция ϕ ∈ C

∞

(K1) и ϕ ≡ 1 на K, K ⊂ K1. Мы

0

изучим Re(P Esu, Esu), преобразуя это выражение таким же образом, как мы преобразовали (2.6.5). Получим

r

X

Re(P Esu, Esu) =

(

r

+ Re

X

(XjEsu, (X

j=1

∗

j

По теореме 2.2.6 об операторах Esдля любой функции u ∈ C

(XjEsu, XjEsu) + (γEsu, Esu)+

j=1

− Xj)Esu) +

i

(Esu, (X

2

∗

− X0)Esu)). (2.6.9)

0

∞

(K) имеем

0

r

X

j=1

kXjuk

2

s

≤ 2

r

X

kEsXjuk

j=1

2

+C1kuk

0

r

X

2

≤

0

4(kXjEsuk

j=1

2

+k[Es, Xj]uk

0

2

)+C1kuk

0

Из оценки (2.3.2) для нормы коммутатора [Es, Xj] получим

Поэтому

r

X

j=1

kXjuk

k[Es, Xj]uk

2

s

≤ C

X

3

j=1

2

≤ C2kuk

0

r

kXjEsuk

2

.

s

2

+ kuk

0

!

2

. (2.6.10)

s

Теперь оценим норму XjEsu с помощью (2.6.9). Применяя теорему 2.2.1 о порядке псевдодифференциального оператора и неравенство (2.1.19), мы получим

1

|(Esu, (X

2

r

X

kXjEsuk

j=1

∗

0

2

≤ |(P Esu, Esu)| +

0

− X0)Esu)| + C4kuk

2

≤ 2kP Esuk

s

r

X

|(XjEsu, (X

j=1

2

−s

+ C5k

∗

− Xj)Esu)|

j

X

1

2

+

2s

2

j=1

r

kXjEsuk

2

.

0

(2.6.11)

2

.

0

159

6. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ (ОПЕРАТОРЫ Х¨ЕРМАНДЕРА) 161

На основе леммы 2.6.1 имеем

kP Esuk

2

≤ C6(kP uk

−s

2

+ kuk

0

2

). (2.6.12)

0

Из неравенств (2.6.10)–(2.6.12) заключаем, что

r

X

j=1

Чтобы оценить kX0uk

kXjuk

2 s−1/2

2

≤ C7(kP uk

s

2

+ kuk

0

2 2s

, рассмотрим (P Esu, E

). (2.6.13)

∗

X0Esu). Здесь E

−1/2

— оператор, сопряженный к Es. Ясно, что

+(γEsu, E

(P Esu, E

∗

E

−1/2

X0Esu) +

−1/2

∗

−1/2

E

X0Esu) = ikE

−1/2

r

X

(XjEsu, X

j=1

−1/2

∗

E

j

X0Esuk

∗

−1/2

E

2

+

0

X0Esu). (2.6.14)

−1/2

Применяя (2.1.19) и теорему 2.2.1 о порядке псевдодифференциального оператора, мы получим оценку

|(P Esu, E

∗

−1/2

E

X0Esu)| ≤ 2kP Esuk

−1/2

2

+ C8kuk

−s

2

≤ C9(kP uk

2s

2

+ kuk

0

2 2s

).

(2.6.15)

Здесь мы также использовали (2.6.12). Легко видеть, что

∗

s

|(γEsu, E

∗

−1/2

E

X0Esu)| ≤ C10kuk

−1/2

2

.

s

Используя снова неравенство (2.1.19) и теоремы 2.2.1 и 2.3.1, мы получим

|(XjEsu, X

∗

E

j

−1/2

E

X0Esu)| ≤ kXjEsuk

−1/2

2

+ kX

0

∗

E

j

−1/2

E

−1/2

X0Esuk

2

,

0

∗

а также неравенство

kXjEsuk

2 0

≤ C

11



kXjuk

2

+ kuk

s



2

s

и оценку

kX



13



kE

12

kXjuk

∗

−1/2

2

+ kuk

s

E

X0EsXjuk

−1/2



2

.

s

2

+ kuk

0

∗

E

j

−1/2

E

−1/2

X0Esuk

2 0

≤ C



2

≤

s

Отсюда следует, что

|(XjEsu, X

∗

E

j

−1/2

E

X0Esu)| ≤ C

−1/2



14

kXjuk

2

+ kuk

s



2

.

s

Следовательно, из (2.6.14) получаем

kE

−1/2

X0Esuk

2 0

≤ C

15

(

kP uk

2 0

+

160

r

X

j=1

kXjuk

2

+ kuk

s

)

2

. (2.6.16)

2s