Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1. Учебное пособие
.pdf
132 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
Легко видеть, что
0
d
T
u(η) = (2π)−mp(η)Zˆq(η − ξ, ξ)ˆu(ξ) dξ−
N
−(2π)
−m
Z
|α|≤N−1
X
1α!∂
|α|
∂ξ
p(ξ)
(η − ξ)αˆq(η − ξ, ξ)ˆu(ξ) dξ,
α
ZZ
0
(T
u, w)0= (2π)
N
−2m
ˆq(η − ξ, ξ) ×"p(η)−
X
−
|α|≤N−1
1
α!
(α)
p
(ξ)(η − ξ)
α
ˆu(ξ) ˆw(η) dξ dη.
Более того, интеграл (2.2.26) оценивается таким же образом, как (2.2.22). С
помощью формулы Тейлора, оценки (2.2.9) и лемм 2.2.1 и 2.2.2 мы получим
#
0
|(T
u, w)0| =
=
(2π)
−2m
ZZ
ˆq(η − ξ, ξ)
X
|α|=N
1
α!
N
(α)
p
(ξ + θ(η − ξ))(η − ξ)αˆu(ξ) ˆw(η) dξ dη
≤
ZZ
≤ C
8
(1 + |ξ|2)
×(1 + |η − ξ|2)
(σ1+σ2+s−N)/2
−M+(N +2|σ1−N|+|s|)/2
(1 + |η|2)
|ˆu(ξ)|| ˆw(η)|dξ dη.
−s/2
×
Выбирая достаточно большое M > 0 и применяя лемму 2.2.4, мы найдем,
что
0
|(T
u, w)0| ≤ C9kuk
N
σ1+σ2−N+s
kwk−s.
Это доказывает теорему.
Напомним обозначение коммутаторов: [A, B] ≡ AB − BA для любых
операторов A и B.
Теорема 2.2.3 (о коммутаторах). Пусть P и Q — псевдодифференциаль-
ные операторы с символами, удовлетворяющими условиям a) и b) при
σ = σ1и σ = σ2соответственно. Тогда
[P, Q]u = (P Q)Nu −(QP )Nu + TNu, (2.2.26)
где оператор TNимеет порядок не более, чем σ + σ2− N:
kTNuks≤ C
s,N
kuk
s+σ1+σ2−N
при u ∈ S и s ∈ R1.
Теорема 2.3.1 сразу следует из теоремы 2.2.2.
Если N = 1, из (2.3.1) следует, что
k[P, Q]uks≤ Cskuk
s+σ1+σ2−1
. (2.2.27)
Обозначим через¯G замыкание ограниченного множества G в Rm.
131
2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВАПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ133
Теорема 2.2.4 (псевдолокальность). Пусть G1и G2— две области в
Rmтакие, что¯G1∩¯G2= ∅. Пусть функция ϕ1(x) ∈ C
что supp ϕ1⊂ G1, и пусть u — любая функция из C
∞
(Rm) такова,
0
∞
(Rm) такая, что
0
supp u ⊂ G2. Тогда для любых N > 0 и s ∈ R1существует постоянная
C(N, s, G1, G2) такая, что
kϕ1P uk
Доказательство. Пусть ϕ2(x) — функция из C
≤ C(N, s, G1, G2)kuks. (2.2.28)
N+s
∞
(Rm) такая, что ϕ2≡ 1
0
на¯G2и supp ϕ2∩¯G1= ∅. Тогда ϕ1P u = ϕ1P ϕ2u. Оценим ϕ1P ϕ2u. Оператор ϕ1P можно рассматривать, как псевдодифференциальный оператор
P0с символом ϕ1(x)p(x, ξ), т.е. ϕ1P ϕ2u ≡ P0ϕ2u. Далее, по теореме 2.2.2 о
произведении псевдодифференциальных операторов имеем
P0ϕ2u = P00u + T
N
u,
2
где оператор P00имеет символ
X
|α|≤N
1
(α)
p
(x, ξ)ϕ1(x)Dαϕ2(x),
α!
2
что тождественно равно нулю, так как supp ϕ1∩ supp ϕ2= ∅. Если N2>
N + σ, где σ — порядок оператора P , то T
−N. Следовательно, ϕ1P ϕ2u = T
kϕ1P uk
= kϕ1P ϕ2uk
N+s
u, и поэтому
N
2
≤ Ckuks, u ∈ C
N+s
имеет порядок не более чем
N
2
∞
(G2),
0
что доказывает теорему.
Обозначим через P∗оператор, формально сопряженный оператору P в
H0, т.е. для любых u, v ∈ S
(P u, v)0= (u, P∗v)0.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2.2.5 (о сопряженном операторе). Пусть P — псевдодифферен-
циальный оператор с символом p(x, ξ), удовлетворяющим условиям a) и
b) для некоторого σ. Пусть (P∗)N— псевдодифференциальный оператор с
символом
D
|α|
∂
α
x
¯p(x, ξ). (2.2.29)
α
∂ξ
X
|α|≤N−1
1
α!
Тогда для любого N ≥ 1
P∗= (P∗)N+ TN, (2.2.30)
где оператор TNимеет порядок не более чем σ − N, т.е.
kTNuks≤ C(N, s)kuk
132
σ+s−N
, u ∈ S. (2.2.31)
134 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
Доказательство. Так как P = P1+ P2, где P1и P2имеют символы p(ξ) и
p2(x, ξ), соответственно, и поскольку
(P1u, v)0= (2π)
где P
∗
— псевдодифференциальный оператор с символом p1(ξ), то доста-
1
−m
Z
p1(ξ)ˆu(ξ)¯ˆv(ξ) dξ = (2π)
−m
Z
ˆu(ξ)¯p1(ξ)ˆv(ξ) dξ = (u, P
1
∗
v),
точно доказать теорему 2.2.5 для случая, когда p1≡ 0. По определению
нормы в H
s
kTNuks= sup
v
(TNu, v)
kvk
0
−s
, v ∈ S.
Оценим
(TNu, v)0= ((P∗− (P∗)N)u, v)0= (u, P v)0− ((P∗)Nu, v)0.
Применяя равенство Парсеваля, получим
(TNu, v)0= (2π)
−2m
ZZ
ˆu(ξ)ˆp(ξ − η, η)ˆv(η) dξ dη − (2π)
−m
Z
\
(P∗)Nu(η)ˆv(η) dη.
Очевидно, преобразование Фурье по x от символа оператора (P∗)Nравно
X
|α|≤N−1
1
α!
|α|
∂
α
η
¯
ˆp(−η, ξ) =
α
∂ξ
X
|α|≤N−1
1
α!
α
(α)
¯
η
ˆp
(−η, ξ).
Следовательно,
"
¯
ˆp(ξ − η, η) −
X
|α|≤N−1
1
α!
(α)
¯
ˆp
(ξ − η, ξ)(η − ξ)
(TNu, v)0= (2π)
−2m
ZZ
ˆu(ξ)ˆv(η)
Чтобы оценить
X
H(ξ, η) =¯ˆp(ξ − η, η) −
|α|≤N−1
1
α!
(α)
¯
ˆp
(ξ − η, ξ)(η − ξ)α,
применим формулу Тейлора. По лемме 2.2.3 имеем неравенство
|H(ξ, η)| =
≤ C1(1 + |η − ξ|2)
X
|α|≤N−1
−M/2
(1 + |η + Θ(ξ − η)|2)
1
α!
(α)
¯
ˆp
(ξ − η, η + Θ(ξ − η))(η − ξ)
(σ−N )/2
(1 + |η − ξ|2)
α
≤
N/2
#
α
dξ dη.
,
где 0 ≤ Θ ≤ 1. Используя неравенство (2.2.7) или (2.2.8) из леммы 2.2.2 и
неравенство (2.2.6), получим
|H(ξ, η)| ≤ C2(1 + |ξ|2)
(σ−N )/2
(1 + |η − ξ|2)
133
(2|σ−N |+N −M )/2
.
2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВАПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ135
Следовательно,
ZZ
|(TNu, v)0| ≤ (2π)
−2m22|s|
|ˆu(ξ)||ˆv(η)|(1 + |ξ|2)
s/2
(1 + |η|2)
−s/2
×
×(1 + |ξ − η|2)
|s|/2
|H(ξ, η)|dξ dη ≤
ZZ
≤ C
3
|ˆu(ξ)|(1 + |ξ|2)
×(1 + |ξ − η|2)
(σ−N +s)/2
(N+2|σ−N |+|s|−M )/2
|ˆv(η)|(1 + |η|2)
dξ dη. (2.2.32)
−s/2
×
Выберем M так, чтобы
(N + 2|σ −N | + |s| − M) ≤ −(m + 1).
Применяя лемму 2.2.4 к последнему интегралу в (2.2.32), получим
|(TNu, v)0| ≤ C4kuk
σ+s−N
kvk
−s
и, следовательно,
kTNuks≤ C4kuk
σ−N +s
.
Теорема доказана.
Легко видеть, что линейный дифференциальный оператор P(x, D) порядка m1, коэффициенты которого бесконечно дифференцируемы и постоянны вне некоторой ограниченной области, является псевдодифференциальным оператором с символом вида p(x, ξ), удовлетворяющим условиям a)
и b) при σ = m1.
Обозначим через Esu псевдодифференциальный оператор с символом
ϕ(x)(1 + |ξ|2)
где s ∈ R1и функция ϕ(x) принадлежит C
s/2
, (2.2.33)
∞
(Rm). Очевидно, что символ
0
оператора Esu удовлетворяет условиям a) и b) при σ = s.
Теорема 2.2.6. Для любой ограниченной области G в Rmи s1, s ∈ R
существует постоянная C, зависящая от s, s1, N и G, такая, что для
любой функции u из C
∞
(G) выполняется неравенство
0
kuk
s+s
≤ kEsuk
1
+ Ckuk
s
1
s+s1−N
, (2.2.34)
если ϕ(x) ≡ 1 из¯G1, где G1⊂¯G.
Доказательство. Пусть ψ(x) ∈ C
∞
(Rm), ψ ≡ 1 на¯G и ϕ ≡ 1 на supp ψ.
0
Рассмотрим оператор
πs= Ks− Es,
где
Ksu ≡ (2π)
−m
Z
(1 + |ξ|2)
s/2
ˆue
i(x,ξ)
dξ.
1
134
136 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
Применяя теорему 2.2.2 о произведении псевдодифференциальных операторов, мы получим для любой функции u из C
∞
0
(G)
где E
s(α)
K
X
πsu = πsψu =
|α|≤N−1
(α)
u — псевдодифференциальный оператор с символом
s
ϕ(x)
u — псевдодифференциальный оператор с символом
∂
∂ξ
1
α!
|α|
α
ψ
(K
(α)
(1 + |ξ|2)
s(α)
s/2
− E
,
(α)
)u + TNu,
s
и оператор TNu имеет порядок не более, чем s −N , т.е.
kTNuk
Как всегда, обозначим Dαψ(x) через ψ
символ оператора ψ
α. Следовательно, Ksu = Esu + TNu для u ∈ C
kuk
s0+s
0
≤ CNkuk
s
s(α)
(K
(α)
≤ kEsuk
s0+s−N
(α)
−E
s
0
+ Ckuk
s
для u ∈ S, s0∈ R1.
. Так как ϕ ≡ 1 на носителе ψ(x),
(α)
)u равен нулю для любого мультииндекса
∞
(G) и, следовательно,
0
s+s0−N
для u ∈ C
∞
0
|α|
∂
α
∂ξ
(G).
(1+|ξ|2)
s/2
Теорема 2.2.7. Пусть P и Q — псевдодифференциальные операторы, сим-
волы которых удовлетворяют условиям a) и b) для σ = 1. Тогда для любых
s ∈ R1и s1≤ 0 существует постоянная C(s, s1) такая, что
2
s
k[P, Q]uk
2
(s1−1)/2+s
≤ C(s, s1)kP uk
2
+kP∗uk
s
2
+kQuk
s
2
s+s
+kQ∗uk
1
2
s+s
+kuk
1
(2.2.35)
для любой функции u в S.
Доказательство. Пусть 2y = 2s + s1− 1. Тождество
k[P, Q]uk
2
= ((P Q − QP )u, K2t[P, Q]u)
t
0
(2.2.36)
очевидно. Согласно (2.1.19) и определению сопряженного оператора,
((P Q − QP )u, K2t[P, Q]u)0≤ |(Qu, P∗K2t[P, Q]u)0| + |(P u, Q∗K2t[P, Q]u)0| ≤
≤ kQuk
2
+ kP∗K2t[P, Q]uk
s+s
1
2
−s−s
+ kPuk
1
2
+ kQ∗K2t[P, Q]uk
s
2
. (2.2.37)
−s
В силу теорем 2.2.1 и 2.3.1, мы получим оценку
≤ C
kQ∗K2t[P, Q]u
kQ∗uk
1
2
s+s
2
≤ 2kK2t[P, Q]Q∗uk
−s
+ k[(Q∗)N, K2t[P, Q]]uk
1
2
+ 2k[Q∗, K2t[P, Q]]uk
2
−s
−s
+ kuk
2
s+s
≤ C
1
kQ∗uk
2
2
−s
2
s+s
≤
1
+ kuk
(2.2.38)
2
,
s
135
2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВАПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ137
так как s1≤ 0. Точно таким же образом мы получим
kP∗K2t[P, Q]uk
2
−s−s
≤ 2kK2t[P, Q]P∗uk
1
≤ C
kP∗uk
3
2
−s−s
2
+ kuk
s
+ 2k[P∗, K2t[P, Q]]uk
1
2
. (2.2.39)
s
2
−s−s
≤
1
Из (2.3.4)–(2.3.7) следует (2.3.3).
Следующая теорема является следствием теорем 2.3.1 и 2.2.5.
Теорема 2.2.8. Пусть P и Q — псевдодифференциальные операторы с
действительными символами, удовлетворяющие условиям a) и b) при σ =
1. Тогда для любого s1≤ 0 и любого s ∈ R1существует постоянная C(s, s1)
такая, что
2
s
k[P, Q]uk
2
s+(s1−1)/2
≤ C(s, s1)kP uk
2
+ kQuk
s
2
s+s
+ kuk
1
для любой функции u из S.
Теорема 2.2.9. Пусть pj(x, ξ), j = 1, . . . , N1, — символы псевдодифферен-
циальных операторов Pj, удовлетворяющих условиям a) и b) при σ = 1, и
пусть
N
1
X
|pj(x, ξ)|2+ 1 ≥ c0(1 + |ξ|2), c0= const > 0, (2.2.40)
j=1
для всех x, принадлежащих замкнутому множеству¯G1. Тогда для любой
функции u из C
∞
(G), где¯G ⊂ G1,
0
(
2
kuk
1+s
≤ C
s
N
X
j=1
1
kPjuk
2
+ kuk
s
)
2
, s ∈ R1. (2.2.41)
s
Доказательство. Рассмотрим псевдодифференциальный оператор P0с сим-
волом
где ψ(x) ∈ C
p0(x, ξ) = ψ(x)
∞
(G1) и ψ ≡ 1 на¯G. Обозначим P
0
N
1
X
|pj(x, ξ)|2+ 1
j=1
!
1/2
,
−1
псевдодифференциальный
0
оператор с символом
ψ(x)
N
1
X
|pj(x, ξ)|2+ 1
j=1
!
−1/2
.
Тогда по теореме 2.2.2,
−1
P
P0u = ψ2(x)u + T u, (2.2.42)
0
где T u — оператор порядка не более чем −1.
136
138 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
Так как ψ(x) ≡ 1 на¯G и u ∈ C
kuk
2
1+s
≤ 2kP
−1
0
P0uk
2
1+s
∞
(G), из (2.2.42) следует, что
0
+ 2kTuk
2
1+s
≤ C
1
kP0uk
2
+ kuk
s
2
. (2.2.43)
s
Легко видеть, что
kP0uk
2
s
≤ C
n
X
2
kPjuk
2
+ kuk
s
o
2
. (2.2.44)
s
Действительно,
p0(x, ξ) = ψ(x)
Так как символ
N
X
j=1
ψ(x)¯p
1
s
j
1 +
1 +
¯p
j
X
k
N
X
k=1
|pk|
1
|pk|
pj+
2
2
!
s
−1/2
1
X
1 +
k
|pk|
.
2
соответствует псевдодифференциальному оператору порядка не более чем
нуль и P
что
−1
имеет порядок не более чем −1, мы получаем из теоремы 2.2.2,
0
kP0uk
2
s
≤ C
(
N
1
X
3
kPjuk
j=1
2
+ kT1uk
s
2
s
+ kP
−1
0
uk
)
2
,
s
где T1u — оператор порядка не более чем нуль. Следовательно, выполняется
неравенство (2.2.44). Утверждение теоремы следует из (2.2.43) и (2.2.44).
3 Леммы о коммутаторах
Напомним обозначение коммутаторов: [A, B] ≡ AB −BA для любых операторов A и B.
Теорема 2.3.1 (о коммутаторах). Пусть P и Q — псевдодифференциаль-
ные операторы с символами, удовлетворяющими условиям a) и b) при
σ = σ1и σ = σ2соответственно. Тогда
[P, Q]u = (P Q)Nu −(QP )Nu + TNu, (2.3.1)
где оператор TNимеет порядок не более, чем σ + σ2− N:
kTNuks≤ C
Теорема 2.3.1 сразу следует из теоремы 2.2.2.
Если N = 1, из (2.3.1) следует, что
s,N
kuk
s+σ1+σ2−N
при u ∈ S и s ∈ R1.
k[P, Q]uks≤ Cskuk
s+σ1+σ2−1
. (2.3.2)
Теперь приведем леммы, существенным образом используемые в следу-
ющем параграфе при доказательстве гипоэллиптичности.
137
4. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ 139
Лемма 2.3.1. Пусть P и Q — псевдодифференциальные операторы, сим-
волы которых удовлетворяют условиям a) и b) для σ = 1 (см. (2.2.2),
(2.2.3)). Тогда для любых s ∈ R1и s1≤ 0 существует постоянная C(s, s1)
такая, что
2
s
k[P, Q]uk
2
(s1−1)/2+s
≤ C(s, s1)kP uk
2
+kP∗uk
s
2
+kQuk
s
2
s+s
+kQ∗uk
1
2
s+s
+kuk
1
(2.3.3)
для любой функции u в S.
Доказательство. Пусть 2y = 2s + s1− 1. Тождество
k[P, Q]uk
2
= ((P Q − QP )u, K2t[P, Q]u)
t
0
(2.3.4)
очевидно. Согласно (2.1.19) и определению сопряженного оператора,
((P Q − QP )u, K2t[P, Q]u)0≤ |(Qu, P∗K2t[P, Q]u)0| + |(P u, Q∗K2t[P, Q]u)0| ≤
≤ kQuk
2
+ kP∗K2t[P, Q]uk
s+s
1
2
−s−s
+ kPuk
1
2
+ kQ∗K2t[P, Q]uk
s
2
. (2.3.5)
−s
В силу теорем 2.2.1 и 2.3.1, мы получим оценку
≤ C
kQ∗K2t[P, Q]uk
kQ∗uk
1
2
s+s
1
2
≤ 2kK2t[P, Q]Q∗uk
−s
+ k[(Q∗)N, K2t[P, Q]]uk
2
−s
2
+ 2k[Q∗, K2t[P, Q]]uk
−s
+ kuk
2
s+s
≤ C
1
2
kQ∗uk
2
−s
2
s+s
≤
1
+ kuk
(2.3.6)
так как s1≤ 0. Точно таким же образом мы получим
2
,
s
kP∗K2t[P, Q]uk
2
−s−s
≤ 2kK2t[P, Q]P∗uk
1
≤ C
kP∗uk
3
2
−s−s
2
+ kuk
s
+ 2k[P∗, K2t[P, Q]]uk
1
2
. (2.3.7)
s
2
−s−s
≤
1
Из (2.3.4)–(2.3.7) следует (2.3.3).
Следующая лемма является следствием теоремы 2.2.5 и леммы 2.3.1.
Лемма 2.3.2. Пусть P и Q — псевдодифференциальные операторы с дей-
ствительными символами, удовлетворяющие условиям a) и b) при σ = 1.
Тогда для любого s1≤ 0 и любого s ∈ R1существует постоянная C(s, s1)
такая, что
2
s
k[P, Q]uk
2
s+(s1−1)/2
≤ C(s, s1)kP uk
2
+ kQuk
s
2
s+s
+ kuk
1
для любой функции u из S.
4 Необходимое условие гипоэллиптичности
Линейный дифференциальный оператор P с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, определенный в области Ω ⊂ Rm, называется гипоэллиптическим в Ω, если для любой обобщенной функции u в D0(Ω) и
любой области Ω1⊂ Ω из того условия, что P u ∈ C∞(Ω1), следует, что u
138
140 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
бесконечно дифференцируема в Ω1. Понятие гипоэллиптичности для дифференциальных операторов было введено в книге Шварца [234]. Х¨eрмандер
изучал гипоэллиптические уравнения с постоянными коэффициентами (см.
[182, 183]) и гипоэллиптические уравнения с переменными коэффициентами [184, 185, 187]. Гипоэллиптические уравнения также являются объектом
изучения в [30, 204, 113, 140, 245, 16].
Следующая теорема обеспечивает необходимые и достаточные условия
гипоэллиптичности для линейного уравнения второго порядка. Аналогичная теорема справедлива также для дифференциального оператора произвольного порядка (см. [187]).
Теорема 2.4.1. Если оператор второго порядка
L(u) ≡ akju
xkx
+ bku
j
+ cu (2.4.1)
x
k
с действительными коэффициентами akj(x), bk(x), c(x) из класса C∞(Ω)
гипоэллиптичен в области Ω, то для любой точки x из Ω
или akj(x)ξkξj≥ 0, или akj(x)ξkξj≤ 0 (2.4.2)
для всех ξ ∈ Rm.
Доказательство. Обозначим akj(x)ξ
ξ
через a(x, ξ). Предположим, что в
некоторой точке x0∈ Ω условие (2.4.2) не выполняется. Это означает, что
существуют векторы ξ0и ξ00такие, что a(x0, ξ0)>0 и a(x0, ξ00) < 0. Тогда
легко видеть, что существует вектор ξ06= 0 такой, что
a(x0, ξ0) = 0 и gradξa(x0, ξ0) 6= 0. (2.4.3)
Пусть Ω1— окрестность точки x0такая, что¯Ω1⊂ Ω, и пусть {Kj, j =
1, . . .} — система замкнутых областей таких, что Kj⊂ K
j+1
P
,
j
Kj= Ω1.
Обозначим через M линейное пространство функций u, определенных в Ω
и таких, что
u ∈ C0(Ω1), Lu ∈ C∞(Ω1).
1
Введем в M счетное множество полунорм (см. [251])
X
p
(u) = sup
j,l
K
|u| +
l
|α|≤j
sup
K
l
|DαLu|.
Так как оператор L(u) по предположению гипоэллиптичен, любая функция u из M бесконечно дифференцируема в Ω1. Пусть T(u) — оператор
вложения пространства M в пространство C∞(Ω1), т.е. любая функция u
из M соответствует той же самой функции, рассматриваемой в пространстве C∞(Ω1), в котором мы введем систему полунорм
X
q
(u) =
j,l
|α|≤j
139
sup
K
|Dαu|.
l
4. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ 141
Легко видеть, что график оператора T замкнут. Следовательно, по известной теореме для F -пространств (см. [251], глава II, § 6) оператор T
непрерывен. Это означает, что любая полунорма q
является полунормой p
и существует постоянная C такая, что
t,s
q
(T u) ≤ Cp
j,l
(u) (2.4.4)
t,s
пространства C∞(Ω1)
j,l
для любой функции u из M.
В частности, из (2.4.4) следует, что любая функция u из M удовлетворяет оценке
X
|grad u(x0)| ≤ C(sup
K
ρ
|u| +
|α|≤N
sup
|DαL(u)|), (2.4.5)
K
ρ
где N — некоторое положительное целое число, а Kρ— элемент системы
{Kj}, C = const.
Мы покажем, что (2.4.5) невозможно, если существует вектор, удовлетворяющий условию (2.4.3). Для этого рассмотрим функцию
N
v =
X
uj(x)t−je
j=0
itϕ
, t = const, (2.4.6)
определенную в¯Ω1. Для функции ϕ, определенной в Ω1, возьмем решение
уравнения akjϕ
ϕ
x
= 0 такое, что grad ϕ(x0) = ξ0. Так как условие (2.4.3)
x
j
k
выполняется для вектора ξ0, известно (см. [105]), что такая функция ϕ(x)
существует и принадлежит классу C∞(¯Ω1), если окрестность Ω1точки x
достаточно мала. Бесконечно дифференцируемые функции uj, j = 0, . . . , N ,
определяются из условия
L(v) = O(t−N), DαL(v) = O(t
−N+|α|
) при t → ∞. (2.4.7)
Тогда, подставляя v в неравенство (2.4.5), мы получим, что правая часть
этого неравенства ограничена для любого достаточно большого t, в то время как левая часть неограниченно растет при t → ∞. Это противоречие
доказывает теорему.
Таким образом, остается только доказать, что функции ujс требуемыми
свойствами существуют. Для этого исследуем L(v). Мы имеем
L(v) = e
itϕ
N
X
j=0
"
−j
t
−t2uja(x, grad ϕ)+t −
m
X
k=1
(k)
a
(x, grad ϕ)Dkuj+Aju
!
+B
j
0
#
,
j
где Ajне зависят от uj, Bjзависят от ujи их производных, а a
∂a(x, ξ)/∂ξk.
Определим u0как решение уравнения
m
X
(k)
a
(x, grad ϕ)Dku0− A0u0= 0,
k=1
140
(k)
(x, ξ) =
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]