Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

6. ЕДИНСТВЕННОСТЬ СЛАБОГО РЕШЕНИЯ 61

принять во внимание, что подынтегральное выражение в интеграле в левой части (1.6.21) равно нулю в δ-окрестности Γ2. Следовательно, при выводе неравенства, аналогичного (1.6.23), можно рассматривать функцию (1 −

ϕ2δ)ϕ

3δ/4

η вместо функции (1 − ϕ2δ)η. В результате, интеграл

Ω∩Q

t 1,2δ

√

ε a(x, ε)∆v1v1(1 −ϕ2δ)ϕ

3δ/4

η dx

в уравнении, аналогичном уравнению (1.6.22), будет равен нулю при достаточно малом ε, и все оценки можно провести, как при доказательстве теоремы 1.6.1.

Отметим, что условие на Γ2, упомянутое в замечании 1.6.3, нельзя опустить, т.е. условие (1.6.35) теоремы 1.6.6 нельзя заменить условием (1.6.43). В самом деле, в краевых задачах, построенных для уравнений (1.6.27) и (1.6.32), условие (1.6.43) выполняется, так как множество внутренних точек

Σ2в этих случаях пусто. Но эти задачи имеют не единственные решения в

классе Lp, p = 2.

Слабые решения задачи (1.3.1), (1.3.2) в гильбертовом пространстве H были построены в §§ 4 и 5 (см. теоремы 1.4.1 и 1.5.4). Теорема единственности для таких решений была доказана в [220]. Доказательство этой теоремы было основано на теории симметричных систем первого порядка.

Обозначим через Γ0объединение границ множеств Σ0, Σ1, Σ2и Σ3на Σ.

Теорема 1.6.7 (Р. Филлипс и Л. Сарасон). Пусть Γ0состоит из двух замкнутых непересекающихся множеств Γ0и Γ1таких, что площадь δокрестности Γlна Σ имеет порядок δ2, а Γ0состоит из конечного числа (m−2)-мерных гладких многообразий. Предположим, что 2c−b

j x

kj xkx

≤

−c1< 0 в Ω и что в точках каждого отдельного многообразия из Γ0или akjνkνj≡ 0, или akjνkνj6= 0, где ¯ν — вектор, нормальный к Γ0на Σ. Тогда функция u в пространстве H равна нулю почти всюду в Ω, если

uL∗(v) dx = 0

Ω

для всех v из C

(2)

(Ω ∪Σ), равных нулю на Σ3∪ Σ1.

Мы не приводим доказательства теоремы 1.6.7, которое можно найти в [220], из-за его сложности; вместо этого мы докажем близко связанную с ней теорему.

Теорема 1.6.8. Предположим, что каждое замкнутое множество G внутренних точек Σ2имеет окрестность, в которой все коэффициенты оператора L∗(v) определены, и в которой akjξkξj≥ 0, akj∈ C

c∗∈ C

(0,α)

, 0 < α < 1. Пусть β∗≤ 0 на Σ1∪ Σ0, c∗< 0 в Ω ∪ Σ и

, b∗j∈ C

(2)

(1)

пусть множество граничных точек Σ3и Σ2состоит из двух замкнутых непересекающихся множеств Γ0и Γlтаких, что площадь δ-окрестности

62 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

Γlна Σ имеет порядок δ2и Γ0состоит из конечного числа (m −2)-мерных

многообразий, на каждом из которых или akjνkνj≡ 0, или akjνkνj6= 0. Тогда функция u в L2(Ω) равна нулю почти всюду в Ω, если

uL∗(v) dx = 0 (1.6.44)

Ω

для всех v в C

(2)

(Ω ∪Σ), равных нулю на Σ3∪ Σ1, и функция u в окрест- ности точек из Γ0, где akjνkνj6= 0, совпадает с некоторой функцией в пространстве H. (Условие гладкой продолжимости коэффициентов уравнения L∗(v) = 0 в окрестность Σ2можно заменить условием (1.6.43).)

Доказательство. Пусть Gδ— множество точек из Σ2, расстояние которых

от границы Σ2больше, чем δ. Рассмотрим область Ωδ, содержащую δ/2окрестность Gδ, и вне этой окрестности совпадающую с Ω. Пусть Ωδ∈ A и пусть a1(x) — функция из C Мы построим функцию a(x, δ) такую, что a(x, δ) ∈ C

(Ωδ) такая, что a1= 0 в Ω и a1> 0 в¯Ωδ\¯Ω.

(2)

(Ωδ), a(x, δ) равна

(2)

(2,α)

единице в δ/2-окрестности множества Γ0∪Γl, равна нулю вне δ-окрестности этого множества и 0 ≤ a ≤ 1. В области Ωδрассмотрим уравнение

ε∆v + a1(x)∆v + a(x, δ)∆v + L∗(v) = Φ, (1.6.45)

где Φ ∈ C

∞

(Ω), ε = const > 0, с условием v = 0 на границе Ωδ.

Если вместо условия продолжимости коэффициентов L∗(v) в окрест-

ность Σ2выполняется условие (1.6.43), то рассмотрим уравнение

ε∆v + a(x, δ)∆v + L∗(v) = Φ в Ω; v = 0 на Σ, (1.6.46)

в котором a(x, δ) ∈ C∞(¯Ω), a(x, δ) = 1 в δ/2-окрестности Σ2∪Γ0∪Γl, a(x, δ) = 0 вне 3/4δ-окрестности этого множества и 0 ≤ a(x, δ) ≤ 1.

В силу наших предположений, а также леммы 1.5.1 и теоремы 1.6.1,

оценка

(∆v)2dx ≤ C1, (1.6.47)

Ω

справедлива для решения уравнения (1.6.45), равного нулю на границе области Ωδ; здесь постоянная C1не зависит от ε, но зависит от δ. (То же самое неравенство выполняется для решений уравнения (1.6.46).) Предположим, что гладкая функция ϕδ(x) равна нулю в δ-окрестности Γ0∪ Γl,

0 ≤ ϕδ(x) ≤ 1, и ϕδ(x) = 1 вне некоторой окрестности γde множества Γ0∪Γl. (В случае (1.6.46) мы использовали при построении ϕδ(x) множество Σ2∪ Γ0∪ Γlвместо множества Γ0∪ Γl.)

В (1.6.44) мы используем функцию v1ϕδвместо функции v, где v1удовлетворяет уравнению (1.6.45) в Ωδи равна нулю на границе этой области. Имеем

L∗(v1ϕδ)u dx = 0.

Ω

6. ЕДИНСТВЕННОСТЬ СЛАБОГО РЕШЕНИЯ 63

Отсюда следует, что

ϕδΦu dx =

Ω

ε∆v1ϕδu dx −

Ω

v1[L∗(ϕδ) −c∗ϕδ]u dx −

Ω

2akjϕ

u dx.

(1.6.48) Мы использовали тот факт, что ϕδa(x, δ) = 0 и a1(x) = 0 в Ω. Первый интеграл в правой части (1.6.48) сколь угодно мал при фиксированном δ для достаточно малого ε. Это доказывается с помощью (1.6.47) точно так же, как мы оценили аналогичный интеграл при доказательстве теоремы 1.6.1. Последние два интеграла в правой части (1.6.48) (мы обозначаем их I1и

I2соответственно) можно сделать сколь угодно малыми при подходящем

выборе ϕδи при ε < δ для достаточно малого δ. Отметим, что в этих интегралах подынтегральное выражение отличается от нуля только в γδ.

Построение функции ϕδв окрестности множества Γlи оценка интегралов I1и I2, взятых по соответствующей окрестности этого множества, проводятся точно так же, как для множества Γ3в доказательстве теоремы 1.6.1. Отметим только, что при выводе неравенства, аналогичного (1.6.23), нужно умножить (1.6.45) или (1.6.46) на ηϕ

3δ/4

(1 −ϕ2δ)v1и проинтегрировать

по Ωδ.

Построение функции ϕδи оценка интегралов I1и I2, взятых по той части Γ0, где akjνkνj≡ 0, проводятся точно так же, как для множества Γ в доказательстве теоремы 1.6.1.

В окрестности множества точек из Γ0, в которых akjνkνj6= 0, мы построим функцию ϕδтак же, как это было сделано для окрестности Γ1при доказательстве теоремы 1.6.1. Так как по предположению в окрестности Γ функция u(x) совпадает с некоторой функцией из H и akjνkνj6= 0, легко доказать, что

1/2

u2dx → 0 при δ → 0, (1.6.49)

где γ

— окрестность той части Γ0, где akjνkνj6= 0, причем 1 − ϕδ6= 0. Для

этого мы используем локальные координаты y1, . . . , ymв окрестности точки P , принадлежащей Γ0, такие, что ось ymнаправлена вдоль внутренней нормали к Σ, а направление оси y

совпадает с направлением ν. Можно

m−1

предположить, что в операторе L∗(v) после преобразования все коэффициенты производных вида v

m−1yj

, j 6= m −1, равны нулю. Из того факта, что

в окрестности Γ0функция u(x) совпадает с функцией из H, следует, что

u2dx ≤ C

m−1

√

dy < ∞

m−1

+ u2) dy,

64 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

для достаточно малого δ, где постоянная C2не зависит от δ и где Γ некоторая область, содержащая γ

, с mes Γ

при δ → 0. Дальнейшая оценка

—

интегралов I1и I2проводится так же, как для соответствующих интегралов для Γ1в доказательстве теоремы 1.6.1; необходимо только заменить условие u ∈ L3(Ω) соотношением (1.6.49).

В случае, когда условие (1.6.43) выполнено, функция ϕδстроится в окрестности границы Σ2аналогично, в зависимости от того, принадлежит ли эта граница Γ0или Γ1. Кроме того, предполагается, что ϕδравна нулю в точках, отстоящих не дальше, чем δ/4, от Σ2, и ϕδравна единице в точках, расстояние от которых до Σ2вдоль нормалей к Σ больше, чем δ. Итак, теорема 1.6.8 доказана.

Легко видеть, что слабое решение задачи (1.3.1), (1.3.2) единственно в любом классе Lp(Ω) при p ≥ 1, если задача

L∗(v) = Φ в Ω; v|

Σ1∪Σ

имеет решение v(x), принадлежащее классу C Φ ∈ C

∞

(Ω). Такие условия будут даны в § 8.

= 0

(2)

(Ω∪Σ) для любой функции

Теперь докажем теорему единственности для кусочно-гладких областей Ω. Для таких областей теорема существования 1.5.5 выполняется.

Теорема 1.6.9. Пусть Ω ∈ B

(2,α)

, пусть множество Γ граничных точек множества Σ2∪ Σ0таково, что площадь δ-окрестности множества Γ на Σ имеет порядок δq, q > 0, и пусть выполняются предположения теоремы 1.6.2 относительно коэффициентов оператора L∗(v) и функции β∗. Тогда обобщенное решение задачи (1.1.4), (1.1.5), определенное интегральным тождеством (1.5.25), единственно в классе ограниченных измеримых функций в Ω.

Доказательство. Эту теорему можно доказать тем же способом, что и тео-

рему 1.6.1. Во-первых, построим область Ωδ∈ B

(2,α)

точно так же, как

при доказательстве этой теоремы, а затем построим область˜Ωδтакую, что

Ωδ∈ A

(2,α)

,˜Ωδ⊂ Ωδи˜Ωδсовпадает с Ωδвне δ-окрестности множества точек B, лежащих на границе множества Ωδ. Обозначим их B0. (Определение множества B дано перед теоремой 1.5.5.) В области˜Ωδрассмотрим уравнение

ε∆v + a(x)∆v + a1(x, de)∆v + L∗(v) = Φ, (1.6.50)

где a(x) — гладкая функция, такая что a(x) = 0 в Ω и a(x) > 0 в¯Ωde\¯Ω, гладкая функция a1(x, δ) = 0 в δ-окрестности множества B0и a1(x, δ) = 1 вне 2δ-окрестности этого множества. В интегральном тождестве (1.6.44) заме- ним функцию v функцией v1ϕ2δ, где v1— решение (1.6.50), равное нулю на границе области˜Ωδ, а ϕδ— гладкая функция, равная нулю в δ-окрестности множества B0∪Γ и равная единице вне некоторой окрестности γδэтого множества. В окрестности множества Γ функция ϕδстроится точно так же, как она была построена в окрестности множества Γ3в доказательстве теоремы 1.6.1. Для точек множества B0, являющихся предельными точками Σ1,

7. ЛЕММА О НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ 65

мы построим функцию ϕδтак же, как это было сделано для множества Γ1в теореме 1.6.1. Для оставшихся точек из B0, которые мы обозначим B1, вместо функции ϕδвыберем гладкую функцию, равную нулю в δ-окрестности множества B1, равную единице вне 2δ-окрестности этого множества и такую, что 0 ≤ ϕδ≤ 1,

= O(δ−2); ϕ

xkx

= O(δ−1). (1.6.51)

Используя стандартный метод барьеров, можно показать, что v1мало в окрестности множества B1равномерно по ε и δ. Рассматривая эту оценку для v1и уравнения (1.6.22), мы докажем, что

dx → 0 при δ → 0, (1.6.52)

где B

akjv

— δ-окрестность множества B1. С помощью соотношений (1.6.51) и

(1.6.52) оценим интегралы I1и I2в правой части уравнения (1.6.48).

Подобным же образом можно доказать теоремы единственности для ре-

шений задачи (1.1.4), (1.1.5) в области Ω из класса B

(2,α)

в пространствах

Lp(Ω), аналогичные теоремам 1.6.1, 1.6.4, 1.6.6 и 1.6.8, доказанным для гладких областей.

7 Лемма о неотрицательных

квадратичных формах

В этом параграфе мы докажем неравенство, относящееся к неотрицательным квадратичным формам, которое будет существенно использоваться в следующем параграфе для изучения гладкости слабых решений краевых задач (1.1.4), (1.1.5), в § 6 главы 2 для изучения гипоэллиптичности общих уравнений второго порядка, а в § 2 главы ?? в связи с вырождающимися гиперболическими уравнениями.

Лемма 1.7.1. Пусть akj(x)ξkξj≥ 0 для всех x в Rmи всех ξ = (ξ1, . . . , ξm), и пусть akj(x) ∈ C

где M зависит только от вторых производных функций akj. (В (1.7.1), как всегда, предполагается суммирование по повторяющимся индексам от 1 до m.)

Доказательство. Любая неотрицательная функция, определенная при всех

значениях x и принадлежащая классу C

(Rm). Тогда для любого v ∈ C

(2)

)2≤ M akjv

xkx

xsx

(R1), удовлетворяет неравенству

(2)

(Rm)

(2)

, (1.7.1)

xsx

≤ 2{sup |fxx|}f. (1.7.2)

66 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

Действительно, предположим, что это неравенство не выполняется в некоторой точке x0, так что

(x0) > 2{sup |fxx|}f(x0), f(x0) 6= 0. (1.7.3)

Рассмотрим точку ˜x0= x0− 2f(x0)/fx(x0). По формуле Тейлора

(˜x0) = f(x0) −2

f(x0)

fx(x0) + 2

fx(x0)

f2(x0)

(x0)

fxx(¯x)

или

f(x0)

f(˜x0) = −f(x0)1 −2

(x0)

fxx(¯x).

Так как по предположению неравенство (1.7.3) выполняется, имеем:

f(x0)

1 −2

(x0)

fxx(¯x) > 0

и, следовательно, f(˜x0) < 0, что противоречит тому предположению, что f(x) ≥ 0 для всех x ∈ R1.

Пусть x0— произвольная точка из Rm. Сделаем замену независимых переменных ys= αksxk, где αks— постоянные, а kαksk — ортогональная матрица такая, что матрица kakjαksαjρk диагональна в точке x0.

Легко проверить, что в точке x0при v ∈ C

(2)(Rm

) выполняются уравне-

ния

akjv

xkx

kj x

xkx

xjx

)2= (˜a

= ˜assv

sl x

ysy

, (1.7.4)

ysy

)2. (1.7.5)

Очевидно, ˜aslξsξl≥ 0 во всех точках Rm. Следовательно, в силу (1.7.2),

(˜a

ss x

)2≤ C1˜a

в Rm, (1.7.6)

где постоянная C1зависит от производных akjвторого порядка. Так как ˜ass+ 2˜asl+ ˜all≥ 0 в Rm, можно применить к этой функции (1.7.2), откуда получим

(˜a

)2≤ C2(˜ass+ 2˜asl+ ˜all) + C3(˜ass+ ˜all) (1.7.7)

во всех точках Rm; здесь C2и C3— постоянные.

В точках x0имеем ˜asl= 0 при s 6= l. Поэтому из (1.7.7) следует, что в x

(˜a

)2≤ C4(˜ass+ ˜all), (1.7.8)

где постоянные Cjзависят только от вторых производных akj.

Из соотношений (1.7.4) и (1.7.5) и оценок (1.7.6) и (1.7.8) следует утверждение леммы для v из класса C для v из C

(2)

(Rm).

(2)(Rm

). Переход к пределу дает (1.7.1)

В дальнейшем понадобятся несколько следствий неравенства (1.7.2) и леммы 1.7.1.

8. О ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ 67

Следствие 7.1. Квадратичная форма akj(x)ξkξj≥ 0 при всех ξ и x ∈ Rm. Следовательно, считая ее функцией от ξjи применяя (1.7.2), получаем

|akj(x)ξk|2≤ 2ajj(x)akl(x)ξkξ

(1.7.9)

при всех ξ и x ∈ Rm.

Следствие 7.2. Пусть η = (η1, . . . , ηm), где ηj— комплексные числа. Тогда

|akj(x)ηk|2≤ 2ajj(x)akl(x)ηk¯η

(1.7.10)

при всех x ∈ Rmи всех комплексных значениях η1, . . . , ηm.

Неравенство (1.7.10) немедленно следует из (1.7.9). Действительно, предположим, что ηk= ξk+ i˜ξk, где ξkи˜ξk— действительные числа. Тогда (1.7.10) можно переписать в виде

|akj(x)ξk|2+ |akj(x)˜ξk|2≤ 2ajj(x)[akl(x)ξkξl+ akl(x)˜ξ

ξl].

Это неравенство является непосредственным следствием (1.7.9).

Следствие 7.3. Пусть v — комплекснозначная функция и пусть v ∈ C

(Rm), Dj= −i∂/∂xj. Тогда

(2)

DkDjv|2≤ M akjDkDtvDjDtv. (1.7.11)

Постоянная M зависит только от вторых производных функции akj.

Неравенство (1.7.11) также сразу следует из (1.7.1), если функции

DkDjv записать в виде

DkDjv = DkDjv1+ iDkDjv2,

где v1и v2— действительные функции, и подставить эти выражения в

(1.7.11).

8 О гладкости слабых решений

В этом параграфе мы докажем ряд теорем о гладкости слабого решения задачи (1.1.4), (1.1.5), построенного в § 5.

Обозначим через E множество точек Ω ∪Σ, где определитель матрицы

kakjk равен нулю. Отметим, что в некоторой окрестности каждой точки P множества Ω \ E слабое решение задачи (1.1.4), (1.1.5) является слабым

решением эллиптического уравнения второго порядка, и в силу известных результатов (см. [206, 232]) оно принадлежит классу C окрестности точки P , если коэффициенты уравнения и функции f в окрестности этой точки принадлежат классу C

(k,α)

. Аналогичное утверждение также справедливо для тех точек из Ω, в окрестности которых уравнение (1.1.4) является параболическим, и одна из переменных xjиграет роль времени (см. [170, 51]).

(k+2,α)

в некоторой

68 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

В §§ 5 и 6 главы 2, мы укажем далеко идущие условия на коэффициенты уравнения (1.1.4), при которых слабое решение задачи (1.1.4), (1.1.5) будет обладать аналогичным свойством локальной гладкости.

В этом параграфе мы выведем условия на коэффициенты уравнения, границу множества Ω и функции f и g, при которых слабое решение принадлежит некоторому классу C

(Ω ∪ Σ). Мы используем тот факт, что

(k)

слабое решение, как показано в § 5, можно охарактеризовать как предел решений эллиптических уравнений (1.5.4) при ε → 0. Следовательно, для доказательства гладкости слабых решений мы найдем оценки решений (1.5.4), равномерные по ε.

Введем обозначение

B1(x) = c(x) +

Mm + max

(

1 2

j=1 j6=s

| +

1 2

j=1 j6=s

|), (1.8.1)

j x

где M — постоянная из неравенства (1.7.1), зависящая от вторых производных, взятых от коэффициентов akj.

Лемма 1.8.1. Пусть uε(x) — решение уравнения

Lε(u) = ε∆u + akju

xkx

+ bku

+ cu = f в Ω (1.8.2)

с условием

u = g на Σ, (1.8.3)

где c < 0 в Ω ∪ Σ и akjξkξj≥ 0 в Ω ∪ Σ для любого ξ. Кроме того, пусть выполняются следующие условия.

1) В некоторой области ω, содержащейся в Ω, коэффициенты akj, bk, c и f принадлежат классу C

(0)

(Ω ∪Σ) и uε∈ C

(1)

(¯ω), uε∈ C

(ω); g — ограниченная функция, uε∈

(1)

(3)

(ω).

2) В области ¯ω выполняется неравенство (1.7.1) (в частности, это неравенство всегда выполняется, если ¯ω ⊂ Ω и если в области Ω коэффициенты akj∈ C

(Ω) и akjξkξj≥ 0 для всех ξ).

(2)

3) В δ-окрестности Eδмножества E при некотором δ > 0 выполняется неравенство

sup

B1< 0.

Eδ∩¯ω

Тогда решение uεзадачи (1.8.2), (1.8.3) удовлетворяет оценке

max¯ω|grad uε|2≤ M1+ maxσ|grad uε|2, (1.8.4)

где постоянная M1не зависит от ε и σ — граница множества ω.

8. О ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ 69

Доказательство. Так как c < 0 в Ω ∪ Σ, получаем, что uεравномерно ограничена по ε в силу принципа максимума. В области ω \ Gδ, где Gδ= Eδ∩ ω, уравнение (1.8.2) равномерно эллиптично при ε ≥ 0, т.е. в точках множества ω \ Gδвыполняется неравенство

k=1

(1.8.5)

akjξkξj≥ α

с положительной постоянной α0, не зависящей от ε. В области Gδвыполняется условие

B1≤ α1< 0, α1= const . (1.8.6)

Мы построим уравнение, которому удовлетворяет v = p1+ C1u

, где p1=

|grad uε|2и C1— положительная постоянная, которую мы выберем позже.

Продифференцируем (1.8.2) по xs, умножим его на u

и просуммируем

по s от 1 до m; получится уравнение для p1вида

+[−akju

xsx

ε∆p1− εu

xsx

+ a

kj x

xkx

] + b

1 2

k x

akjp

xkx

bkp

+ cp1+ c

= f

Очевидно, uεудовлетворяет уравнению

ε∆(u2)+

akj(u2)

xkx

bk(u2)

+cu2−εu

−akju

= fu. (1.8.8)

Из (1.8.7) и (1.8.8) получим уравнение для v вида

ε∆v +

akjv

xkx

+ c

bkv

− εC1u

+ cv − εu

xkx

− C1akju

xkx

+ [−akju

xsx

+ C1fu. (1.8.9)

xsx

+ a

Если максимум v достигается в точке Q1внутри области ω, то в этой

точке ∆v ≤ 0, akjv

xkx

≤ 0 и v

= 0. Очевидно, что для фиксированного s

выполняется неравенство

kj x

xkx

| ≤

kj x

xkx

)2+

(1.8.7)

xkx

где M — постоянная из (1.7.1). В силу леммы 1.7.1,

−akju

xsx

s=1

kj x

xkx

)2≤ 0.

Следовательно, в точке Q1, где v достигает своей наибольшей величины, мы имеем:

v + cv + b

j=1 j6=s

1 2

s=1

s6=j

70 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

+2τv +

4τ

s=1

|2u2+

4τ

j=1

|2− C1akju

+ |C1fu| ≥ 0, (1.8.10)

где τ = const > 0. Выберем постоянную C1настолько большой, чтобы в точках ω \ G

−C1α0+ c + 2τ + max

s,j=1

| +

< 0.

j x

Если Q1∈ Ω \Gδ, то при этом выборе C1из (1.8.10) следует, что

v < M1,

где постоянная M1не зависит от ε. Если Q1∈ Gδ, то выбирая τ > 0 достаточно малым и рассматривая условие (1.8.6), мы также выведем из (1.8.10), что v ≤ M1. Таким образом, оценка (1.8.4) доказана.

Лемма 1.8.2. Предположим, что для некоторой области ω ⊂ Ω выполня- ется неравенство (1.7.1) и что коэффициенты akj, bk, c и f принадлежат классу C

(¯ω), c < 0 в¯Ω. Пусть¯Sl= (s1, . . . , sl), где sjпробегают значе-

(µ)

ния 1, . . . , m. Пусть для любого l ≤ µ выполняется неравенство

sup

Bl< 0, (1.8.11)

Eδ∩¯ω

где Eδ— δ-окрестность множества E и

(

1 2

ρ,κ=1

ρ=1

k,j=1

(|a

kj x

| + |a

sρs xkx

|)),

ρ,µ=1

ρ6=µ

sρs x

Bl= c +

ρ=1

k=1

k6=s

(|b

Mml + max

k x

| + |b

s x

|) +

(1.8.12)

где последнее суммирование подчинено условию

ρ < κ, (k, j) 6= (sρ, sκ), (j, k) 6= (sρ, sκ).

Тогда для решений uεзадачи (1.8.2), (1.8.3), таких что uε∈ C(µ + 2)(ω), uε∈ C(µ)( ¯ω), выполняется оценка

max¯ωpl≤ Ml+

maxσpν, l ≤ µ, (1.8.13)

ν=1

где pl≡ Σ

uε)2, D

= (∂/∂x

) ···(∂/∂x

зависящие от ε, и σ — граница множества ω.

), Ml— постоянные, не

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]