Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1. Учебное пособие
.pdf
8. О ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ 81
В области Ω плоскости (x1, x2), заключенной между окружностями x
2
x
= 1 и x
2
2
1
+ x
2
= 4, рассмотрим уравнение
2
2
+
1
∂u
+ cu = 0, c = const < 0. (1.8.36)
∂x
2
2
2
Точки (−2, 0), (−1, 0), (1, 0) и (2, 0) принадлежат Σ0, дуга x
2
x2> 0 и дуга x
1
+ x
2
= 4 при x2< 0 принадлежат Σ1, а остальная часть
2
1
+ x
= 1 при
2
границы принадлежит Σ2. Зададим на Σ2следующую функцию:
2
u = 0 на x
u = 1 на x
1
2
1
2
+ x
= 1 при x2< 0,
2
2
+ x
= 4 при x2> 0.
2
Очевидно, что слабое решение этой задачи имеет разрыв вдоль прямой x1=
1 при x2< 0 и вдоль прямой x1≡ −1 при x2< 0.
Отметим, что если предположения леммы 1.8.1 выполнены, граница σ
области ω лежит в Ω, σ∩E = ∅, а также выполняются условия теоремы 1.6.2
о единственности, то слабое решение задачи (1.1.4), (1.1.5) удовлетворяет
условию Липшица в ω. Точно так же из леммы 1.8.2 следует, что если σ∩E =
∅ и условия леммы 1.8.2 выполнены в окрестности множества ω, то слабое
решение u(x) задачи (1.1.4), (1.1.5) принадлежит классу C
(µ)
в ω.
Условие теорем 1.8.1 и 1.8.2 о том, что Bl< 0 в окрестности множества
точек, где det kakjk = 0, при l ≤ µ всегда выполнено, если c < −c0< 0, где
постоянная c0достаточно велика, в зависимости от µ. Следующий пример
показывает, что это условие необходимо. Функция u = rα, α > 0, α −[α] > 0,
m
P
k=1
2
x
, в области Ω = {r < 1} является слабым решением задачи
k
r2=
(1.1.4), (1.1.5) для уравнения
L(u) = r2∆u −[αm + α(α − 2)]u = 0
с условием u = 1 на Σ3. Этот пример показывает, что уравнение L(u) = 0
с аналитическими коэффициентами и аналитической функцией g и сколь
угодно большим c0может иметь слабое решение всего лишь с конечным числом ограниченных производных даже при условии, что уравнение L(u) = 0
эллиптично в окрестности границы Σ.
Теперь рассмотрим вопрос: при каких условиях на уравнение L(u) = f
и на границу Σ верно, что граничная функция g на некотором отрезке границы не влияет на гладкость решения задачи (1.1.4), (1.1.5) во внутренних
точках?
Из леммы 1.8.2 следует, в частности, что это верно, когда уравнение
L(u) = f эллиптично в окрестности границы, c < −c0< 0 и c0достаточно
велико в точках, в которых det kakjk = 0.
Лемма 1.8.5. Пусть функция uε(x) удовлетворяет уравнению
ε∆u + L(u) = f
81
82 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
в области ω, являющейся пересечением Ω с некоторой окрестностью точки P , лежащей на границе, и это уравнение в координатах y1, . . . , ymпринимает вид
Lε(u) = L
0
(u) + cu = f, (1.8.37)
ε
где
0
L
(u) ≡ εµkju
ε
µkjξkξj≥ µ
X
0
k=1
y−ky−j
m
ενku
2
ξ
, µ0= const > 0, αkjξkξj≥ 0.
k
+ αkju
y
k
y−ky−j
+ βku
,
y
k
(Предполагается, что граница Σ лежит в плоскости ym= 0 и ym> 0 для
точек из Ω.) Пусть uε(x) ∈ C
и пусть коэффициенты (1.8.37) и функция f принадлежат классу C
(µ+2)
(¯ω), |uε| ≤ K0в ω, где K0— постоянная,
(µ)
(ω),
µ ≥ 1. Предположим, что для некоторых положительных постоянных K
выполняется одно из следующих условий.
1) Форма αkjξkξjудовлетворяет условию (1.7.1) в точках ω, и в ω для
некоторого κ ≥ 2 или κ = 0 и любого ν ≤ µ выполняется или
j
−ymβm+ [(4mν− 1)(κ + 2ν) + 2]α
mm
≤ K1y
2
, (1.8.38)
m
или
m
X
αkjξkξj≥ K2α
mm
j=1
2
ξ
; −ymβm≤ K3(α
j
mm
2
+ y
). (1.8.39)
m
2) Форма ymαkjξkξjудовлетворяет условию (1.7.1) в точках ω, и всюду
в ω для некоторого κ ≥ 2 или κ = 0 и всякого ν ≤ µ выполняется
или
−ymβm+ [(4mν− 1)(κ + 2ν) + 2]α
mm
+ 2(κ + 2ν)−1M1ym≤ K4y
2
m
,
(1.8.40)
или
m
X
αkjξkξj≥ K5α
mm
j=1
2
ξ
; −ymβm+2(κ+2ν)−1M1ym≤ K6(αmm+y
j
(1.8.41)
Здесь постоянная M1определяется коэффициентами (1.1.4), M1=
M0+ γ max |βm| · mν, где M0зависит от αkj, а также от βkпри
k 6= m, и γ = const > 1.
P
Пусть pl≡
Vν=
ν
P
l=0
Cly
(D
uε)2,¯Sl= (s1, . . . , sl), sj= 1, . . . , m, D
¯
S
¯
S
2l+κ
m
l
l
pl. Тогда в точках ω при ν ≤ µ и некоторых положи-
= ∂/∂x
¯
S
l
···∂/∂x
s
1
тельных постоянных Cl, не зависящих от ε, функции Vνудовлетворяют
неравенству
2
m
).
,
s
l
1
0
L
(Vν) + (c + M2)Vν+ EνV
ε
2
82
ν−1
−
8. О ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ 83
ν
−a
X
0
l=1
C
l
X
¯
S
l
2l+κ
y
m
(αkj+ εµkj)D
u
D
u
¯
S
l
¯
y
S
k
≥ −˜Eν, (1.8.42)
y
j
l
где a0, Eνи˜Eν— положительные постоянные, не зависящие от ε, а M
определяется с помощью коэффициентов bk, akjи их производных первого
и второго порядка соответственно.
Доказательство. Неравенство (1.8.42) доказывается по индукции. Сначала
мы докажем его для ν = 1.
Дифференцируя (1.8.37) по ys, умножая на u
получим для p1=
+ε[−µkju
ysy
u
k
P
m
2
u
уравнение вида
y
1
k
1
0
L
(p1) + cp1+ [−αkju
ε
2
kj
ysy
j
+ µ
u
yky
y
j
s
u
ysy
ysy
k
] + β
k
u
u
y
y
s
y
k
u
y
s
s
j
+ c
+ α
y
и суммируя по s, мы
y
s
kj
u
u
y
j
+ εν
s
]+
k
y
u
u
y
k
s
s
y
uu
yky
s
y
s
= f
y
s
u
y
s
(1.8.43)
Так как форма µkjξkξjположительно определена, получаем, что
kj
µ
u
yky
y
s
u
≤ γ0µkju
y
j
s
ysy
u
k
+ R1p1, γ0= const < 1.
ysy
j
Мы обозначили через Rjпостоянные, не зависящие от ε. Оценим члены
вида α
kj
y
u
u
yky
s
точно так же, как в случае, когда (1.7.1) выполняется для
y
j
s
формы αkjξkξjв ω. В случае, когда условие 2) выполняется, неравенство
(1.7.1) выполняется для формы ymαkjξkξj. Отсюда следуют неравенства
2
.
y
s
kj
y
α
m
y
s
2
kj
y
α
m
y
m
u
yky
2
≤ R2ymαkju
j
u
yky
2
≤ M αkju
j
ysy
u
yρy
yρy
k
j
+ γ
2
u
ysy
k
при s 6= m,
j
αkju
yky
2
, γ0= const > 1.
j
Рассматривая последнее неравенство и используя (1.8.37), получим
m
h
yρy
m
k
X
s=1
u
R
ymαkju
3
+ R4ymp1+ γ1y
yρy
j
yρy
u
k
yρy
j
2
εµkju
m
1/2
+ γ
yky
αkju
+ νku
j
2
kj
y
α
u
m
yky
y
s
≤ γ1y
j
m
u
2
y
s
αkju
≤ y
yky
y
i
|u
| ≤
y
j
k
s
2
+
+R5εp1+ ymR6p1+ R7,
где γ1= const < 1, R4зависит только от αkj, R6≤ γm ·max |βm|+ R8, а R
зависит от βkпри k 6= m.
Следовательно, умножая (1.8.43) на y
2+κ
и используя неравенства, по-
m
лученные выше (для достаточно малых γ0и γ1), для оценки членов в квадратных скобках, мы получим следующее соотношение для q1= y
1
0
L
(q1) + (c + M2)q1− a1y
ε
2
1
−
(κ + 2)(βm + ενm)y
2
κ+1
m
p1−
κ+2
(αkj+ εµkj)u
m
1
(α
mm
+ εµ
mm
)(κ + 2)(κ + 1)y
ysy
u
ysy
k
2
2+κ
p1:
m
−
j
κ
p1−
m
8
83
84 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
−(κ + 2)y
κ+1
+y
m
κ+1
m
(R4+ R6)p1+ R5εy
αkmp
1
− (κ + 2)εµkmy
y
k
κ
m
κ+1
1
p
m
+
y
k
p1≥ −R9, (1.8.44)
где R4+ R6= 0, если условие 1) леммы выполняется; здесь постоянная a
не зависит от ε и 0 < a1< 1.
Из (1.7.9) легко видеть, что
κ+1
y
m
(κ + 2)
≤ γ3y
αkmp
κ+2
m
1
= 2(κ + 2)y
y
k
αkju
ysy
κ+1
αkmu
m
u
k
+ γ4αmmp1y
ysy
j
u
ysy
κ
, (1.8.45)
m
≤
y
s
k
где положительные постоянные γ3< 1, γ4> 2(κ + 2)2· m.
Аналогично получим
(κ+2)y
κ+1
m
ε
µkmu
ysy
u
≤ γ3εy
y
s
k
κ+2
m
µkju
ysy
u
+εγ4µmmp1y
ysy
j
k
κ
p1. (1.8.46)
m
Рассматривая (8), (1.8.46) и выбирая γ3< a1, получим из (1.8.44)
1
0
L
(q1) + (c + M2)q1− a2y
ε
2
−y
κ+1
m
1
(βm+ ενm)(κ + 2) − R4− R
2
κ+2
(εµkj+ αkj)u
m
6
ysy
k
p1+
u
−
ysy
j
+γ4−
1
(κ + 2)(κ + 1)(α
2
mm
+ εµmm) + εR
κ
y
p1≥ −R10, (1.8.47)
5
m
1
κ
где a2= const > 0. Легко видеть, что для q0= y
2
u
при κ ≥ 2 выполняется
m
ε
соотношение
1
2
0
L
(q0)−y
ε
κ
(αkj+εµkj)u
m
u
+(c+M2)q0−2κy
y
y
j
k
κ−1
(αkm+εµkm)uu
m
Так как, согласно (1.7.9), при κ ≥ 2 имеем
2y
κ−1
(αkm+ εµkm)uu
m
y
k
≤ γ5y
κ
m
(α
mm
+ εµmm)(αkj+ εµkj)u
то при выборе достаточно малой постоянной γ5получаем
1
0
L
(q0) −a3y
ε
2
κ
(αkj+ εµkj)u
m
u
y
+ (c + M2)q0− R13. (1.8.48)
y
j
k
Из (1.8.47) и (1.8.48) выведем неравенство для V1вида
C0y
4
κ
R5+γ4−
m
κ
(αkj+ εµkj)u
m
1
(κ + 2)(κ + 1)µ
2
+y
κ+2
(εµkj+ αkj)u
m
1
0
L
(V1) + (c + M2)V1− a
ε
2
u
ysy
ysy
j
k
+ εy
+y
κ
m
1
−
(κ + 2)(βm+ ενm) +γ4−
2
1
(κ + 2)(κ + 1)αmm+
2
≥ −R11.
y
k
u
k
+
+ R12,
y
j
y
u
y
y
j
k
mm
p1+
84
8. О ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ 85
+(R4+ R6)y
p1≥ −R14. (1.8.49)
m
Рассматривая условия (1.8.38), (1.8.39) и условия (1.8.40), (1.8.41) и выбирая
достаточно большую постоянную C0, мы получим из (1.8.49) соотношение
5
C0y
ysy
κ
(αkj+ εµkj)u
m
u
ysy
k
≥ −R15. (1.8.50)
j
u
y
+
y
j
k
1
0
L
(V1) + (c + M2)V1− a
ε
2
κ+2
+y
(εµkj+ αkj)u
m
Более того, предполагая, что (1.8.42) выполняется для некоторого ν < µ,
ν ≥ 1, мы выведем так же, как для (8), что (1.8.42) также выполняется при
ν + 1. Лемма доказана.
Замечание 1.8.2. Пусть вместо условий 1) и 2) леммы 1.8.5 выполняется
следующее предположение:
3) неравенство (1.7.1) справедливо для формы αkjξkξjили для формы
ymαkjξkξj, и в области ω
m
X
αkjξkξj≥ K1α
mm
j=1
2
ξ
j
и α
mm
≥ K0y
s
, (1.8.51)
m
где s — неотрицательное целое число. Тогда неравенство вида (1.8.42)
выполняется для функций
ν
X
Vν=
l=0
Cly
l(s+1)
m
pl.
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству леммы 1.8.5.
Теорема 1.8.3. Пусть граница Σ области Ω состоит из двух замкнутых
непересекающихся множеств Σ0и Σ \Σ0(любое из них может быть пустым). Пусть для некоторого достаточно малого δ выполняются предположения теоремы 1.8.2, и рассмотрим границу Σ\Σ0, коэффициенты уравнения (1.1.4) и функции f и g в области Ω \ G
множества Σ0); предположим также, что G
числом областей {Ω
0
} таких, что условия леммы 1.8.5, касающиеся коэф-
j
0
(где G
δ
0
можно покрыть конечным
δ
фициентов αkjи βk, выполнены в каждой из областей ωj= Ω
0
— δ-окрестность
δ
0
∩Ω. И нако-
j
нец, предположим, что функция g ограничена на Σ0и что c1< −c0< 0 при
достаточно большой постоянной c0, зависящей от αkjи βk. Тогда обобщенные решения задачи (1.1.4), (1.1.5) принадлежат классу C
(µ)
(Ω\G
0
δ
для
любого δ > 0 и выполняется оценка
µ
X
ρ
l=0
2l+κ
X
¯
S
(D
u)2< C1, (1.8.52)
¯
S
l
l
где C1= const, ρ — расстояние от точки x до границы Σ0и κ ≥ 2 или
κ = 0.
85
86 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
Доказательство. Пусть область Ω0такова, что Ω0⊃ Ω, Ω0⊃ (Σ \ Σ0) ∩
(Σ2∪ Σ1∪ Σ0) и граница S0области Ω0содержит Σ3∪ Σ0и Ω0∈ A
(µ+2)
Рассмотрим решение uε(x) уравнения
.
Lε(u) = ε∆u + a(x)∆u + L(u) = f1в Ω
0
(1.8.53)
с условием
u = g
на S0, (1.8.54)
n
где gn= 0 на S0\ Σ0, gnбесконечно дифференцируемо на Σ0, gn→ g в
L2(Σ0) при n → ∞, gnравномерно ограничены по n; a(x) ∈ C
(Ω0), a = 0
(µ)
в Ω и a > 0 в¯Ω0\¯Ω. Функция f1получается из f точно таким же образом,
как в доказательстве теоремы 1.8.2. Можно предположить, что f1= f вне
окрестности (Σ \Σ0) ∪Σ2.
Пусть области Ω
0
, j = 1, . . . , N , и Ω
j
00
, j = N + 1, . . . , N0, покрывают¯Ω0,
j
и пусть функции {ψj}, j = 1, . . . , N0, образуют разбиение единицы, соответствующее этому покрытию Ω0. Можно предположить, что области Ω
не содержат точек из Σ0. В каждой из областей ωj= Ω
функции V
жим V
ν
, ν ≤ µ, построенные в лемме 1.8.5, и в областях Ω
j
ν
P
ν
=
j
Clpl, где pl≡
l=0
P
¯
S
l
(D
uε)2и Cl— положительные постоянные,
¯
S
l
0
∩ Ω рассмотрим
j
00
∩ Ω0поло-
j
которые будут выбраны позже.
Рассмотрим функцию
00
j
N
0
X
Wν=
j=0
ν
V
ψj, ν ≤ µ,
j
определенную в Ω0. Так же, как было доказано в лемме 1.8.2, мы получим,
что в области Ω
1
2
−a
0
00
функции V
j
0
ν
L
(V
) +
ε
j
ν
X
l=0
C
X
l
(αks+ εδks)D
¯
S
l
ν
j
1
a(x)∆V
2
удовлетворяют соотношению
ν
+ (c + M2)V
j
u
¯
x
S
k
l
D
ν
+ EνV
j
u
¯
S
≥ −˜Eν, (1.8.55)
x
s
l
ν−1
j
−
где M2, Eν, a0,˜Eν, Cl— некоторые положительные постоянные, не зависящие от ε, и δks= 0 при k 6= s, δks= 1 при k = s.
Умножая соотношение (1.8.42) на ψj, j = 1, . . . , N , и суммируя по j от 1
до N , а затем умножая (1.8.55) на ψjи суммируя по j от N + 1 до N0, мы
получим
N
X
j=1
0
1
2
ψjL
0
ν
(V
) + ψja(x)∆V
ε
j
ν
+ (c + M2)Wν+ EνW
j
ν−1
−
N
X
j=1
0
˜aψjΦ
ν
≥ −R1,
j
(1.8.56)
86
8. О ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ 87
где при j = 1, . . . , N
ν
Φ
X
ν
=
j
l=0
2l+κ
y
m
C
X
(αks+ εµks)D
l
¯
S
l
u
D
¯
y
S
l
u
¯
y
S
k
s
l
в Ω
0
j
∩ Ω
0
и при j = N + 1, . . . , N
ν
X
ν
Φ
=
j
l=0
C
0
X
(αks+ εδks)D
l
¯
S
l
u
D
¯
x
S
l
u
¯
x
S
k
s
l
в Ω
00
∩ Ω0.
j
Мы обозначаем через Rsпостоянные, не зависящие от ε. Легко видеть, что
−2
N
X
j=1
N
X
(αks+ εµks)V
j=1
0
ψjL
0
ν
(V
) = L
ε
j
ν
ψ
jy
k
jy
s
− 2
0
(Wν) −
ε
N
X
j=N +1
N
0
X
L
j=1
0
(αks+ εδks)V
0
(ψj)V
ε
j
jx
ν
−
ν
ψ
. (1.8.57)
jx
s
k
Оценим последние три члена в (1.8.57). Ясно, что
L
0
(ψj)V
ε
ν
≤ R2Wν.
j
Так как при k 6= m и j = 1, . . . , N
ν
ν
V
jy
X
=
k
l=0
Cly
2l+κ
m
l
p
y
ν
X
=
k
l=0
2Cly
2l+κ
m
D
S
¯
uD
l
u
,
¯
x
S
k
l
ν
X
l=0
2Cly
2l+κ
m
D
uD
u
¯
S
¯
S
l
l
+ Cl(2l + κ)y
x
m
2l+κ−1
m
ν
V
jy
=
m
l
p
,
следующее неравенство выполняется при 1 ≤ j ≤ N :
2
(αks+ εµks)V
+
ν
jy
X
l=0
+
ψ
k
ν
ν
X
l=0
jy
γy
s
2l+κ
m
X
≤
2
l=0
Cl(αks+ εµks)D
1
C
(αks+ εµks)ψ
l
γ
ν
Cl(αmk+ εµmk)(2l + κ)y
u
D
jy
¯
S
l
ψ
jy
k
¯
y
S
k
−1
ψ
y
s
j
2l+κ−1
m
u
ψj+
y
s
l
2l+κ
pl. (1.8.58)
m
plψ
jy
+
k
Функции ψjнеотрицательны и, следовательно, согласно (1.7.2), мы имеем
|ψ
|2≤ R3ψj, k = 1, . . . , m. Отсюда следует, что последний член в (1.8.58)
jy
k
не превосходит R4Wν.
Для достаточно малого γ второй член в правой части (1.8.58) не пре-
m
восходит ˜aψjΦ
ν
. Если неравенство αkjξkξj≥ K1α
j
mm
P
k=1
2
ξ
выполнено в
k
87
88 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
области Ω
0
∩ Ω0, то мы используем (1.7.10), чтобы оценить первый член в
j
правой части (1.8.58). Таким образом, мы получим
ν
X
l=0
ν
X
≤
ν
X
R5C
l=0
+R6Cly
≤
√
l
l=0
2α
2l+κ
m
C
mm
ψjp
l
p
где ψj— функции с носителем в Ω
C
αmk(2l + κ)y
l
√
2α
q
mm
ψj(2l + κ)y
ν
X
l
≤
l=0
αksψ
jy
k
2l+κ−1
m
Clγαmmy
0
, 0 ≤ ψj≤ 1, и ψj≡ 1 в точках, где
j
2l+κ−1
m
ψ
(2l + κ)y
jy
s
pl≤
2(l−1)+κ
m
plψ
jy
ν
X
l=0
ψjpl+ R7Wν, (1.8.59)
ψj6= 0.
Точно так же получаем
Clεµmk(2l + κ)y
2l+κ−1
m
plψ
≤ Clγεµmmy
jy
k
2(l−1)+κ
m
≤
k
2l+κ−1
m
Clγαmmy
pl≤
2(l−1)+κ
m
plψj+
ψjpl+ εR8Wν. (1.8.60)
Если (1.8.38) или (1.8.40) выполняется в Ω
0
∩Ω0и, следовательно, α
j
mm
= 0
и αmk= 0 на Σ0, то для того, чтобы оценить первый член в правой части
(1.8.58), мы используем соотношение
C
αmk(2l + κ)y
l
2l+κ−1
m
plψ
jy
k
≤ R9Cly
2l+κ
ψjpl≤ R10Wν.
m
Для последнего члена в (1.8.57) мы имеем оценку
ν
11
X
Cl(αks+ εδks)ψ
l=0
u
D
k
N
P
u
¯
S
l
0
¯
x
S
l
ψjL
j=1
ψ
jyx
ψj≤ R12Wν+ γψjΦ
x
s
0
ν
(V
), заданное правой частью
ε
j
jx
s
k
plψ
−1
j
+
ν
.
j
(αks+ εδks)V
ν
X
+γ
l=0
C
X
l
ν
jx
k
(αks+ εδks)D
¯
S
l
ψ
jx
s
≤ R
Подставляя в (1.8.56) выражение для
(1.8.57), и принимая во внимание оценки, выведенные выше, мы получим
1
0
L
(Wν) + a∆W
ε
2
+(γ − ˜a)
+γ
N
X
j=1
X
j=1
0
N
ψjΦ
ν
X
l=1
ν
+ (c + M2)Wν+ R13Wν+ EνW
N
ν
X
j=1
X
l=1
Cly
2(l−1)+κ
m
µmmψjpl+
αmmψjpl≥ −R1. (1.8.61)
ν
j
Cly
+ γε
2(l−1)+κ
m
ν−1
+
88
8. О ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ 89
Последнее суммирование в левой части (1.8.61) проводится только по
тем значениям j, для которых (1.8.39) или (1.8.41) выполняется в Ω
0
. Сле-
j
довательно, выбирая достаточно малое γ, мы получим, что сумма трех последних членов в левой части (1.8.61) неположительна. Таким образом, в
Ω0имеем
1
0
L
(Wν) + a∆W
ε
2
ν
+ (c + M2+ R14)Wν+ EνW
ν−1
≥ −R
1
(1.8.62)
для Wνпри ν ≤ µ; здесь R14зависит от ν и от функций akj.
Из принципа максимума для (1.8.53) следует, что W0равномерно ограничено по ε. Далее, из (1.8.62) следует, что Wνограничено в Ω0равномерно
по ε и n, если это верно для W
ν−1
и c + M2+ R14< 0 в Ω0. Действительно,
если Wνпринимает наибольшее значение внутри Ω0, то из (1.8.62) следует,
что
Wν≤ −(c + M2+ R14)−1(R1+ EνW
ν−1
).
Очевидно, что Wν= 0 на Σ0. На оставшейся части границы S0выполняется
условие
akjnknj+ anknk> 0,
и поэтому выполняется (1.8.23). Отсюда следует, что если Wνпринимает
наибольшее значение на S0\Σ0, то из (1.8.23) следует, что Wν≤ R15. Таким
образом, по индукции мы получаем ограниченность Wνпри ν ≤ µ, равномерную по ε и n. Отсюда мы получаем утверждение теоремы 1.8.3, как при
доказательстве теоремы 1.8.2.
Легко видеть, что условия теоремы 1.8.3 будут выполнены, в частности,
если Σ0⊂ Σ1и коэффициенты akjили Φakj(Φ = 0 на Σ1, Φ > 0 в Ω,
grad Φ 6= 0) можно продолжить в окрестность множества Σ1таким образом,
чтобы akj∈ C
, akjξkξj≥ 0 или Φa ∈ C
(2)
и Φakjξkξj≥ 0.
(2)
Замечание 1.8.3. Теорема 1.8.3 верна также в случае, когда вместо условий (1) и (2) леммы 1.8.5 выполняется условие (1.8.51) для некоторых из
областей Ω
такие области Ω
0
, в то время как мы также предполагаем, что если s > 1, то
j
0
покрывают связную компоненту Σ0. Обозначим ее˜Σ0. В
j
этом случае мы имеем вместо (1.8.52):
µ
X
l=1
2l+κ
ρ
· ρ
l(s+1)
1
X
¯
S
l
(D
¯
S
u)2< C1,
l
где ρ1— расстояние от точки x до˜Σ0, а ρ — расстояние от точки x до Σ0\˜Σ0.
Замечание 1.8.4. Легко видеть, что теорема 1.8.3 неверна, если вместо
условия (1.8.39) или (1.8.41) просто предположить, что граница Σ0принадлежит Σ3. Действительно, предположим, что Ω содержит квадрат {0 < x1<
1, 0 < x2< 1}, в котором L(u) ≡ ∂2u/∂x
2
+ cu = 0, c = const < 0. Отрезок
2
0 ≤ x1≤ 1 прямой x2= 0, а также отрезок 0 ≤ x1≤ 1 прямой x2= 1 принадлежат Σ3. В силу теоремы единственности обобщенное решение u(x) в
89
90 Глава 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
квадрате является линейной комбинацией функций g, заданных на сторонах, так что гладкость решения u внутри Ω зависит от гладкости граничных функций g. То же самое утверждение верно, если L(u) ≡ ∂u/∂x2+ cu,
c = const < 0, в том же квадрате, что означает, что отрезок 0 ≤ x1≤ 1
прямой x2= 0 принадлежит Σ2.
Замечание 1.8.5. Пусть в теореме 1.8.3 граница Σ0включает (m − 1)мерное замкнутое многообразие˜Σ0такое, что˜Σ0⊂ Σ0∪ Σ1и существует
последовательность гладких поверхностей˜Σnтаких, что˜Σn⊂ Ω и˜Σn→˜Σ
0
при n → ∞ в том смысле, что мера множества, ограниченного˜Σn∪˜Σ0,
стремится к нулю при n → ∞. Предположим, что в области Ωn, граница
которой состоит из (Σ \˜Σ0) ∪˜Σn, часть˜Σnимеет вид Σ0∪ Σ1. Точно так
же, как было показано в теореме 1.1.2 (принцип максимума), можно показать, что если plпринимает наибольшее значение на˜Σn, то plравномерно
ограничено по n и, следовательно, при предположениях теоремы 1.8.3, слабое решение задачи (1.1.4), (1.1.5) также имеет ограниченные производные
порядка µ − 3 в окрестности˜Σ0.
Отметим, что условие 2) леммы 1.8.5 не предполагает возможности продолжения коэффициентов akjв окрестность Σ0с сохранением условий akjξkξj≥
0 и akj∈ C
, и, в частности, оно включает случай, когда α
(2)
mm
≡ akjΦ
Φ
x
x
j
k
на Σ0, где уравнение Φ = 0 определяет границу Σ0и grad Φ 6= 0 на Σ0. Эти
условия также допускают возможность того, что (Σ1∪ Σ0) непусто.
Теперь мы докажем теоремы о гладкости слабых решений задачи (1.1.4),
(1.1.5) в замкнутой области Ω ∪ Σ. Мы покажем, что во многих случаях
условия теоремы 1.8.2 можно ослабить.
Лемма 1.8.6. Пусть в области ω, являющейся пересечением окрестности
некоторой точки P1, лежащей на границе Σ, с Ω, функция uε(x) удовлетворяет условию
Lε(u) = f и uε= 0 на Σ.
Используя локальные координаты y1, . . . , ym, в которых граница Σ лежит
в плоскости ym= 0 и ym> 0 в ω, приведем это уравнение к виду
Lε(u) ≡ L
0
(u) + cu = f, (1.8.63)
ε
где
0
L
(u) ≡ εµkju
ε
µmj= 0 при j 6= m, µ
m
X
k=1
2
ξ
, µ0= const > 0, αkjξkξj≥ 0.
k
µkjξkξj≥ µ
Пусть uε⊂ C
0
(µ+2)
(¯ω), |uε| ≤ K0в ω, K0= const > 0, и пусть коэффи-
циенты уравнения и функция f принадлежат классу C
+ αkju
yky
j
mm
= 1, αmj= 0 при j 6= m,
yky
+ βu
j
,
y
k
(ω). Пусть при
(µ)
некоторых постоянных Kj> 0 выполняются следующие условия.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]