Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения с неотрицательной характеристической формой. Лекционный курс. В 2 частях. Ч. 1. Учебное пособие
.pdf
172 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
Теперь докажем теорему о гладкости слабых решений и о гипоэллиптич-
ности P в случае, когда на некотором множестве M ∈ Ω система операторов
{X0, . . . , Xr} не удовлетворяет условиям теоремы 2.6.2.
Доказательство теоремы 2.6.3, приведенное ниже, не зависит от специ-
ального вида (2.6.1) оператора P .
Теорема 2.6.3. Пусть выполняются следующие условия для оператора P
вида (2.6.1) в области Ω:
1) в точках x ∈ Ω \ M система операторов {X0, . . . , Xr} имеет ранг
m, где M — ограниченное множество точек, лежащих на конечном
числе (m−1)-мерных гладких многообразий M таких, что замыкание
M принадлежит Ω;
2) в каждой точке x ∈ M выполняются следующие условия: или для
некоторого k = 1, . . . , r
j
a
или, если
r
P
k=1
|a
j
(x)Φ
k
| = 0, то
x
j
(x)Φ
k
6= 0, (2.6.51)
x
j
r
X
j=1
2
X
Φ + iX0Φ 6= 0, (2.6.52)
j
где Φ(x1, . . . , xm) = 0 — уравнение для M в окрестности точки x,
grad Φ(x) 6= 0, Xk= a
Тогда для любой обобщенной функции u в D0(Ω) такой, что P u ∈ H
j
Dj, k = 0, 1, . . . , r.
k
loc
s
(Ω),
выполняется оценка
2
, (2.6.53)
γ
kϕuk
где функции ϕ, ϕ1∈ C
2
≤ C(ϕ, γ)kϕ1P uk
s
∞
(Ω), ϕ1≡ 1 на supp ϕ и, кроме того, или supp ϕ1∩
0
2
+ kϕ1uk
s
M = ∅, или ϕ ≡ 1 на M и γ = const < s.
Дифференциальный оператор P , удовлетворяющий условиям 1) и 2)
глобально гипоэллиптичен в Ω, т.е. обобщенная функция u из D0(Ω) такая, что P u ∈ C∞, также принадлежит C∞(Ω).
Доказательство. Покроем множество M конечным числом областей Ωj,
j = 1, . . . , N , таких, что в каждой из этих областей Ωjможно выбрать си-
стему локальных координат y1, . . . , ymтаких, что множество M∩Ωjлежит в
плоскости ym= 0. Кроме того, предположим, что оператор P в этих новых
координатах принимает вид
где в точках Ω
−P u = αkju
j
или α
yky
mm
+ βju
j
+ cu, αkjξkξj≥ 0, (2.6.54)
y
j
6= 0, или βm6= 0. (2.6.55)
171
6. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ (ОПЕРАТОРЫ Х¨ЕРМАНДЕРА) 173
Из условия теоремы легко видеть, что такое покрытие M областями Ω
возможно. Пусть u ∈ C
0
∞
(G
), где G
j,β
= Ωj∩ {|ym| ≤ β} и постоянная β
j,β
будет выбрана позднее.
Чтобы оценить kuk
что u = v(T − e
µy
2
, рассмотрим в G
0
m
), где µ, T = const и sign µ = sign βmв Ωj, если βm6= 0 в
уравнение для функции v такой,
j,β
Ωj, и T > 0. Мы имеем
µy
m
(T −e
m
)−1P u = αkjv
µy
m
)−1v − 2αmjµe
yky
+ βjv
j
µy
y
j
m
(T −e
+ cv−
µy
m
)−1v
. (2.6.56)
y
j
. Пусть
j,β
−(T −e
−(αmmµ2+ βmµ)e
µy
Умножим уравнение (2.6.56) на v и проинтегрируем по области G
v — действительная функция. Тогда после интегрирования по частям по-
лучим
µy
−((T −e
m
)−1P u, v) = −(αkjv
+((c −[αmmµ2+ βmµ]e
µy
m
(T −e
, v
1
) +
y
y
j
k
µy
m
)−1)v, v) −2(αmjµe
(α
2
kj
yky
v, v) −
j
µy
1
2
m
(T −e
(β
j
v, v)+
y
j
µy
m
)−1)v
y
(2.6.57)
Из (2.6.57) следует, что
(αkjv
1
, v
y
) −
y
j
k
c +
kj
α
yky
2
1
j
−
β
− (αmmµ2+ βmµ)e
j
y
j
2
µy
m
(T −e
µy
−1
m
)
v, v!≤
j
, v).
j
µy
≤ |((T − e
≤ k(T − e
µy
m
)−1P uk0kvk0+
m
)−1P u, v)| + 2|(αmjµe
mj
1
α
√
α
mm
2
v
y
j
Согласно лемме 1.7.1, имеем неравенство
(αmj(x)ξj)2≤ 2αmm(x)αkj(x)ξkξjдля любых ξ ∈ Rm.
Следовательно,
mj
1
α
√
α
mm
2
2
v
y
j
≤ (αkjv
0
Из (2.6.58) следует, что
−c +
1
kj
α
yky
2
+2αmmµ2e
1
j
−
β
− (αmmµ2+ βmµ)e
j
y
j
2
2µy
m
(T −e
µy
m
(T −e
2
+ 2(αmmµ2e
0
, v
y
k
µy
−2
m
)
µy
m
).
y
j
µy
m
(T −e
v, v≤
)−1)v
2µy
m
, v)| ≤
y
j
(T −e
µy
m
)−1+
µy
m
)−2v, v).
(2.6.58)
µy
≤ kvk0k(T −e
m
)−1P uk0. (2.6.59)
Выберем постоянную β(µ) так, чтобы для |ym| ≤ β выполнялось неравен-
ство
1
≤ e
µy
m
≤ 2, и выберем постоянную T > 0 из условия, что для
2
172
174 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
|ym| ≤ β
2e
µy
m
(T −e
µy
m
)−1≤ 4(T − 2)−1<
1
.
2
Тогда, в силу условия (2.6.55) и неравенства (2.6.59), получаем, что для
достаточно большого |µ|
a0|µ|kvk
где a0= const > 0 не зависит от µ и T , где v ∈ C
2
≤ (T − 2)−1kP uk0kvk0,
0
∞
0
(G
j,β
).
Из (2.6.59) следует, что
C
≤
µ
1
kP uk
2
2
для u ∈ C
0
∞
0
(G
), (2.6.60)
j,β
kuk
2
0
где постоянная C1не зависит от µ.
Теперь для u ∈ C
∞
0
(G
) оценим kP
j,β
(j)uk2
0
и kP
(j)
2
uk
. При доказатель-
−1
стве теоремы 2.6.2 мы показали, что
kP
(j)
uk
2
−1
+ kP
(j)uk2
0
≤ C
(
r
X
2
kXjuk
j=1
2
+ kuk
0
)
2
. (2.6.61)
0
Умножая уравнение P u = f на u и интегрируя по Rm, получим
r
X
j=1
kXjuk
2
0
≤ C
2
kuk
3
+ kPuk0kuk
0
. (2.6.62)
0
Следовательно, вспоминая (2.6.60), мы заключаем из (2.6.61) и (2.6.62), что
для u ∈ C
где C4не зависит от µ.
Пусть ψj∈ C
β ≤ β0, где β0— некоторое достаточно малое число. Пусть u ∈ C
∞
0
(G
)
j,β
kP
(j)
∞
(Ωj), 0 ≤ ψj≤ 1,
0
uk
2
−1
+ kP
C
(j)uk2
0
≤
|µ|
4
kP uk
P
ψj≡ 1 на M и Gβ=
j
2
, (2.6.63)
0
P
G
для всех
j,β
j
∞
(Gβ).
0
Тогда, согласно (2.6.60), имеем
kuk0=
X
j
ψju
X
≤
0
kψjuk0≤
j
C
|µ|
5
X
kP ψjuk0.
j
Рассматривая неравенство (2.6.63), получим
kuk
≤
X
C
2
0
C
6
≤
µ
X
8
2
µ
j
2
kP ψjuk
j
kP uk
2
+ kP
0
2
≤
0
(l)
X
C
µ
2
7
kψjP uk
j
(Dlψj) ·uk
2
+ kuk
0
2
+ kDlψjP
0
2
≤
0
C
(l)uk2
9
kP uk
2
µ
+ kuk
0
2
+ kuk
0
2
≤
0
2
.
0
173
6. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ (ОПЕРАТОРЫ Х¨ЕРМАНДЕРА) 175
Если 1/|µ| достаточно мало, то
C
≤
|µ|
10
2
kP uk
2
для u ∈ C
0
∞
(Gβ), (2.6.64)
0
kuk
2
0
где C10не зависит от µ. Так как коэффициенты оператора P действительны,
неравенство (2.6.64) справедливо для любых комплекснозначных функций
∞
из C
(Gβ). Отметим, что β имеет порядок 1/µ.
0
Чтобы доказать теорему 2.6.3, мы покажем, что выполняются условия
I, II и III теоремы 2.5.2.
Сначала проверим условие I теоремы 2.5.2 при s0= 0. В доказательстве
теоремы 2.6.2 мы показали, что для любого компактного множества K ⊂ Ω,
любого s ∈ R1и любого β > 0 существуют постоянные C(K, s, β) и ε(K, β) >
0 такие, что
m
X
j=1
kP
(j)
uk
2
s−1
+ kP
(j)uk2
s
+ kuk
2
≤ C(K, s, β)kP uk
s
2
+ CNkuk
s−ε
2
s−N
(2.6.65)
для любой функции u ∈ C
∞
(K \Gβ). Теперь мы покажем, что из (2.6.64) и
0
(2.6.65) следует оценка
C
2
kuk
0
для любой функции u ∈ C
11
≤
|µ|
∞
(K), где C11не зависит от µ.
0
kP uk
2
+ C(µ, N)kuk
0
2
−N
Пусть {ψ1, ψ2} — разбиение единицы на K такое, что ψ1∈ C
ψ1≡ 1 на Gβ. Тогда для любого u ∈ C
∞
(K), согласно (2.6.63), (2.6.64) и
0
(2.6.65), имеем
m
X
≤ C
12
≤
I ≡ kuk
(
2
X
l=1
C
13
kP ψ1uk
|µ|
2
0
kψluk
m
kP
(j)uk2
(j)
kP
+
j=1
X
2
+
0
j=1
2
+ C14(µ)kP ψ2uk
0
+ kP
0
ψluk
2
+ kP
0
2
−ε
(j)
2
uk
−1
ψluk
(j)
+ kψ2uk
≤
2
−1
2
−ε
Применяя теорему 2.3.1, получим
C
I ≤
15
|µ|
+C16(µ)kψ2P uk
kψ1P uk
2
+ kDjψ2P
−ε
2
+ kDjψ1P
0
(j)uk2
(j)uk2
+
−ε
X
+
0
|α|=2
X
kDαψ2· uk
|α|=2
kDαψ1· uk
2
−ε
0
)
≤
.
2
+
0
+ kψ2uk
(2.6.66)
∞
(G2β) и
2
−ε
(2.6.67)
.
174
176 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
Так как функции Dαψ1при 1 ≤ |α| ≤ 2 имеют носитель, лежащий в K \Gβ,
мы получим из (2.6.65) оценку
X
+
1≤|α|≤2
2
0
kDαψ1· uk
X
+
1≤|α|≤2
kP (Dαψ1· u)k
X
+ kuk
2
−ε
+
j=1
kDαψ1· uk
2
+ kuk
−ε
m
(j)uk2
kP
2
≤
0
2
≤
0
2
≤
−ε
)
. (2.6.68)
−ε
kDjψ1P
≤ C
17
kP
(j)
≤ C18(µ)
≤ C19(µ)(kP uk
(j)uk2
0
(Djψ1· u)k
X
1≤|α|≤2
2
−ε
Из (2.6.67), имея в виду (2.6.68), мы выведем, что
I ≤
C
|µ|
20
kP uk
2
+ C19(µ)(kP uk
0
2
−ε
+
m
X
j=1
kP
(j)uk2
−ε
+ kuk
2
−ε
)
.
Применяя неравенство (2.1.30), доказанное в теореме 2.1.12, найдем для
u ∈ C
∞
0
(K)
m
X
kuk
j=1
kP
(j)
uk
2
−1
+ kP
(j)uk2
2
+
0
C
0
|µ|
21
≤
kP uk
2
+ C(µ, N)kuk
0
2
, (2.6.69)
−N
если 1/|µ| достаточно мало, где N > 0 произвольно и C21не зависит от µ.
Условие I теоремы 2.5.2 следует из (2.6.69).
Так как неравенство (2.6.69) выполняется для любого компактного множества K, принадлежащего Ω и содержащего M, из (2.6.69) и теоремы 2.2.6
следует, что
C
kuk
2
≤ 2kEsuk
s
2
+ C22kuk
0
2
−N
≤
23
kP Esuk
|µ|
2
+ C24(µ, N1)kuk
0
2
. (2.6.70)
−N
1
С помощью теоремы 2.3.1 о коммутаторах и теоремы 2.2.1 о порядке псевдодифференциального оператора выведем из (2.6.70), что для u ∈ C
kuk
(
C
≤
|µ|
25
kP uk
2
s
m
X
j=1
kP
(j)
uk
2
s−1
+ kP
(j)uk2
2
+
s
s
+ kuk
)
2
+ C26kuk
s
∞
0
2
−N
(K)
,
1
где C25не зависит от µ. Таким образом, для достаточно малых 1/|µ| имеем
kuk
(
C
≤
|µ|
27
kP uk
2
s
m
X
j=1
kP
(j)
uk
2
s−1
175
+ kP
(j)uk2
2
+
s
)
s
+ C28kuk
2
. (2.6.71)
−N
1
6. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ (ОПЕРАТОРЫ Х¨ЕРМАНДЕРА) 177
Далее, из теоремы 2.2.6 и неравенства (2.6.69) следует, что
m
X
j=1
kP
(j)
uk
2
s−1
+ kP
(j)uk2
(
X
≤ C
30
j=1
C
31
≤
s
m
kP
kP Esuk
|µ|
≤ 2
(j)
m
X
j=1
Esuk
2
+ C
0
kEsP
2
+ kP
0
32
kuk
2
uk
(j)
−1
Esuk
(j)
2
+ C(µ)kuk
s
+ kEsP
2
+ kuk
−1
2
−N
(j)uk2
)
2
s
,
+ C29kuk
0
≤
2
−N
где C31и C32не зависят от µ. Применяя теорему 2.3.1 о коммутаторах и
оценку (2.6.71), мы получим
m
X
≤
C
|µ|
33
(
kP uk
kP
j=1
m
X
j=1
kP
(j)
uk
2
+
s
(j)
uk
2
s−1
2
s−1
+ kP
+ kP
(j)uk2
(j)uk2
≤
s
)
+ C34(µ)kuk
s
2
. (2.6.72)
−N
Так как C33не зависит от µ, и |µ| можно выбрать как угодно большим,
из (2.6.72) следует, что условия II и III теоремы 2.5.2 выполняются. Таким
образом, теорема 2.6.3 доказана.
≤
Следующий результат можно получить из теоремы 2.6.3.
Теорема 2.6.4. Предположим, что в каждой точке Ω, кроме точки x0,
система операторов {X0, . . . , Xr} имеет ранг m и по крайней мере один из
m
коэффициентов a
j
операторов Xk≡
k
P
j=1
j
a
Dj, k = 0, 1, . . . , r, отличен от
k
нуля в точке x0. Тогда для любой обобщенной функции u ∈ D0(Ω) такой,
что P u ∈ H
loc
(Ω), выполняется оценка (2.6.53), и оператор P гипоэллип-
s
тичен в области Ω.
Доказательство. Выберем вектор n такой, что или a
го k ≥ 1, или a
j
nj6= 0 в точке x0. В качестве многообразия M мы выберем
0
j
nj6= 0 для некоторо-
k
поверхность, проходящую через точку x0и ортогональную вектору n. При
таком выборе M утверждение теоремы 2.6.4 следует из теоремы 2.6.3.
Результаты, аналогичные леммам 2.6.2 и 2.6.3, в случае X0≡ 0 были
получены независимо Коном [195].
Замечание 2.6.1. Условие теоремы 2.6.2 с учетом ранга системы операторов {Xj, j = 0, 1, . . . , r} является также необходимым условием гипоэллип-
тичности в классе операторов P u, удовлетворяющих следующему условию:
в области Ω все операторы XIпорождены m1линейно независимыми операторами X
, s = 1, . . . , m1. Если m1< m, то оператор P u не гипоэллиптичен
I
s
176
178 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
в Ω при условии, что уравнение P u = 0 имеет по крайней мере одно нетривиальной решение.
Действительно, по теореме Фробениуса [165] в случае m1< m оператор
P u можно преобразовать с помощью локальной замены независимых переменных в оператор, зависящий только от переменных y1, . . . , y
. Так что
m
1
если u — нетривиальное решение уравнения P u = 0 в окрестности некоторой точки x0, можно заменить u нулем с одной стороны от гиперплоскости ym= const, проходящей через x0, чтобы получить негладкое решение
P v = 0, где
v =
(
u при ym≥ y
0 при ym< y
0
= const,
m
0
= const .
m
7 Априорные оценки(общий случай)
В этом параграфе будут даны достаточные условия гипоэллиптичности в
области Ω, а также условия локальной гладкости слабых решений общих
уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой
L(u) = akj(x)u
xkx
+ bku
j
+ cu = f, (2.7.1)
x
k
где
akj(x)ξkξj≥ 0 при ξ ∈ Rm,
akj, bk, c и f — действительные функции, определенные в области Ω и при-
надлежащие C∞(Ω). Как и в § 6, без нарушения общности мы можем предположить, что коэффициенты уравнения (2.7.1) — это функции из C
0
∞
(Ω)
с носителем в компактном множестве K1.
Наша цель — получить аналог оценки (2.6.8) для операторов второго порядка с неотрицательной характеристической формой общего вида (2.7.1).
Запишем оператор (2.7.1) в виде
L(u) = −Dj(akj(α)Duu) + iQu + cu,
где оператор первого порядка Q = (bu− a
kj
)Dku, как мы покажем ниже,
x
j
играет роль X0в (2.6.8). Докажем оценку
m
X
j=1
{kL
0(j)uk2
+ kL
s
0
(j)
uk
2
} + kQuk
s−1
2
s−1/2
≤ C(K, s)αkLuk
2
+ kuk
0
2
2s
для любых s ≥ 0, u ∈ C
∞
(K), где постоянная C(K, s) зависит только от K
0
и s.
Наше исследование оператора L(u) будет следовать некоторым образцам, как было сделано для операторов (2.6.1). Вопрос об условиях, при
которых общий оператор (2.7.1) можно свести к оператору вида (2.6.1), еще
не был полностью изучен. (В связи с этим см. [220], а также замечание в
конце этого параграфа.)
177
7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ(ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) 179
Пусть L0(x, ξ) обозначает выражение akj(x)ξkξj. Под L0мы будем понимать дифференциальный оператор с символом L0(x, ξ). Под компактным
множеством K будем понимать замкнутую область, содержащуюся в Ω. Если A — произвольный псевдодифференциальный оператор, обозначим через
(j)
A
и A
псевдодифференциальные операторы с символами ∂A(x, ξ)/∂ξ
(j)
j
и DjA(x, ξ) соответственно, где A(x, ξ) — символ оператора A и (как всюду
в главе 2) Dj= −i∂/∂xj.
Лемма 2.7.1. Пусть A — оператор, представимый в виде A = AN+ TN,
где AN— псевдодифференциальный оператор с символом, удовлетворяющим условиям a) и b) из § 2 при σ = t, а TN— оператор порядка не более
чем t −N , где N — положительное целое число. Тогда для любой функции
u из C
∞
0
kLAuk
(K)
2
≤ C(K)(kLuk
−t
m
X
j=1
kL
0
(j)
uk
2
−1
+ kL
0(j)uk2
2
+
0
0
+ kuk
)
2
. (2.7.2)
0
Доказательство. По теореме 2.3.1 имеем
(
m
X
k[L, AN]uk
2
−t
≤ C
Так как операторы L
1
(j)
j=1
−L
(j)
kA
L
N
0
имеют порядок не более чем 1, и L
(j)
(j)
uk
2
−t
+ kA
N(j)
(j)uk2
L
−t
+ kuk
имеет порядок не более чем 0, мы получаем из теоремы 2.2.1, что
k[L, AN]uk
2
−t
≤ C
(
m
X
0
(j)
uk
2
−1
2
kL
j=1
+ kL
0(j)uk2
0
+ kuk
)
2
. (2.7.3)
0
Легко видеть, что
kLAuk
2
≤ 2kLAuk
−t
2
+2kLTNuk
−t
2
≤ 4kANLuk
−t
2
+k[L, AN]uk
−t
2
+kLTNuk
−t
Выбирая N > 2 и используя (2.7.3), мы получим
kLAuk
2
−t
≤ C
3
(
kLuk
m
X
j=1
kL
0
(j)
uk
2
−1
+ kL
0(j)uk2
2
+
0
0
+ kuk
2
0
(j)
)
2
0
,
)
.
−L
0(j)
2
−t
.
что и требовалось доказать.
Лемма 2.7.2. Если L — оператор второго порядка (2.7.1) с неотрица-
тельной характеристической формой, то для любого u ∈ C
m
X
j=1
kL
0(j)uk2
+ kL
0
0
(j)
uk
2
−1
178
≤ C
1
kLuk
2
+ kuk
0
∞
(K)
0
2
. (2.7.4)
0
180 Глава 2. О ЛОКАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
Доказательство. Так как akj(x)ξkξj≥ 0 при x ∈ Ω и ξ ∈ Rm, из неравен-
ства (1.7.10) следует, что
m
X
|akj(x)Dku|2≤ C2aksDkuDsu, (2.7.5)
где постоянная C2зависит от максимумов абсолютных значений функций
akj(x) на K. Интегрируя неравенство (2.7.5) по пространству Rm, мы полу-
чим
m
X
j=1
kL
0(j)uk2
≤ 4C2(akjDku, Dju). (2.7.6)
0
Рассмотрим интеграл (Lu, u) и преобразуем его интегрированием по частям
(здесь, как и в § 6, мы обозначаем (u, v)0через (u, v)). Представим Lu в виде
L(u) = −Dj(akjDku) + (Djakj+ ibk)Dku + cu (2.7.7)
и положим ilk≡ Djakj+ ibk, так что lk— действительные функции. Тогда
(Lu, u) = −(akjDku, Dju) + (ilkDku, u) + (cu, u)
и
Re(Lu, u) = −(akjDku, Dju) + Re(ilkDku, u) + (cu, u). (2.7.8)
Легко видеть, что
(lkDku, u) =
1
(lkDku, u) +
2
1
(u, lkDku) +
2
Следовательно,
1
Re(ilkDku, u) =
Re[(iu, (Dklk)u)].
2
Из последнего уравнения и (2.7.8) следует, что
(akjDku, Dju) ≤ |(Lu, u)| + C3kuk
Из (2.7.6) и (2.7.9) следует, что
m
X
j=1
kL
0(j)vk2
0
≤ C
1
kLuk
2
0
+ kuk
1
(u, (Dklk)u).
2
2
. (2.7.9)
0
2
. (2.7.10)
0
m
X
l=1
0(j)
u, мы используем лемму 1.7.1, согласно которой
kj
|a
(x)DkDjv|2≤ C5akj(x)DjDtvDkDtv (2.7.11)
x
l
∞
(K), где постоянная C5зависит от максимума аб-
0
Чтобы оценить L
для функций v ∈ C
солютных значений производных второго порядка от функций akj(x) на
компактном множестве K1⊃ K.
179
7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ(ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) 181
Интегрируя (2.7.11) по пространству Rm, мы получим
m
X
l=1
kL
0
(l)
2
vk
≤ C6(akjDtDkv, DtDjv). (2.7.12)
0
Заменим u на Dtv в (2.7.9) и применим (2.7.12), чтобы получить
m
X
l=1
kL
0
(l)
vk
2
0
≤ C
|(L(Dtv), Dtv)| + kvk
7
2
. (2.7.13)
1
Положим v = E−1u, где псевдодифференциальный оператор E−1имеет
символ ϕ(x)(1+|ξ|2)
−1/2
, где ϕ(x) ∈ C
∞
(K1) и ϕ(x) ≡ 1 на компактном мно-
0
жестве K, содержащемся в K1. Из (2.7.13) следует, что для любой функции
u ∈ C
∞
0
(K)
m
X
l=1
kL
0
E−1uk
(l)
≤ C
2
0
(
9
≤ C
X
|(LDtE−1u, DtE−1u)| + kuk
8
m
µkLDtE−1uk
t=1
)
1
2
+
0
µ
kuk
2
. (2.7.14)
0
2
≤
1
По теоремам 2.2.6 и 2.3.1 мы имеем для любой функции u ∈ C
m
X
l=1
kL
0
(l)
uk
2
−1
≤ 2
m
X
l=1
kE−1L
0
(l)
2
uk
+ C10kuk
0
2
0
≤ 4
m
X
l=1
kL
0
E−1uk
(l)
∞
(K), что
0
2
+ C11kuk
0
2
0
(2.7.15)
Поэтому, применяя лемму 2.7.1, мы выведем из (2.7.15) и (2.7.14), что
12
(
1
µ
kuk
2
+ µkLuk
0
2
0
+ µ
m
X
l=1
(kL
0
(l)
uk
2
−1
+ kL
0(l)uk2
0
)).
m
X
l=1
kL
0
(l)
uk
2
−1
≤ C
Выбирая достаточно малое µ и применяя (2.7.10), мы получим
m
X
j=1
kL
0
(j)
uk
2
−1
≤ C
13
kLuk
2
+ kuk
0
2
. (2.7.16)
0
Из (2.7.10) и (2.7.16) мы получим требуемое неравенство (2.7.4).
Лемма 2.7.3. Если A — любой оператор, удовлетворяющий условиям лем-
мы 2.7.1, то неравенство
.
kLAuk
2
≤ C(K)kLuk
−t
выполняется для любой функции u ∈ C
180
∞
0
2
0
(K).
+ kuk
2
0
(2.7.17)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]