Уравнения математической физики. Учебно-методическое пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

К аф едра «Высшая математика и прикладная информатика»

Н.Д. ГОЛУБЕВА, Л.Н. СМИРНОВА

УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Учебно-методическое пособие

Самара

Самарский государственный технический университет

2020

1

Печатается по решению ученого совета СамГТУ (протокол № 8 от

28.03.2019 г.).

УДК 53.001.573(075.8) ББК 22.311я73 Г 62

Голубева Н.Д. Уравнения математической физики: учеб.-метод. пособие / Н.Д. Голубе-

ва, Л.Н. Смирнова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2020. – 55 с.

Составлено в соответствии с рабочей программой курса «Математика. Дополнительные главы» для специалитета и бакалавриата инженерно-технических специальностей СамГТУ. Содержит индивидуальные задания (типовой расчет) и методические указания по их выполнению. Предназначено для закрепления пройденного материала и проверки знаний студентов. Типовой расчет включает в себя 30 вариантов, каждый из которых состоит из 7 типовых задач. Представлены подробные решения основных типов задач и теоретический материал для их решения.

Рекомендовано для самостоятельной работы студентов.

Р ец ензенты: канд. техн. наук, доцент Т.А. Бенгина,

канд. физ.-мат. наук, доцент Е.С. Климова

УДК 53.001.573(075.8)

ББК 22.311я73

Г 62

технический университет, 2020

2

ВВЕДЕНИЕ

Издание «Уравнения математической физики» составлено в соответствии с рабочей программой курса «Математика. Дополнительные главы» и предназначено для специалитета и бакалавриата всех инженерно-технических специальностей СамГТУ.

Сформированы 30 оригинальных вариантов, ориентированных на самостоятельную работу студентов. Каждый вариант содержит 7 типовых задач, охватывающих весь курс «Уравнений математической физики». Основные типы задач расчета снабжены подробными решениями.

В пособии рассмотрены задачи по следующим темам:

1. Классификация линейных дифференциальных уравнений вто-

рого порядка в частных производных.

2. Приведение дифференциальных уравнений в частных произ-

водных второго порядка к каноническому виду.

3. Решение линейных дифференциальных уравнений в частных

производных второго порядка.

4. Свободные колебания бесконечной струны. Задача Коши для

уравнения колебания струны. Формула Даламбера.

5. Задача о свободных колебаниях струны, закрепленной на кон-

цах. Метод Фурье.

6. Задачи по теплопроводности.

Пособие рекомендовано для самостоятельной работы студентов. Выполнение типового расчета будет способствовать лучшему усвоению пройденного материала.

3

ВАРИАНТ 1

0

yyxyxx

UUU

02 

yyxyxx

UUU

0

2

1

2 

 



 





yyyxyxx

Uy

x

y

yUUxyxU

0

xxtt

UU

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

110, 

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

t

110, 

   

xfxgN ,,1

)(xgy 

)(xfy 

   

 ,0,,,

2

txUaU

xxtt

   

xxUxU

t

x

cos0,,e0, 

   

0,,0,0  tlUtU

   

xlxUxxU

t

 0,,5sin0,

xxt

UU 2

 

xxU



3sin0, 

   

0,8,0  tUtU

-1

1

-1

Задание 1. Привести к каноническому виду:

.

Задание 2. Найти общее решение уравнения:

.

Задание 3. Определить тип уравнения и привести его к каноническо- му виду:

.

Задание 4. Решить задачу Коши:

;

,

заданы графически:

N

Задание 5. Найти решение уравнения свободного колебания струны

,

удовлетворяющее начальным условиям:

.

Задание 6. Найти решение уравнения колебания струны, закреплен- ной на концах, удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

;

.

Задание 7. Найти решение уравнения теплопроводности удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

,

;

.

4

ВАРИАНТ 2

02 

yyxyxx

UUU

023 

yyxyxx

UUU

022

22



yxyyxyxx

UUUxxyUUy

0

xxtt

UU

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

110, 

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

t

110, 

   

xfxgN ,,2

)(xgy 

)(xfy 

   

 ,0,,,

2

txUaU

xxtt

   

xxUxxU

t

sh0,,10,

2



   

0,,0,0  tlUtU

   

10,,cos0,  xxUxxU

t

xxt

UU 9

 

xxxU



3sin33sin20, 

   

0,1,0  tUtU

-1

1

-1

Задание 1. Привести к каноническому виду:

.

Задание 2. Найти общее решение уравнения:

.

Задание 3. Определить тип уравнения и привести его к каноническо- му виду:

.

Задание 4. Решить задачу Коши:

;

,

заданы графически:

N

1

Задание 5. Найти решение уравнения свободного колебания струны

,

удовлетворяющее начальным условиям:

.

Задание 6. Найти решение уравнения колебания струны, закреплен- ной на концах, удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

;

.

Задание 7. Найти решение уравнения теплопроводности

удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

,

;

.

5

ВАРИАНТ 3

03 

yyxyxx

UUU

034 

yyxyxx

UUU

02

22



xyyxx

xUUxUy

0

xxtt

UU

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

110, 

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

t

110, 

   

xfxgN ,,3

)(xgy 

)(xfy 

   

 ,0,,,

2

txUaU

xxtt

     

5sh0,,20,

3

 xxUxxxU

t

   

0,,0,0  tlUtU

   

xxUxxU

t

2sin0,,10, 

xxt

UU 3

 

xxU



3sin0, 

   

0,7,0  tUtU

-1

1

-1

Задание 1. Привести к каноническому виду:

.

Задание 2. Найти общее решение уравнения:

.

Задание 3. Определить тип уравнения и привести его к каноническо- му виду:

.

Задание 4. Решить задачу Коши:

;

,

заданы графически:

1

N

Задание 5. Найти решение уравнения свободного колебания струны

,

удовлетворяющее начальным условиям:

.

Задание 6. Найти решение уравнения колебания струны, закреплен- ной на концах, удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

;

.

Задание 7. Найти решение уравнения теплопроводности

удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

,

;

.

6

ВАРИАНТ 4

04 

yyxyxx

UUU

045 

yyxyxx

UUU

0

1

2

3



yxyyxx

U

y

yUUxyU

0

xxtt

UU

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

110, 

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

t

110, 

   

xfxgN ,,4

)(xgy 

)(xfy 

   

 ,0,,,

2

txUaU

xxtt

   

x

t

xUxxU

5

e0,,ln0,





   

0,,0,0  tlUtU

   

xxUxxU

t

3cos0,,50, 

xxt

UU 8

 

xxU



3sin290, 

   

0,8,0  tUtU

-1

1

-1

Задание 1. Привести к каноническому виду:

.

Задание 2. Найти общее решение уравнения:

.

Задание 3. Определить тип уравнения и привести его к каноническо- му виду:

.

Задание 4. Решить задачу Коши:

;

,

заданы графически:

N

1

Задание 5. Найти решение уравнения свободного колебания струны

,

удовлетворяющее начальным условиям:

.

Задание 6. Найти решение уравнения колебания струны, закреплен- ной на концах, удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

;

.

Задание 7. Найти решение уравнения теплопроводности

удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

7

,

;

.

ВАРИАНТ 5

05 

yyxyxx

UUU

056 

yyxyxx

UUU

 

0ctgcos2

2



yxyyxyxx

UUxxUUU

0

xxtt

UU

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

110, 

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

t

110, 

   

xfxgN ,,5

)(xgy 

)(xfy 

   

 ,0,,,

2

txUaU

xxtt

   

xxUxxU

t

2tg0,,cos0, 

   

0,,0,0  tlUtU

   

xxUxxU

t

 0,,2cos0,

xxt

UU 5

 

xxxU



3sin32sin100, 

   

0,5,0  tUtU

-1

1

-1

Задание 1. Привести к каноническому виду:

.

Задание 2. Найти общее решение уравнения:

.

Задание 3. Определить тип уравнения и привести его к каноническо- му виду:

.

Задание 4. Решить задачу Коши:

;

,

заданы графически:

1

N

Задание 5. Найти решение уравнения свободного колебания струны

,

удовлетворяющее начальным условиям:

.

Задание 6. Найти решение уравнения колебания струны, закреплен- ной на концах, удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

;

.

Задание 7. Найти решение уравнения теплопроводности

,

удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

;

.

8

ВАРИАНТ 6

06 

yyxyxx

UUU

067 

yyxyxx

UUU

0

yyxx

xUU

0

xxtt

UU

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

110, 

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

t

110, 

   

xfxgN ,,6

)(xgy 

)(xfy 

   

 ,0,,,

2

txUaU

xxtt

   

xxUxxU

t

3sin0,,10, 

   

0,,0,0  tlUtU

   

30,,5sin0,  xxUxU

t

xxt

UU 2

 

xxxU



4sin93sin160, 

   

0,8,0  tUtU

-1

1

-1

Задание 1. Привести к каноническому виду:

.

Задание 2. Найти общее решение уравнения:

.

Задание 3. Определить тип уравнения и привести его к каноническо- му виду:

.

Задание 4. Решить задачу Коши:

;

,

заданы графически:

1

N

Задание 5. Найти решение уравнения свободного колебания струны

,

удовлетворяющее начальным условиям:

.

Задание 6. Найти решение уравнения колебания струны, закреплен- ной на концах, удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

;

.

Задание 7. Найти решение уравнения теплопроводности

,

удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

9

;

.

ВАРИАНТ 7

07 

yyxyxx

UUU

078 

yyxyxx

UUU

0

22



xyyyxx

U

x

y

U

y

x

UxUy

0

xxtt

UU

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

110, 

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

t

110, 

   

xfxgN ,,7

)(xgy 

)(xfy 

   

 ,0,,,

2

txUaU

xxtt

   

xxUxxU

t

5ch0,,530, 

   

0,,0,0  tlUtU

   

00,,3cos0,  xUxxU

t

xxt

UU 3

 

xxU



3sin190, 

   

0,3,0  tUtU

-1

1

-1

Задание 1. Привести к каноническому виду:

.

Задание 2. Найти общее решение уравнения:

.

Задание 3. Определить тип уравнения и привести его к каноническо- му виду:

.

Задание 4. Решить задачу Коши:

;

,

заданы графически:

N

1

Задание 5. Найти решение уравнения свободного колебания струны

,

удовлетворяющее начальным условиям:

.

Задание 6. Найти решение уравнения колебания струны, закреплен- ной на концах, удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

;

.

Задание 7. Найти решение уравнения теплопроводности

удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

,

;

.

10