Уравнения математической физики. Учебно-методическое пособие

ВАРИАНТ 28

028 

yyxyxx

UUU

02829 

yyxyxx

UUU

0cos2cos

22



yyxyxx

UxxUxxU

0

xxtt

UU

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

110, 

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

t

110, 

   

xfxgN ,,28

)(xgy 

)(xfy 

   

 ,0,,,

2

txUaU

xxtt

   

2

1

0,,ch0,

x

xUxxU

t





   

0,,0,0  tlUtU

   

30,,sin0,  xxUxxU

t

xxt

UU 4

 

xxxU



4sin53sin220, 

   

0,5,0  tUtU

-1

1

-1

Задание 1. Привести к каноническому виду:

.

Задание 2. Найти общее решение уравнения:

.

Задание 3. Определить тип уравнения и привести его к каноническо- му виду:

.

Задание 4. Решить задачу Коши:

;

,

заданы графически:

1

N

Задание 5. Найти решение уравнения свободного колебания струны

,

удовлетворяющее начальным условиям:

.

Задание 6. Найти решение уравнения колебания струны, закреплен- ной на концах, удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

;

.

Задание 7. Найти решение уравнения теплопроводности

удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

31

,

;

.

ВАРИАНТ 29

029 

yyxyxx

UUU

02930 

yyxyxx

UUU

0

4

1

22 

yyxyxx

UUU

0

xxtt

UU

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

110, 

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

t

110, 

   

xfxgN ,,29

)(xgy 

)(xfy 

   

 ,0,,,

2

txUaU

xxtt

   

10,,2sin0,

2

 xxUxxU

t

   

0,,0,0  tlUtU

   

00,,3sin0,  xUxxU

t

xxt

UU 5

 

xxU



3sin230, 

   

0,5,0  tUtU

-1

1

-1

Задание 1. Привести к каноническому виду:

.

Задание 2. Найти общее решение уравнения:

.

Задание 3. Определить тип уравнения и привести его к каноническо- му виду:

.

Задание 4. Решить задачу Коши:

;

,

заданы графически:

N

1

Задание 5. Найти решение уравнения свободного колебания струны

,

удовлетворяющее начальным условиям:

.

Задание 6. Найти решение уравнения колебания струны, закреплен- ной на концах, удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

;

.

Задание 7. Найти решение уравнения теплопроводности

удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

,

;

.

32

ВАРИАНТ 30

030 

yyxyxx

UUU

03031 

yyxyxx

UUU

0

2

1

2 

 



 





yyyxyxx

Uy

x

y

yUUxyxU

0

xxtt

UU

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

110, 

   

 

   

 

xgNNxfNNxU

nn

t

110, 

   

xfxgN ,,30

)(xgy 

)(xfy 

   

 ,0,,,

2

txUaU

xxtt

   

xxUxxU

t

tg0,,5ln0, 

   

0,,0,0  tlUtU

   

xxUxxU

t

cos0,,10, 

xxt

UU 3

 

xxU



3sin190, 

   

0,3,0  tUtU

-1

1

-1

Задание 1. Привести к каноническому виду:

.

Задание 2. Найти общее решение уравнения:

.

Задание 3. Определить тип уравнения и привести его к каноническо- му виду:

.

Задание 4. Решить задачу Коши:

;

,

заданы графически:

N

1

Задание 5. Найти решение уравнения свободного колебания струны

,

удовлетворяющее начальным условиям:

.

Задание 6. Найти решение уравнения колебания струны, закреплен- ной на концах, удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

;

.

Задание 7. Найти решение уравнения теплопроводности

удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

33

,

;

.

ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ

     

 

0,,,,,,2, 

yxyyxyxx

UUUyxFUyxCUyxBUyxА

02 ACB

02 ACB

02 ACB

   

02

22

 dxCBdxdydyA

 

Сyx ,



 

Сyx ,

 

yx,





 

yx,





1. Классификация линейных дифференциальных уравнений с

частными производными второго порядка.

Линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка имеет следующий вид:

Уравнение называется уравнением гиперболического типа в данной области, если в этой области

.

Уравнение называется уравнением параболического типа в данной области, если в этой области

.

Уравнение называется уравнением эллиптического типа в дан-

.

ной области, если в этой области

.

Характеристическое уравнение имеет следующий вид:

.

Общие интегралы этого обыкновенного дифференциального уравнения называют характеристиками.

2. Приведение линейных дифференциальных уравнений с ча-

стными производными второго порядка к каноническому виду.

Замена переменных с помощью характеристик приводит линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка к более простому, каноническому виду.

Для уравнения гиперболического типа характеристическое уравнение имеет два интеграла:

С помощью замены переменной:

;

.

;

.

34

Уравнение гиперболического типа приводится к каноническому

 

yxxy

UUUyxFU ,,,,

 

yxyyxx

UUUyxFUU ,,,,

 

Сyx ,



 

yx,





 

yx,





 

yx,

0

yx





 

yxxx

UUUyxFU ,,,,

 

yxyy

UUUyxFU ,,,,

   

2,1

,, Сyxiyx 



 

yx,





 

yx,





 

yxyyxx

UUUyxFUU ,,,,

xxx

UUU





yyy

UUU





уравнению:

;

.

Для уравнения параболического типа характеристическое уравнение имеет один интеграл:

.

С помощью замены переменной:

;

,

где

Уравнение параболического типа приводится к каноническому

уравнению:

Для уравнения эллиптического типа характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных интеграла:

С помощью замены переменной:

– функция, для которой

.

; .

.

;

уравнению:

.

Уравнение эллиптического типа приводится к каноническому

.

Преобразование частных производных выполняется по формулам:

;

35

   

xxxxxxxxxx

UUUUUU







22

2

;

   

yyyyyyyyyy

UUUUUU







22

2

 

xyxyyxxyyxyxxy

UUUUUU







031 

yyxyxx

UUU

0

4

123

31

4

1

2

 ACB

031

22

 dxdxdydy

2

dx

 

0312



yy

iy

2

123

2

1





Cxiyx 

2

123

2

1

 

yxyx 

2

1

,



 

xyx

2

123

, 

yx 

2

1



x

2

123



;

.

Пример 1. Привести к каноническому виду:

.

Решение

Уравнение является уравнением эллиптического типа, так как

.

Cоставим характеристическое уравнение:

.

Разделим на

откуда [7]:

Следовательно,

и получим уравнение

,

;

.

;

.

Сделаем замену:

;

,

36

тогда



UUU

x

2

123

2

1





UU

y





UUUU

xx

4

123

2

123

4

1





UUyy



UUU

xy

2

123

2

1



0

4

123

4

123





UU

0



UU

0



UU

03031 

yyxyxx

UUU

0

4

841

30

4

961

2

 ACB

03031

22

 dxdxdydy

2

dx

 

03031

2





yy

1



y

30



y

;

Исходное уравнение примет следующий вид:

Следовательно, канонический вид:

;

.

Ответ:

.

Пример 2. Найти общее решение уравнения:

.

Решение

Уравнение является уравнением гиперболического типа, так как:

.

Cоставим характеристическое уравнение:

.

Разделим на

и получим уравнение

,

откуда:

;

.

37

Следовательно,

Cxy 

Cxy  30

 

yxyx ,



 

yxyx  30,

yx 



yx  30

,1;30

;1;1



yx







UUU

x

30



UUU

y





UUUU

xx

90060 



UUUU

yy

 2



UUUU

xy

3031 

,0313131

99210243296162









UUU

UUUUUU

0931 



U

0



U

 





1

U

 



1

Следовательно,

Сделаем замену:

откуда:

тогда

;

.

;

.

;

,

Исходное уравнение примет вид:

откуда

Следовательно, канонический вид:

;

.

Решим это уравнение. Проинтегрируем по

:

,

где

– произвольная функция от .

38

Проинтегрируем по :

   







dU

1

 



   



U

   

yxyxU  30



   

yxyxU  30



02

22



yyxyxx

UyxyUUx

0

22222

 yxyxACB

02

2222

 dxyxydxdydyx

 

02 ydxxdy

x

dx

y

dy



1

C

x

dx

y

dy





Cxy lnln 

x

y

C 

,

где

– произвольная функция от

.

Следовательно,

.

Возвращаясь к старым переменным, получим:

.

Ответ:

.

Пример 3. Определить тип уравнения и привести его к канониче- скому виду:

.

Решение

Определим тип уравнения:

.

Это уравнение параболического типа.

Составим характеристическое уравнение:

Решим его:

откуда

Проинтегрируем:

Следовательно,

.

,

.

;

.

39

Сделаем замену:

x

y





y

.1;0

;

1

;

2





yx

xx

y





0

2



x

y

yx





0,0  yx



U

x

y

U

x

2





UU

x

U

y



1



U

x

y

U

x

y

U

xx

34

2





UU

x

U

x

U

yy



21

2



U

x

U

x

y

U

x

y

U

xy

223

1



;0

2

2222

2









UyU

x

y

U

x

y

U

x

y

U

x

y

U

x

y

U

x

y

U

x

y

02



Uy

откуда:

Это можно сделать, так как

;

,

если

.

Выразим частные производные по старым переменным через частные производные по новым переменным:

;

.

Подставим в исходное уравнение:

.

40