Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения математической физики. Учебно-методическое пособие
.pdf
Следовательно, канонический вид уравнения:
0
U
0
U
fUaU
tt
2
fUaU
t
2
0U
),( txUU
,0,tRx
n
02
xxtt
UaU
xxU
0,
xxU
t
0,
.
Ответ:
.
3. Физические приложения линейных дифференциальных
уравнений второго порядка с частными производными.
Простейшими примерами линейных дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными являются:
– волновое уравнение (гиперболический тип)
;
– уравнение теплопроводности (параболический тип)
;
– уравнение Лапласа (эллиптический тип)
(для описания стационарных процессов).
Здесь
– неизвестная функция,
– оператор Лапласа.
4. Свободные колебания бесконечной струны. Задача Коши
для уравнения колебания струны. Формула Даламбера.
Уравнения с частными производными второго порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах,
связанных с процессами колебаний.
Простейшее уравнение гиперболического типа
обычно называют уравнением колебания струны. Струной называется
тонкая упругая нить, которая может свободно изгибаться.
Вывод уравнения колебания струны можно найти в литературе
[2, 5, 9]. Для полного определения движения струны нужно задать в
,
начальный момент форму и скорость струны:
;
.
41
Данные условия называются начальными условиями задачи.
x
x
d
a
atxatx
txU
atx
atx
2
1
2
,
0
xxtt
UU
xgNNxfNNxU
nn
110,
xgNNxfNNxU
nn
t
110,
xfxgN ,,31
)(xgy
)(xfy
xfxg ,
,1,0
1,1,31
1,,0
x
x
x
xg
,1,0
1,0,1
0,1,1
1,,0
x
xx
xx
x
xf
,1,0
1,1,1922
1,,0
620,
x
x
x
xgxU
-1
1
-1
Пусть функция
второго порядка включительно, а функция
Задача о нахождении решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.
Решение данной задачи дает формула Даламбера:
Пример 4. Решить задачу Коши:
заданы графически:
имеет непрерывные частные производные до
– до первого.
.
;
;
,
1
N
Решение
Зададим функции
аналитически.
Запишем начальные условия:
42
,1,0
1,0,6262
0,1,6262
1,,0
620,
x
xx
xx
x
xfxU
t
Используя формулу Даламбера, получим:
,1,0
1,0,162
2
1
1922
0,1,162
2
1
1922
1,,0
,
x
xd
xd
x
txU
tx
tx
tx
tx
162
2
31162
2
1
2
xtd
tx
tx
tx
tx
xtd
tx
tx
tx
tx
162
2
31162
2
1
2
,1,0
1,0,1621922
0,1,1621922
1,,0
,
x
xxt
xxt
x
txU
,1,0
1,0,13162
0,1,13162
1,,0
,
x
xxt
xxt
x
txU
Вычислим интегралы:
Следовательно, решение задачи:
;
.
Ответ:
.
43
Пример 5. Найти решение уравнения свободного колебания струны
,0,,,
2
txUaU
xxtt
10,,sin0, xUxxU
t
1,sin xxx
atx
atx
d
a
atxatx
txU
2
1
2
sinsin
.
tatxtxU cossin,
tatxtxU cossin,
02
xxtt
UaU
xxU
0,
xxU
t
0,
0,0 tU
0, tlU
x
l
k
t
l
ak
bt
l
ak
atxU
k
kk
sinsincos,
1
,
удовлетворяющее начальным условиям:
.
Решение
.
Используя формулу Даламбера, получим:
.
Следовательно,
.
Ответ:
.
5. Задача о свободных колебаниях струны, закрепленной на
концах. Метод Фурье.
Пусть дана конечная струна длиной l, закрепленная на концах.
Задача о колебании такой струны сводится к нахождению решения
уравнения
при начальных условиях:
;
и граничных условиях:
;
Так как заданы начальные и граничные условия, задача называется смешанной.
Решая поставленную задачу методом Фурье [2, 5, 9], получим,
что решение имеет следующий вид:
.
,
44
где
xdx
l
k
x
l
a
l
k
0
sin
2
xdx
l
k
x
ak
b
l
k
0
sin
2
3l
0,,0,0 tlUtU
00,,
3,2,3,01,0
2,0,5,0
0,
xU
xx
xx
xU
t
0
k
b
xdx
k
xa
k
3
0
3
sin
3
2
xdx
k
xxdx
k
x
3
sin3,01,0
3
2
3
sin05,0
3
2
3
2
2
0
x
k
k
vxdx
k
dv
dxduxu
3
cos
3
3
sin
2
0
22
2
0
3
sin
9
3
cos
3
3
1,0
x
k
k
x
k
x
k
3
2
22
3
2
3
sin
9
1,0
3
cos
3
3,01,0
3
2
x
k
k
x
k
k
x
3
2
sin
9
3
2
cos
6
3
1,0
22
k
k
k
k
3
2
sin
9,0
3
2
cos
3
1,0
3
2
22
k
k
k
k
k
k
3
2
sin
9,0
22
;
.
Пример 6. Найти решение уравнения колебания струны длиной
, закрепленной на концах, удовлетворяющее граничным и на-
чальным условиям:
;
.
Решение
;
.
45
Подставляя
kk
ba ,
x
katkk
k
txU
k
3
sin
3
cos
3
2
sin
19,0
,
1
22
x
katkk
k
txU
k
3
sin
3
cos
3
2
sin
19,0
,
1
22
UaU
t
2
tMUU ,
M
Ox
xxt
UaU2
xxt
UaU2
,,0, xxxU
x
d
ta
txU
ta
x
2
2
4
e
2
1
,
в формулу решения смешанной задачи, получа-
ем решение поставленной задачи:
.
Ответ:
.
6. Задачи по теплопроводности.
Рассмотрим уравнение теплопроводности тела без источников
тепла:
,
где
– температура однородного тела в точке
.
Если тело является стержнем, направленным вдоль оси
уравнение имеет следующий вид:
.
6.1. Задача о распространении тепла в неограниченном
, то
стержне, боковая поверхность которого теплоизолирована. Задача Коши.
Математически эта модель формулируется следующим образом.
Найти функцию, удовлетворяющую уравнению
и начальному условию
,
где
– непрерывная и ограниченная функция.
Решение задачи имеет следующий вид:
.
Это формула Пуассона.
Вывод формулы можно найти в [2, 9, 10].
46
6.2. Задача о распространении тепла в полуограниченном
xxt
UaU2
0,,0 tttU
,0,0, xxxU
d
ta
txU
ta
x
ta
x
2
2
2
2
44
0
ee
2
1
,
dtt
ta
ta
x
t
2
3
4
0
2
2
e
2
1
xxt
UaU2
0,,0 tttU
x
,0,0, xxxU
0t
d
ta
txU
ta
x
ta
x
2
2
2
2
44
0
2
ee
1
2
1
,
стержне, боковая поверхность которого теплоизолирована.
Пусть конец стержня поддерживается при заданной температуре,
которая может изменяться с течением времени.
Задача сводится к решению уравнения
при граничном условии
и начальном условии
.
Решение задачи выражается формулой
Вывод данной формулы можно найти в [9].
Рассмотрим задачу нахождения решения уравнения
при граничном условии
и начальном условии
.
Если
, то решение задачи имеет следующий вид:
.
Вывод данной формулы можно найти в [2, 5, 9].
.
47
6.3. Задача о распространении тепла в ограниченном стержне,
xxt
UaU2
0,0,0 ttU
0,0, ttlU
lxxxU ,0,0,
1
sine,
2
k
t
l
ak
k
l
xk
btxU
dx
l
xk
x
l
b
l
k
sin
2
0
xxt
UaU2
0,0,0 ttU
x
0,0, ttlU
x
lxxxU ,0,0,
0
1
cose,
2
a
l
xk
atxU
k
t
l
ak
k
боковая поверхность которого теплоизолирована.
Математически эта модель формулируется следующим образом:
Найти функцию, удовлетворяющую уравнению
при граничных условиях:
;
и начальном условии
.
Данная задача называется смешанной задачей для уравнения теплопроводности.
Решение задачи выражается формулой
где
Рассмотрим следующую задачу:
Найти функцию, удовлетворяющую уравнению
при граничных условиях:
и начальном условии
,
.
.
Решение данной задачи имеет следующий вид:
48
,
где
dx
l
xk
x
l
a
l
k
cos
2
0
dxx
l
a
l
0
0
1
l
2
l
xlcxxf
0t
xxt
UaU2
2
0,
l
xlcx
xfxU
0,0,0 ttU
0,0, ttlU
1
sine,
2
k
t
l
ak
k
l
xk
btxU
dx
l
xk
l
xlсx
l
b
l
k
sin
2
0
2
Вывод данной формулы можно найти в [2].
;
.
Пример 7. Дан тонкий однородный стержень длиной
изолированный от внешнего пространства и имеющий начальную
температуру
.
Концы стержня поддерживаются при температуре, равной нулю. Определить температуру стержня в момент времени
.
Решение
Закон распределения температуры стержня описывается уравнением
при начальном условии
,
и краевых условиях:
где
Будем искать решение задачи в виде ряда
49
;
.
,
.
Разобьем интеграл на сумму двух интегралов:
dx
l
xk
x
l
c
dx
l
xk
x
l
с
b
ll
k
0
2
3
0
2
sin
2
sin
2
l
xk
k
l
vdx
l
xk
dv
dxduxu
cossin
l
xk
k
l
vdx
l
xk
dv
xdxduxu
cossin
2
2
ll
k
l
xk
k
l
l
c
l
xk
x
k
l
l
с
b
0
22
2
2
0
2
sin
2
cos
2
l
l
dx
l
xk
x
k
l
l
c
l
xk
x
k
l
l
с
0
3
0
2
3
cos
22
cos
2
l
xk
k
l
vdx
l
xk
dv
dxduxu
sincos
.cossin
4
cos
2
cos
2
0
22
2
0
2
3
3
2
2
ll
k
l
xk
k
l
l
xk
x
k
l
kl
c
k
k
llc
k
k
l
l
с
b
k
k
k
c
k
c
k
k
c
b 11
44
cos
4
333333
Каждый из интегралов интегрируем по частям:
Получим:
.
Проинтегрируем оставшийся интеграл по частям:
Получим:
.
Приведя подобные, получим:
.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]