Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Уравнения математической физики. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

610 Кб

Скачать

☆

1 / 181 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

А. Н. Павленко, О. А. Пихтилькова

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Рекомендовано Ученым советом федерального государственного бюджетного образовательного

учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» в качестве учебного пособия для студентов,

обучающихся по программам высшего профессионального образования по направлениям подготовки: 010300.62 Фундаментальная информатика и информационные технологии, 010400.62 Прикладная математика и ин-

форматика, 010500.62 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем

Оренбург

2013

УДК 517.95 (075.8)

ББК 22.311я73 П 12

Рецензент - кандидат педагогических наук Е.Н. Рассоха

Павленко, А.Н., Пихтилькова, О.А.

П12 Уравнения математической физики: учебное пособие / А. Н. Павленко, Пихтилькова О.А.; Оренбургский гос. ун-т.

–Оренбург: ОГУ, 2013. – 100 с.

Вданной работе изложены основные сведения теоретического характера по теории уравнений математической физики. Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по направлениям подготовки: 010300.62 Фундаментальная информатика и информационные технологии, 010400.62 Прикладная математика

иинформатика, 010500.62 Математическое обеспечение и адми-

нистрирование информационных систем.

УДК 517.95 (075.8) ББК 22.311я73

	Содержание
Введение.....................................................................................................................		4
1 Общие сведения об уравнениях с частными производными................................		5
1.1	Задача, приводящая к уравнению с частными производными..........................	5
1.2	Определение дифференциального уравнения с частными производными.......	8
1.3	Решение УЧП........................................................................................................	9
2 Линейные УЧП второго порядка их типы и задачи для них...............................		11
2.1	Определение линейного УЧП второго порядка и его свойства.......................	11
2.2	Типы линейных (квазилинейных) УЧП второго порядка................................	12
2.3	Приведение линейных (квазилинейных) УЧП второго порядка к
каноническому виду.................................................................................................		14
2.4	Простейшие виды задач для УЧП .....................................................................	31
2.4.1 Задачи для гиперболических УЧП .................................................................		31
2.4.2 Задачи для параболических УЧП...................................................................		33
2.4.3 Задачи для эллиптических УЧП.....................................................................		35
2.4.4 Требования к начальным и граничным условиям и правым частям УЧП ...		36
3 Гиперболические УЧП..........................................................................................		37
3.1	Задача Коши для бесконечной струны..............................................................	37
3.1.1 Решение задачи Коши методом Даламбера...................................................		37
3.1.2 Физическая интерпретация формулы Даламбера..........................................		42
3.2	Смешанная задача для свободных колебаний струны с закрепленными
концами.....................................................................................................................		43
3.3 Смешанная задача для вынужденных колебаний струны с закрепленными
концами.....................................................................................................................		54
3.4	Смешанная задача для неоднородных УЧП, НУ и ГУ.....................................	58
4 Параболические УЧП............................................................................................		61
4.1	Смешанная задача для однородного уравнения теплопроводности и
однородных ГУ (задача об остывании стержня)....................................................		61
4.2	Смешанная задача для неоднородного уравнения теплопроводности и
однородных НУ и ГУ...............................................................................................		67
4.3	Физический смысл функции мгновенного температурного источника..........	72
4.4	Смешанная задача для неоднородных УЧП, НУ и ГУ.....................................	74
4.5	Задача Коши для бесконечного стержня...........................................................	75
4.6	Физический смысл фундаментального решения..............................................	80
5 Эллиптические УЧП .............................................................................................		83
5.1	Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге ..............................................	83
5.2	Интегральная формула Пуассона......................................................................	91
6 Применение преобразования Лапласа для решения задач математической
физики.......................................................................................................................		96
Список использованных источников......................................................................		99

Введение

Данное учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по направлениям подготовки: 010300.62 Фундаментальная информатика и информационные технологии, 010400.62 Прикладная математика и информатика, 010500.62 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем. Оно представляет собой лекционный курс с примерами и задачами для раздела «Уравнения математической физики» дисциплины «Дифференциальные и разностные уравнения» (направление: 010300.62 Фундаментальная информатика и информационные технологии) и для дисциплины «Уравнения математической физики» (направления: 010400.62 Прикладная математика и информатика, 010500.62 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем).

Несмотря на то, что по данному разделу высшей математики имеется ряд отлично зарекомендовавших себя учебников (например [1-5]) написание настоящего пособия представляется актуальным в силу целесообразности выполнения следующих требований:

1)максимально точного соответствия текста пособия рабочим программам;

2)написание пособия как составной части комплекса по данной дисциплине, включающего в себя: курс лекций, тесты для контроля усвоения материала, методические указания для выполнения домашних работ и аудиторных контрольных работ.

Настоящие учебное пособие может быть использовано студентами и других информационных, математических, физических и инженерных направлений подготовки всех форм обучения.

1 Общие сведения об уравнениях с частными производны-

ми

1.1 Задача, приводящая к уравнению с частными производными

Рассмотрим колебания струны, на которую действует распределенная сила. Движение точек струны будем описывать с помощью функции u = u(x,t).

Рисунок 1

Когда струна неподвижна, будем считать, что она совпадает с осью x . Величина u = u(x,t) является расстоянием от точки струны с абсциссой x до оси в момент времени t .

Рассмотрим (рисунок 2) малый фрагмент струны в момент времени t . Будем считать, что он движется как единое целое.

Пусть на струну действует линейно распределенная сила с линейной

плотностью f (x,t)	[f ]=	н	. Пусть эта сила направлена вверх. Тогда на рас-

		м

сматриваемый фрагмент струны будет действовать сила F = f (x,t)∆x . Запишем для фрагмента струны второй закон Ньютона в векторной

форме:

ma = F1 + F2 + F .

Перейдем к проекциям на ось u :

mau = −F1 sinα1 + F2 sinα2 + F .

Используем механический смысл второй производной ax (t)= x′′(t):

mutt′′ = −F1 sinα1 + F2 sinα2 + F .

Рисунок 2

Предположим, что сила натяжения струны примерно постоянна по всей ее длине, тогда F1 ≈ F2 и

mutt′′ = −F1 sinα1 + F1 sinα2 + F ,

mutt′′ = F1(sinα2 −sinα1) + F .

Пусть во время колебаний струна изгибается «несильно», тогда углы α1 , α2 малы. Для малых углов, выраженных в радианах, имеем приближенное двойное равенство tgα ≈ sinα ≈α . Тогда получим:

mutt′′ = F1(tgα2 − tgα1) + F .

Используя геометрический смысл производной, будем иметь tgα1 = u′x (x,t) и tgα2 = u′x (x + ∆x,t). Тогда получим:

mutt′′ = F1(u′x (x + ∆x,t)−u′x (x,t))+ F .

Разделим данное		уравнение на		массу		фрагмента струны
m = ρV ≈ ρ S ∆x . Здесь:	ρ - плотность струны, V - ее объем, а S - площадь
поперечного сечения струны.
utt′′		F1	u′x (x + ∆x,t)−u′x (x,t)			F
	=		∆x		+		.
		ρS				ρ S ∆x

При малых ∆x имеем

u′x (x + ∆x∆,tx)−u′x (x,t)≈ u′xx′ (x,t).

Тогда:

utt′′ = ρFS1 u′xx′ + ρ SF∆x .

Используя, что F = f (x,t)∆x , получим:

′′

f (x,t)∆x

′′

f (x,t)

= ρS

ρ S ∆x

ρS

utt

uxx +

, utt

uxx +

Введя обозначения

= a2

f (x,t)

= g(x,t), будем иметь уравнение

ρS

utt′′ = a2u′xx′ + g(x,t),

1 / 181 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]