Рисунок 5
3.3 Смешанная задача для вынужденных колебаний струны с закрепленными концами
Рассмотрим смешанную задачу для вынужденных колебаний струны с нулевыми начальными и граничными условиями.
УЧП: utt = a2uxx + f (x,t) (0 < x < L, t > 0);
НУ: u(x,0)= 0 (0 ≤ x ≤ L);
54
ut (x,0)= 0 (0 ≤ x ≤ L);
ГУ: u(0,t)= 0, u(L,t)= 0 (t ≥ 0).
Будем считать, что функция f (x,t) удовлетворяет всем требованиям, которые налагаются преобразованиями, применяемыми в ходе решения задачи.
Решение данной задачи будем искать в виде
u(x,t)= ∑∞ Tn (t)sin πn x .
n=1 L
Здесь T n (t) - пока неизвестные функции.
Очевидно, что введенная таким образом функция u(x,t) будет удовле-
творять ГУ в независимости от T n (t). |
|
|
|
|
|
||||||
Подставим ряд для функции u(x,t) |
в УЧП, допуская, что его можно |
||||||||||
дифференцировать почленно по переменным x и t |
требуемое число раз. |
||||||||||
∞ |
πn |
|
|
2 |
|
∞ |
πn |
|
|
|
(x,t); |
|
|
= a |
|
∑Tn (t)sin |
x |
|
+ f |
||||
∑Tn (t)sin |
L |
x |
|
|
L |
|
|||||
n=1 |
tt |
|
|
n=1 |
|
xx |
|
|
|||
►Почленно продифференцируем ряды.◄
∞ |
|
|
πn |
|
|
∞ |
|
πn |
|
+ f (x,t); |
|
∑ Tn (t)sin |
|
L |
x |
= a2 ∑ Tn (t)sin |
L |
x |
|||||
n=1 |
|
|
|
tt |
n=1 |
|
xx |
||||
∞ |
|
πn |
|
|
2 ∞ |
πn 2 |
|
πn |
|||
′′ |
|
|
x = a |
∑Tn (t) |
−sin |
|
x + f (x,t); |
||||
∑Tn |
(t)sin |
L |
|
L |
|||||||
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
L |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
►Считая t параметром, разложим функцию f (x,t) в ряд Фурье на о т- резке [0, L] по синусам
|
∞ |
|
|
|
|
|
2 |
L |
|
|
|
|
|
f (x,t)= ∑ fn (t)sin πLn x , где |
fn |
(t)= |
∫ f (x,t)sin πLn xdx .◄ |
|
|||||||||
L |
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
∞ |
πn |
|
2 ∞ |
πn 2 |
|
πn |
∞ |
πn |
|
||||
′′ |
|
x = a |
∑Tn (t) |
|
−sin |
|
|
x + ∑ fn (t)sin |
|
x |
|||
∑Tn (t)sin |
L |
|
L |
L |
|||||||||
n=1 |
|
n=1 |
L |
|
|
|
n=1 |
|
|||||
►Перенесем вторую и третью суммы в левую часть и преобразуем ее таким образом, чтобы в ней осталась только одна сумма.◄
∞ |
πn |
|
|
|
|
|
2 ∞ |
πn 2 |
|
|
πn |
|
|
∞ |
|
|
πn |
|
||||||||
′′ |
|
|
x |
−a ∑Tn (t) |
−sin |
|
|
x − ∑ fn (t)sin |
|
|
x = 0; |
|||||||||||||||
∑Tn (t)sin |
L |
L |
|
|
L |
|||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|||||||
∞ |
|
πn |
|
|
|
2 ∞ |
πn 2 |
|
πn |
|
|
|
|
|
∞ |
|
πn |
|
|
|||||||
′′ |
|
|
|
|
|
|
x + a |
∑Tn |
(t) |
|
sin |
|
|
x − ∑ fn (t)sin |
|
|
x = 0; |
|||||||||
∑Tn (t)sin |
|
L |
|
|
|
L |
L |
|||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
L |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|||||||
∞ |
|
πn |
|
|
∞ 2 |
πn 2 |
|
πn |
|
|
|
|
|
∞ |
|
πn |
|
|
||||||||
′′ |
|
|
|
|
|
|
x + ∑a Tn |
(t) |
|
sin |
|
|
x − ∑ fn (t)sin |
|
|
x = 0; |
||||||||||
∑Tn (t)sin |
|
L |
|
|
|
L |
L |
|||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
L |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
′′ |
|
2 |
πn 2 |
− fn (t) |
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∑ |
|
|
|
(t) |
|
|
sin |
|
x = 0; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Tn (t) |
+ a Tn |
|
L |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∞ |
|
|
πan 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|||||||
|
∑ |
|
′′ |
|
|
Tn (t) |
− fn (t) |
|
sin |
|
|
x = 0 . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Tn (t)+ |
|
|
L |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
56
Получили разложение 0 в ряд Фурье на отрезке [0, L] по синусам. Так как это разложение единственно, то отсюда следуют равенства
|
|
πan 2 |
|
f |
|
(t)= 0 , |
(11) |
T ′′+ |
T − |
|
|||||
n |
|
L |
n |
|
n |
|
|
где n =1, 2, ... |
|
|
|
|
|
|
|
Используем первое НУ u(x,0)= 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
u(x,0)= ∑Tn (0)sin πn x = 0 . |
|
||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
L |
|
Получили разложение 0 в ряд Фурье на отрезке [0, L] по синусам. Так |
|||||||
как это разложение единственно, то тогда |
|
|
|
|
|||
|
|
Tn (0)= 0, |
|
|
|
(12) |
|
где n =1, 2, ... |
|
|
|
|
|
|
|
Используем второе НУ ut (x,0)= 0: |
|
|
|
|
|||
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
πn x = 0. |
ut (x,t)= ∑Tn′(t)sin πn x , |
ut (x,0)= ∑Tn′(0)sin |
||||||
n=1 |
|
L |
|
|
|
n=1 |
L |
Получили разложение 0 в ряд Фурье на отрезке [0, L] по синусам. Так как это разложение единственно, то тогда
Tn′(0)= 0, |
(13) |
где n =1, 2, ...
Из (11), (12) и (13) имеем задачи Коши
57