4.Пусть u(x, y) и v(x, y) - решения линейного неоднородного УЧП, то тогда функция u(x, y)−v(x, y) будет являться решением соответствующего однородного УЧП.

5.Пусть u1(x, y) - решение УЧП

Auxx + 2Buxy +Cuyy + aux +buy + cu = f1(x, y),

а u2 (x, y) - решение УЧП

Auxx + 2Buxy +Cuyy + aux +buy + cu = f2 (x, y).

Тогда функция u1(x, y)+u2 (x, y) будет являться решением УЧП

Auxx + 2Buxy +Cuyy + aux +buy + cu = f1(x, y)+ f2 (x, y).

2.2 Типы линейных (квазилинейных) УЧП второго порядка

Пусть дано линейное (квазилинейное) УЧП второго порядка. Введем обозначение

∆(x, y)= B2 (x, y)− A(x, y) C(x, y).

Определение. Линейное (квазилинейное) УЧП второго порядка называется на множестве D :

1)гиперболическим, если на множестве D выполняется неравенство

∆(x, y)> 0;

2)параболическим, если на множестве D выполняется равенство

∆(x, y)= 0;

12

3)эллиптическим, если на множестве D выполняется неравенство

∆(x, y)< 0 .

Задача. Определить тип УЧП

uxx −2xuxy + yuyy − x2uy =1.

Решение.

Найдем величину ∆(x, y). В данном случае имеем: A(x, y)=1,

B(x, y)= −x и C(x, y)= y . Тогда

∆(x, y)= B2 (x, y)− A(x, y) C(x, y)= (− x)2 −1 y = x2 − y .

В точках параболы y = x2 (рисунок 3) имеем ∆(x, y)= 0. Здесь уравнение является параболическим.

Во внутренних точках параболы имеем ∆(x, y)< 0 . Здесь уравнение является эллиптическим.

Во внешних точках параболы ∆(x, y)> 0 . Здесь уравнение является гиперболическим.

К линейным УЧП второго порядка приводит ряд задач физического содержания:

1)гиперболические УЧП: колебания различных систем, распространение волн.

2)параболические УЧП: распространение тепла, диффузия;

3)эллиптические УЧП: различные установившиеся явления (стационарное распределение температуры в телах, распределение электрического потенциала).

13

Требование неравенства нулю якобиана обусловлено необходимостью возможности выражения переменных x и y через переменные ξ и η.

Используем формулу для производной сложной функции. ►Формула для частной производной сложной функции

Пусть даны функции z = z(x, y), x = x(u,v), y = y(u,v). Тогда

∂∂uz = ∂∂xz ∂∂ux + ∂∂yz ∂∂uy .

◄

Получим:

1) ux = uξ ξx +uη ηx = uξ ϕx +uη ψx ; 2) uy = uξ ξy +uη ηy = uξ ϕy +uη ψ y ;

3) uxx = (uξ ξx +uη ηx )x = (uξξ ξx +uξη ηx )ξx +uξ ξxx +

►Так как функция u = u(x, y) является решением УЧП второго порядка, то она предполагается непрерывной вместе со своими частными производными до второго порядка включительно, и тогда верно равенство

uξη = uηξ .◄

15

Таким образом, если ϕ(x, y)= C - общий интеграл уравнения (3), то функция ϕ =ϕ(x, y) - решение УЧП первого порядка (4).

Уравнение (3) будем называть уравнением характеристик. Рассмотрим приведение гиперболического УЧП к его каноническому

виду uξη = f (ξ,η,u,uξ ,uη ). Очевидно, что в данном случае в уравнении (1)

надо обнулить коэффициенты A и C .

Для этого введем замены ξ =ϕ(x, y) и η =ψ(x, y), такие, чтобы функции ϕ(x, y) и ψ(x, y) являлись решениями УЧП (4). Тогда ϕ(x, y)= C и ψ(x, y)= C должны быть общими интегралами уравнения характеристик

Данное уравнение является квадратным относительно производной dydx .

Решим его

Так как рассматривается приведение к каноническому виду гиперболического УЧП, то тогда ∆ > 0 и мы получаем два ОДУ:

19

Задача. Привести УЧП 5uxx +6uxy +uyy +3ux + 2uy −u =1 к каноническому виду.

Решение.

1. Так как данное уравнение имеет вид

A(x, y)uxx +2B(x, y)uxy +C(x, y)uyy +a(x, y)ux +b(x, y)uy +c(x, y)u = f (x, y),

то тогда оно является линейным уравнением с частными производными второго порядка.

В данном случае A(x, y)= 5, B(x, y)= 3, C(x, y)=1. Определим тип данного уравнения:

∆(x, y)= B2 (x, y)+ A(x, y)C(x, y)= 32 −5 1 = 4 > 0.

Так как ∆(x, y)> 0, то уравнение является гиперболическим. 2. Составим и решим уравнение характеристик

Решив которое, получим два действительных корня t =1 и t = 15 .

Таким образом, получаем два ОДУ:

20

dydx =1, dydx = 15 .

Так как dydx =1, то y = ∫1dx = x +C и y − x = C - общий интеграл пер-

щий интеграл второго ОДУ.

3.Перейдем к новым переменным:

ξ= y − x , η = 5y − x .

4.Приведем данное уравнение к каноническому виду. Найдем частные производные ux , uy , uxx , uxy и uyy :

1)ux = uξ ξx +uη ηx = uξ (−1)+uη (−1)= −uξ −uη ;

2) uy = uξ ξy +uη ηy = uξ 1+uη 5 = uξ +5uη ;

3) uxx = (ux )x = (−uξ −uη )x = −(uξξ ξx +uξη ηx )−(uηξ ξx +uηη ηx )=

= −(uξξ (−1)+uξη (−1))−(uηξ (−1)+uηη (−1))=

uξξ +uξη +uηξ +uηη =

►Так как предполагается, что функция u имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то тогда

uηξ = uξη .◄

= uξξ + 2uξη +uηη ;

21

Рассмотрим для данного случая уравнение характеристик

Данное уравнение является квадратным относительно производной dydx .

Решим его

Так как рассматривается приведение к каноническому виду параболического УЧП, то тогда ∆ = 0 и мы получаем одно ОДУ:

dydx = BA .

Решив которое, мы получим общий интеграл ϕ(x, y)= C . По которому образуем замену ξ =ϕ(x, y). В качестве η =ψ(x, y) можно взять любую непрерывную функцию, имеющую все непрерывные частные производные до второго порядка включительно, для которой выполняется

Для упрощения выкладок целесообразно брать η = x или η = y . Такая замена, очевидно, обнулит коэффициент A.

23

Так как замена переменных не меняет тип УЧП, то и после замены оно

учетом A ≡ 0, получаем B ≡ 0 .

Получили, что данная замена приведет параболическое УЧП к каноническому виду.

Задача. Привести уравнение uxx +18uxy +81uyy +ux +9uy = 2 к каноническому виду.

Решение.

1. Так как данное уравнение имеет вид

A(x, y)uxx +2B(x, y)uxy +C(x, y)uyy +a(x, y)ux +b(x, y)uy +c(x, y)u = f (x, y),

то тогда оно является линейным уравнением с частными производными второго порядка.

В данном случае A(x, y)=1, B(x, y)= 9, C(x, y)= 81. Определим тип данного уравнения

∆(x, y)= B2 (x, y)+ A(x, y)C(x, y)= 92 −1 81 = 0.

Так как ∆(x, y)= 0, то уравнение является параболическим. 2. Составим и решим уравнение характеристик

Решив которое, получим корень второй кратности t = 9 .

24

Так как dydx = 9, то y = ∫9dx = 9x +C и y −9x = C - единственный об-

щий интеграл уравнения характеристик. 3. Перейдем к новым переменным:

ξ= y −9x .

Вкачестве переменной η можно взять любую функцию, линейно неза-

Для упрощения преобразований возьмем η = x .

4. Приведем данное уравнение к каноническому виду. Найдем частные производные ux , uy , uxx , uxy и uyy :

1) ux = uξ ξx +uη ηx = uξ (−9)+uη 1 = −9uξ +uη ; 2) uy = uξ ξy +uη ηy = uξ 1+uη 0 = uξ ;

3) uxx = (ux )x = (−9uξ +uη )x = −9(uξξ ξx +uξη ηx )+uηξ ξx +uηη ηx =

= −9(uξξ (−9)+uξη 1)+uηξ (−9)+uηη 1 = 81uξξ −9uξη −9uηξ +uηη =

►Так как предполагается, что функция u имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то тогда

uηξ = uξη .◄

= 81uξξ −18uξη +uηη .

25

4) uxy = (uy )x = (uξ )x = uξξ ξx +uξη ηx = uξξ (−9)+uξη 1 = −9uξξ +uξη . 5) uyy = (uy )y = (uξ )y = uξξ ξy +uξη ηy = uξξ 1+uηη 0 = uξξ .

Подставим полученные частные производные в данное уравнение:

81uξξ −18uξη +uηη +18(−9uξξ +uξη )+81uξξ −9uξ +uη +9uξ = 2,

uηη +uη = 2.

Получили канонический вид данного уравнения.

Рассмотрим приведение эллиптического УЧП к его каноническому виду uξξ +uηη = f (ξ,η,u,uξ ,uη ). Очевидно, что в данном случае в уравнении (1) надо обнулить коэффициент B , а коэффициенты A и C сделать тождественно равными.

Рассмотрим для данного случая уравнение характеристик

Данное уравнение является квадратным относительно производной dydx .

Решим его

Так как рассматривается приведение к каноническому виду эллиптического УЧП, то тогда ∆ < 0 и

26

Таким образом, имеем два ОДУ:

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые, будем иметь

Aϕx2 + 2Bϕxϕy +Cϕ2y + 2i(Aϕxψx + B(ϕxψ y +ϕyψx ) +Cϕyψ y ) = Aψx2 +

+ 2Bψxψ y +Cψ 2y .

Используем соотношения:

27

Введя замену t = dydx , получим квадратное уравнение t2 −6t +13 = 0.

Решив которое, получим два комплексно сопряженных корня t1,2 = 3 ± 2i .

Таким образом, получаем два ОДУ:

dydx = 3 −2i , dydx = 3 + 2i .

Найдем общий интеграл, например, первого ОДУ.

общий интеграл первого ОДУ.

Выделим из левой части действительную и мнимую части.

y−3x + 2xi = C .

3.Перейдем к новым переменным:

ξ= y −3x , η = 2x .

4.Приведем данное уравнение к каноническому виду. Найдем частные производные ux , uy , uxx , uxy и uyy :

1)ux = uξ ξx +uη ηx = uξ (−3)+uη 2 = −3uξ + 2uη ;

29