5.2 Интегральная формула Пуассона

1

2π

∞

ρ n

1 2π

u(ρ,ϕ)=

∫

f (ψ )dψ +

∫

f (ψ )cosnψdψ cosnϕ +

2π

π

n∑=0

R

0

0

1

2π

1

2π

+

∫ f (ψ )sin nψdψ sin nϕ

=

∫ f (ψ )dψ +

π

2π

0

0

1

∞

ρ n

2π

2π

+

∫

f

(ψ )cosnψdψ

cosnϕ +

∫

f

(ψ )sin nψdψ sin nϕ

=

π n∑=0

R

0

0

1 2π

f (ψ )dψ +

1

∞

ρ n 2π

f (ψ )cosnψ cosnϕdψ +

=

∫

∫

2π

π

∑

R

0

n=0

0

1

2π

f (ψ )dψ +

1

∞

ρ n 2π

=

∫

∑

R

∫ f (ψ )(cosnψ cosnϕ +sin nψ sin nϕ)dψ =

2π

π

0

n=0

0

1

2π

f (ψ )dψ +

1

∞

ρ n 2π

=

∫

∑

R

∫ f (ψ )cosn(ϕ −ψ )dψ =

2π

π

0

n=0

0

1

2π

1

2π

∞

ρ n

=

∫

f (ψ )dψ +

∫

∑

R

f (ψ )cosn(ϕ −ψ )dψ =

2π

π

0 n=1

0

1

2π

1

f (ψ )dψ +

1

2π

∞

ρ n

=

∫

2

∫

f (ψ )

∑

R

cosn(ϕ −ψ )dψ =

π

π

n=1

0

0

1

2π 1

f (ψ )dψ

2π

f (ψ )

∞

ρ n

cosn(ϕ −ψ )dψ

=

∫

+

∫

=

π

2

∑

R

0

0

n=1

1

2π

1

f (ψ )+ f (ψ )

∞

ρ n

=

2

cosn(ϕ −ψ ) dψ =

π

∫

∑

R

0

n=1

1 2π

1

∞

ρ n

=

∫

f (ψ )

2

+

∑

cosn(ϕ −ψ ) dψ .

(46)

π

R

0

n=1

►Введем обозначения t =

ρ

<1,

α =ϕ −ψ .◄

R

∞

= ∑tn cosnα =

n=1

►Используем формулу

cos z =

eiz

+ e

−iz

2

.◄

∞

e

inα

+ e

−inα

1

∞

= ∑tn

=

∑(tneinα +tne−inα )=

n=1

2

2 n=1

1

∞

n

inα

∞

n

−inα

1

∞

iα

n

∞

−iα

n

=

∑t

e

+ ∑t

e

=

∑(te

)

+ ∑(te

)

=

2

2

n=1

n=1

n=1

n=1

S∞ =

b1

(

q

<1).◄

1− q

1

teiα

te−iα

teiα (1−te−iα )+te−iα (1

−teiα )

1

=

+

=

=

2

1

−te

iα

1

−te

2

(1−te

iα

)(1−te

−iα

)

−iα

1

teiα −t2 +te−iα −t2

1

t(eiα + e−iα )−2t2

=

=

1−t(eiα + e−iα )+t2

=

2

1−te−iα −teiα +t2

2

cos z =

eiz + e−iz

2

.◄

=

t cosα −t2

=

1−2t cosα +t2

►Произведем обратную замену переменных t =

ρ

, α =ϕ −ψ .◄

R

ρ

cos(ϕ −ψ )

ρ

2

R

−

=

R

=

ρ

ρ

2

1

−2

cos(ϕ −ψ )

R

+

R

►Умножим числитель и знаменатель

полученного выражения на

R2 .◄

=

ρR cos(ϕ −ψ )− ρ2

.

R2 −2ρR cos(ϕ −ψ )+ ρ2

1 2π

1

ρR cos(ϕ −ψ )− ρ2

+

2

2

u(ρ,ϕ)= ∫ f (ψ )

2

R

2

R cos(

)

dψ =

π

0

−

ρ

−ψ

+ ρ

ϕ

1

2π

f (ψ )

R2

−2ρR cos(ϕ −ψ )+ ρ2 + 2ρR cos(ϕ −ψ )

−2ρ2

=

∫0

2(R2 −2ρR cos(ϕ −ψ )+ ρ2 )

dψ =

π

1

2π

f (ψ )

R2 − ρ2

=

∫0

2(R2 −2ρR cos(ϕ −ψ )+ ρ2 )dψ =

π

1

2π

R2 − ρ2

f (ψ )dψ =

=

∫

2π

2

2

2

R cos(

)

0 R

+ ρ

−

ρ

ϕ −ψ

K(ρ,ϕ,ψ )=

R2 − ρ2

.

R2 + ρ2 −2ρR cos(ϕ −ψ )