Рисунок 4
3.2 Смешанная задача для свободных колебаний струны с закрепленными концами
В данном случае имеем задачу
УЧП: utt = a2uxx (0 < x < L, t > 0);
НУ: u(x,0)=ϕ(x) (0 ≤ x ≤ L);
43
ut (x,0)=ψ(x) (0 ≤ x ≤ L);
ГУ: u(0,t)= 0, u(L,t)= 0 (t ≥ 0).
Решим задачу методом Фурье (методом разделения переменных). Для этого будем искать ее решение в виде
u(x,t)= X (x)T (t).
Подставив это решение в УЧП, получим
X (x)T ′′(t)= a2 X ′′(x)T (t).
Разделим полученное уравнение на a2 X (x)T (t).
|
|
|
|
′′ |
|
′′ |
|
||
|
|
|
|
T (t) |
= |
X (x) |
= −µ . |
||
|
|
|
|
a2T (t) |
X (x) |
|
|||
Выражение |
T ′′(t) |
|
не зависит от переменной x , а выражение |
||||||
a2T (t) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
(6)
X ′′((x)) не
X x
зависит от переменной t . Тогда из того, что эти выражения тождественно равны, следует, что они не зависят ни от x , ни от t . Тогда их можно положить равными константе − µ.
Из соотношения (6) получаем два обыкновенных дифференциальных
уравнения: |
|
T ′′+ µa2T = 0, |
(7) |
X ′′+ µX = 0 . |
(8) |
44
Теперь рассмотрим граничные условия:
1)u(0,t)= X (0)T (t)= 0 ;
2)u(L,t)= X (L)T (t)= 0.
Так как T (t) не может тождественно равняться 0 (в противном случае имеем: u(x,t)= X (x)T (t)= X (x) 0 = 0 - струна неподвижна), то тогда из граничных условий следует, что X (0)= 0 и X (L)= 0 .
Объединив два полученных условия с уравнением (8), получим так называемую задачу Штурма-Лиувилля
X ′′+ µX = 0; |
(9) |
|
X (0)= 0, X (L)= 0. |
||
|
1. Рассмотрим случай µ < 0 . Тогда положив, µ = −λ2 (λ > 0) будем иметь задачу
X ′′−λ2 X = 0;
X (0)= 0, X (L)= 0.
Для данного ОДУ характеристическое уравнение будет иметь вид
k2 −λ2 = 0.
Так как его корни равны k1 = −λ и k2 = λ , то тогда общим решением ОДУ является
X = C1e−λx +C2eλx .
Используем условия X (0)= 0 и X (L)= 0 :
45
1)X (0)= C1e−λ 0 +C2eλ 0 = C1 +C2 = 0;
2)X (L)= C1e−λL +C2eλL = 0.
Таким образом, получили однородную систему линейных алгебраических уравнений
C1 +C2 = 0,e−λLC1 + eλLC2 = 0.
Определитель этой системы равен
∆ = |
|
e |
−1λL |
1λL |
|
= eλL −e−λL = e−λL (e2λL −1)≠ 0, |
|
|
|||||
|
|
|
e |
|
|
так как λ > 0 и L > 0 .
Так как ∆ ≠ 0 , то однородная система имеет единственное нулевое решение C1 = 0 и C2 = 0.
Тогда X (x)≡ 0 и u(x,t)≡ 0 - струна неподвижна.
Отсюда следует, что случай µ < 0 не может соответствовать колеблющейся струне.
2. Рассмотрим случай µ = 0. Тогда будем иметь задачу
X ′′ = 0;
X (0)= 0, X (L)= 0.
Для данного ОДУ характеристическое уравнение будет иметь вид
46
k2 = 0 .
Так как оно имеет корень второй кратности k = 0, то тогда общим р е- шением ОДУ является
X = C1e0 x +C2 xe0 x = C1 +C2 x .
Используем условия X (0)= 0 и X (L)= 0 :
1)X (0)= C1 +C2 0 = C1 = 0;
2)X (L)= C1 +C2L = 0.
Таким образом, получили систему уравнений
C1 = 0,
C1 +C2L = 0.
Так как L > 0 , то система имеет единственное нулевое решение C1 = 0 и C2 = 0.
Тогда X (x)≡ 0 и u(x,t)≡ 0 - струна неподвижна.
Отсюда следует, что случай µ = 0 также не может соответствовать колеблющейся струне.
3. Рассмотрим случай µ > 0 . Тогда положив, µ = λ2 (λ > 0) будем иметь задачу
X ′′+λ2 X = 0;
X (0)= 0, X (L)= 0.
Для данного ОДУ характеристическое уравнение будет иметь вид
47
k2 +λ2 = 0.
Так как его корни k1,2 = ±λi , то тогда общим решением ОДУ является
X = C1 cosλx +C2 sinλx .
Используя условие X (0)= 0, получим
X (0)= C1 cosλ 0 +C2 sinλ 0 = C1 = 0 .
Тогда
X = C2 sinλx .
Используя условие X (L)= 0 , получим
X (L)= C2 sinλL = 0 .
Отсюда C2 = 0 или sinλL = 0.
Случай C2 = 0 следует исключить, так как тогда X (x)≡ 0 и u(x,t)≡ 0 - струна неподвижна.
Из sinλL = 0 имеем λL =πn , где n Z .
Тогда λ = πn . |
|
|
L |
|
|
Из λ > 0 и L > 0 следует, что n N . |
|
|
Получаем, что данная задача Штурма-Лиувилля только при найденных |
||
значениях λ = πn имеет ненулевые решения |
X = C2 sinλx = C2 sin |
πn x . Они |
L |
|
L |
48 |
|
|
для каждого значения λ = πLn единственны с точностью до постоянного
множителя C2 . |
|
|
Числа λ |
= πn |
(n N ) называются собственными значениями задачи |
n |
L |
|
|
|
Штурма-Лиувилля, а функции Xn = sin πLn x - собственными функциями за-
дачи Штурма-Лиувилля.
Теперь рассмотрим ОДУ (7). С учетом найденного значения
µ= λ2 = πn 2 , будем иметь ОДУ
L
T ′′+ πan 2T = 0.
L
Для данного ОДУ характеристическое уравнение будет иметь вид
k2 + πan 2 = 0.L
Так как его корни k1,2 = ±πanL i , то тогда общим решением ОДУ являет-
ся
T = C1 cosπanL t +C2 sin πanL t .
Так как полученное решение зависит от n , то в дальнейшем будем и с- пользовать обозначения Tn (t). Кроме того, произвольные постоянные для каждого значения n могут быть различны, поэтому выберем для них обозначения An и Bn .
Тогда общее решение ОДУ (7) примет вид
49
Tn (t)= An cosπanL t + Bn sin πanL t .
Получили решения УЧП utt′′ = a2u′xx′ вида
u |
|
(x,t)= T |
(t)X |
|
|
|
cos |
πan |
t + B |
sin |
πan |
|
πn |
x . |
|
|
(x)= A |
L |
L |
t sin |
L |
||||||||
|
n |
n |
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
|
|||
Так как данное УЧП является линейным, то можно предположить, что также будет являться его решением и ряд
∞ |
πan |
t + Bn sin |
πan |
|
πn |
x . |
(10) |
u(x,t)= ∑ An cos |
L |
L |
t sin |
L |
|||
n=1 |
|
|
|
|
Следует отметить, что это решение удовлетворяет ГУ исходной задачи. Для нахождения коэффициентов An и Bn используем НУ.
Применив первое НУ, будем иметь
u(x,0)= ∑∞ An sin πn x =ϕ(x).
n=1 L
Получили разложение в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, L] функции ϕ(x). Тогда из теории рядов Фурье имеем
A = |
2 L |
ϕ(x)sin |
πn xdx . |
||
|
|
||||
L ∫ |
|||||
n |
|
L |
|||
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
||
Применим второе НУ:
50
∞ |
− An |
πan |
sin |
πan |
t + Bn |
πan |
cos |
πan |
|
πn |
x , |
ut (x,t)= ∑ |
L |
L |
L |
L |
t sin |
L |
|||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
ut (x,0)= ∑∞ Bn πan sin πn x =ψ(x). n=1 L L
Получили разложение в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, L] функции ψ(x). Тогда
πan |
|
2 L |
πn |
|
2 L |
πn |
|
||
Bn L |
= |
|
∫ψ(x)sin |
L |
xdx , Bn = |
|
∫ψ(x)sin |
L |
xdx . |
L |
πan |
||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||
Таким образом, решение рассматриваемой задачи следует проводить по схеме:
1) найти коэффициенты
|
2 |
L |
πLn xdx , Bn = |
2 |
L |
πLn xdx (n =1, 2, 3,...); |
|
An = |
∫ϕ(x)sin |
∫ψ(x)sin |
|||||
L |
πan |
||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
2) записать решение задачи в виде ряда
∞ |
πan |
t + Bn sin |
πan |
|
πn |
x . |
u(x,t)= ∑ An cos |
L |
L |
t sin |
L |
||
n=1 |
|
|
|
Можно показать [6, с. 95], что полученный результат имеет место, если функция ϕ является дважды непрерывно дифференцируемой и имеет третью кусочно-непрерывную производную, а функция ψ - непрерывно дифференцируема и имеет вторую кусочно-непрерывную производную и выполнены условия
51
ϕ(0)=ϕ(L)=ϕ′′(0)=ϕ′′(L)=ψ(0)=ψ(L)= 0.
Данные требования не всегда выполняются, поэтому часто рассматривают обобщенное решение [7, с. 95] данной задачи.
Определение. Если полученный ряд (10) нельзя дважды почленно дифференцировать, но он сходиться равномерно, то решение (10) будем называть обобщенным решением данной задачи.
Рассмотрим теперь физическую интерпретацию полученного решения. Преобразуем n-ый член ряда (10):
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
πan |
t + B |
sin |
πan |
|
|
|
πn |
x = |
|
||||
|
|
|
(x,t)= A |
L |
L |
|
t sin |
L |
|
|||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
An |
|
|
|
|
|
|
|
Bn |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= A2 |
+ B2 |
|
|
|
|
|
cosπan t + |
|
|
|
|
sin πan t sin |
πn x = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n |
|
n |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
L |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
L |
|
L |
|||
|
|
|
|
|
|
An |
+ Bn |
|
|
|
|
An |
+ Bn |
|
|
|
||||||||
►Так как
|
A |
|
2 |
|
|
B |
|
2 |
|
||||
|
|
n |
|
|
+ |
|
|
n |
|
|
=1, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
||||||||
|
An |
+ Bn |
|
|
|
|
An |
+ Bn |
|
|
|
||
то тогда введем замену
|
An |
|
= sinϕn , |
|
Bn |
|
= cosϕn .◄ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A2 |
+ B2 |
|
A2 |
+ B2 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
n |
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
πan |
|
|
|
πan |
|
πn |
|
|
|
2 |
+ B |
2 |
|
cos |
t +cosϕ |
|
sin |
x = |
|||||
= A |
|
sinϕ |
|
L |
|
L |
t sin |
L |
||||||
|
n |
n |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
►Применим формулу тригонометрии
sin(α + β)= sinα cos β +cosαsin β .◄
|
|
|
πan |
|
|
πn |
|
|
πan |
|
|
πn |
|
|||
|
2 |
+ B |
2 |
t +ϕ |
x = C |
|
t +ϕ |
x . |
||||||||
= A |
|
sin |
L |
sin |
L |
|
sin |
L |
sin |
L |
||||||
|
n |
n |
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
|||||
При n =1, 2, 3 построим на одном чертеже (рисунок 5) профили струны при всех t .
Таким образом, каждая точка струны либо покоится (такие точки называются узлами), либо совершает поперечные гармонические (то есть по зако-
ну синуса или косинуса) колебания с амплитудой Cn sin πLn x , зависящей от
координаты точки струны. Точки с максимальным размахом колебаний называются пучностями.
Так как узлы и пучности не перемещаются вдоль струны, то функции un (x,t) называются стоячими волнами или гармониками.
Определение. Количество колебаний системы за 2π секунд называется ее циклической частотой.
Циклические частоты ωn = πanL называются собственными частотами струны: ω1 - частота основного тона, ωn (n >1) - обертоны.
∞
Так как u(x,t)= ∑un (x,t), то свободные колебания струны представ-
n=1
ляют собой суперпозицию (сумму) гармоник с различными собственными частотами и амплитудами. Наличие тех или иных гармоник определяется НУ, то есть способом первоначального возбуждения колебаний.
53