3 Гиперболические УЧП

3.1 Задача Коши для бесконечной струны

3.1.1 Решение задачи Коши методом Даламбера

Задача Коши для свободных колебаний бесконечной струны имеет вид:

A(x,t)=1, B(x,t)= 0 и C(x,t)= −a2 . Составим и решим уравнение характеристик

dx 2 −a2 = 0 .dt

Введя замену z = dxdt , получим квадратное уравнение z2 −a2 = 0. Ре-

шив которое, получим два действительных корня z1,2 = ±a .

Таким образом, получаем два ОДУ:

dxdt = −a , dxdt = a .

37

теграл второго ОДУ.

Перейдем к новым переменным:

ξ = x + at , η = x −at .

Приведем данное уравнение к каноническому виду. Найдем частные производные ut , ux , utt и uxx :

1) ux = uξ ξx +uη ηx = uξ 1+uη 1 = uξ +uη ;

2) ut = uξ ξt +uη ηt = uξ a +uη (−a)= a(uξ −uη );

3) uxx = (ux )x = (uξ +uη )x = (uξξ ξx +uξη ηx )+ (uηξ ξx +uηη ηx )=

= (uξξ 1+uξη 1)+ (uηξ 1+uηη 1)= uξξ +uξη +uηξ +uηη =

►Так как предполагается, что функция u имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то тогда

uηξ = uξη .◄

= uξξ + 2uξη +uηη ;

4) utt = (ut )t = (a(uξ −uη ))t = a(uξξ ξt +uξη ηt −(uηξ ξt +uηη ηt ))=

38

= a(uξξ a +uξη (−a)−(uηξ a +uηη (−a)))= a2 (uξξ −2uξη +uηη ).

Подставим полученные частные производные в данное уравнение:

a2 (uξξ −2uξη +uηη )= a2 (uξξ + 2uξη +uηη ),

uξη = 0 - канонический вид данного УЧП.

Найдем функцию u = u(ξ,η) с помощью двух последовательных интегрирований:

1)uξ = ∫0dη = C(ξ);

2)u = ∫C(ξ)dξ = C1(ξ)+C2 (η).

Здесь C1(ξ) и C2 (η) - произвольные функции. 2. Вернемся к старым переменным

u= C1(x + at)+C2 (x −at).

3.Найдем функции C1 и C2 , используя НУ. Используем первое начальное условие u(x,0)=ϕ(x) :

u(x,0)= C1(x + at)+C2 (x −at)t=0 = C1(x)+C2 (x).

Отсюда получаем уравнение

C1(x)+C2 (x)=ϕ(x).

39