Отсюда следует физический смысл функции мгновенного температурного источника.

Функция G(x,ξ0,t −τ0 ) определяет распределение температуры в стержне при условии, что в точке стержня x = ξ0 в момент времени t =τ0 выделилось количество теплоты равное Q = cρ .

4.4 Смешанная задача для неоднородных УЧП, НУ и ГУ

Рассмотрим более общую смешанную задачу

УЧП: ut = a2uxx + f (x,t) (0 < x < L, t > 0);

НУ: u(x,0)=ϕ(x) (0 ≤ x ≤ L);

ГУ: u(0,t)= µ1(t), u(L,t)= µ2 (t)(t ≥ 0).

Введя замену

v(x,t)= u(x,t)− µ1(t)+ (µ1(t)− µ2 (t))Lx ,

мы получим новую задачу с нулевыми ГУ.

УЧП: vt = a2vxx + ~f (x,t) (0 < x < L, t > 0);

НУ: v(x,0)=ϕ~(x) (0 ≤ x ≤ L);

ГУ: v(0,t)= 0 , v(L,t)= 0 (t ≥ 0).

Решение полученной задачи можно представить в виде

74