4 Параболические УЧП
4.1 Смешанная задача для однородного уравнения теплопроводности и однородных ГУ (задача об остывании стержня)
В данном случае имеем задачу
УЧП: ut = a2uxx (0 < x < L, t > 0);
НУ: u(x,0)=ϕ(x) (0 ≤ x ≤ L);
ГУ: u(0,t)= 0, u(L,t)= 0 (t ≥ 0).
Решим задачу методом Фурье (методом разделения переменных). Для этого будем искать ее решение в виде
u(x,t)= X (x)T (t).
Подставив это решение в УЧП, получим
X (x)T ′(t)= a2 X ′′(x)T (t).
Разделим полученное уравнение на a2 X (x)T (t).
|
|
|
|
′ |
|
′′ |
|
||
|
|
|
|
T (t) |
= |
X (x) |
= −µ . |
||
|
|
|
|
a2T (t) |
X (x) |
|
|||
Выражение |
T ′(t) |
|
не зависит от переменной x , а выражение |
||||||
a2T (t) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
(14)
X ′′((x)) не
X x
зависит от переменной t . Тогда из того, чт о эти выражения тождественно
61
равны, следует, что они не зависят ни от x , ни от t . Тогда их можно положить равными константе − µ.
Из соотношения (14) получаем два обыкновенных дифференциальных
уравнения: |
|
T ′+ µa2T = 0 , |
(15) |
X ′′+ µX = 0 . |
(16) |
Теперь рассмотрим граничные условия: |
|
1) u(0,t)= X (0)T (t)= 0 ; |
|
2) u(L,t)= X (L)T (t)= 0. |
|
Так как T (t) не может тождественно равняться 0 (в противном случае имеем: u(x,t)= X (x)T (t)= X (x) 0 = 0 - каждая точка стержня имеет нулевую температуру), то тогда из граничных условий следует, что X (0)= 0 и
X (L)= 0 .
Объединив два полученных условия с уравнением (16), получим задачу Штурма-Лиувилля
X ′′+ µX = 0;
X (0)= 0, X (L)= 0.
Данная задача уже была нами решена в п. 3.2:
1)λn = πLn (n N ) - собственные значения задачи;
2)Xn = sin πLn x - собственные функции задачи.
62
Теперь рассмотрим ОДУ (15). С учетом найденных значений λn = πLn ,
будем иметь ОДУ |
|
|
πan 2 |
T = 0. |
|
T ′+ |
|
|
|
L |
|
Для данного ОДУ характеристическое уравнение будет иметь вид |
||
|
πan 2 |
|
k + |
|
= 0. |
|
L |
|
πan 2 |
|
|
||
Так как его корень k = − |
L |
, то тогда общим решением ОДУ (15) |
||
|
|
|
|
|
является |
|
|
|
|
|
|
|
|
πan 2 |
|
T |
= C |
− |
t |
|
e |
L . |
||
|
n |
n |
|
|
|
|
′ |
|
2 |
′′ |
вида |
|
|
|
|
|||
Получили решения УЧП utt = a |
|
|
uxx |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πan 2 |
|
||
u |
|
(x,t)= T (t)X |
|
|
(x) |
= C |
|
− |
L |
|
t |
πn x . |
|
n |
n |
n |
e |
|
sin |
||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
L |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как данное УЧП является линейным, то можно предположить, что |
|||||||||||||
также будет являться его решением и ряд |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
πan 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
− |
|
t |
|
πn x . |
|
||
|
|
u(x,t)= ∑Cne |
L |
|
sin |
(17) |
|||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
||
|
|
|
|
|
|
63 |
|
|
|
|
|
|
|
Следует отметить, что это решение удовлетворяет ГУ исходной задачи. Для нахождения коэффициентов Cn используем НУ.
u(x,0)= ∑∞ Cn sin πn x =ϕ(x).
n=1 L
Получили разложение в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, L] функции ϕ(x). Тогда из теории рядов Фурье имеем
Cn = |
2 L |
ϕ(x)sin |
πn xdx . |
(18) |
||
|
|
|||||
L ∫ |
||||||
|
|
L |
|
|||
|
0 |
|
|
|
||
Задача об остывании стержня решена.
Таким образом, решение рассматриваемой задачи следует проводить по схеме:
1) найти коэффициенты
Cn = |
2 L |
ϕ(x)sin |
πn xdx |
(n =1, 2, 3,...); |
||
|
|
|||||
L ∫ |
||||||
|
|
L |
|
|||
|
0 |
|
|
|
||
2) записать решение задачи в виде ряда
∞ |
|
πan 2 |
t |
|
|
− |
|
|
πn x . |
||
u(x,t)= ∑Cne |
|
L |
|
sin |
|
n=1 |
|
|
|
|
L |
Можно показать [6, с. 204], что полученный результат имеет место, если функция ϕ является непрерывной и имеет кусочно-непрерывную производную и выполнено условие
64
ϕ(0)=ϕ(L)= 0.
Задача. Решить задачу об остывании стержня
УЧП: ut = 1512 uxx (0 < x <1, t > 0);
НУ: u(x,0)= sinπ +0,4sin3πx +0,1sin 27πx (0 ≤ x ≤1);
ГУ: u(0,t)= 0, u(1,t)= 0 (t ≥ 0).
Решение.
Решение задачи об остывании стержня имеет вид
|
|
∞ |
πan 2 |
t |
|
|
|
− |
|
||
|
u(x,t)= ∑Cne |
|
L |
sin πn x . |
|
|
|
n=1 |
|
|
L |
Используем НУ |
|
|
|
|
|
u(x,0) |
∞ |
πn x = sinπ +0,4sin3πx +0,1sin 27πx . |
|||
= ∑Cn sin |
|||||
|
n=1 |
L |
|
|
|
Отсюда следует, что C1 =1, C3 = 0,4 |
и C27 = 0,1, а все остальные Cn |
||||
равны 0.
Тогда решением данной задачи является функция
π |
2 |
π |
2 |
|
9π 2 |
|
|||||||
− |
|
|
|
|
t |
− |
|
|
t |
− |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||||||||
u(x,t)= e |
15 |
|
|
sinπ +0,4e |
5 |
|
|
sin3πx +0,1e |
5 |
|
sin 27πx . |
||
65
Построим графики для распределения температуры точек стержня при
различных значениях времени: t1 = 0 c (рисунок |
6), t2 =1c (рисунок 7), |
t3 = 5 c (рисунок 8), t4 = 20 c (рисунок 9, график 1), |
t5 = 50 c (рисунок 9, гра- |
фик 2), t6 =100 c (рисунок 9, график 3). |
|
Рисунок 6 |
Рисунок 7 |
Рисунок 8 |
Рисунок 9 |
С течением времени профиль температуры «расплывается», теряя «подробности» начального условия. Это связано с тем, что чем больше у слагае-
|
πan 2 |
t |
|
|
− |
|
|
πn x номер n , тем оно быстрее убывает с ростом |
|
мого un (x,t)= Cne |
L |
|
sin |
|
L
t .
Подставив выражение (18) для коэффициентов Cn в ряд (17), получим
66