описывающее вынужденные колебания струны.
В случае отсутствия внешней силы, получим уравнение
utt′′ = a2u′xx′ ,
описывающее свободные колебания струны.
Замечание 1. Из полученных уравнений utt′′ = a2u′xx′ + g(x,t) и utt′′ = a2u′xx′ требуется найти неизвестную функцию u = u(x,t). Из-за того, что эти уравнения содержат частные производные от неизвестной функции их и называют дифференциальными уравнениями с частными производными.
Замечание 2. В дальнейшем с целью упрощения обозначений частные производные будем писать без штрихов.
1.2 Определение дифференциального уравнения с частными производными
Определение. Дифференциальным уравнением с частными производными (УЧП) называется уравнение, содержащее, хотя бы одну частную производную неизвестной функции.
Примеры:
1)uxx +uyy +uzz = 0 - уравнение Лапласа (оно описывает различные стационарные явления);
2)utt = a2uxx + f (x,t) - уравнение вынужденных колебаний струны;
3)yuxx +uyy = 0 - уравнение Трикоми (газовая динамика).
Определение. Порядок самой старшей производной от неизвестной функции называется порядком уравнения.
Пример: uxxy + xuxy −u = y2 - УЧП третьего порядка.
8
1.3 Решение УЧП
Определение. Решением данного УЧП n-го порядка называется функция u = u(x, y), удовлетворяющая требованиям:
1) функция u = u(x, y) непрерывна и имеет все непрерывные частные производные до порядка n включительно;
2) при подстановке функции u = u(x, y) в данное УЧП получается верное тождество.
Задача. Найти все решения УЧП ux = x2 . Здесь неизвестная функция u является функцией двух переменных u = u(x, y).
Решение.
Так как частная производная по x неизвестной функции u = u(x, y)
равна x2 , то тогда u = u(x, y) представляет собой неопределенный интеграл от функции x2 по переменной x :
u = ∫x2dx =
►Неопределенный интеграл содержит произвольную постоянную. Ею может быть либо число, либо любое выражение, не зависящее от переменной интегрирования. В данном случае произвольная постоянная не зависит от x , но она может зависеть от y . Таким образом, произвольной постоянной является функция от y .◄
= x33 +C(y).
Так как данное УЧП имеет первый порядок, то его решение должно быть непрерывной функцией, имеющей все непрерывные частные производные первого порядка. Тогда решением будет являться функция
9
u = x33 +C(y),
где, C(y) - произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Замечание. Полученное решение вбирает в себя все частные решения.
Такие решения УЧП в дальнейшем будем называть общими. В отличие от общих решений обыкновенных дифференциальных уравнений они содержат не произвольные постоянные, а произвольные функции. Количество произвольных функций совпадает с порядком УЧП.
10
2 Линейные УЧП второго порядка их типы и задачи для
них
2.1 Определение линейного УЧП второго порядка и его свойства Определение. Квазилинейным УЧП второго порядка для функций двух
переменных будем называть уравнение
Auxx + 2Buxy +Cuyy = f (x, y,u,ux ,uy ).
Здесь A(x, y), B(x, y) и C(x, y) - известные непрерывные функции двух переменных x и y .
Определение. Линейным УЧП второго порядка для функций двух переменных будем называть уравнение
Auxx + 2Buxy +Cuyy + aux +buy + cu = f (x, y).
Здесь A(x, y), B(x, y), C(x, y), a(x, y), b(x, y), c(x, y), f (x, y) - извест-
ные непрерывные функции двух переменных x и y .
Если правая часть уравнения тождественно равна нулю, то тогда уравнение будем называть однородным, а в противном случае – неоднородным.
Линейные УЧП имеют те же свойства, что линейные ОДУ. Приведем
их.
1.Пусть u(x, y) и v(x, y) - решения линейного однородного УЧП, то тогда функция u(x, y)± v(x, y) также будет являться решением данного УЧП.
2.Пусть u(x, y) - решение линейного однородного УЧП, то тогда функция Cu(x, y) также будет являться решением данного УЧП. Здесь C R .
3.Пусть u(x, y) - решение линейного неоднородного УЧП, а v(x, y) -
решение соответствующего однородного УЧП, то тогда функция u(x, y)+ v(x, y) будет являться решением неоднородного УЧП.
11