Tn′′+ πanL 2Tn = fn (t),Tn (0)= 0,
Tn′(0)= 0.
Решив которые, получим неизвестные функции Tn (t).
Таким образом, решение рассматриваемой задачи следует проводить по схеме:
|
L ∫ |
L |
|
1) найти функции fn (t)= |
2 |
L |
f (x,t)sin πn xdx , где n =1, 2, ...; |
|
0 |
||
|
|
|
|
2) решить задачи Коши
Tn′′+ πanL 2Tn = fn (t),Tn (0)= 0,
Tn′(0)= 0;
3) записать решение задачи в виде ряда
u(x,t)= ∑∞ Tn (t)sin πn x .
n=1 L
3.4 Смешанная задача для неоднородных УЧП, НУ и ГУ
Рассмотрим более общую смешанную задачу
УЧП: utt = a2uxx + f (x,t) (0 < x < L, t > 0);
НУ: u(x,0)=ϕ(x) (0 ≤ x ≤ L);
58
ut (x,0)=ψ(x) (0 ≤ x ≤ L);
ГУ: u(0,t)= µ1(t), u(L,t)= µ2 (t)(t ≥ 0).
Введя замену
v(x,t)= u(x,t)− µ1(t)+ (µ1(t)− µ2 (t))Lx ,
мы получим новую задачу с нулевыми ГУ.
УЧП: vtt = a2vxx + ~f (x,t) (0 < x < L, t > 0);
НУ: v(x,0)=ϕ~(x) (0 ≤ x ≤ L);
vt (x,0)=ψ~(x) (0 ≤ x ≤ L);
ГУ: v(0,t)= 0 , v(L,t)= 0 (t ≥ 0).
Решение полученной задачи можно представить в виде
Функция v1(x,t)
УЧП: vtt = a2vxx
v(x,t)= v1(x,t)+ v2 (x,t).
- решение задачи (см. пункт 3.2)
(0 < x < L, t > 0);
НУ: v(x,0)=ϕ~(x) (0 ≤ x ≤ L);
vt (x,0)=ψ~(x) (0 ≤ x ≤ L);
59
ГУ: v(0,t)= 0 , v(L,t)= 0 (t ≥ 0).
Функция v2 (x,t) - решение задачи (см. пункт 3.3)
УЧП: vtt = a2vxx + ~f (x,t) (0 < x < L, t > 0);
НУ: v(x,0)= 0 (0 ≤ x ≤ L); vt (x,0)= 0 (0 ≤ x ≤ L);
ГУ: v(0,t)= 0 , u(L,t)= 0 (t ≥ 0).
60