Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Уравнения математической физики. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

610 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

5 Эллиптические УЧП

5.1 Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге

Для решения задачи Дирихле в круге удобно перейти в полярную систему координат [10, с 12]. В ней оператор Лапласа имеет вид [5, с. 238]

∆u = uρρ + ρ1 uρ + ρ12 uϕϕ .

Тогда задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге в полярной системе координат будет иметь вид

УЧП: uρρ + ρ1 uρ + ρ12 uϕϕ = 0 (ρ < L, 0 ≤ϕ < 2π );

ГУ: u(R,ϕ)= f (ϕ) (0 ≤ϕ < 2π ).

Решим задачу методом Фурье (методом разделения переменных). Для этого будем искать ее решение в виде

u(ρ,ϕ)= Ρ(ρ)Φ(ϕ).

Подставив это решение в данное УЧП, получим

(Ρ(ρ)Φ(ϕ))ρρ + ρ1 (Ρ(ρ)Φ(ϕ))ρ + ρ12 (Ρ(ρ)Φ(ϕ))ϕϕ = 0 ,

Ρ′′(ρ)Φ(ϕ)+ ρ1 Ρ′(ρ)Φ(ϕ)+ ρ12 Ρ(ρ)Φ′′(ϕ)= 0.

Разделим полученное уравнение на Ρ(ρ)Φ(ϕ).
′′		′		′′
Ρ (ρ)		Ρ (ρ)		Φ (ϕ)	= 0 .
Ρ(ρ)	+		+
		ρ Ρ(ρ)		ρ2Φ(ϕ)

Умножив уравнение на ρ2 , получим

ρ2 ΡΡ′′((ρρ))+ ρ ΡΡ′((ρρ))+ ΦΦ′′((ϕϕ))= 0, ρ2 ΡΡ′′((ρρ))+ ρ ΡΡ′((ρρ))= −ΦΦ′′((ϕϕ)).

Выражение ρ2 ΡΡ′′((ρρ))+ ρ ΡΡ′((ρρ)) не зависит от переменной ϕ , а выраже-

ние − Φ′′((ϕ)) не зависит от переменной ρ . Тогда из того, что эти выр ажения

Φ ϕ

тождественно равны, следует, что они не зависят ни от ϕ , ни от ρ . Тогда их можно положить равными константе µ :

ρ2 ΡΡ′′((ρρ))+ ρ ΡΡ′((ρρ))= −ΦΦ′′((ϕϕ))= µ .

Отсюда следуют два обыкновенных дифференциальных уравнения:

	2 Ρ′′(ρ)				Ρ′(ρ)
ρ				+ ρ			= µ ,	(36)
		Ρ(ρ)			Ρ(ρ)
				′′
			Φ (ϕ)
		−				= µ .		(37)
			Φ(ϕ)

Рассмотрим уравнение (37).

−Φ′′ = µΦ , Φ′′+ µΦ = 0	(38)
Так как решение данной задачи Дирихле u(ρ,ϕ)= Ρ(ρ)Φ(ϕ)	является

периодическим по переменной ϕ с периодом T = 2π , то и функция Φ(ϕ) должна быть периодической с T = 2π .

Можно показать, что при µ < 0 единственным периодическим решени-

ем уравнения (38) будет являться нулевое решение,	а при µ = 0	решение
уравнения (38) будет равно константе.
Рассмотрим случай µ > 0 . Для упро щения	обозначений	положим
µ = λ2 (λ > 0). Тогда уравнение (38) будет иметь вид
Φ′′+λ2Φ = 0.		(39)

Данное уравнение является линейным обыкновенным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Так как его характеристическое уравнение

t2 +λ2 = 0

имеет два комплексно сопряженных корня t1,2 = ±λ , то общее решение рас-

сматриваемого дифференциального уравнения будет иметь вид

Φλ = C1 cosλϕ +C2 sinλϕ .

Так как функция Φλ должна иметь период T = 2π , то тогда

Φλ (ϕ + 2π )= Φλ (ϕ),

C1 cosλ(ϕ + 2π )+C2 sinλ(ϕ + 2π )= C1 cosλϕ +C2 sinλϕ ,

C1 cos(λϕ + 2πλ)+C2 sin(λϕ + 2πλ)= C1 cosλϕ +C2 sinλϕ .

Очевидно, что для выполнимости последнего равенства достаточно,

чтобы параметр λ был целым. С учетом того, что рассматриваются	λ > 0,
получим, что λ N .
Таким образом, уравнение (39) имеет общее решение
Φn (ϕ)= An cosnϕ + Bn sin nϕ (n = 0,1, 2, ...).	(40)

Вприведенном решении учитывается, то при µ = 0 решение уравнения

(38)будет равно константе.

При µ = n2 (n = 0,1, 2, ...) уравнение (36) будет иметь вид

Ρ′′(ρ)

Ρ′(ρ)

′′

+ ρP

′

= n

′′

+ ρP

′

−n

Ρ(ρ) + ρ

Ρ(ρ)= n

Ρ, ρ

Ρ =

0 .

(41)

Пусть

n =1, 2, 3, ....

Будем

искать

решение

уравнения

(41)

виде

Ρ= ρα . Для нахождения показателя α , подставим предполагаемое решение

вуравнение (41).

ρ2 (ρα )″ + ρ(ρα )′ −n2ρα = 0 , ρ2 (αρα−1)′ + ραρα−1 −n2ρα = 0,

ρ2α(α −1)ρα−2 +αρα −n2ρα = 0, α(α −1)ρα +αρα −n2ρα = 0 .

Разделим уравнение на ρα .

α(α −1)+α −n2 = 0 , α2 −α +α −n2 = 0, α2 −n2 = 0 , α2 = n2 , α = ±n .

Тогда решениями уравнения (41) будут являться функции

Ρ = ρα , Ρ = ρ−α (n =1, 2, ...).

Второе полученное решение следует исключить, так как ρ−α → ∞ при ρ → 0 , что противоречит физическому смыслу задачи (пункт 2.4.3).

Пусть n = 0. Тогда уравнение (41) будет иметь вид
ρ2Ρ′′+ ρP′ = 0 , ρΡ′′+ P′ = 0 .	(42)

Введем замену y = Ρ′. Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными

ρy	′	dy	+ y = 0.	(43)
		+ y = 0 , ρ dρ

Произведем разделение переменных

ρ ddyρ = −y , dyy = − dρρ .

Проинтегрируем полученное уравнение

∫dy

= −∫

dρ

, ln

= −ln

+ln

(C ≠ 0), ln

= ln

Так как C может принимать значения любого знака, то

y = Cρ (C ≠ 0).

При разделении переменных мы делили уравнение на y , то нами было потеряно решение y = 0. Оно входит в общее решение при C = 0 .

Таким образом, получаем общее решение уравнения (43)

y = Cρ (C R).

Найдем общее решение уравнения (42)

Ρ = ∫ydρ = ∫Cρdρ = C∫dρρ = C ln ρ +C1 .

Так как ρ ≥ 0, то общее решение уравнения (42) можно записать в виде

Ρ = C ln ρ +C1.

Отсюда следует, что его фундаментальная система решений состоит из функций

Ρ = ln ρ и Ρ =1.

Первое полученное решение Ρ = ln ρ следует исключить, так как ln ρ → ∞ при ρ → 0 , что противоречит физическому смыслу задачи (пункт

2.4.3).

Получили, что имеющими физический смысл решениями уравнения (41) будут являться функции

Ρ (ρ)= ρn	(n = 0,1, 2, ...).
n

Тогда решениями уравнения Лапласа в круге будут иметь вид

u	n	(ρ,ϕ)= Ρ	(ρ)Φ	n	(ϕ)= ρn (A cosnϕ + B sin nϕ)		(n = 0,1, 2, ...).
	n	n		n	n	n

Так как уравнение Лапласа является линейным однородным УЧП, то тогда можно предположить, что его решением будет являться и функция

		∞					∞
u(ρ,ϕ)= ∑Ρn (ρ)Φn (ϕ)= ∑ρn (An cosnϕ + Bn sin nϕ).
		n=0					n=0
Полученное решение запишем в виде
						A0	∞
u(ρ,ϕ)=						A0	+ ∑ρn (An cosnϕ + Bn sin nϕ).
u(ρ,ϕ)=					2		+ ∑ρn (An cosnϕ + Bn sin nϕ).
					2		n=0
Для нахождения коэффициентов A0 , An , Bn (n =1, 2, ...) используем
ГУ.
				A0		∞
u(R,ϕ)=				A0	+ ∑Rn (An cosnϕ + Bn sin nϕ)= f (ϕ),
u(R,ϕ)=			2		+ ∑Rn (An cosnϕ + Bn sin nϕ)= f (ϕ),
			2			n=0
	A0	+	∑∞ (An Rn cosnϕ + Bn Rn sin nϕ)= f (ϕ).
2		+	∑∞ (An Rn cosnϕ + Bn Rn sin nϕ)= f (ϕ).
2			n=0

Получили разложение функции f (ϕ) в ряд Фурье. Из теории рядов Фурье имеем:

A0 = π1 2∫0π f (ψ )dψ , An Rn = π1 2∫0π f (ψ )cosnψdψ ,

Bn Rn = π1 2∫0π f (ψ )sin nψdψ , (n =1, 2, ...).

Отсюда


	1	2π		f (ψ )dψ , An =			1	2π	f (ψ )cosnψdψ ,
A0 =	1	∫0					1	∫0
A0 =	π	∫0				π	Rn	∫0
				1	2π
Bn =				1	∫ f (ψ )sin nψdψ (n =1, 2, ...).
Bn =			π	Rn	∫ f (ψ )sin nψdψ (n =1, 2, ...).
				0

Решение данной задачи можно записать в виде

u(ρ		,ϕ)=	A			∞	ρ n		(An cosnϕ + Bn sin nϕ).
			0		+ ∑
			2		+ ∑
			2			n=0	R
Здесь
	1	2π						1		2π
A0 =	1	∫ f (ψ )dψ , An =						1		∫ f (ψ )cosnψdψ ,
A0 =	π	∫ f (ψ )dψ , An =						π		∫ f (ψ )cosnψdψ ,
		0							0
				1		2π
		Bn =		1		∫ f (ψ )sin nψdψ (n =1, 2, ...).
		Bn =		π		∫ f (ψ )sin nψdψ (n =1, 2, ...).
						0

(44)

(45)

Можно показать [7, с. 169], что полученный результат имеет место, если функция f (ϕ) является периодической с периодом T = 2π и непрерывной вместе со своей первой производной.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]