4.2 Смешанная задача для неоднородного уравнения теплопроводности и однородных НУ и ГУ

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Уравнения математической физики. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

610 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

∞

2 L

πn

πan 2

πn

u(x,t)

−

L ξdξ

sin

L x =

= ∑ L ∫ϕ(ξ)sin

n=1

∞

πan 2

−

πn

(ξ)dξ =

= ∫

∑e

sin

x sin

n=1

►Введем обозначение

∞

πan 2

G(x,ξ,t)=

−

πn x sin

πn

∑e

sin

ξ .

L n=1

Функция G(x,ξ,t) называется функцией мгновенного температурного источника.◄

= ∫G(x,ξ,t)ϕ(ξ)dξ .

1) найти функции fn (t)=

f (ξ,t)sin

ξdξ , где n =1, 2, ...;

Рассмотрим смешанную задачу для неоднородного уравнения теплопроводности с нулевыми начальными и граничными условиями.

УЧП: utt = a2uxx + f (x,t) (0 < x < L, t > 0);

НУ: u(x,0)= 0 (0 ≤ x ≤ L);

ГУ: u(0,t)= 0, u(L,t)= 0 (t ≥ 0).

Будем считать, что функция f (x,t) удовлетворяет всем требованиям, которые налагаются преобразованиями, применяемыми в ходе решения задачи.

Решение данной задачи будем искать в виде

∞	πn x .
u(x,t)= ∑Tn (t)sin	πn x .	(19)
n=1	L

Здесь T n (t) - пока неизвестные функции.

Очевидно, что введенная таким образом функция u(x,t) будет удовле-

творять ГУ в независимости от T n (t).
Подставим ряд для функции u(x,t) в УЧП, допуская,								что его можно
дифференцировать почленно по переменным x и t					требуемое число раз.
∞	πn		2	∞	πn			(x,t);
	πn		2		πn		+ f
∑Tn (t)sin	L	x = a		∑Tn (t)sin	L	x	+ f
n=1	L	t		n=1	L	xx

►Почленно продифференцируем ряды.◄

∞

πn

= a2

∞

πn

+ f (x,t);

∑ Tn (t)sin

n=1

∞

πn

∞

πn

∑Tn′(t)sin

−sin

+ f (x,t);

x = a2 ∑Tn (t)

n=1

►Считая t параметром, разложим функцию f (x,t) в ряд Фурье на о т- резке [0, L] по синусам

∞

πLn ξdξ .

f (x,t)= ∑ fn (t)sin πLn x , где

fn (t)=

∫ f (ξ,t)sin

(20)◄

n=1

∞

πn

x = a2

∞

πn 2

πn

∞

πn

x ;

∑Tn′(t)sin

∑Tn (t)

−sin

+ ∑ fn (t)sin

n=1

►Перенесем вторую и третью суммы в левую часть и преобразуем ее таким образом, чтобы в ней осталась только одна сумма.◄

∞

πn

∞

πn 2

πn

∞

πn

x = 0

∑Tn′(t)sin

x −a2 ∑Tn (t)

−sin

− ∑ fn (t)sin

n=1

∞

(t) πn

∞

πn x = 0;

∑Tn′(t)sin

πn x + a2 ∑Tn

sin

πn x − ∑ fn (t)sin

n=1

∞

πn

∞ 2

πn 2

πn

∞

πn

′′

x + ∑a Tn

(t)

sin

x − ∑ fn (t)sin

x = 0;

∑Tn (t)sin

n=1

∞

πn 2

πn

x = 0;

∑ Tn′(t)+ a2Tn

(t)

− fn (t) sin

∞

πan 2

πn

x = 0.

∑ Tn′(t)+

Tn (t)

− fn (t) sin

n=1

Получили разложение 0 в ряд Фурье на отрезке [0, L] по синусам. как это разложение единственно, то отсюда следуют равенства

;

Так

	πan 2	T	− f		(t)= 0 ,	(21)
T ′ +	L
n		n		n

где n =1, 2, ...

Используем НУ u(x,0)= 0:

u(x,0)= ∑∞ Tn (0)sin πn x = 0 .

n=1 L

Получили разложение 0 в ряд Фурье на отрезке [0, L] по синусам. Так как это разложение единственно, то тогда

	Tn (0)= 0,							(22)
где n =1, 2, ...
Из (21) и (22) получаем задачи Коши
		πan 2	T	=	f		(t),
T ′ +			T	=	f	n	(t),	(23)
n		L	n			n		(23)
T (0)		= 0.
n

Решив которые, получим неизвестные функции Tn (t).

Таким образом, решение рассматриваемой задачи следует проводить по

2)решить задачи Коши (23);

3)записать решение задачи в виде ряда (19).

Получим решение данной задачи в виде формулы.

Задача (23) является задачей Коши для обыкновенного дифференци-

ального уравнения первого порядка.

Как известно из теории обыкновенных дифференциальных уравнений [8, с. 29] задача Коши вида

y′ = a(x)y +b(x),

y(x0 )= y0

имеет решение

	x	x	x
y = y0 exp	∫a(ξ)dξ	+ ∫b(τ)exp		∫a(ξ)dξ	dτ .
x0		x0		τ

Тогда задача (23) будет иметь решение

πan 2

πan 2 t

Tn (t)= ∫ fn (τ)exp

− ∫

dξ

dτ =

∫ fn (τ)exp

−

∫dξ

dτ

πan 2

(t−τ )

−

= ∫ fn (τ)e

dτ .

Подставим найденные решения Tn (t) в (19).

∞		∞				πan 2	(t−τ )
∞		∞	t		−		(t−τ )		πn x =
u(x,t)= ∑Tn (t)sin	πn x = ∑			∫0	fn (τ)e	L		dτ sin	πn x =
n=1	L	n=1		∫0					L

►Используя (20), получим◄

∞

πan 2

(t−τ )

πn

−

πn

= ∑

∫ f (ξ,τ)sin

∫

ξdξ

dτ sin

x =

n=1

►Поменяем местами знаки определенных интегралов и знак суммы. Предполагается, что в условиях рассматриваемой задачи проведение данной операции корректно.◄

∞

πan 2

(t−τ )

t L

−

πn x sin

πn

∫∫0 0

∑e

sin

ξ f (ξ,τ)dτdξ =

L n=1

►Используя функцию мгновенного температурного источника, полученное решение можно записать в виде◄

=∫∫G(x,ξ,t −τ)f (ξ,τ)dτdξ .

4.3Физический смысл функции мгновенного температурного ис-

точника

мощности внутренних источников тепла, c - удельная теплоемкость стержня, а ρ - его плотность [6, с. 181].

Пусть источники тепла сконцентрированы на очень малом отрезке стержня [ξ0, ξ0 + ∆ξ] и действую только в течение небольшого промежутка времени [τ0,τ0 + ∆τ].

Найдем количество теплоты, выделенное этими источниками

τ0	+∆τ ξ0	+∆ξ	τ0	+∆τ ξ0	+∆ξ
Q =	∫	∫P(x,t)dξdτ =		∫	∫cρf (x,t)dξdτ =
	τ0	ξ0		τ0	ξ0
			72

τ0	+∆τ ξ0	+∆ξ	(x,t)dξdτ .
= cρ	∫	∫ f	(x,t)dξdτ .
	τ0	ξ0

Отсюда

τ	0	+∆τ ξ	0	+∆ξ	(x,t)dξdτ =	Q
		∫		∫ f			.

		τ0		ξ0		cρ

Найдем для данного случая решение смешанной задачи для неоднородного уравнения теплопроводности и однородных НУ и ГУ

t L					τ	+∆τ ξ		+∆ξ
u(x,t)= ∫∫G(x,ξ,t −τ)f	(ξ,τ)dτdξ =					0 ∫	0	∫G(x,ξ,t −τ)f (ξ,τ)dξdτ =
0 0						τ0		ξ0
►Применим теорему о		среднем значении. Далее ξ~ [ξ0, ξ0 + ∆ξ],
τ~ [τ0,τ0 + ∆τ].◄
τ		+∆τ ξ		+∆ξ					Q
= G(x,ξ~,t −τ~)0		∫	0	∫ f	(ξ,τ)dξdτ			= G(x,ξ~,t −τ~)	Q	.
= G(x,ξ~,t −τ~)0		∫		∫ f	(ξ,τ)dξdτ			= G(x,ξ~,t −τ~)		.
		τ0		ξ0					cρ
		τ0		ξ0

Пусть источник тепла является точечным и мгновенным. Тогда перейдя к пределу при ∆ξ → 0 и ∆τ → 0, получим

u(x,t)= G(x,ξ0,t −τ0 )cQρ .

Если Q = cρ , то тогда

u(x,t)= G(x,ξ0,t −τ0 ).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]