6 Применение преобразования Лапласа для решения задач математической физики

С помощью преобразования Лапласа [12, с. 578] задачу для УЧП с двумя независимыми переменными можно свести к задаче для обыкновенного дифференциального уравнения.

При применении данного преобразования полезны следующие рекомендации:

1)преобразование Лапласа можно применять как к однородным, так и

кнеоднородным УЧП и ГУ;

2)УЧП должно иметь постоянные коэффициенты;

3)преобразование Лапласа применяется по переменной, изменяющейся от 0 до + ∞; чаще всего по переменной t ;

4)при нахождении изображения решения U (p) данной задачи, следует

учитывать, что при Re p → +∞ для любого изображения выполняется

F(p)→0 ;

5) Re p > 0.

В качестве примеров использования данного метода рассмотрим следующие задачи.

Задача. Решить задачу Коши УЧП: ut =uxx (t > 0 , −∞ < x < +∞);

НУ: u(x,0)=sin x ( −∞ < x < +∞).

Решение.

Применив к данному УЧП преобразование Лапласа по переменной t , получим изображение исходной задачи Коши.

96

При этом образом решения данной задачи u(x,t) будет являться функция U (x, p), которую будем трактовать как функцию одной переменной x и имеющую параметр p .

Используя свойство преобразования Лапласа

f ′(t)= pF(p)− f (0),

Будем иметь изображение данной задачи

pU −u(x,0)=U′′, pU −sin x =U′′.

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

U′′− pU = −sin x .

Учитывая, что p > 0, найдем [8] общее решение полученного уравнения. Оно будет иметь вид

сюда следует, что C2 = 0.

Так как при x < 0 и C1 ≠ 0 имеем U →∞ при p → +∞, то не выполняется требование о том, чтобы изображение стремилось к 0 при p → +∞. Отсюда следует, что C1 = 0.

Таким образом, изображение решения данной задачи имеет вид

97

Список использованных источников

1.Бугров, Я.С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: учебник для вузов / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – 3-е изд., испр. – М.: Наука, 1989. –

464с.

2.Араманович, И. Г. Уравнения математической физики / И. Г. Араманович, В. И. Левин. - М.: Наука, 1969. - 286 с.

3.Сабитов, К. Б. Уравнения математической физики: учеб. пособие для вузов / К. Б. Сабитов. - М.: Высш. шк., 2003. - 255 с.: ил.. - Библиогр.: с.251-

253.- ISBN 5-06-004676-1.

4.Мартинсон, Л. К. Дифференциальные уравнения математической физики: учебник для втузов / Л. К. Мартинсон, Ю. И. Малов; под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. - 3-е изд., испр. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 368 с. - (Математика в техническом университете; вып. XII). -

Библиогр.: с. 361-362. - Предм. указ.: с. 363. - ISBN 5-7038-2792-2.

5.Фарлоу, С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. – М.: Мир, 1985. – 384 с.

6.Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики: учеб. пособие для вузов / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - 4-е изд., испр. - М.: Наука,

1972. - 736 с.

7.Русак, В.Н. Математическая физика: учеб. пособие / В.Н. Русак. – 2-е

изд., испр. – М.: КомКнига, 2006. – 248 с. - ISBN 5-484-00377-6.

8.Петровский, И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений: учебник / И.Г. Петровский. – 7-е изд. – М.: Книжный дом

«ЛИБРОКОМ», 2009. – 240 с. – ISBN 987-5-397-00007-9.

9.Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Т. III / Г.М. Фихтенгольц. - 8-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. –

728с. – ISBN 5-9221-0466-7.

99

10. Универсальный справочник: высшая математика, физика, теоретическая механика, сопротивление материалов / А.Д. Полянин, В.Д. Полянин, В.А. Попов и др. – М.: АСТ: Астрель: Профиздат, 2005. – 480 с. – ISBN 5-17- 031871-5, ISBN 5-271-12186-0, ISBN 5-88283-279-9.

11. Никольский, С.М. Курс математического анализа: в 2 т. Т. II: учебник / С.М. Никольский. - 3-е изд., перераб. и дополн. – М.: Наука, 1983. – 448 с.

12. Гусак, А.А. Справочник по высшей математике / А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричикова. – 7-е изд. – Мн.: ТетраСистемс, 2006. – 640 с.

100