- •Введение
- •1.1 Задача, приводящая к уравнению с частными производными
- •1.2 Определение дифференциального уравнения с частными производными
- •1.3 Решение УЧП
- •2.2 Типы линейных (квазилинейных) УЧП второго порядка
- •2.4 Простейшие виды задач для УЧП
- •2.4.1 Задачи для гиперболических УЧП
- •2.4.2 Задачи для параболических УЧП
- •2.4.4 Требования к начальным и граничным условиям и правым частям УЧП
- •2.4.3 Задачи для эллиптических УЧП
- •3 Гиперболические УЧП
- •3.1 Задача Коши для бесконечной струны
- •3.1.1 Решение задачи Коши методом Даламбера
- •3.1.2 Физическая интерпретация формулы Даламбера
- •3.2 Смешанная задача для свободных колебаний струны с закрепленными концами
- •3.3 Смешанная задача для вынужденных колебаний струны с закрепленными концами
- •3.4 Смешанная задача для неоднородных УЧП, НУ и ГУ
- •4 Параболические УЧП
- •4.1 Смешанная задача для однородного уравнения теплопроводности и однородных ГУ (задача об остывании стержня)
- •4.2 Смешанная задача для неоднородного уравнения теплопроводности и однородных НУ и ГУ
- •4.4 Смешанная задача для неоднородных УЧП, НУ и ГУ
- •4.5 Задача Коши для бесконечного стержня
- •4.6 Физический смысл фундаментального решения
- •5 Эллиптические УЧП
- •5.1 Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге
- •5.2 Интегральная формула Пуассона
- •6 Применение преобразования Лапласа для решения задач математической физики
- •Список использованных источников
|
ϕ(x −at)+ϕ(x + at) |
|
1 |
|
x |
x+at |
|
|
||
= |
+ |
|
∫ |
ψ(τ)dτ + |
ψ(τ)dτ |
= |
||||
2 |
|
|||||||||
|
|
2a |
∫ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
x−at |
x0 |
|
|
|||
►Объединим два определенных интеграла в один по формуле
c |
b |
|
b |
|
∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = ∫ f |
||||
a |
c |
|
a |
|
= ϕ(x −at)+ϕ(x + at) |
+ |
1 |
||
|
2 |
|
|
2a |
(x)dx .◄
x+at
∫ψ(τ)dτ .
x−at
Получили формулу Даламбера для решения задачи Коши для свободных колебаний бесконечной струны.
Можно показать [6, с. 52], что полученный результат имеет место, если функция ϕ является дважды непрерывно дифференцируемой, а функция ψ - непрерывно дифференцируемой на всей числовой прямой.
3.1.2 Физическая интерпретация формулы Даламбера
Предположим, что в начальный момент струна покоилась, тогда формула Даламбера будет иметь вид
u(x,t)= |
ϕ(x −at)+ϕ(x + at) |
= |
1 |
ϕ(x −at)+ |
1 |
ϕ(x + at). |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
Из полученной формулы следует, что первоначальное возмущение распадается на две волны, бегущие в разные стороны со скоростями a . Причем первому слагаемому отвечает волна, бегущая вправо, а второму слагаемому – влево (рисунок 4).
42