2.4.3 Задачи для эллиптических УЧП
Пусть функция u = u(x, y) описывает стационарное (не меняющееся с течением времени) распределение температур в тонкой пластине, представляющей собой плоскую область D . Величина u = u(x, y) является температурой точки пластины с координатами (x, y). В данном случае функция u = u(x, y) будет удовлетворять так называемому уравнению Лапласа
∆u = 0 ,
где ∆u = uxx +uyy - оператор Лапласа в декартовой системе координат.
Если на пластине имеются источники тепла, то стационарное распределение температур в ней будет описываться уравнением Пуассона
∆u = f (x, y).
Функция f (x, y), определяется мощностью источников тепла, распределенных в пластине.
Для того чтобы из бесконечного множества решений данных УЧП выделить решение, описывающее реальное распределение температур необходимы дополнительные ограничения.
Так как эллиптические УЧП соответствуют физическим явлениям, не зависящим от времени, то задачи для эллиптических УЧП не имеют начальных условий. Для них задаются только граничные условия, характеризующие состояние границы пластины.
Основные типы ГУ:
1) u(x, y)M (x,y)∂D =ϕ(x, y) - задается температура в каждой точки гра-
ницы пластины;
35
2) |
∂u |
|
=ϕ(x, y) - задается поток тепла через каждую точку гра- |
|
|||
|
∂n |
|
M (x,y)∂D |
|
|
ницы пластины.
Эллиптическое УЧП вместе с первым ГУ называется задачей Дирихле,
авместе со вторым ГУ задачей Неймана.
2.4.4Требования к начальным и граничным условиям и правым частям УЧП
При решении задач для уравнений математической физики в дальнейшем будут использоваться операции:
1)почленное дифференцирование функциональных рядов;
2)почленное интегрирование функциональных рядов;
3)разложение функций в ряд Фурье.
Как известно, для выполнения данных операций должен быть выполнен ряд условий.
Можно показать, что операции 1)-3) могут использоваться, если на НУ, ГУ и на правые части УЧП будут налагаться некоторые условия. При решении задач будем считать, что данные условия выполняются. В конце рассмотрения каждой задачи будем указывать при выполнении каких требований к НУ, ГУ и на правые части УЧП полученное решение будет удовлетворять и УЧП, и НУ, и ГУ.
36