|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
e− |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∫ e−αx2 cos βxdx = |
|
|
4α [10, с. 436]◄ |
|
||||||||||||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
+∞ |
|
|
|
|
|
− |
(ξ−x)2 |
|
|
|
|
1 |
|
+∞ |
− |
(ξ−x)2 |
|
||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
∫ |
ϕ(ξ) |
|
e |
2 |
|
dξ = |
|
|
∫ ϕ(ξ)e |
2 |
dξ = |
|||||||||
|
2 |
|
|
4a t |
|
|
|
|
|
4a t |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2π −∞ |
|
a t |
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
−∞ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
π t |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
►Введем обозначение
G(x,ξ,t)= |
|
1 |
|
e− |
(ξ−x)2 |
|
|
|
4a2t . |
||||
|
|
|
|
|||
2a |
|
π t |
||||
|
|
|
|
|
||
Функция G(x,ξ,t) называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности.◄
+∞
= ∫G(x,ξ,t)ϕ(ξ)dξ .
−∞
Можно показать [7, с. 110], что полученный результат имеет место, если функция ϕ является кусочно-непрерывной ограниченной функцией на всей числовой прямой.
4.6 Физический смысл фундаментального решения
Пусть начальное распределение температуры точек стержня представляет собой мгновенный единичный тепловой импульс в точке x = ξ0 . Тогда в данном случае функция G(x,ξ0,t) будет выражать зависимость распределения температуры в стержне от времени.
80
Для описания мгновенного единичного теплового импульса удобно использовать δ-функцию Дирака [11, с. 252]
( ) + ∞, x = 0,
δ x = 0, x ≠ 0.
Данная функция обладает следующими свойствами:
+∞
1) ∫δ(x)dx =1;
−∞
+∞
2) ∫ f (x)δ(x − x0 )dx = f (x0 ).
−∞
Теперь обоснуем приведенный выше физический смысл функции
G(x,ξ,t).
Пусть в начальный момент в точке стержня x = ξ0 имеет место единичный мгновенный тепловой импульс, тогда начальное условие будет иметь вид
НУ: u(x,0)= δ(x −ξ0 ) (−∞ < x < +∞).
В этом случае задача Коши для бесконечного стержня будет иметь решение
+∞ |
+∞ |
u(x,t)= ∫G(x,ξ,t)ϕ(ξ)dξ = ∫G(x,ξ,t)δ(x −ξ0 )dξ = G(x,ξ0,t). |
|
−∞ |
−∞ |
Физический смысл фундаментального решения уравнения теплопроводности доказан.
81
Построив графики функции g(x)= G(x,ξ0,t) при различных фиксированных значениях t (на рисунках 10-13 графики приведены в порядке возрастания t ), можно убедиться в естественности утверждения о том, что функция G(x,ξ0,t) является решением задачи Коши для случая единичного мгновенного теплового импульса в начальный момент в точке x = ξ0 .
Рисунок 10 |
Рисунок 11 |
Рисунок 12 |
Рисунок 13 |
82