Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения математической физики. Курс лекций
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
ВОДНОГО ТРАНСПОРТА
ДЗЕРЖИНСКИЙ Р.И., ЛОГИНОВ В.А.
УУРРААВВННЕЕННИИЯЯ ММААТТЕЕММААТТИИЧЧЕЕССККООЙЙ ФФИИЗЗИИККИИ
Курс лекций
Альтаир–МГАВТ
Москва
2015
УДК 519:50
Филиппов В.П.,
Д-43
Дзержинский Р.И., Логинов В.А.
Уравнения математической физики. Курс лекций.— М.: Альтаир–
МГАВТ,— 2015,— 6 с.
6
Лекции предназначены для аспирантов МГАВТ, обучающихся по специ-
альности 05.08.05 (судовые энергетические установки и их элементы (главные
и вспомогательные)), но могут быть полезными студентам старших курсов и
аспирантам всех технических факультетов МГАВТ.
В работе приведены основные типы уравнений математической физики
дан вывод уравнения колебаний струны, электрических колебаний в линии пе-
редачи и постановке краевой задачи, приведены решения волнового уравнения
методом Даламбера и методом Фурье. Рассматриваются гармоники и стоячие
волны. Даны уравнения распространения тепла и формулировка соответствующей краевой задачи, приведены решения для ограниченного и неограниченного стержня. Достаточно полно изложены вопросы, посвященные уравнению
Лапласа, постановке краевой задачи и частным случаям ее решения.
Рецензенты: профессор, к.ф.-м.н.
профессор, д.т.н. Андреев В.И.
Рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом МГАВТ.
Лекции рассмотрены и рекомендованы к использованию в учебном про-
цессе на заседании кафедры (протокол № 6 от 1.04.2015).
Ответственность за оформление и содержание передаваемых в печать
материалов несут авторы и кафедра высшей математики МГАВТ.
© МГАВТ, 2015.
© Дзержинский Р.И.,
© Логинов В.А., 2015.
Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Основные типы уравнений математической физики . . . . . . . . . 6
2. Колебания струны. Краевая задача. Уравнения электрических
колебаний в линии передач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Решение Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Ограниченная волна. Решение волнового уравнения методом
разделения переменных (методом Фурье) . . . . . . . . . . . . . 24
5. Гармоники и стоячие волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6. Уравнение распространения тепла в стержне.
Формулировка краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7. Распространения тепла в неограниченном стержне.
Интеграл Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8. Распространения тепла в ограниченном стержне . . . . . . . . . . 39
9. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности
методом конечных разностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
10. Уравнение Лапласа. Краевые задачи . . . . . . . . . . . . . . . 45
11. Частные случаи решения уравнения Лапласа . . . . . . . . . . . 52
11.1. Стационарное распределение температуры в тонком стержне . . 52
11.2. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах . . . . . . 53
11.3. Задача Дирихле для плоской кольцевой области . . . . . . . . 55
11.4. Задача Дирихле для круга . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
11.5. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей . . . . . 63
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3
Предисловие
Математическая физика — наука, занимающаяся теорией математических
моделей физических явлений; она занимает особое положение и в математике,
и в физике, находясь на стыке этих наук. С момента открытия дифференциаль-
ного и интегрального исчислений, формулирования тем самым основных зако-
нов классической механики и закона всемирного тяготения, появляются классы
задач, связанных одновременно с достаточно разнородными физическими яв-
лениями, которые объединяются единой математической формализацией.
Начиная с изучения колебания струны4 или стержня, гидродинамики, акустики,
диффузии и теплопроводности, оптики, упругости, электродинамики, кванто-
вой физики, теории относительности, газовой динамики, физики плазмы и т.д.
задачи математической физики сводятся к краевым задачам интегро-
дифференциальных уравнений. Эти задачи, являясь родственными к задачам
дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, функционального
анализа требуют при их тщательном изучении таких специальных разделов ма-
тематики как теории обобщенных функций, математической топологии, теории
функций комплексных переменных и др.
Существует большое количество постановок задач, приводящих к уравнениям
математической физики. Среди них выделяют корректно поставленные, т.е. те, для
которых решение существует, единственно и непрерывно зависит от данных зада-
чи. Классические задачи в корректной постановке хорошо известны и решены. Раз-
работаны многочисленные специальные математические функции, используемые
для решения конкретных задач. Развиты всевозможные численные методы реше-
ний уравнений математической физики. Другими словами, имеется хорошо разви-
тый математический аппарат для решения подобных задач.
Постановка новых задач математической физики и их решение – дело бу-
дущих исследований. Но любой исследователь должен прежде всего научиться
использовать опыт, накопленный в той или иной области человеческих знаний.
Настоящие лекции адресованы аспирантам Московской государственной
академии водного транспорта, но могут быть полезными и студентам старших
4
курсов. Не претендуя на академическую полноту изложения, учитывая, где это
возможно, отсутствие у читателя специальной математической подготовки, ав-
торы ставят цель познакомить читателей с основными уравнениями математи-
ческой физики и методами их решений. Курс лекций состоит из двух частей.
Перед Вами первая часть. В ней приведены постановки и решения простейших
уравнений математической физики. Более сложные задачи, требующие исполь-
зования специальных функций, будут изложены во второй части лекций.
5
1. Основные типы уравнений математической физики
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
2
2
2
x
u
a
t
u
0
y
u
x
u
2
2
2
2
Основными уравнениями математической физики (для функции двух пе-
ременных) называют следующие дифференциальные уравнения с частными
производными второго порядка.
I. Волновое уравнение:
. (1.1)
К исследованию этого уравнения приводит изучение процессов попереч-
ных колебаний упругой струны, продольных колебаний стержня, электриче-
ских колебаний в проводах, крутильных колебаний вала, колебаний газа и пр.
Это простейшее уравнение гиперболического типа.
II. Уравнение теплопроводности (уравнение Фурье):
. (1.2)
Оно описывает процессы распространения тепла, случайных блужданий,
фильтрации жидкости и газа в пористой среде и т.д. Это простейшее уравнение
параболического типа.
III. Уравнение Лапласа:
. (1.3)
6
К нему сводятся задачи о распространении электромагнитных полей, зада-
u
2
2
2
2
2
2
2
y
u
x
u
a
t
u
2
2
2
2
2
y
u
x
u
a
t
u
0
z
u
y
u
x
u
2
2
2
2
2
2
чи диффузии, гидродинамики. Уравнение Лапласа является простейшим урав-
нением эллиптического типа.
В приведенных уравнениях искомая функция
является функцией двух
переменных. Число переменных может быть и большим. Например, волновое
уравнение с тремя переменными имеет вид
,
уравнение теплопроводности
,
а уравнение Лапласа
.
7
2. Колебания струны. Краевая задача. Уравнения
l
0t
Ox
0x
lx
lu
Ox
t,xu
21
MM
2
1
2
1
x
x
12
x
x
2
xxdxdx
x
u
1L
1
x
u
2
u
x
2
M
1
M
M
2
x
1
x
x
l
0
электрических колебаний в линии передач
В математической физике струна — это гибкая упругая нить. Механиче-
ские напряжения, возникающие в струне, в любой момент времени направлены
по касательной к ее профилю.
Пусть струна длины
отрезку оси
и
(см. рис. 1).
от 0 до l. Предположим, что ее концы закреплены в точках
в начальный момент времени
направлена по
Рис.1.
Если струну отклонить от первоначального положения, а затем предоста-
вить самой себе (или отклонить струну и придать ее точкам некоторые скоро-
сти), то она начнет двигаться — совершать колебания. Задача заключается в
определении формы струны в любой момент времени (закона движения каждой точки струны во времени).
Если рассматривать малые отклонения струны от начального положения
(
плоскости; этот процесс описывается функцией двух переменных
этих предположениях длина элемента струны (дуги
), движение струны происходит перпендикулярно оси
) равна
в одной
. В
.
8
T
MM
T
Ox
Ou
MM
sinTsinT
x
t,xu
x
t,xxu
TTtgTtgsinTsinT
x
x
t,xu
T
2
2
xu
MM
x
2
2
tu
x
x
u
T
t
u
x
2
2
2
2
T
a2
l
T
T
•
•
u
x
M
0
M
Рис.2.
Будем также предполагать, что натяжение во всех точках одинаковое; обо-
значим его через
.
Рассмотрим элемент струны
струне действуют силы
. Пусть касательные образуют с осью
. Тогда проекция на ось
, и т.к. углы и
Мы заменили приращение функции
( рис. 2). На его концах по касательным к
углы и
сил, действующих на элемент
малы, то
.
ее дифференциалом. Приравнивая эту
, равна
силу произведению массы элемента
материала струны), на ускорение
или, обозначив
, получим
, равной
(— линейная плотность
, получим уравнение движения
,
9
.
x
u
a
t
u
2
2
2
2
2
t,xu
0t,lut,0u
0t
x
xu0,xu
0t
x
t
u
1
0t
0x,0x
1
0x,0x
1
0xx
1
(2.1)
Это и есть уравнение колебаний струны — волновое уравнение.
Функция
должна удовлетворять естественным граничным и началь-
ным условиям.
Во-первых, в любой момент времени t
Во-вторых, если в начальный момент времени
определенную форму
, которую мы ей придали, то должно выполняться
условие
. (2.2)
струна имеет вполне
. (2.3)
Кроме того, в начальный момент должна быть задана и скорость в каждой
точке струны, т.е.
. (2.4)
Условия (2.2) называются граничными, а (2.3) и (2.4) — начальными.
Замечание. В частности, может быть
. Если же
, то струна покоится.
или
В математической физике часто случается, что различные на первый
взгляд процессы математически описываются одинаковыми уравнениями.
Рассмотрим, например, задачу распространения возмущений вдоль элек-
трической линии передачи. Будем считать, что дана однородная электрическая
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]